8.6 双曲线（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§8.6　双曲线 第八章　直线与圆、圆锥曲线 课程标准 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实 际问题中的作用．　 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何 性质．　 3.通过双曲线的学习，进一步体会数形结合思想． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 返回 微提醒　在数学表达式||MF1|－|MF2||＝2a中： 若2a＝|F1F2|时，则动点的轨迹为两条射线； 若2a>|F1F2|时，则动点的轨迹不存在． 理清主干知识 1．双曲线的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的 轨迹为 双曲线 __________叫作双曲线的焦点 ____________叫作双曲线的焦距 ___________________________ 2a＜|F1F2| ||MF1|－|MF2||＝2a F1，F2 |F1F2| 2．双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 图形 性 质 焦点 ________________________ ________________________ 焦距 ________________ 范围 ________或______，y∈R ________或______，x∈R 对称性 对称轴：________；对称中心：______ F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) |F1F2|＝2c x≤－a x≥a y≤－a y≥a 坐标轴 原点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) A1A2 2a 2b a b a2＋b2 记牢常用结论 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 练透教材典题 1．[多选题]下列说法中正确的是 A．平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线 √ √ √ √ 返回 考点探究　精准突破 返回 返回 考点一 双曲线的定义及其应用 综合练 例1 √ (2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________． 变式探究 2 规律方法 1．利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程． 2．在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．　　 √ 4 考点二 双曲线的标准方程 基础练 例2 (1)已知圆C1：(x－4)2＋y2＝25，圆C2：(x＋4)2＋y2＝1，动圆M 与C1，C2 都外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 √ √ 规律方法 求双曲线标准方程的常用方法 1．定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2 的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程． √ √ 考点三 双曲线的简单几何性质 多维练 例3 双曲线的渐近线问题 √ √ 例4 角度2　双曲线的离心率问题 √ 例5 √ 规律方法 1．求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解； (2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解． 　　 规律方法 3．与双曲线有关的取值范围问题的解题思路 (1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解； (2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助双曲线中不等关系来解决．　　 √ √ 返回 课时测评 返回 返回 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．(数学建模)(2024·江西九江一模)在几何学中，单叶双曲面是通过围绕其主轴旋转双曲线而产生的表面．由于有良好的稳定性和漂亮的外观，单叶双曲面常常应用于一些大型的建筑结构，如发电厂的冷却塔．已知某发电厂的冷却塔的立体图如图所示，塔的总高度为150 m，塔顶直径为80 m，塔的最小直径(喉部直径)为60 m，喉部标高(标高是地面或建筑物上的一点和作为基准的水平面之间的垂直距离)为110 m，则该双曲线的离心率约为(精确到0.01) A．2.14 B．1.81 C．1.73 D．1.41 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(12分)(2024·湖南湘潭模拟)在①双曲线E 的焦点在x 轴上；②双曲线E 的焦点在y 轴上，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答． 已知双曲线C 的对称轴为坐标轴，且C 经过点A(0， )，B(1，3). (1)求双曲线C的标准方程； 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若双曲线E与双曲线C 的渐近线相同，________，且E 的焦距为4，求双曲线E 的实轴长． 