第7章 第6节 几何法求线面角、二面角及距离（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教B版2019）

第六节　 几何法求线面角、二面角及距离 第七章　立体几何与空间向量 CONTECT 内 容 索 引 01 考点探究　精准突破 02 课 时 测 评 考点探究　精准突破 返回 考点一 几何法求线面角 基础练 例1 √ (2023·全国乙卷)已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C-AB-D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为 如图，取AB的中点E，连接CE，DE，因为△ABC是等 腰直角三角形，且AB为斜边，则有CE⊥AB，又△ABD 是等边三角形，则DE⊥AB，又△ABD是等边三角形， 则DE⊥AB，从而∠CED为二面角C-AB-D的平面角， 规律方法 求线面角的三个步骤 一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解．　 √ 对点练1.在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是BC1与B1C的交点，则AD与平面BB1C1C所成角的正弦值是 取BC的中点E，连接DE，AE，如图．依题意三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，设棱长为2，则AE＝ ，DE＝1，因为D，E分别是BC1和BC的中点， 考点二 几何法求二面角 综合练 例2 (2023·全国乙卷)如图，在三棱锥P-ABC 中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O, AD＝DO，点F在AC上，BF⊥AO . (1)证明：EF∥平面ADO； 由D，E，O，F分别为PB，PA，BC，AC的中点， 即DE∥OF，DE＝OF， 则四边形ODEF为平行四边形， 所以EF∥DO，EF＝DO， 又EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO， 所以EF∥平面ADO. (2)证明：平面ADO⊥平面BEF； 又AO⊥BF，BF∩EF＝F，BF，EF⊂平面BEF， 则有AO⊥平面BEF， 又AO⊂平面ADO，所以平面ADO⊥平面BEF. (3)求二面角D -AO -C的正弦值． 解：如图②所示，过点O作OH∥BF交AC于点H，设AD∩BE＝G， 因为D，E分别为PB，PA的中点， 因此G为△PAB的重心， 又由(2)知，DO⊥AO，则∠DOH为二面角 D -AO -C的平面角， 规律方法 作二面角的平面角的方法 作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．　 √ 对点练2.(数学文化)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1-AB-C的正切值为 A．1 B．2 C. D. 由AC＝CB及△ABC是直角三角形知，AC⊥CB，取AB的中点M，连接C1M，CM，由条件，可知∠C1MC即为二面角C1-AB-C的平面角，设AC ＝CB＝CC1＝a，则CM＝ a，所以tan∠C1MC＝ ＝ .故选D. 考点三 几何法求距离 多维练 例3 如图，在四棱锥P-AB-CD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为 √ 角度1　点线距 √ 例4 角度2　点面距 如图所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为 规律方法 1．求点线距一般要作出这个“距离”，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解． 2．求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个 “距离”，可根据条件求解，若不易作出点面距，可借助于等体积法求解． √ 对点练3.(1)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝BB1＝2，则C到直线AB1的距离为 (2)已知圆柱的高和底面半径均为4，AB为上底面圆周的直径，点P是上底面圆周上的一点且AP＝BP，PC是圆柱的一条母线，则点P到平面ABC的距离为 √ 返回 课时测评 返回 √ 1．在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，AD＝2，则直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值为 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．(数学文化)在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．已知在阳马P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AB＝AD＝1，则直线PD与平面PAC所成角的正弦值等于 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，AD＝AB，则二面角P-CD -B的大小为 A．30° B．45° C．60° D．75° 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 4．若一个正四棱锥的高和底面边长都为a，则它的侧面与底面所成角的余弦值为 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为 A. B. C. D.1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.