第7章 第2节 球的切、接问题(培优课)（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教版2019）

第二节　球的切、接问题(培优课10) 第七章　立体几何与空间向量 球的切、接问题，是历年高考的热点内容，经常以客观题出现．一般围绕球与其他几何体的内切、外接命题，考查球的体积与表面积，其关键点是确定球心． CONTECT 内 容 索 引 01 技法一 定义法 02 技法二 补形法 04 课 时 测 评 03 技法三 截面法 技法一 定义法 返回 (1)在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝2 ，AC＝4，∠BAC＝45°，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是 A．14π B．16π C．18π D．20π 例1 √ (2)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 和4 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A．100π B．128π C．144π D．192π √ 规律方法 到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．　　 √ 对点练1.(2024·四川宜宾模拟)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为 A ． B．2 C. D．3 返回 技法二 补形法 返回 (1)(2024·山东德州模拟)在三棱锥A-BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，若△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为 ， ， ，则三棱锥A-BCD的外接球的体积为 A. π B．2 π C．3 π D．4 π 例2 √ (2)已知在三棱锥P-ABC中，AC＝，BC＝1，AC⊥BC且PA＝2PB，PB⊥平面ABC，则其外接球体积为 A. B．4π C. D．4 π √ 规律方法 1．补形法的解题策略 (1)侧面为直角三角形，或对棱均相等的模型和正四面体，可以还原到长方体或正方体中去求解． (2)直三棱锥可以补成三棱柱求解． 2．正方体与球的切、接问题的常用结论 正方体的棱长为a，球的半径为R， (1)若球为正方体的外接球，则2R＝ a. (2)若球为正方体的内切球，则2R＝a. (3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝ a. 3．若长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R ＝ .　　 对点练2.(1)棱长为a的正四面体的体积与其内切球体积之比为________． (2)如图，在多面体中，四边形ABCD为矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那 么添加的三棱锥的体积为________，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为________． 6π 返回 技法三 截面法 返回 (1)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球 的体积为________． 例3 (2)(2024·河南三门峡模拟)四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的表面上，△PAD是等边三角形，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，若AB＝2，BC＝3，则球O的表面积为________． 16π 规律方法 与球截面有关的解题策略 1．定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到顶点的距离相等且为半径． 2．作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的． 提醒：正四面体的外接球的半径R＝ a，内切球的半径r＝ a，其半径之比R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长)．　 对点练3.(1)如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1是一块石材，测量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为 √ √ (2)半球内放三个半径为 的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是 返回 课时测评 返回 √ 1．已知一个棱长为2的正方体的顶点都在某球面上，则该球体的体积为 π B．4 π C．8π D．12π 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2．在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝1，PB＝2，PC＝3，则该三棱锥的外接球的表面积为 A. π B．56π C. π D．