第7章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教版2019）

第三节　 空间点、直线、平面之间的位置关系 第七章　立体几何与空间向量 课程标准 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义. 　 2.了解四个基本事实和定理. 　 3.了解空间中直线与直线的关系(平行、相交、异面) . CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 理清主干知识 1．与平面有关的基本事实及推论 (1)与平面有关的三个基本事实 基本事实 内容 图形 符号 基本 事实1 过________________的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α 不在一条直线上 基本事实 内容 图形 符号 基本事 实2 如果一条直线上的_________ 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本事 实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条__________________ P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 两个点 过该点的公共直线 (2)基本事实1和基本事实2的三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的依据 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 2.空间直线、平面之间的位置关系 位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形语言 符号语言 a∥b a∥α α∥β 相交关系 图形语言 符号语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 独有关系 图形语言 符号语言 a，b是异面直线 a⊂α 微提醒 (1)基本事实3可用于证明点共线与线共点． (2)直线l和平面α相交、直线l和平面α平行统称为直线l在平面α外，记作l⊄α.　 3．基本事实4和等角定理 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线________． 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角____________ ． 平行 相等或互补 4．异面直线所成的角 (1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围： ． 微提醒　 (1)两直线垂直有两种情况——异面垂直和相交垂直． (2)两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． 记牢常用结论 1．异面直线的判定 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． 2．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． (4)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． 练透教材典题 1．[多选题]下列结论错误的有 A．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线 B．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 C．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 D．没有公共点的两条直线是异面直线 √ √ √ √ 2．(链接人A必修二P131T4)如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且α∥β，则a与b A．共面 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 α∥β，说明a与b无公共点，所以a与b可能平行也可能是异面直线．故选D. 3．(链接人A必修二P132T3)下列命题正确的是 A．两个平面如果有公共点，那么一定相交 B．两个平面的公共点一定共线 C．两个平面有三个公共点一定重合 D．过空间任意三点，一定有一个平面 √ 如果两个平面重合，则排除A，B两项；两个平面相交，则有一条交线，交线上任取三个点都是两个平面的公共点，故排除C项；而D项中的三点不论共线还是不共线，则一定能找到一个平面过这三个点． 4．(用结论)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1成异面直线的条数为 A．1 B．2 C．3 D．4 √ 与直线BC1成异面直线的有A1B1，AC，AA1，共3条．故选C． 5．(链接人A必修二P132T5)三个平面最多能把空间分为______部分，最少能把空间分成______部分． 8 4 三个平面可将空间分成4,6,7,8部分，所以三个平面最少可将空间分成4部分，最多分成8部分． 返回 考点探究　精准突破 返回 如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证： 考点一 平面基本事实的应用 基础练 例1 如图所示，连接CD1，EF，A1B， (1)E，C，D1，F四点共面； 又因为A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形， 所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1， 所以EF与CD1能够确定一个平面ECD1F，即E，C，D1，F四点共面． (2)CE，D1F，DA三线共点． 所以四边形CD1FE是梯形， 所以直线CE与D1F必相交，设交点为P，如图， 则P∈CE，且P∈D1F， 因为CE⊂平面ABCD，D1F⊂平面A1ADD1， 所以P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1. 又因为平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD， 所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三线共点． (变条件、变问法)若本例中平面BB1D1D与A1C交于点M，求证：B，M，D1三点共线． 如图所示，连接BD1，BD，B1D1，A1C， 因为BD1与A1C均为正方体ABCD -A1B1C1D1的体对 角线，所以BD1与A1C相交， 设BD1与A1C的交点为O，则B，O，D1三点共线， 因为BD1⊂平面BB1D1D，所以A1C与平面BB1D1D的交点和A1C与BD1的交点重合， 即M与O重合，故B，M，D1三点共线． 变式探究 规律方法 共面、共线、共点问题的证明方法 √ 对点练1.(1)[多选题]如图，在正方体或四面体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是 √ √ 对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面．故选ABC. √ (2)如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是 A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC 由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.故选C. 考点二 空间两条直线位置关系的判断 综合练 例2 (1)已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则 A．m与n异面 B．m与n相交 C．m与n平行 D．m与n异面、相交、平行均有可能 √ 在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．故选D. (2)如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论： ①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线． 其中正确结论的序号是________． 直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线． ③④ 规律方法 点、线、面位置关系的判定 1．点、线、面位置关系的判定：注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体模型直观感知并认识空间点、线、面的位置关系． 2．