第7章 第7节 空间向量的概念与运算（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版2019）

第七节　空间向量的概念与运算 第七章　立体几何与空间向量 课程标准 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．　 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．　 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．　 4.理解直线的方向向量及平面的法向量．　 5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．　 6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 理清主干知识 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，既有_____又有_____的量 相等向量 方向_____且长度_____的向量 相反向量 方向_____、长度_____的向量 共线向量 (或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相_____或_____的向量 共面向量 能平移到__________的向量 大小 方向 相同 相等 相反 相等 平行 重合 同一平面 2.空间向量的有关定理 共面向量 如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得____________ 空间向量 基本定理 设e1，e2，e3是空间中三个___________，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的___________：p＝xe1＋ye2＋ze3.上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则____________________． 把{e1，e2，e3}称为空间的一组___，e1，e2，e3叫作________．(x，y，z)称为向量p＝xe1＋ye2＋ze3在_______________下的坐标． p＝xe1＋ye2 不共面向量 实数倍之和 x＝x′，y＝y′，z＝z′ 基 基向量 基{e1，e2，e3} 微提醒 (1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一组基．(2)一组基是指一个向量组，而一个基向量是指基中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．　 3．向量线性运算的坐标表示 (1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： (2)当a≠0时，由向量的数乘可知，若a∥b，则b＝λa，其中λ∈R.若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则当a∥b时，(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)，其中λ∈R，即a∥b⇔ ____________________ ⇔ ____________________． 运算 坐标表示 加法 a＋b＝_______________________ 减法 a－b＝________________________ 数乘 λa＝______________ ，λ∈R (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3) (x1，y1，z1)∥(x2，y2，z2) x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1 4．向量的数量积及运算律 (1)数量积的定义：非零向量a，b的数量积a·b＝ ． (2)数量积的表示：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则   向量表示 坐标表示 数量积 a·b＝______________ a·b＝_______________ 模 |a|＝______ |a|＝_____________ 夹角的 余弦值 cos θ＝_______ cos〈a，b〉＝___________________ 垂直 a⊥b⇔a·b＝____ a⊥b⇔__________________． |a||b|cos 〈a，b〉 |a||b|cos〈a，b〉 x1x2＋y1y2＋z1z2 0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 5.空间直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量 平面的法向量 (1)定义：如果非零向量v与直线l ，就称v为l的方向向量． (2)已知空间直线l上一个定点A以及这条直线的一个 ，就可以确定这条空间直线的位置 (1)定义：如果非零向量n所在直线与平面α ，则称n为平面α的法向量． (2)给定一点A和一个向量n，那么过点A，且以向量n为法向量的平面完全确定． 微提醒 直线的方向向量和平面的法向量均不为零向量，且不唯一．　 平行 方向向量 垂直 6．空间线面位置关系的判定 设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为v1＝(x1，y1，z1)，v2＝(x2，y2，z2)，两个平面α1，α2的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则 位置关系 向量表示 向量运算 坐标运算 l1⊥l2 v1⊥v2 v1·v2＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 l1⊥α1 v1∥n1 n1＝kv1 a1＝kx1，b1＝ky1，c1＝kz1，k为非零常数 α1⊥α2 n1⊥n2 n1·n2＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 l1∥l2 v1∥v2 v2＝kv1 x2＝kx1，y2＝ky1，z2＝kz1，k为非零常数 l1∥α1 v1⊥n1 v1·n1＝0 x1a1＋y1b1＋z1c1＝0 α1∥α2 n1∥n2 n2＝kn1 a2＝ka1，b2＝kb1，c2＝kc1，k为非零常数 记牢常用结论 练透教材典题 1．[多选题]下列说法正确的是 A．空间中任意两个非零向量a，b共面 B．