注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以MF1⊥MF2. 设|MF1|＝m，|MF2|＝n， 由双曲线的定义知m－n＝2a＝8.① 在Rt△F1MF2中， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，② 由①②得m·n＝8. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢谢观看 本节到此结束 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 性 质 顶点 ________________________ ________________________ 轴 实轴：线段________，长：____；虚轴：线段B1B2，长：____；实半轴长：___，虚半轴长：___ 离心率 e＝_____________ 渐近线 ________ ________ a，b，c的关系 c2＝________(c>a>0，c>b>0) ∈(1，＋∞) y＝±x y＝±x 微提醒　(1)在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负：若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”．(2)离心率e＝＝＝，e越大，开口越大． 3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为. 4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2. 5．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0). B．方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线 C．双曲线－＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是±＝0 D．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2．(链接人A选择性必修一P121T3)[多选题]若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个结论中正确的是 A．若C为椭圆，则1<t<3 B．若C为双曲线，则t>3或t<1 C．曲线C可能是圆 D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1<t<2 若C为椭圆，则有解得1<t<3且t≠2，故A不正确；若C为双曲线，则(3－t) (t－1)<0，解得t<1或t>3，故B正确；当3－t＝t－1>0，即t＝2时，曲线C可表示圆，故C正确；若C为椭圆，且长轴在y轴上，则t－1>3－t>0，解得2<t<3，故D不正确．故选BC． 3．(链接北师选择性必修一P66T4)以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为________． 2或 若双曲线的焦点在x 轴上，有＝，则c＝2a，此时e＝2.若双曲线的焦点在y 轴上，有＝，则c＝a，此时e＝.综上，e＝2或e＝. 因为一个焦点到一条渐近线的距离为2，所以b＝2，故可知 所以 故双曲线的标准方程为－＝1. 4．(用结论)(2024·河南信阳模拟)若双曲线C 的标准方程为－＝1， P 为C 上一点，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线的标准方程为_________． －＝1 (1)(2024·山东滨州模拟)－＝4表示的曲线方程为 A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2) C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2) 的几何意义为点M(x，y)到点F1(0，3)的距离，的几何意义为点M(x，y)到点F2(0，－3)的距离，则－＝4表示点M(x，y)到点F1(0，3)的距离与到点F2(0，－3)的距离的差为4，且4<|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝5，则－＝4表示的曲线方程为－＝1(y≤－2).故选C． 2 法一(通解)：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝2c＝4，所以(|PF1|－|PF2|)2＝8，即|PF1|2＋|PF2|2＝8＋2|PF1||PF2|.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝，所以|PF1|·|PF2|＝8，所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2. 法二(速解): 由S△PF1F2＝，得S△PF1F2＝＝2. (变条件)在本例(2)中，若将“∠F1PF2＝60°”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积为________． 不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，因为·＝0，所以⊥，所以在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|· |PF2|＝4，所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝2.(或者S△F1PF2＝＝2.) 对点练1.