第7章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版2019）

第三节　 空间点、直线、平面之间的位置关系 第七章　立体几何与空间向量 课程标准 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义. 　 2.了解四个基本事实和定理. 　 3.了解空间中直线与直线的关系(平行、相交、异面) . CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 理清主干知识 1．与平面有关的基本事实及推论 (1)与平面有关的三个基本事实 两个点 基本事实 内容 图形 符号 基本 事实1 如果一条直线上的_______在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本事实 内容 图形 符号 基本 事实2 过_______________的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α 基本事 实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条__________________ P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 不在一条直线上 过该点的公共直线 (2)基本事实1和基本事实2的三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 一条直线和直线外一点，确定一个平面 确定 平面 的依据 推论2 两条相交直线，确定一个平面 推论3 两条平行直线，确定一个平面 2.空间直线、平面之间的位置关系 (1)空间中两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 在同一个平面内，两条直线有且只有 公共点 平行 在同一个平面内，两条直线 公共点 异面 两条直线不同在 内， 公共点 一个 没有 任何一个平面 没有 (2)空间中直线与平面、平面与平面的位置关系   图形(语言) 写法(符号语言) 公共点情况 直线与平面 在平 面内 ______ _____个 相交 __________ ___个 平行 ______ ___个 a⊂α 无数 a∩α＝A 1 a∥α 0 微提醒 (1)基本事实3可用于证明点共线与线共点． (2)直线l和平面α相交、直线l和平面α平行统称为直线l在平面α外，记作l⊄α.　   图形(语言) 写法(符号语言) 公共点情况 平面与平面 相交 ________ ______个 平行 ______ ___个 α∩β＝l 无数 α∥β 0 3．基本事实4和等角定理 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线________． 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角____________ ． 平行 相等或互补 4．异面直线所成的角 (1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点P作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围： ． 微提醒　 (1)两直线垂直有两种情况——异面垂直和相交垂直． (2)两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． 记牢常用结论 1．异面直线的判定 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． 2．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． (4)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． 练透教材典题 1．[多选题]下列结论错误的有 A．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线 B．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 C．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 D．没有公共点的两条直线是异面直线 √ √ √ √ 2．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且α∥β，则a与b A．共面 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 α∥β，说明a与b无公共点，所以a与b可能平行也可能是异面直线．故选D. 3．下列命题正确的是 A．两个平面如果有公共点，那么一定相交 B．两个平面的公共点一定共线 C．两个平面有三个公共点一定重合 D．过空间任意三点，一定有一个平面 √ 如果两个平面重合，则排除A，B两项；两个平面相交，则有一条交线，交线上任取三个点都是两个平面的公共点，故排除C项；而D项中的三点不论共线还是不共线，则一定能找到一个平面过这三个点． 4．(用结论)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1成异面直线的条数为 A．1 B．2 C．3 D．4 √ 与直线BC1成异面直线的有A1B1，AC，AA1，共3条．故选C． 5．三个平面最多能把空间分为______部分，最少能把空间分成______部分． 8 4 三个平面可将空间分成4,6,7,8部分，所以三个平面最少可将空间分成4部分，最多分成8部分． 返回 考点探究　精准突破 返回 如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证： 考点一 平面基本事实的应用 基础练 例1 如图所示，连接CD1，EF，A1B， (1)E，C，D1，F四点共面； 又因为A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形， 所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1， 所以EF与CD1能够确定一个平面ECD1F，即E，C，D1，F四点共面． (2)CE，D1F，DA三线共点． 所以四边形CD1FE是梯形， 所以直线CE与D1F必相交，设交点为P，如图， 则P∈CE，且P∈D1F， 因为CE⊂平面ABCD，D1F⊂平面A1ADD1， 所以P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1. 