第7章 拓展视野6 空间几何体的截面及交线问题（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教B版2019）

拓展视野(六)空间几何体的截面及交线问题 第七章　立体几何与空间向量 一、多面体中的交线问题 多面体中找交线的常用方法 1．利用相交平面有且只有一条过交点的直线寻找交线，即只需找相交平面的两个公共点，两点连线就是交线． 2．利用线面平行与面面平行的判定定理寻找线面平行及面面平行，再利用性质作出交线． 3．对于球与多面体的交线长问题，根据交线的不同有两种计算方法：一是利用弧长公式计算，只需找出弧所对的圆心角即可；二是转化为截面小圆计算，只需找到小圆半径即可． 知识链接 (2020·新高考Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD -A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心， 为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 ______． 例1 典题体验 对点练1.在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直且AB＝AC＝AD＝ ，以C为球心，2为半径的球C与该四面体每个面的交线的长度之和为 A. B．π C. D. √ 二、多面体中的截面问题 1．正方体中的基本斜截面 知识链接 2． 多面体中找截面的几种方法 (1) 直接法：有两点在多面体的同一个面上，连接这两点即为多面体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程． (2) 延长线法：若直线相交，但在多面体中未体现，可以通过作延长线的方法找到交点，然后借助交点找到交线． (3) 平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点作直线的平行线找到多面体与截面的交线． 角度1　作空间几何体的截面 在正方体ABCD -A1B1C1D1中，P为BB1的中点． (1)画出过A1，C1，P的截面； 例2 解：因为此三点在几何体的棱上，且两两在一个平面内，直接连接A1P，A1C1，C1P就得到截面A1C1P. 典题体验 (2)画出过A1，D1，P的截面． 解：连接A1P，其余面上的交线根据平面的性质寻找，由于A1，D1，P在一个平面内，且两个平面A1ADD1和B1BCC1平行，过P作A1D1的平行线，设CC1的中点为Q，连接PQ和D1Q，得到截面A1D1QP. 在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F，Q分别为AB，BC，AA1的中点，画出过E，F，Q的截面． 例3 解：连接EF，得到平面EFQ和平面ABCD的交线，其余面由正方体的性质和平面的性质来判断，延长FE，EF，分别交DA，DC的延长线于G，H，则G，Q都在面AA1D1D内，连接GQ并延长交A1D1于点P，交DD1的延长线于S，则S，H都在面DD1C1C内，连接SH交D1C1于点M，交CC1于点N，连接QE，NF，PM，就得到截面EFNMPQ. 例4 角度2　截面图形的判断与计算 (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝ DD1，NB＝ BB1，那么正方体中过点M，N，C1的截面图形是 A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 √ 先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．如图，设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五边形C1MEFN为所求截面图形．故选C. (2)如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形 的面积为______． 对点练2.(1)过正方体ABCD -A1B1C1D1的体对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则＝ √ √ (2)[多选题]正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2，已知平面α⊥AC1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是 A．截面形状可能为正三角形 B．截面形状可能为正方形 C．截面形状可能为正六边形 D．截面面积最大值为3 √ √ (3)如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________． 谢谢观看 本节到此结束 ︵ ︵ 易知四边形A1B1C1D1为菱形，∠B1A1D1＝60°，连接B1D1，则△B1C1D1为正三角形，取B1C1的中点O，连接D1O，易得D1O⊥B1C1，所以D1O⊥平面BCC1B1.取BB1的中点E，CC1的中点F，连接D1E，D1F，OE，OF，EF，易知D1E＝D1F＝，易知以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线是以O为圆心，OE为半径的EF，因为B1E＝B1O＝1，所以OE＝，同理OF＝，易知EF＝2，所以∠EOF＝90°，所以EF的长＝×(2π×)＝. 由题意得△ACD，△ABC为等腰直角三角形． 设球C与Rt△ACD的边CD，AD分别交于点 M，N，如图①所示，设球C与Rt△ABC的边 AB，CB分别交于点H，G，如图②所示．易得 cos∠ACN＝，则∠ACN＝，AN＝AC·tan＝1，所以∠NCM＝∠ACD－∠ACN＝－＝，所以的长＝2×＝，同理，的长＝. 在△ABD内，如图③所示，因为AH＝AN＝ ＝1，∠HAN＝，则的长＝1× ＝.在△BCD内，如图④所示，易知是以顶 点C为圆心，2为半径，圆心角为的弧，则的长＝2×＝，所以球C与该四面体每个面的交线的长度之和为＋＋＋＝.故选D. 如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作 BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BD NM即为符合条件的平面α，由作图可知M，N分别为 B1C1，C1D1的中点，故BD＝2，MN＝，且BM＝ DN＝，所以等腰梯形MNDB的高为h＝＝，所 以梯形MNDB的面积为×(＋2)×＝. 设M，N分别为AA1，CC1的中点(图略)，易证截面BMD1N是边长为的菱形(正方体棱长设为1)，其面积Smin＝.而截面BB1D1D是矩形，其面积Smax＝，故＝＝.故选C. A. B. C. D. 易知A，C正确，B不正确，下面说明D正确，如图，截面为正六边形，当六边形的顶点均为棱的中点时，其面积最大，MN＝2，GH＝，OE＝＝＝，所以S＝2××(＋2)×＝3，故D正确．故选ACD. 3 如图所示，因为A1M＝2MD1，故通过平行线法可知， 该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分 点处，故可得截面为MIHGFE，设正方体的棱长为 3a，则ME＝2a，MI＝a，IH＝2a，HG＝a， FG＝2a，EF＝a，所以截面MIHGFE的周长为ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM＝9a，又因为正方体A1C的棱长为1，即3a＝1，故截面多边形的周长为3. $$