[多选题]如图所示，在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中，O为BD的中点，则下列结论正确的是 A．A1C⊥平面C1BD B．直线A1C1与平面ABC1D1所成的角为 C．二面角C1-BD -C的正切值为 D．B1到平面C1BD的距离为 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为 ，那么P到平面ABC的距离为________． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C为圆周上一点，AB＝5 cm，AC＝2 cm，则B到平面PAC的距离为___________． 由PA⊥平面⊙O，可得PA⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又由AB是⊙O的直径，C为圆周上一点，可得AC⊥BC，又PA∩AC＝A且AC，PA⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，所以BC为点B到平面PAC的 距离，在Rt△ABC中，AB＝5 cm，AC＝2 cm，可得BC＝ ＝ cm. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)如图所示，已知菱形ABCD和矩形BDEF所在平面互相垂直，AB＝2，∠BAD＝120°，DE＝3. (1)证明：平面ACF⊥平面BDEF； 解：证明：因为平面ABCD⊥平面BDEF， 且平面ABCD∩平面BDEF＝BD，四边形ABCD为菱形， 所以AC⊥BD， 又AC⊂平面ABCD， 所以AC⊥平面BDEF， 因为AC⊂平面ACF， 所以平面ACF⊥平面BDEF. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：连接BG，因为平面ABCD⊥平面BDEF，平面ABCD∩平面BDEF＝BD， 且四边形BDEF是矩形， 所以BF⊥BD， (2)设AD中点为G，求直线FG与底面ABCD所成角的余弦值． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△PBC为正三角形，M，N分别为PD，BC的中点，PN⊥AB. (1)求三棱锥P-AMN的体积； 解：因为PB＝PC，N为BC的中点， 所以PN⊥BC， 又因为PN⊥AB，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABCD， 所以PN⊥平面ABCD. 因为AB＝BC＝PB＝PC＝2，所以PN＝ ， 因为M为PD的中点， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：如图，取DN的中点E，连接ME，因为M，E分别为PD，DN的中点， 所以ME∥PN. 因为PN⊥平面ABCD， 所以ME⊥平面ABCD.过E作EQ⊥AN于点Q，连接MQ， (2)求二面角M-AN-D的正切值． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又ME⊥AN，EQ∩ME＝E，ME，EQ⊂平面MEQ， 所以AN⊥平面MEQ，所以AN⊥MQ，∠MQE即为二面角M-AN-D的平面角， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1，侧棱AA1长为2，则点B1到平面A1BC的距离为 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．[多选题]在如图所示的三棱锥O-ABC中，OA＝ OB＝OC＝1，OA，OB，OC两两互相垂直，下列结 论正确的为 A．直线AB与平面OBC所成的角为30° B．二面角O-BC-A的正切值为 C．O到平面ABC的距离为 D．作OM⊥平面ABC，垂足为M，则M为△ABC的重心 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为OA，OB，OC两两互相垂直，且OB∩OC＝ O，OB，OC⊂平面OBC，所以AO⊥平面OBC， 故∠ABO为直线AB与平面OBC所成的角，又 OA＝OB＝OC＝1，所以∠ABO＝45°，故直 线AB与平面OBC所成的角为45°，故A错误； 取BC的中点为D，连接OD，AD，因为OA＝ OB＝OC＝1，OA，OB，OC两两互相垂直，所以AB＝AC＝BC＝ ，OD⊥BC，AD⊥BC，故∠ODA为二面角O -BC-A的平面角，则tan ∠ODA 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 AC ＝BC＝ ，故△ABC为等边三角形，因为OM⊥平面ABC，则M点为O点在平面ABC上的投影，又OA＝OB＝OC＝1，所以MA＝MB＝MC，即M点到△ABC顶点A，B，C的距离相等，故M为△ABC的外心，又在等边△ABC中，M也为△ABC的重心，故D正确．故选BD. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 13．[多选题](2024·江苏南通调研)已知四面体ABCD 内接于半径为R的球O内，且AB＝BC＝ ，AC＝2， 若四面体ABCD的体积最大值为2，则 A．外接球的半径为 B．DB与平面ABC所成角的正切值为6 C．侧面ABD与底面ABC所成二面角的正切值为6 D．点C到平面ABD的距离为 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．