又因为平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD， 所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三线共点． (变条件、变问法)若本例中平面BB1D1D与A1C交于点M，求证：B，M，D1三点共线． 如图所示，连接BD1，BD，B1D1，A1C， 因为BD1与A1C均为正方体ABCD -A1B1C1D1的体对 角线，所以BD1与A1C相交， 设BD1与A1C的交点为O，则B，O，D1三点共线， 因为BD1⊂平面BB1D1D，所以A1C与平面BB1D1D的交点和A1C与BD1的交点重合， 即M与O重合，故B，M，D1三点共线． 变式探究 规律方法 共面、共线、共点问题的证明方法 √ 对点练1.(1)[多选题]如图，在正方体或四面体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是 √ √ 对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面．故选ABC. √ (2)如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是 A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC 由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.故选C. 考点二 空间两条直线位置关系的判断 综合练 例2 (1)已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则 A．m与n异面 B．m与n相交 C．m与n平行 D．m与n异面、相交、平行均有可能 √ 在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．故选D. (2)如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论： ①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线． 其中正确结论的序号是________． 直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线． ③④ 规律方法 点、线、面位置关系的判定 1．点、线、面位置关系的判定：注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体模型直观感知并认识空间点、线、面的位置关系． 2．两条直线异面的判定：反证法或利用异面直线的判定定理．　 √ 对点练2.(1)[多选题]下列推断中，正确的是 A．M∈α，M∈β，α∩β＝l⇒M∈l B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β ⇒α∩β＝AB C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合 对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，故A正确；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，故B正确；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，故C错误；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，故D正确．故选ABD. √ √ (2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 √ 由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾．故l至少与l1，l2中的一条相交． 若l与l1，l2中的一条相交，如图①所示，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；若l与l1，l2都相交，如图②所示，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．故选D. 考点三 异面直线所成的角 多维练 例3 在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝ ，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 √ 如图，连接BD1，交DB1于点O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角． 1．(变条件，变设问)若将本例中条件“AA1＝ ”变为“AA1＝2”，其他 条件不变，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为______． 变式探究 2．(变条件，变设问)若将本例中条件“AA1＝ ”变为“异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 ”，则AA1的值为_______． 3 规律方法 平移法求异面直线所成的角的三个步骤 一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； 二证：证明作出的角是异面直线所成的角； 三求：解三角形，求出所作的角．　　 √ 对点练3.(1)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 √ (2)在正方体ABCD -A1B1C1D1中，P，Q分别为BC，A1B1的中点，则异面直线PQ与A1C1所成角的正弦值为 如图，取AB的中点M，连接QM，MP，AC，设正方体 的棱长为2，由于M，P分别为AB，BC的中点，则MP∥ AC，又在正方体中，AC∥A1C1，因此可得A1C1∥MP， 故∠QPM(或其补角)即为异面直线PQ与A1C1所成的角， 返回 课时测评 返回 √ 1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为 A．4 B．3 C．2 D．1 首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．故选A. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2．若a∥α，b∥β，α∥β，则a，b的位置关系是 A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面或相交 如图①②③所示，a，b的关系分别是平行、异面、相交． 故选D. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3．