空间中模相等的两个向量方向相同或相反 D．若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α √ √ √ 2．已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则 A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不对 因为n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，所以α，β相交但不垂直．故选C. √ 4．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为_______． 返回 考点探究　精准突破 返回 考点一 空间向量的线性运算 基础练 例1 √ (1)在空间四边形ABCD中， AB ＝(－3,5,2)， CD ＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF的坐标为 A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3) C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1) √ √ 规律方法 用已知向量表示某一向量的三个关键点 1．要结合图形，以图形为指导是解题的关键． 2．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义． 3．在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立．　 √ 考点二 空间向量基本定理及其应用 综合练 例2 (2)判断点M是否在平面ABC内． 规律方法 证明三点共线和空间四点共面的方法比较 √ √ －2 考点三 空间向量数量积及其应用 多维练 例3 如图，已知平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. (1)求线段AC1的长； 则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0， c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1. (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； (3)求证：AA1⊥BD. 所以AA1⊥BD. 规律方法 空间向量数量积的三个应用 求夹角 设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝ ，进而可求两异面直线所成的角 求长度 (距离) 运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂 直问题 利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 对点练3.(1)已知a＝(－1,3,1)，b＝(2,0，－4)，c＝(3，－2，3)，则a·(b＋c)＝________. 因为b＋c＝(5，－2，－1)，所以a·(b＋c)＝－1×5＋3×(－2)＋1×(－1)＝－12. －12 (2)在正三棱锥P-ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则 ＝________. 考点四 向量法证明平行、垂直 创新练 如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2 ， AA1＝ ，BB1＝2 ，点E和F分别为BC和A1C的中点． (1)求证：EF∥平面A1B1BA； 例4 因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.因为AA1⊥ 平面ABC，AA1∥BB1， 所以过E作平行于BB1的垂线为z轴，EC，EA所在直线 分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 又EF⊄平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA. (2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1. 规律方法 利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤 第一步：建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系； 第二步：建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面等要素； 第三步：通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系； 第四步：根据运算结果解释相关问题． 提醒：运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外．　　 对点练4.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝ ，BC＝4. (1)求证：BD⊥PC； 解：如图，在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB， 交BC于点F，以D为坐标原点，DA，DF，DP所在 的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1， ，0)，C(－3， ，0)． 设PD＝a，则P(0,0，a)， 设n＝(x，y，z)为平面PAB的法向量， 返回 令z＝1，得x＝a，y＝0，所以n＝(a,0,1)． 所以－3aλ＋a－aλ＝0，即a(1－4λ)＝0. 课时测评 返回 √ 1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝ x－2a，则x等于 A．(0,3，－6) B．(0,6，－20) C．(0,6，－6) D．(6,6，－6) 由b＝ x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．故选B. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2．已知直线l的一个方向向量为m＝(x,2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1,2)，若l∥α，则x等于 A．－6 B．6 C．－4 D．