两条直线异面的判定：反证法或利用异面直线的判定定理．　 √ 对点练2.(1)[多选题]下列推断中，正确的是 A．M∈α，M∈β，α∩β＝l⇒M∈l B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β ⇒α∩β＝AB C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合 对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，故A正确；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，故B正确；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，故C错误；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，故D正确．故选ABD. √ √ (2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 √ 由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾．故l至少与l1，l2中的一条相交． 若l与l1，l2中的一条相交，如图①所示，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；若l与l1，l2都相交，如图②所示，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．故选D. 考点三 异面直线所成的角 多维练 例3 在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝ ，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 √ 如图，连接BD1，交DB1于点O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角． 1．(变条件，变设问)若将本例中条件“AA1＝ ”变为“AA1＝2”，其他 条件不变，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为______． 变式探究 2．(变条件，变设问)若将本例中条件“AA1＝ ”变为“异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 ”，则AA1的值为_______． 3 规律方法 平移法求异面直线所成的角的三个步骤 一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； 二证：证明作出的角是异面直线所成的角； 三求：解三角形，求出所作的角．　　 √ 对点练3.(1)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 √ (2)在正方体ABCD -A1B1C1D1中，P，Q分别为BC，A1B1的中点，则异面直线PQ与A1C1所成角的正弦值为 如图，取AB的中点M，连接QM，MP，AC，设正方体 的棱长为2，由于M，P分别为AB，BC的中点，则MP∥ AC，又在正方体中，AC∥A1C1，因此可得A1C1∥MP， 故∠QPM(或其补角)即为异面直线PQ与A1C1所成的角， 返回 课时测评 返回 √ 1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为 A．4 B．3 C．2 D．1 首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．故选A. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2．若a∥α，b∥β，α∥β，则a，b的位置关系是 A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面或相交 如图①②③所示，a，b的关系分别是平行、异面、相交． 故选D. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3．(2024·湖南岳阳模拟)在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG＝P，则点P A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．在直线AC或BD上 D．不在直线AC上，也不在直线BD上 如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.故选B. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4．(2024·辽宁大连模拟)如图，两个正方形ABCD， ADEF不在同一个平面内，点P，Q分别为线段EF，CD的中点，则直线FQ与PB的关系是 A．相交 　　　　B．平行 C．异面 　　　　 D．不确定 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，取AB的中点G，连接GQ，GF，EQ，则GQ∥AD，又AD∥EF，所以GQ∥EF，则G，Q，E，F确定平面GQEF，又FQ⊂平面GQEF，P∈平面GQEF，P∉FQ，B∉平面GQEF，所以直线FQ与PB是异面直线．故选C. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5．[多选题]如图，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有 A．① B．② C．③ D．④ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，N∉GH，因此直线GH与MN异面；图③中，连接GM，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，G∉MN，因此直线GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．故选BD. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6．[多选题]已知直线l⊄平面α，直线m⊂平面α，则 A．若l与m不垂直，则l与α一定不垂直 B．若l与m所成的角为30°，则l与α所成的角也为30° C．l∥m是l∥α的充分不必要条件 D．若l与α相交，则l与m一定是异面直线 √ 对于A，当l与m不垂直时，假设l⊥α，因为m⊂α，则l⊥m，这与已知条件矛盾，因此l与α一定不垂直，故A正确；对于B，由线面角的定义可知，l与α所成的角是直线l与平面α内所有直线所成角中最小的角，若l与m所成的角为30°，则l与α所成的角θ满足0°≤θ≤30°，故B错误； 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，若l∥m，m⊂α，l⊄α，则l∥α，即l∥m⇒l∥α；若l∥α，因为m⊂α，则l与m平行或异面，即l∥α l∥m.所以l∥m是l∥α的充分不必要条件，故C正确；对于D，若l与α相交，则l与m相交或异面，故D错误．故选AC. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有_____对． 画出该正方体的直观图如图所示，易知异面直线有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF)．故共有3对． 3 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则： (1)当AC，BD满足条件__________时，四边形EFGH为菱形； 因为四边形EFGH为菱形，所以EF＝EH，所以AC＝BD. AC＝BD 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当AC，BD满足条件___________________时，四边形EFGH为正方形． 因为四边形EFGH为正方形，所以EF＝EH且EF⊥EH，因为EF∥AC，EH∥BD，且EF＝ AC，EH＝ BD，所以AC＝BD且AC⊥BD. AC＝BD且AC⊥BD 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：证明：因为G，H分别为FA，FD的中点， 所以GH∥ AD.又BC∥ AD，所以GH∥BC. 所以四边形BCHG为平行四边形． 9．(10分)如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝ AF，G，H分别为FA，FD的中点． (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：C，D，F，E四点共面，理由如下： 所以BE∥FG，所以四边形BEFG为平行四边形， 所以EF∥BG. 