(1)(2024·河南许昌模拟)已知双曲线C：－＝1 的左焦点为F1，M 为双曲线C 右支上任意一点，D 点的坐标为，则|MD|－|MF1| 的最大值为 A．3 B．1 C．－3 D．－2 双曲线C的实半轴长为a＝2，右焦点为F2(3，0)，所以|MD|－|MF1|＝|MD|－(|MF2|＋2a) ＝(|MD|－|MF2|)－2a≤|F2D|－2a ＝－4＝－3，当且仅当M 为DF2 的延长线与双曲线交点时取等号．故选C． (2)(2024·江苏南京调研)双曲线x2－＝1的右焦点为F，点P，Q在双曲线上，且关于原点对称．若PF⊥QF，则△PQF的面积为________． 法一：由题意，得a＝1，b＝2，c＝.设该双曲线的左焦点为F1，连接PF1，QF1(图略)，因为PF⊥QF，P，Q关于原点对称，所以不妨设点P在第一象限，则由双曲线的对称性可得四边形PF1QF为矩形，所以|PQ|＝|F1F|＝2，|QF|＝|PF1|.由双曲线的定义可得|PF1|－|PF|＝2，所以|QF|－|PF|＝2　①.又|PF|2＋|QF|2＝|PQ|2＝20　②，所以联立①②可得|PF|·|QF|＝8，所以△PQF的面积S＝|PF|·|QF|＝4. 法二：由S＝得，S＝＝4. A．－＝1(x<0) B．－＝1(x>0) C．－＝1(x<0) D．－＝1(x>0) 设动圆M 的半径为r，由题意知，|MC1|＝r＋5，|MC2|＝r＋1，则|MC1|－|MC2|＝4<|C1C2|＝8，所以M 点的轨迹是以C1，C2 为焦点的双曲线的左支，且a＝2，c＝4，则b2＝12，则动圆圆心M 的轨迹方程为－＝1(x<0).故选A． (2) (2023·天津卷)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为 A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 法一：不妨取渐近线y＝x，此时直线PF2的方程为y＝－(x－c)，与y＝x联立并解得即P(，)．因为直线PF2与渐近线y＝x垂直，所以PF2的长度即为点F2(c，0)到直线y＝x(即bx－ay＝0)的距离，由点到直线的距离公式得|PF2|＝＝＝b，所以b＝2.因为F1(－c，0)，P(，)，且直线PF1的斜率为，所以＝，化简得＝，又b＝2，c2＝a2＋b2，所以＝，整理得a2－2a＋2＝0，即(a－)2＝0，解得a＝.所以双曲线的方程为－＝1，故选D． 法二：因为过点F2向其中一条渐近线作垂线，垂足为P，且|PF2|＝2，所以b＝2，再结合选项，排除选项B，C；若双曲线方程为－＝1，则F1(－2，0)，F2(2，0)，渐近线方程为y＝±x，不妨取渐近线y＝x，则直线PF2的方程为y＝－(x－2)，与渐近线方程y＝x联立，得P(，)，则kPF1＝，又直线PF1的斜率为，所以双曲线方程－＝1不符合题意，排除A．故选D． 2．待定系数法：先确定焦点在x 轴上还是y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2 的值，即“先定型，再定量”．如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0) 或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解．　　 对点练2.(1)[多选题]已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为 A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 设双曲线方程为－＝1(m≠0)，又2a＝4，所以a2＝4，当m>0时，2m＝4，m＝2；当m<0时，－m＝4，m＝－4.故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.故选AB． (2)经过点P(3，2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为__________． －＝1 设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，因为所求双曲线经过点P(3，2)，Q(－6，7)，所以解得故所求双曲线的标准方程为－＝1. (1)(2024·吉林长春模拟)由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线－＝1(a>0，b>0)下支的部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为 A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，下焦点为(0，－c)，因为双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，所以＝＝b＝2，因为焦距为，所以c＝，所以a＝＝＝，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选B． (2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为－3的直线与双曲线在第二象限交于点A，M为AF2的中点，且·＝0，则双曲线C的渐近线方程是 A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 由kAF1＝－3，即tan∠AF1F2＝－3，又tan∠AF1F2＝，且sin2∠AF1F2＋cos2∠AF1F2＝1，解得cos∠AF1F2＝－或cos∠AF1F2＝(舍去)，由MF1⊥MF2且M为AF2的中点，知|AF1|＝|F1F2|＝2c，所以|AF2|2＝4c2＋4c2－2·2c·2c·＝9c2，所以|AF2|＝3c，所以2a＝|AF2|－|AF1|＝c，又c2＝a2＋b2，所以b＝a，所以渐近线方程为y＝±x.