4 若l∥α，则m⊥n，从而m·n＝0，即3x－2－10＝0，解得x＝4.故选D. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.如图，在平行六面体ABCD -A′B′C′D′中，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，且BM＝2MC′，则下列向量中与 相等的向量是 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6．[多选题]已知空间向量a＝(2，－2,1)，b＝(3,0,4)，则下列说法正确的是 A．向量c＝(－8,5,6)与a，b垂直 B．向量d＝(1，－4，－2)与a，b共面 C．若a与b分别是异面直线l1与l2的方向向量，则其所成角的余弦值为 D．向量a在向量b上的投影向量为(6,0,8) √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．已知直线l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的一个法向量是n＝(2,3,3)．若l⊥α，则a＋b＝________. 2 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图所示，正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则 的取值范围是________． [0,1] 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：因为点E，F，G分别是棱BC，AD，AB的中点， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为正四面体的所有棱长为1， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证： (1)PB∥平面EFH； 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)PD⊥平面AHF. 建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(0,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，H(1,0,0)． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以PD⊥AF，PD⊥AH. 因为AH∩AF＝A，且AH，AF⊂平面AHF， 所以PD⊥平面AHF. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.如图，在空间四边形OABC中，OA＝OB＝OC＝2，∠AOC＝∠BOC ＝ ，∠AOB＝ ，点M，N分别在OA，BC上，且OM＝2MA，BN＝CN，则MN＝ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于点E， 点M是AC的中点，PB＝1，则 的最小值为________． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点， ＝λ ，且AB1⊥MN，则λ的值为________． 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 15．(6分)[多选题]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E，F分别为线段PB，CD的中点，G为线段PC上的动点(含端点)，则下列说法正确的是 A．对任意点G，都有B，E，G，F四点共面 B．存在点G，使得A，E，G，F四点共面 C．对任意点G，都有AG⊥平面PBD D．存在点G，使得EG∥平面PAF √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(10分)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝ ，E为PD上一点，PE＝2ED. (1)求证：PA⊥平面ABCD； 解：证明：因为PA＝AD＝1，PD＝ ， 所以PA2＋AD2＝PD2，所以PA⊥AD. 又PA⊥CD，AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ABCD， 所以PA⊥平面ABCD. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出点F的位置，并证明；若不存在，说明理由． 解：存在．证明如下：以点A为原点，直线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 所以存在点F，且点F为PC的中点时，使得BF∥平面AEC. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢谢观看 本节到此结束 1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点． 2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点． C．若A，B，C，D是空间中任意四点，则有＋＋＋＝0 ＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.故选A. 3．在平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是 A．－a＋b＋c B．a＋b＋c C．－a－b＋c D．a－b＋c ||2＝2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，所以||＝，所以EF的长为. → → → 因为P，A，B，C四点共面，所以＋＋t＝1，所以t＝. 5．(用结论)O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OP＝ OA＋ OB＋t OC，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝_______. → → 因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点，所以＝－，＝(＋)，＝(＋)．所以＝(＋)－(＋)＝(＋)＝×[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]＝×(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．