(2024·湖南岳阳模拟)在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG＝P，则点P A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．在直线AC或BD上 D．不在直线AC上，也不在直线BD上 如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.故选B. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4．(2024·辽宁大连模拟)如图，两个正方形ABCD， ADEF不在同一个平面内，点P，Q分别为线段EF，CD的中点，则直线FQ与PB的关系是 A．相交 　　　　B．平行 C．异面 　　　　 D．不确定 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，取AB的中点G，连接GQ，GF，EQ，则GQ∥AD，又AD∥EF，所以GQ∥EF，则G，Q，E，F确定平面GQEF，又FQ⊂平面GQEF，P∈平面GQEF，P∉FQ，B∉平面GQEF，所以直线FQ与PB是异面直线．故选C. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5．[多选题]如图，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有 A．① B．② C．③ D．④ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，N∉GH，因此直线GH与MN异面；图③中，连接GM，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，G∉MN，因此直线GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．故选BD. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6．[多选题]已知直线l⊄平面α，直线m⊂平面α，则 A．若l与m不垂直，则l与α一定不垂直 B．若l与m所成的角为30°，则l与α所成的角也为30° C．l∥m是l∥α的充分不必要条件 D．若l与α相交，则l与m一定是异面直线 √ 对于A，当l与m不垂直时，假设l⊥α，因为m⊂α，则l⊥m，这与已知条件矛盾，因此l与α一定不垂直，故A正确；对于B，由线面角的定义可知，l与α所成的角是直线l与平面α内所有直线所成角中最小的角，若l与m所成的角为30°，则l与α所成的角θ满足0°≤θ≤30°，故B错误； 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，若l∥m，m⊂α，l⊄α，则l∥α，即l∥m⇒l∥α；若l∥α，因为m⊂α，则l与m平行或异面，即l∥α l∥m.所以l∥m是l∥α的充分不必要条件，故C正确；对于D，若l与α相交，则l与m相交或异面，故D错误．故选AC. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有_____对． 画出该正方体的直观图如图所示，易知异面直线有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF)．故共有3对． 3 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则： (1)当AC，BD满足条件__________时，四边形EFGH为菱形； 因为四边形EFGH为菱形，所以EF＝EH，所以AC＝BD. AC＝BD 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当AC，BD满足条件___________________时，四边形EFGH为正方形． 因为四边形EFGH为正方形，所以EF＝EH且EF⊥EH，因为EF∥AC，EH∥BD，且EF＝ AC，EH＝ BD，所以AC＝BD且AC⊥BD. AC＝BD且AC⊥BD 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：证明：因为G，H分别为FA，FD的中点， 所以GH∥ AD.又BC∥ AD，所以GH∥BC. 所以四边形BCHG为平行四边形． 9．(10分)如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝ AF，G，H分别为FA，FD的中点． (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：C，D，F，E四点共面，理由如下： 所以BE∥FG，所以四边形BEFG为平行四边形， 所以EF∥BG. 由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，所以EF与CH共面． 又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面． (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求： (1)三棱锥P-ABC的体积； 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)异面直线BC与AD所成角的余弦值． 解：如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC， 所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．(2024·河南商丘模拟)在正四棱锥P-ABCD中，M为棱AB上的点，且PA＝AB＝2AM，设平面PAD与平面PMC的交线为l，则异面直线l与BC所成角的正切值为 √ 如图，连接CM并延长交DA的延长线于点N，则点N 为平面PAD与平面PMC的公共点，所以l即为直线PN， 因为BC∥AD，所以∠PND(或其补角)为异面直线l与 BC所成的角．取DA的中点O，连接OP， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.[多选题]如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是 A．C1，M，O三点共线 B．C1，M，O，C四点共面 C．C1，O，B1，B四点共面 D．D1，D，O，M四点共面 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为O∈AC，AC⊂平面ACC1A1，所以O∈平面 ACC1A1.因为O∈BD，BD⊂平面C1BD，所以O ∈平面C1BD，所以O是平面ACC1A1和平面C1BD 的公共点．