故选A． (2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y 轴上，⊥，＝－，则C的离心率为________． 法一：依题意，设|AF2|＝2m，则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，|AB|＝5m，在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a，故cos∠F1AF2＝＝＝，所以在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝＝，整理得5c2＝9a2，故e＝＝. 法二：依题意，得F1(－c，0)，F2(c，0)，令A(x0，y0)，B(0，t)，因为＝－，所以(x0－c，y0)＝－(－c，t)，则x0＝c，y0＝－t，又⊥，所以·＝(c，t)＝c2－t2＝0，则t2＝4c2，又点A在C上，则－＝1，整理得－＝1，则－＝1，所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，即25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2(c2－a2)，整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，则(5c2－9a2)(5c2－a2)＝0，解得5c2＝9a2或5c2＝a2，又e>1，所以e＝或e＝(舍去)，故e＝. (1)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为 A．(1，2) B．(1，3) C．(3，＋∞) D．(2，3) 角度3　与双曲线有关的范围(最值)问题 在△PF1F2中，sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理得，|PF1|＝3|PF2|，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，得3a＋a>2c，即2a>c，所以e＝<2，又e>1，所以1<e<2.故选A． (2) (2024·安徽黄山模拟)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，若在双曲线C左支上存在点P使得PA⊥PB，则该双曲线的离心率的取值范围是 A．(1，3] B．[3，＋∞) C．(1，2] D．[2，＋∞) 将x＝c代入双曲线C的方程可得－＝1，可得y＝±，不妨取点A，B，设点P(x，y)，其中x≤－a，且y2＝－b2，＝，＝，因为PA⊥PB，所以·＝(x－c)2＋y2－＝x2－2cx＋c2＋x2－b2－＝x2－2cx＋a2－＝2－＝0，因为x≤－a，则x－a<0，所以x－a＝－，可得x＝＝＝≤－a，即c2－ac－2a2≥0，整理可得e2－e－2≥0，因为e>1，解得e≥2.故选D． 2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线可由－＝0，即得两渐近线方程±＝0. 对点练3.(1)(2024·九省适应性测试)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，·＝4a2，则C的离心率为 A． B．2 C． D． 由双曲线的对称性可知|F1A|＝|F2B|，|F1B|＝|F2A|，有四边形AF1BF2为平行四边形，令|F1A|＝|F2B|＝m，则|F1B|＝|F2A|＝2m，由双曲线定义可知|F2A|－|F1A|＝2a，故有2m－m＝2a，即m＝2a，即|F1A|＝|F2B|＝m＝2a，|F1B|＝|F2A|＝4a，·＝||·||cos∠AF2B＝2a×4acos∠AF2B＝4a2，则cos∠AF2B＝，即∠AF2B＝，故 ∠F2BF1＝，则有cos∠F2BF1＝＝＝－，即＝－，即－＝－，则e2＝7，由e>1，故e＝.故选D． (2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点Q为双曲线左支上一动点，圆x2＋y2＝1与y轴的一个交点为P，若|QF|＋|PQ|≥8，则双曲线离心率的最大值为 A． B． C． D．2 设双曲线的左焦点为F′，则|QF|＝|QF′|＋2a，所以|QF|＋|PQ|＝|QF′|＋|PQ|＋2a≥|PF′|＋2a，由题意可得|PF|＝|PF′|＝＝5，所以5＋2a≥8，a≥，所以e＝＝≤.故选A． (3)(2024·浙江杭州模拟)设F1，F2 是双曲线C：－＝1(a>0，b>0) 的左、右焦点，P 是双曲线C右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C 的渐近线方程为___________． x±2y＝0 由题意可得|PF1|－|PF2|＝2a.又|PF1|＋|PF2|＝4a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a.在△PF1F2中，由余弦定理的推论可得cos 60°＝，即＝，所以4c2＝7a2.又b2＋a2＝c2，所以＝，所以双曲线C 的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0. 1．(2024·云南大理模拟)双曲线－＝1的两条渐近线的夹角为　　　 A．30° B．45° C．60° D．120° 由双曲线－＝1，可得a＝，b＝3，所以双曲线的渐近线的方程为y＝±x＝±x，所以两渐近线y＝±x的夹角为60°.故选C． 