14π 如图，将三棱锥P-ABC补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球，设球的半径为R，则4R2＝(2R)2＝PA2＋PB2＋PC2＝14，所以球的表面积为S＝4πR2＝14π.故选D. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3．已知圆台O1O2上底面圆O1的半径为2，下底面圆O2的半径为2 ，圆台的外接球的球心为O，半径为R，且球心在圆台的轴O1O2上，满足O1O＝3OO2，则圆台O1O2的外接球的表面积为 A．32π B．34π C．35π D．38π 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为 A．π B．2π C．3π D．4π 过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外接圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意得⊙O1的半径为r＝1，所以△ABC的边长为2 ，所以圆锥的底面半径为 ，高为3，所以V＝ ×π×3×3＝3π.故选C. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为 的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6．(数学文化)“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则该多面体外接球的体积为 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 7．[多选题](2024·河北承德模拟)在正四棱锥P-ABCD中，若侧面与底面所成的角为，底面正方形的边长为2，则下列说法正确的是 A．正四棱锥外接球的表面积是 B．正四棱锥内切球的体积是 C．正四棱锥的体积为4 D．正四棱锥外接球的半径R与内切球的半径r之比为 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．[多选题]已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB⊥AC，AB＝2，AC＝2 ，点D为AB的中点，过点D作球O的截面，则截面的面积可以是 A ． B．π C ．9π D．13π √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．(2023·全国甲卷(文))在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的 中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围 是____________． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(2023·全国乙卷(文))已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝______. 2 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．(2024·广西河池模拟)在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 A．8π B．12π C．20π D．24π √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为 A．3π B．4π C．9π D．12π √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(2023·全国甲卷)在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别为CD，A1B1的中点．以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有________个公共点． 12 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．[多选题]已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为 －1，则下列说法中正确的是 A．正方体的外接球的表面积为12π B．正方体的内切球的体积为 C．正方体的棱长为2 D．线段MN的最大值为2 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(2024·河南濮阳模拟)在三棱锥D -ABC中，AB＝BC＝2，AC＝2，BD＝4，BD⊥平面ABC，则三棱锥D -ABC外接球的表面积为________． 32π 因为BD⊥平面ABC，故可将三棱锥补为直三棱柱，如图所示， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 因为AB＝BC＝2，AC＝2 ，故三棱柱的上、下底面三角形的外接圆圆心在底边中线的延长线上，设为O1，O2，易得∠O1BC＝60°，故O1B＝O1C＝BC＝2，所以三棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点O，即为三棱锥D-ABC的外接球球心，设该外接球半径为R，则在Rt△OCO1中，R2＝ 2＋22＝8，故三棱锥D-ABC外接球的表面积为4πR2＝32π. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢谢观看 本节到此结束 在△BAC中，∠BAC＝45°，AB＝2，AC＝4，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 45°＝8＋16－2×2×4×＝8，则BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB， 由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC，又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，所以△PBC为直角三角形，又△PAC为直角三角形，所以PC是三棱锥P-ABC外接球直径，设O是PC的中点，即为球心，又AC＝4，PA＝2，所以PC＝＝＝2，所以外接球半径为，所以所求外接球的表面积S＝4π×()2＝20π.故选D. 由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2(图略)，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上． 设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋OO＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋OO＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π.综上，该球的表面积为100π.故选A. 由题意作图如图，过球心O作平面ABC的垂线， 则垂足为BC的中点M.因为AB＝3，AC＝4， AB⊥AC，所以BC＝5，又AM＝BC＝，OM ＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝＝.故选C. 设AB，AC，AD的长度分别为a，b，c，由题意得 解得因为三条侧棱两两垂直，所以以a，b，c为边长的长方体的体对角线长就是三棱锥的外接球的直径长，所以R＝＝，故所求外接球的体积为·3＝π.故选A. AB＝＝，设PB＝h，则由PA＝2PB， 可得＝2h，解得h＝1，可将三棱锥P-ABC 还原成如图所示的长方体，则三棱锥P-ABC的外接 球即为长方体的外接球，设外接球的半径为R，则2R＝ ＝2，R＝1，所以其外接球的体积V＝R3＝.故选A. 如图，将正四面体放入正方体中，显然正四面体内切 球的球心O(也是外接球的球心)、△BCD的中心O1都 在正方体的体对角线上，因为正四面体的棱长为a，则 |AO|＝a，|DO1|＝a，又|O1A|＝＝a， 所以内切球半径|OO1|＝a，所以＝＝. 如图，添加的三棱锥为直三棱锥E-ADF，可以将该多面体补成一个直三棱柱ADF-BCE，因为CE⊥平面ABCD，所以CE⊥DC，又DC⊥CB，所以DC⊥平面BCE，故该三棱柱为直三棱柱．又AB＝2，BC＝CE＝1，所以S△BCE＝CE×BC＝×1×1＝，直三棱柱ADF-BCE的体积V＝S△BCE·AB＝×2＝1，添加的三棱锥的体积为V＝. 法一：如图，分别取AF，BE的中点M，N，连接MN， 与AE交于点O，因为四边形AFEB为矩形，所以O为 AE，MN的中点，在直三棱柱ADF-BCE中，CE⊥平面 ABCD，所以FD⊥平面ABCD，即∠ECB＝∠FDA＝90°， 所以上、下底面为等腰直角三角形，直三棱柱的外接球 的球心即为点O，AO即为球的半径，因为AM＝AF＝，MO＝1，所以AO2＝AM2＋MO2＝＋1＝，所以外接球的表面积为4π·AO2＝6π. 法二：因为CE，CB，CD两两垂直，故可将直三棱柱ADF-BCE补成长方体(图略)，设外接球的半径为R，则4R2＝12＋12＋22＝6，所以外接球的表面积S＝4πR2＝6π. 圆锥内的球半径最大时的轴截面如图所示，其中O1， M为切点，球心为O，设其半径为r，因为AC＝3， O1C＝1，所以AO1＝＝2.因为OO1＝ OM＝r，所以AO＝AO1－OO1＝2－r，又因为 △AMO∽△AO1C，所以＝，即＝， 解得r＝.所以该圆锥内半径最大的球的体积V＝π×3＝. 如图，连接AC，BD，AC∩BD＝G，取AD的中点E，连接PE.因为四边形ABCD为矩形，所以G为四边形ABCD的外接圆圆心；在线段PE上取ME＝PE，因为△PAD为等边三角形，所以M为△PAD外接圆圆心， 过G，M分别作平面ABCD和平面PAD的垂线， 则两垂线的交点即为球O的球心O，连接OP， 因为△PAD为等边三角形，所以PE⊥AD，因为 平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD ＝AD，PE⊂平面PAD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE∥OG，同理可得，OM∥EG，所以四边形OMEG为矩形，所以OM＝EG＝AB＝1，PM＝PE＝× ＝，所以OP＝＝2，即球O的半径R＝2，所以球O的表面积S＝4πR2＝16π. A. ，4 B. ，3 C．6π，4 D. ，3 依题意知，当健身手球与直三棱柱的三个侧面均相切时，健身手球的体积最大．易知AC＝＝10，设健身手球的半径为R，则×(6＋8＋10)×R＝×6×8，解得R＝2，则健身手球的最大直径为4.因为AA1＝13，所以最多可加工3个健身手球，所以一个健身手球的最大体积V＝πR3＝π×23＝.