在直四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，已知∠ABC＝120°，四边形ABCD是 边长为2的菱形，且AA1＝4，E为线段BC上的动点，当BE＝________时，A1E与底面ABCD所成的角为60°. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(14分)(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1. (1)证明：A1C＝AC； 解：证明：如图， 因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC， 又BC⊥AC，A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC＝C， 所以BC⊥平面ACC1A1， 又BC⊂平面BCC1B1， 所以平面ACC1A1⊥平面BCC1B1， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 过A1作A1O⊥CC1交CC1于O，又平面ACC1A1∩平面BCC1B1＝CC1，A1O⊂平面ACC1A1， 所以A1O⊥平面BCC1B1， 因为A1到平面BCC1B1的距离为1， 所以A1O＝1， 在Rt△A1CC1中，A1C⊥A1C1，CC1＝AA1＝2， 设CO＝x，则C1O＝2－x， 易知△A1OC1∽△COA1，故 ＝ ， 即1＝(2－x)x，解得x＝1， 所以AC＝A1C＝A1C1＝ ， 所以A1C＝AC. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值． 解：因为AC＝A1C1，BC⊥A1C，BC⊥AC， 所以Rt△ACB≌Rt△A1CB， 所以BA＝BA1， 过B作BD⊥AA1，交AA1于D， 则D为AA1的中点， 因为直线AA1与BB1的距离为2，所以BD＝2， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢谢观看 本节到此结束 A. B. C. D. 即∠CED＝150°，显然CE∩DE＝E，CE，DE⊂平面 CDE，于是AB⊥平面CDE，又AB⊂平面ABC，因此 平面CDE⊥平面ABC，显然平面CDE∩平面ABC＝ CE，直线CD⊂平面CDE，则直线CD在平面ABC内 的射影为直线CE，从而∠DCE为直线CD与平面ABC 所成的角，令AB＝2，则CE＝1，DE＝，在△CDE中，由余弦定理得CD＝ ＝＝，由正弦定理得＝， 即sin∠DCE＝＝，显然∠DCE是锐角，cos∠DCE＝＝＝，所以直线CD与平面ABC所成 的角的正切值为÷＝.故选C. A. B. C. D. 所以DE∥CC1，所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥AE，所以AD＝＝＝2.因为AE⊥BC，AE⊥DE，BC∩DE＝E，BC，DE⊂平面BB1C1C，所以AE⊥平面BB1C1C，所以∠ADE是AD与平面BB1C1C所成的角，所以sin∠ADE＝＝，所以AD与平面BB1C1C所成角的正弦值是.故选C. 解：证明：如图①所示，连接DE，OF，设AF＝tAC， 则＝＋＝(1－t)＋t，＝－＋， 又BF⊥AO，AB⊥BC， 则·＝[(1－t)＋t]·(－＋)＝(t－1)2＋t2＝4(t－1)＋4t＝0， 解得t＝，则F为AC的中点， 于是DE∥AB，DE＝AB，OF∥AB，OF＝AB， 在△ADO中，因为DO2＋AO2＝AD2＝，则DO⊥AO，由(1)知，EF∥OD，所以EF⊥AO， 解：证明：在△ABO中，AO＝＝， 又因为D，O分别为BP，BC的中点，且PC＝， 所以DO＝，又AD＝DO，所以AD＝. 即有DG＝AD，GE＝BE，又FH＝AH，即有DH＝GF， cos∠ABD＝＝，解得PA＝，同理得BE＝， 由AO⊥BF，得HO⊥AO，且FH＝AH， 从而GF＝，DH＝×＝， 在△DOH中，OH＝BF＝，DO＝， DH＝， 又因为在Rt△ABC中，BF＝AC＝， 于是BE2＋EF2＝BF2＝3，即有BE⊥EF， 则GF2＝2＋2＝， 于是cos∠DOH＝＝－， sin∠DOH＝ ＝， 所以二面角D -AO -C的正弦值为. A．2 　　　 B．2 C. 　　　 D．4 如图，取PA的中点M，连接BM，CM，因为PB⊥ 平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PB⊥BC，又因 为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，所以 BC⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA，因 为M是PA的中点，PB＝AB，所以BM⊥PA，又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BCM，所以PA⊥平面BCM，又CM⊂平面BCM，所以CM⊥PA，即CM为点C到直线PA的距离．在等腰Rt△PAB中，BM＝PB＝2，在Rt△BCM中，CM＝＝＝2，故点C到直线PA的距离为2.故选A. A．1 B. C. D. 设点E到平面ACD1的距离为h，因为点E是棱AB的中点，所以点E到平面ACD1的距离等于点B到平面ACD1的距离的一半，又平面ACD1过BD的中点，所以点B到平面ACD1的距离等于点D到平面ACD1的距离，由等体积法VD-ACD1＝VD1-ACD，得S△ACD1·2h＝S△ACD·DD1，因为S△ACD＝×2×4＝4，DD1＝2，在△ACD1中，AD1＝2，AC＝CD1＝2，所以S△ACD1＝×2×＝6，则×6×2h＝×4×2，解得h＝，即点E到平面ACD1的距离为.故选B. A. 　　　　 B. C. 　　　　 D. 