同理可得，点M和C1都是平面ACC1A1 和平面C1BD的公共点，所以C1，M，O三点在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，故A，B正确；根据异面直线的判定定理可得BB1与C1O为异面直线，故C1，O，B1，B四点不共面，故C不正确；根据异面直线的判定定理可得DD1与MO为异面直线，故D1，D，O，M四点不共面，故D不正确．故选AB. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．如图所示，已知空间四边形ABCD中，AC与BD所成角为60°，且AC＝BD＝2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF＝________. 如图，取CD的中点G，连接EG，FG，由题可知，EG∥BD，FG∥AC， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n的最大值为________． 正方体共有8个顶点，若选出的n条线两两异面，则 不能共顶点，即至多可选出4条，又可以选出4条两 两异面的线(如图AC，BC′，B′D′，A′D)，故所求n的 最大值是4. 4 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 15．[多选题](2024·重庆模拟)如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是 A．AB1 B．A1C C．A1A D．AD1 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，当P为BC1的中点时，OP∥AB1，故A错误； 对于B，因为A1C⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C， O∉A1C，P∉平面AA1C1C，所以直线A1C与直线OP 一定是异面直线，故B正确；对于C，因为A1A⊂平 面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1A，P∉平面 AA1C1C，所以直线A1A与直线OP一定是异面直线，故C正确；对于D，因为AD1⊂平面AD1C，O∈平面AD1C，O∉AD1，P∉平面AD1C，所以直线AD1与直线OP一定是异面直线，故D正确．故选BCD. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(学科融合)[多选题]在通用技术课上，某小组将 一个直三棱柱ABC-A1B1C1展开，得到的平面图如图 所示，其中AB＝4，AC＝3，BC＝AA1＝5，M是BB1 上的点，则 A．AM与A1C1是异面直线 B．AC⊥A1M C．平面AB1C将三棱柱截成两个四面体 D．A1M＋MC的最小值是 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 由题设可得直三棱柱，如图①所示．由直三棱柱的结构特征知，AM与A1C1是异面直线，故A正确；因为AA1⊥AC，BA⊥AC，且AA1∩BA＝A，则AC⊥平面AA1B1B，因为A1M⊂平面AA1B1B，所以AC⊥A1M，故B正确；由图①所示知，平面AB1C将三棱柱截成四棱锥B1-ACC1A1和三棱锥B1-ABC，一个五面体和一个四面体，故C错误；将平面AA1B1B和平面CC1B1B展开成一个平面，如图②所示，当A1，M，C共线时，A1M＋MC取得最小值， 且最小值为，故D正确．故选ABD. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢谢观看 本节到此结束 因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B，且EF＝A1B. 由(1)知EF∥CD1，且EF＝CD1， A. B. C. D. 因为在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝， AD1＝＝2，DM＝＝，DB1＝ ＝，所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝， 于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝＝.故异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.故选C. 如图，连接A1C1，BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1(或其补角)为异面直线A1B与AD1所成的角．由AB＝BC＝1，AA1＝2，易得A1C1＝，A1B＝BC1＝，所以cos∠A1BC1＝＝.故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为. 设AA1＝t，因为AB＝BC＝1，所以A1C1＝，A1B＝BC1＝.因为AD1∥BC1，所以∠A1BC1为异面直线A1B与AD1所成的角(或其补角)，所以|cos∠A1BC1|＝＝＝，解得t＝3，则AA1＝3. A. B. C. D. 如图，过点E作圆柱的母线交下底面于点F，连接AF， 易知F为的中点，设四边形ABCD的边长为2，则 EF＝2，AF＝，所以AE＝＝.连接ED， 则ED＝.因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所 成角即为∠EAD(或其补角)．在△EAD中，cos∠EAD＝＝，所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为.故选D. A. B. C. D. 因为QM∥AA1，所以QM⊥平面ABCD，因为MP⊂平面ABCD，所以QM⊥MP，在Rt△QMP中，sin∠QPM＝＝＝，所以异面直线PQ与A1C1所成角的正弦值为.故选C. 因为BE∥AF，G是FA的中点， 解：S△ABC＝×2×2＝2， 三棱锥P-ABC的体积V＝S△ABC·PA＝×2×2＝. 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为. 因为PA⊥平面ABC，∠BAC＝，所以PB＝＝2，PC＝＝4，BC＝＝4，所以在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2， cos∠ADE＝＝＝. A. B. C. D. 则OP⊥AD，设PA＝AB＝2AM＝2，则OA＝1，OP＝，ON＝3.所以tan ∠PND＝＝，所以异面直线l与BC所成角的正切值为.故选B. 1或 所以EF＝.综上，EF＝1或EF＝. EG＝BD＝1，FG＝AC＝1.因为AC与BD所成的角 为，所以∠FGE＝或∠FGE＝π－＝，当∠FGE ＝时，△FGE为等边三角形，所以EF＝1；当∠FGE ＝时，由余弦定理得，EF2＝EG2＋GF2－2EG·GF·cos∠FGE＝1＋1－2×1×1×＝3， $$