故选D. A．1＋ B.＋ C.＋ D.＋ 三个小球的球心O1，O2，O3构成边长为2的正 三角形，则其外接圆半径为2.设半球的球心为O， 小球O1与半球底面切于点A.如图，经过点O， O1，A作半球的截面，则半圆⊙O的半径为OC， OC⊥OA，作O1B⊥OC于点B，则OA＝O1B＝2.设该半球的半径是R，在Rt△OAO1中，由(R－)2＝22＋()2可得R＝＋.故选D. 因为正方体的体对角线等于外接球的直径，且正方体的棱长为2，故该球体的直径2R＝＝2，所以R＝.故该球体的体积V＝πR3＝4π.故选B. 由题知O1O＝，OO2＝，且O1O＝3OO2，得R2－4＝9R2－72，解得R2＝，所以球O的表面积为4πR2＝34π.故选B. A．6 B．12 C．18 D．24 根据已知可得球的半径等于1，故三棱柱的高等于2，底面三角形内切圆的半径等于1，即底面三角形的高等于3，边长等于2，所以这个三棱柱的表面积等于3×2×2＋2××2×3＝18.故选C. A．π B．π C．4π D．8π 将该多面体放入正方体中，如图所示．由于多面体的棱长为1，所以正方体的棱长为，因为该多面体是由棱长为的正方体连接各棱中点所得，所以该多面体外接球的球心为正方体体对角线的中点，其外接球直径等于正方体的面对角线长，即2R＝，所以R＝1，所以该多面体外接球的体积V＝πR3＝π.故选A. 如图，O1为底面ABCD的中心，O为正四棱锥P-ABCD的外接球的球心，由正方形ABCD的边长为2，侧面与底面所成的角为，可知PO1＝，斜高h＝2，则OO1＝－R，O1B＝，VP-ABCD＝×2×2×＝，故C错误； 在Rt△OO1B中，OO＋O1B2＝OB2，即(－R)2＋2＝R2，解得R＝，则正四棱锥外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×2＝，故A错误；由VP-ABCD＝××r＝，解得r＝，所以正四棱锥内切球的体积为V＝πr3＝π×3＝，故B正确；由上知＝，故D正确．故选BD. 三棱锥P-ABC的外接球即为以AB，AC，AP为邻边的长方体的外接球，所以2R＝＝2，所以R＝，取BC的中点O1，所以O1为△ABC的外接圆圆心， 所以OO1⊥平面ABC，且OO1＝3，如图．当OD⊥截面时，截面的面积最小，因为OD＝＝ ＝2，此时截面圆的半径为r＝＝1，所以截面面积为πr2＝π，当截面过球心时，截面圆的面积最大为πR2＝13π，故截面面积的取值范围是[π，13π]．故选BCD. [2，2] 设球的半径为R.当球是正方体的外接球时，恰好经 过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半 径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有 交点，正方体的外接球直径2R′为体对角线长AC1＝ ＝4，即2R′＝4，R′＝2，故Rmax＝2； 分别取侧棱AA1，BB1，CC1，DD1的中点M，H，G，N，显然四边形MNGH是边长为 4的正方形，且O为正方形MNGH的对角线交点，连接MG，则MG＝4，当球的一个大圆恰好是四边形MNGH的外接圆时，球的半径达到最小，即R的最小值为2.综上，R∈[2，2]． 如图，设△ABC的外接圆圆心为O1，半径为r ， 则2r＝＝＝2，可得r＝， 设三棱锥S -ABC的外接球球心为O，连接OA，OO1，O1A，则OA＝2，OO1＝SA，因为OO1⊥O1A，所以OA2＝OO＋O1A2，即4＝SA2＋3，解得SA＝2. 如图，由于三棱锥P-ABC的四个面都为直角三角形，则△ABC是直角三角形，且∠ABC＝，所以BC＝＝2.又PA⊥平面ABC，且△PAC是直角三角形，所以球O的直径为PC＝2R＝＝＝2，所以R＝，故球O的表面积为S＝4πR2＝20π.故选C. 如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，设圆锥 AD和圆锥BD的高之比为3∶1，即AD＝3BD，设球 的半径为R，则＝，可得R＝2，所以AB＝ AD＋BD＝4BD＝4，所以BD＝1，AD＝3，所以OD＝1，CD＝，因此，这两个圆锥的体积之和为π×CD2·(AD＋BD)＝π×3×4＝4π.故选B. A. B. C. D. 该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点O组成的圆锥体积最大．设圆锥的高为h(0<h<1)，底面半径为r，则圆锥的体积V＝πr2h＝π(1－h2)h，则V′＝π(1－3h2)，令V′＝π(1－3h2)＝0，得h＝，所以V＝π(1－h2)h在上单调递增，在上单调递减，所以当h＝时，四棱锥的体积最大．故选C. 不妨设正方体棱长为2，EF中点为O，取AB，BB1 中点G，M，侧面BB1C1C的中心为N，连接FG， EG，OM，ON，MN，如图，由题意可知，O为球心， 在正方体中，EF＝＝＝2，即 R＝，又球心O到BB1的距离为OM＝ ＝＝，所以球O与棱BB1相切，球面与棱BB1只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，所以以EF为直径的球面与正方体的棱的交点总数为 12. 设正方体的棱长为a，则正方体外接球的半径为体对角线长的一半，即a；内切球的半径为棱长的一半，即.因为M，N分别为外接球和内切球上的动点，所以MNmin＝a－＝a＝－1，解得a＝2，即正方体的棱长为2，所以正方体外接球的表面积为4π×()2＝12π，内切球的体积为，则A，B，C正确；线段MN的最大值为＋1，则D错误．故选ABC. $$