建立如图所示的直角坐标系，设双曲线标准方程为 －＝1(a>0，b>0)，根据题意，可得2a＝60，所 以a＝30，由塔的总高度为150 m，塔顶直径为80 m， 塔的最小直径为60 m，喉部标高为110 m，可得点A (40，40)在该双曲线上，－＝1，可得b2＝，所以c2＝a2＋b2＝302＋＝，可得e2＝＝∈(3，4)，所以e∈(，2)，结合选项，可得B项符合题意．故选B． 3．(2024·福建厦门模拟)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，平行于x轴的直线l分别交C的渐近线和右支于点A，B，且∠OAF＝90°，∠OBF＝∠OFB，则C的离心率为 A． B． C． D． 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.设B(m，n)，联立方程组解得A.因为∠OAF＝90°，所以kAF·kOA＝－1，即·＝－1，可得n＝. 又因为点B(m，n)在双曲线C上，所以－＝1，将n＝代入，可得m2＝，由∠OBF＝∠OFB，所以|OB|＝|OF|，所以m2＋n2＝c2，即＋＝c2，化简得2a2＝c2，则e＝＝，所以双曲线的离心率为.故选B． 4．[多选题]已知双曲线E：－＝1(a>0)经过点P，则下列结论正确的是 A．E的实轴长为2 B．E的焦距为4 C．E的离心率为 D．E的渐近线方程是y＝±x 由题意得－＝1，得a＝2，即双曲线E 的方程为－＝1.所以双曲线E 的实轴长是4，焦距是4，离心率为＝，渐近线方程是y＝±x.故B，C 正确，A，D 错误．故选BC． 5．[多选题](2024·广西柳州模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的上焦点为F，过焦点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，并与另一条渐近线交于点B，若sin∠ABO＝，则C的离心率可能为 A． B． C． D． 当a＝b时，两渐近线的斜率为±1，此时直线AF与另 一渐近线平行，不满足题意．当a>b时，如图①所示， 因为sin∠ABO＝＝，所以cos 2∠BOF＝cos∠BOA ＝＝.所以2cos2∠BOF－1＝，又0<∠BOF<，解 得cos∠BOF＝，所以sin∠BOF＝，所以sin∠BOx＝， cos ∠BOx＝，所以tan∠BOx＝，即渐近线OB的斜率为＝，所以e＝＝＝. 当a<b时，如图②所示，设BF与x轴交于点P, 因为 sin∠ABO＝＝，所以cos 2∠BOP＝cos∠BOA＝ ＝，所以2cos2∠BOP－1＝，又0<∠BOP<，解得 cos∠BOP＝，所以sin∠BOP＝，所以tan∠BOP ＝，即渐近线OB的斜率为＝，所以e＝＝＝.综上，双曲线C的离心率为或.故选AC． 6．[多选题](2024·湖南名校考前演练)已知O为坐标原点，F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线E的右支上一点，若|PF1|－|PF2|＝8，双曲线E的离心率为，则下列结论正确的是 A．双曲线E的标准方程为－＝1 B．双曲线E的渐近线方程为2x±y＝0 C．点P到两条渐近线的距离之积为 D．若直线PF1与双曲线E的另一支交于点M，点N为PM的中点，则kON·kMP＝ 由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝8＝2a，故a＝4，由＝得c＝2，所以b2＝c2－a2＝4，所以双曲线E的标准方程为－＝1，渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，所以A正确，B不正确；设P(x1，y1)，则点P到两条渐近线的距离之积为·＝＝，所以C正确；设M(x2，y2)，N(x0，y0)，因为P，M在双曲线E上，所以－＝1　①，－＝1　②，①－②并整理得＝，即＝，所以kON·kMP＝·＝·＝，所以D正确．故选ACD． 7．(2023·北京卷)已知双曲线C的焦点为(－2，0)和(2，0)，离心率为，则C的方程为____________． －＝1 令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为a，b，显然双曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距c＝2，由双曲线C的离心率为，得＝，解得a＝，则b＝＝，所以双曲线C的方程为－＝1. 8．已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，点P在双曲线C上，且|PF1|－|PF2|＝3，则双曲线C的焦距为________． 3 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x，一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，可得＝2，即b＝2a，由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝3，可得a＝，b＝3，即有c＝＝ ＝，即焦距为2c＝3. 9．(2024·江西南昌模拟)设直线y＝x与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)相交于A，B两点，P为C上不同于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若C的离心率为2，则k1·k2＝_______． 根据题意，点A，B关于原点对称，设点A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，P(x，y)，则－＝1，－＝1.两式相减，得＝，则＝.因为e＝2，所以k1·k2＝·＝＝＝＝e2－1＝3. 解：设双曲线C 的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)， 则 解得 所以双曲线C 的标准方程为－＝1. 