故选B. → → (2)[多选题]如图所示，在四面体OABC中，点M是棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，＝，设＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是 A.＝b－c B.＝b＋c－a C.＝b－c－a D.＝a＋b＋c 对于A，利用向量的平行四边形法则＝＋ ＝b＋c，故A错误；对于B，利用向量的平行四边 形法则和三角形法则，得＝－＝－＝ －＝＋－＝b＋c－a，故B正确；对于C，因为点P在线段AN上，且AP＝3PN，所以＝＝×＝b＋c－a，故C错误；对于D，＝＋＝a＋b＋c－a＝a＋b＋c，故D正确．故选BD. 对点练1.(1)在三棱柱A1B1C1-ABC中，D是四边形BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，则等于 A.a＋b＋c B.a－b＋c C.a＋b－c D.－a＋b＋c ＝＋＋＝－＋＋(＋)＝－＋＋＋(－)＝－＋＋＝－a＋b＋c.故选D. 由题可设＝λ(0<λ<1)，因为＝＋＋＝2＋3＋，所以＝2λ＋3λ＋λ，因为M，E，F，G四点共面，所以2λ＋3λ＋λ＝1，解得λ＝. (2)如图，已知四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面A1B1C1D1 为平行四边形，E为棱AB的中点，＝，＝2， AC1与平面EFG交于点M，则＝________. 所以－＝－＋－， 即＝＋＝－－， 所以，，共面． 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)． (1)判断，，三个向量是否共面； 解：由题知＋＋＝3， 解：由(1)知，，，共面且有公共点M，所以M，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内． 三点P，A，B共线 空间四点M，P，A，B共面 ＝λ且同过点P ＝x＋y且同过点M 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y 对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y) 对点练2.(1)[多选题]下列说法中正确的是 A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件 B．若，共线，则AB∥CD C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面 D．若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件 由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；若，共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，因为＋＋＝1，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得－＝λ(－)，即＝λ，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确．故选CD. (2)已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若＝6－4＋λ，则λ＝________. ＝6－4＋λ，即－＝6－4＋λ，整理得＝6－3＋λ，由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2. 解：设＝a，＝b，＝c， 因为＝＋＋＝a＋b＋c， ＝＝， 所以线段AC1的长为. 所以||＝|a＋b＋c|＝ ＝ ＝a·b－a·c＋b2－c2 ＝0＋1＋1－4＝－2， ||＝|b－c|＝ ＝ ＝＝， 解：因为＝a＋b＋c，＝b－c， 所以·＝(a＋b＋c)·(b－c) 设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝， 即异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为. 即·＝0， 解：证明：由(1)知＝c，＝b－a， 所以·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1＋1＝0， · 因为P-ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AO，所以·＝0，||＝·||·sin 60°＝，故·＝·(＋)＝||2＝||2－||2＝4－＝. ＝(－，－2,0)， ＝(0,0，)． 设平面A1B1BA的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则所以 因为AB＝3，BE＝，所以AE＝2，所以E(0,0,0)，C(，0,0)，A(0，2,0)，B(－，0,0)，B1(－，0,2)，A1(0,2，)，则F. ＝， 令x＝－2，得y＝，z＝0，所以n＝(－2，，0)． 因为·n＝×(－2)＋1×＋×0＝0， 所以⊥n. 因为·＝0，所以⊥，故平面AEA1⊥平面BCB1. 因为EC⊥平面AEA1，所以＝(，0,0)为平面AEA1的一个法向量. 又EA⊥平面BCB1，所以＝(0,2,0)为平面BCB1的一个法向量. 证明：＝(－1，－，0)，＝(－3，，－a)， 因为·＝3－3＝0，所以BD⊥PC. (2)设点E在棱PC上，＝λ，若DE∥平面PAB，求λ的值． 解：由题意知，＝(0，，0)，＝(0,0，a)，＝(1,0，－a)，＝(－3，，－a)， 因为＝λ，所以＝(－3λ，λ，－aλ)， ＝＋＝(0,0，a)＋(－3λ，λ，－aλ)＝(－3λ，λ，a－aλ)． 则即 因为DE∥平面PAB，所以·n＝0， 因为a≠0，所以λ＝. A．－＋＋ B．－＋＋ C．＋＋ D．－＋ 因为BM＝2MC′，所以＝，在平行六面体ABCD -A′B′C′D′中，＝＋＝＋＝＋(＋)＝(－)＋(＋)＝＋＋.故选C. A．(1，－1,1) B． C． D． 对于选项A，＝(1,0,1)，·n＝5，所以与n不垂直，排除A；同理可排除C，D；对于选项B，有＝，所以·n＝0，因此B项正确．故选B. 5．[多选题]给出下列四个说法，其中正确的是 A．若a·b<0，则〈a，b〉是钝角 B．若a为直线l的方向向量，则λa(λ∈R)也是直线l的方向向量 C．若＝＋，则＝2 D．