由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，所以EF与CH共面． 又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面． (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求： (1)三棱锥P-ABC的体积； 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)异面直线BC与AD所成角的余弦值． 解：如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC， 所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．(2024·河南商丘模拟)在正四棱锥P-ABCD中，M为棱AB上的点，且PA＝AB＝2AM，设平面PAD与平面PMC的交线为l，则异面直线l与BC所成角的正切值为 √ 如图，连接CM并延长交DA的延长线于点N，则点N 为平面PAD与平面PMC的公共点，所以l即为直线PN， 因为BC∥AD，所以∠PND(或其补角)为异面直线l与 BC所成的角．取DA的中点O，连接OP， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.[多选题]如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是 A．C1，M，O三点共线 B．C1，M，O，C四点共面 C．C1，O，B1，B四点共面 D．D1，D，O，M四点共面 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为O∈AC，AC⊂平面ACC1A1，所以O∈平面 ACC1A1.因为O∈BD，BD⊂平面C1BD，所以O ∈平面C1BD，所以O是平面ACC1A1和平面C1BD 的公共点．同理可得，点M和C1都是平面ACC1A1 和平面C1BD的公共点，所以C1，M，O三点在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，故A，B正确；根据异面直线的判定定理可得BB1与C1O为异面直线，故C1，O，B1，B四点不共面，故C不正确；根据异面直线的判定定理可得DD1与MO为异面直线，故D1，D，O，M四点不共面，故D不正确．故选AB. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．如图所示，已知空间四边形ABCD中，AC与BD所成角为60°，且AC＝BD＝2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF＝________. 如图，取CD的中点G，连接EG，FG，由题可知，EG∥BD，FG∥AC， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n的最大值为________． 正方体共有8个顶点，若选出的n条线两两异面，则 不能共顶点，即至多可选出4条，又可以选出4条两 两异面的线(如图AC，BC′，B′D′，A′D)，故所求n的 最大值是4. 4 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 15．[多选题](2024·重庆模拟)如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是 A．AB1 B．A1C C．A1A D．AD1 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，当P为BC1的中点时，OP∥AB1，故A错误； 对于B，因为A1C⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C， O∉A1C，P∉平面AA1C1C，所以直线A1C与直线OP 一定是异面直线，故B正确；对于C，因为A1A⊂平 面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1A，P∉平面 AA1C1C，所以直线A1A与直线OP一定是异面直线，故C正确；对于D，因为AD1⊂平面AD1C，O∈平面AD1C，O∉AD1，P∉平面AD1C，所以直线AD1与直线OP一定是异面直线，故D正确．故选BCD. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(学科融合)[多选题]在通用技术课上，某小组将 一个直三棱柱ABC-A1B1C1展开，得到的平面图如图 所示，其中AB＝4，AC＝3，BC＝AA1＝5，M是BB1 上的点，则 A．AM与A1C1是异面直线 B．AC⊥A1M C．平面AB1C将三棱柱截成两个四面体 D．A1M＋MC的最小值是 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 由题设可得直三棱柱，如图①所示．由直三棱柱的结构特征知，AM与A1C1是异面直线，故A正确；因为AA1⊥AC，BA⊥AC，且AA1∩BA＝A，则AC⊥平面AA1B1B，因为A1M⊂平面AA1B1B，所以AC⊥A1M，故B正确；由图①所示知，平面AB1C将三棱柱截成四棱锥B1-ACC1A1和三棱锥B1-ABC，一个五面体和一个四面体，故C错误；将平面AA1B1B和平面CC1B1B展开成一个平面，如图②所示，当A1，M，C共线时，A1M＋MC取得最小值， 且最小值为，故D正确．故选ABD. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢谢观看 本节到此结束 因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B，且EF＝A1B. 由(1)知EF∥CD1，且EF＝CD1， A. B. C. D. 因为在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝， AD1＝＝2，DM＝＝，DB1＝ ＝，所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝， 于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝＝.故异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.故选C. 如图，连接A1C1，BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1(或其补角)为异面直线A1B与AD1所成的角．由AB＝BC＝1，AA1＝2，易得A1C1＝，A1B＝BC1＝，所以cos∠A1BC1＝＝.故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为. 设AA1＝t，因为AB＝BC＝1，所以A1C1＝，A1B＝BC1＝.因为AD1∥BC1，所以∠A1BC1为异面直线A1B与AD1所成的角(或其补角)，所以|cos∠A1BC1|＝＝＝，解得t＝3，则AA1＝3. A. B. C. D. 如图，过点E作圆柱的母线交下底面于点F，连接AF， 易知F为的中点，设四边形ABCD的边长为2，则 EF＝2，AF＝，所以AE＝＝.连接ED， 则ED＝.因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所 成角即为∠EAD(或其补角)．在△EAD中，cos∠EAD＝＝，所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为.故选D. A. B. C. D. 因为QM∥AA1，所以QM⊥平面ABCD，因为MP⊂平面ABCD，所以QM⊥MP，在Rt△QMP中，sin∠QPM＝＝＝，所以异面直线PQ与A1C1所成角的正弦值为.故选C. 因为BE∥AF，G是FA的中点， 解：S△ABC＝×2×2＝2， 三棱锥P-ABC的体积V＝S△ABC·PA＝×2×2＝. 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为. 因为PA⊥平面ABC，∠BAC＝，所以PB＝＝2，PC＝＝4，BC＝＝4，所以在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2， cos∠ADE＝＝＝. A. B. C. D. 则OP⊥AD，设PA＝AB＝2AM＝2，则OA＝1，OP＝，ON＝3.所以tan ∠PND＝＝，所以异面直线l与BC所成角的正切值为.故选B. 1或 所以EF＝.综上，EF＝1或EF＝. EG＝BD＝1，FG＝AC＝1.因为AC与BD所成的角 为，所以∠FGE＝或∠FGE＝π－＝，当∠FGE ＝时，△FGE为等边三角形，所以EF＝1；当∠FGE ＝时，由余弦定理得，EF2＝EG2＋GF2－2EG·GF·cos∠FGE＝1＋1－2×1×1×＝3， $$