解：双曲线C 的渐近线方程为y＝±x. 选①，设双曲线E 的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 所以 解得 所以双曲线E 的实轴长为2. 选②，设双曲线E 的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 所以 解得a＝，b＝1， 所以双曲线E 的实轴长为2. 11．(15分)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2. (1)若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离； 解：不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h， 因为·＝0， 因为S△MF1F2＝mn＝4＝×2ch， 所以h＝. 即M点到x轴的距离为. 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)， 所以双曲线C的方程为－＝1. (2)若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程． 解：设双曲线C的方程为－＝1(－4<λ<16)． 因为双曲线C过点(3，2)， 所以－＝1， 12．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：－＝1(a>0，b>0) 的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体，如图所示，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为 A．2π B．3π C．2π D．4π 由题意可设M，N，代入双曲线方程可得 即 作差可得＝，解得a2＝3，则a＝，所以杯身最细处的周长为2π.故选C． 13．(2023·山东泰安二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，其一条渐近线方程为x＋y＝0，右顶点为A，左，右焦点分别为F1，F2，点P在其右支上，点B(3，1)，三角形F1AB的面积为1＋，则当|PF1|－|PB|取得最大值时，点P的坐标为 A． B． C． D． 设F1(－c，0)，F2(c，0)，则由三角形F1AB的面积为1＋可得(a＋c)×1＝1＋，即a＋c＝2＋，又双曲线一条渐近线方程为x＋y＝0，故＝，即a＝b，故c2＝a2＋b2＝4b2，c＝2b，故b＋2b＝2＋，解得b＝1，故a＝，c＝2，双曲线C：－y2＝1.又由双曲线的定义可得|PF1|－|PB|＝2＋|PF2|－|PB|≤2＋|BF2|， 当且仅当P，B，F2 线且B在P，F2中间时取得等号．此时直线BF2的方程为y＝(x－2)，即y＝x－2，联立可得2x2－12x＋15＝0，解得x＝3±，由B在P，F2中间可得x＝3＋，代入y＝x－2可得y＝1＋，故P.故选B． 14. (新角度)[多选题]双曲线具有如下光学性质：如图F1，F2是双曲线的左、右焦点，从右焦点F2发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点F1.若双曲线C的方程为－＝1，下列结论正确的是 A．若m⊥n，则|PF1|·|PF2|＝16 B．当n过Q(7，5)时，光由所经过的路程为13 C．射线n所在直线的斜率为k，则|k|∈ D．若T(1，0)，直线PT与C相切，则|PF2|＝12 对于A，若m⊥n，则∠F1PF2＝90°.因为P在双曲线的右支上，所以|F1P|－|F2P|＝6.由勾股定理得|F1P|2＋|F2P|2＝|F1F2|2，故|PF1|·|PF2|＝＝＝32.故A错误；对于B，光由(F2→P→Q)所经过的路程为|F2P|＋|PQ|＝|F1P|＋|PQ|－2a＝|F1Q|－2a＝－6＝7.故B错误； 对于C，双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.设左、右顶点分别为A，B．如图所示，当点P与B点重合时，k＝0，因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为|k|<，即|k|∈.故C正确；对于D，设直线PT的方程为y＝k(x－1).联立方程 消去y可得(16－9k2)x2＋18k2x－9k2－144＝0.其中Δ＝(18k2)2－4(16－9k2) (－9k2－144)＝0，即1 152k2＝2 304，解得k＝±，代入(16－9k2)x2＋18k2x－9k2－144＝0，有－2x2＋36x－162＝0，解得x＝9.又点P在双曲线的右支上，故－＝1，解得y＝±8，所以P.所以|PF2|＝＝12.故D正确．故选CD． 15．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0，6)，当△APF周长最小时，则点P的坐标为____________． (－2，2) 如图，由双曲线C的方程可知c2＝a2＋b2＝1＋8＝9，所以 c＝3，所以左焦点E(－3，0)，右焦点F(3，0)，因为|AF|＝ ＝15，所以当△APF的周长最小时，|PA|＋|PF| 最小．由双曲线的性质得|PF|－|PE|＝2a＝2，所以|PF|＝|PE|＋2， 又|PE|＋|PA|≥|AE|＝|AF|＝15，当且仅当A，P，E三点共线且点 P在线段AE上时，等号成立，所以△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝15＋|PE|＋|AP|＋2≥15＋15＋2＝32.直线AE的方程为y＝2x＋6，将其代入到双曲线方程得x2＋9x＋14＝0，解得x＝－7(舍)或x＝－2，由x＝－2，得y＝2，所以点P的坐标为(－2，2)． $$