在三棱锥P-ABC中，若·＝0，·＝0，则·＝0 对于A，当a＝－b时，满足a·b<0，但〈a，b〉＝π，不是钝角，故A错误；对于B，当λ＝0时，λa＝0，不是直线l的方向向量，故B错误；对于C，由＝＋，得3＝＋2，则－＝－2＋2，所以＝2，故C正确；对于D，过点P作PO⊥平面ABC交平面ABC于点O，连接CO并延长，交AB于点M，连接AO并延长，交BC于点N，连接BO并延长，交AC于点T(图略)，由·＝0，可得PA⊥BC，则AN⊥BC，同理得CM⊥AB，所以O为△ABC的垂心，所以BT⊥AC，则PB⊥AC，从而·＝0，故D正确．故选CD. 对于A，a·c＝－16－10＋6≠0，b·c＝－24＋24＝0，故a，c不垂直，故A错误；对于B，设d＝ma＋nb，则m(2，－2,1)＋n(3,0,4)＝(1，－4，－2)，所以解得即2a－b＝d，故B正确；对于C，因为cos〈a，b〉＝＝＝，所以异面直线l1与l2所成角的余弦值为，故C正确；对于D，向量a在向量b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·＝3×××(3,0,4)＝，故D错误．故选BC. 因为m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)是直线l的方向向量，n＝(2,3,3)是平面α的一个法向量，l⊥α，所以m∥n，所以＝＝，解得a＝，b＝－，所以a＋b＝2. · 由题意，设＝λ，其中λ∈[0,1]，则·＝·(＋)＝·(＋λ)＝2＋λ·＝2＋λ·(－)＝(1－λ)2＝1－λ∈[0,1]．因此·的取值范围是[0,1]． 9．(10分)如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设＝a，＝b，＝c，试用向量法解决下列问题： (1)求的模长； 所以＝＋＋＝＋＋＝(－)－＋＝(c－b－a)， 所以||＝. 因此||2＝(c－b－a)2＝(c2＋b2＋a2－2c·b＋2b·a－2c·a)， 所以||2＝×＝， 同理＝(b＋c－a)，||＝， 所以cos〈，〉＝＝＝(c2＋a2－2a·c－b2)＝×＝0， 所以，的夹角为90° (2)求，的夹角． 解：由(1)可知＝(c－b－a)，||＝， 所以PB∥EH. 因为PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH， 所以PB∥平面EFH. 因为E，H分别是线段PA，AB的中点， 所以·＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0， ＝(0,2，－2)，＝(1,0,0)，＝(0,1,1)， ·＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0. 所以⊥，⊥， A. B. C. D. 因为OM＝2MA，BN＝CN，所以＝－＝ (＋)－＝－＋＋.又OA＝OB＝ OC＝2，∠AOC＝∠BOC＝，∠AOB＝，所以· ＝0，·＝0，·＝||||cos＝2，所以2＝ 2＝2＋2＋－·－·＋·＝||2＋||2＋||2－·＝×22＋×22＋×22－×2＝，所以||＝.故选A. 12．[多选题]已知ABCD -A1B1C1D1为正方体，则下列说法中正确的是 A．(＋＋)2＝32 B．·(－)＝0 C．向量与向量的夹角是60° D．正方体ABCD -A1B1C1D1的体积为|··| 由向量的加法运算得到＋＋＝，因为A1C＝A1B1，所以2＝32，故A正确；因为－＝，AB1⊥A1C，所以·＝0，故B正确；因为△ACD1是等边三角形，所以∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，所以异面直线AD1与A1B所成的角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C错误；因为AB⊥AA1，所以·＝0，故|··|＝0，故D错误．故选AB. · － 因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则PA⊥BC，而AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，则BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，即有BC⊥PB.因为点M是AC的中点，则＝(＋)＝＋(＋)， 连接EC，如图， 又AE⊥PB，·＝·＝ ·＋·＋·＝·＝－|||| ≥－2＝－，当且仅当||＝||＝时， 等号成立，所以·的最小值为－. 如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系， 因为底面边长为1，侧棱长为2，则A， B1，C，C1，M(0,0,0)， 设N，因为＝λ，所以N， 所以＝，＝.又因为AB1⊥MN，所以·＝0，所以－＋＝0，解得λ＝15. 设PA＝AB＝2，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(1,0,1)，F(1,2,0)，设＝λ＝(2λ，2λ，－2λ)，其中0≤λ≤1，则＝＋＝(2λ，2λ，2－2λ)，＝(1,0,1)，＝(1,2,0)，设＝m＋n＝(m＋n,2n，m)， 因为PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图， 所以解得故A错误； 则解得m＝n＝λ＝，故存在点G， 使得A，E，G，F四点共面，故B正确； ＝(－1,0,1)，＝(－1,2,0)，＝(－2,0,2)，＝＋＝(2λ－2,2λ，2－2λ)，设＝a＋b＝(－a－b,2b，a)， ＝(2λ，2λ，2－2λ)，＝(－2,0,2)，若AG⊥平面PBD， BP⊂平面PBD，则·＝－4λ＋4－4λ＝4－8λ＝0，解 得λ＝，故C错误； 设平面PAF的法向量为n＝(x，y，z)，＝(0,0,2)， ＝(1,2,0)，则即取x＝2，则n＝(2，－1,0)，＝＋＝(－1,0,1)＋(2λ，2λ，－2λ) ＝(2λ－1,2λ，1－2λ)．若EG∥平面PAF，则·n＝4λ－2－2λ＝2λ－2＝0，解得λ＝1，故当点G与点C重合时，EG∥平面PAF，故D正确．故选BD. ＝(－1，－1,1)，＝(0,1,0)． 则即令y＝1，则x＝－1，z＝－2，则n＝ (－1,1，－2)． 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，E， 故＝(1,1,0)，＝， 假设侧棱PC上存在一点F，且＝λ＝(－λ，－λ，λ)，使得BF∥平面AEC，即·n＝0. 又因为＝＋＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)， 故·n＝(－1)×(－λ)＋1×(1－λ)＋(－2)×λ＝1－2λ＝0，解得λ＝， $$