如图，连接CB1，因为AB＝2，BB1＝，所以AB1＝，CB1＝，AC＝2，设AC的中点为D，连接B1D，则B1D⊥AC，设点C到直线AB1的距离为h，故S△AB1C＝×B1D×AC＝h×AB1，即×2＝h×，解得h＝.故选D. A．4 B．2 C．3 D．2 由题可得AB＝8，因为AP＝BP，所以S△ABP＝×8×4＝16，因为PC⊥平面ABP，且PC＝4，所以VC-ABP＝×16×4＝.因为AP＝BP＝4，所以AC＝BC＝4，所以S△ABC＝×8×＝16，设点P到平面ABC的距离为d，则VP-ABC＝×16d＝，解得d＝2.故选D. A. B. C. D. 根据长方体性质知：AA1⊥平面ABCD，故∠ACA1为A1C与平面ABCD所成的角，且AA1＝1，所以CA1＝＝，所以sin∠ACA1＝＝.故选A. A. B. C. D. 如图，在正方形ABCD中，连接BD交AC于O， 则DO⊥AC，连接PO.因为PA⊥平面ABCD， DO⊂平面ABCD，所以PA⊥DO，而PA∩AC＝A， PA，AC⊂平面PAC，所以DO⊥平面PAC，于是 ∠DPO是直线PD与平面PAC所成的角．因为 PA＝AD＝1，易知PA⊥AD，所以PD＝＝，易知DO＝DB＝＝，所以sin∠DPO＝＝，即直线PD与平面PAC所成角的正弦值为.故选A. 因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥ CD，又AD⊥CD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， 所以CD⊥平面PAD，因为PD⊂平面PAD，则CD⊥ PD，所以二面角P-CD -B的平面角为∠PDA.在Rt△ PAD中，tan∠PDA＝＝，则∠PDA＝30°.故二面角P-CD -B的大小为30°.故选A. A. B. C. D. 如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，取AB的中点为H，底面正方形的中心为O，连接OH，PH和PO，因为PH⊥AB，OH⊥AB，所以∠PHO为侧面与底面所成的角，因为PO为高，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OH，所以在Rt△POH中，OH＝，PO＝a，PH＝＝a，cos∠PHO＝＝，所以侧面与底面所成角的余弦值为.故选B. 如图，连接BA1，由长方体的性质易知BC⊥BA1，且BA1 ＝，A1C＝，设点B到直线A1C的距离为h，则 S△BCA1＝×BC×BA1＝×h×A1C，即2×＝h×， 解得h＝.故选B. 由正方体的性质可得BD⊥平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1，故A1C⊥BD，同理，A1C⊥BC1，BD∩BC1＝B，且BD，BC1⊂平面C1BD，故A1C⊥平面C1BD，故A项正确；因为正方体的棱长为1，设直线A1C1与平面ABC1D1的夹角为θ，则A1C1＝，易知A1D⊥平面ABC1D1， 所以点A1到平面ABC1D1的距离为A1D＝，故 sin θ＝，所以θ＝，故B项正确；连接CO，OC1 (图略)，则∠C1OC为二面角C1-BD -C的平面角，则 tan∠C1OC＝＝，故C项正确；设B1到平面C1BD的距离为h，因为VB1-C1BD＝VD-C1BB1，所以×××××h＝××1×1×1，解得h＝，故D项错误．故选ABC. 如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P 到平面ABC的距离．再过O作OE⊥AC于E，OF ⊥BC于F，连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥ BC，所以PE＝PF＝，所以OE＝OF，所以CO 为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝＝＝. cm 在△BFG中，cos∠FGB＝＝， 故直线FG与底面ABCD所成角的余弦值为. 所以BF⊥底面ABCD，∠FGB即为直线FG与平面ABCD所成角， 在△BAG中，BG2＝22＋12－2×2×1×cos 120°＝5＋2＝7， 所以BG＝，FG＝＝4， 所以VP-AMN＝VD -AMN＝VM-ADN， 所以VP-AMN＝VP-ADN＝VP-ABCD ＝××4×＝. 所以tan∠MQE＝， 即该二面角的正切值为. 所以tan∠MQE＝， 因为PN＝，所以ME＝， 因为AN＝DN＝，AD＝2， 所以S△ANE＝QE·AN＝S△ADN＝1，故QE＝＝， A. B. C. D. 设B1到平面A1BC的距离为d，C到平面ABB1A1的距离为h，取AB的中点D，连接CD.因为VB1-A1BC＝VC-A1BB1，所以S△A1BC·d＝S△A1BB1·h，在正三棱柱中CC1⊥A1C1，在Rt△A1C1C中，A1C＝，同理A1B＝， BC＝1，所以S△A1BC＝×1×＝， 又S△A1BB1＝1，在正△ABC中，D为AB的中点， 则CD⊥AB，平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩ 平面ABB1A1＝AB，CD⊂平面ABC，所以CD⊥平面 ABB1A1，即h＝CD＝1×sin 60°＝，所以×d＝×1×，解得d＝.故选C. ＝＝，故二面角O -BC-A的正切值为，故B正确； 因为AB＝AC＝BC＝，所以AD＝，设O到平面 ABC的距离为h，则VA-OBC＝××1×1×1＝VO -ABC＝ ××××h，解得h＝，故C错误；因为AB＝ 因为AB＝BC＝，AC＝2，所以AB2＋BC2＝AC2，可 得AB⊥BC.取AC的中点为E，连接DE，当DE⊥平面 ABC，且ED过球心O时，四面体ABCD的体积最大． 连接AO，因为外接球的半径为R，所以V三棱锥D -ABC＝ ××××(R＋)＝2，解得R＝，故选项A正确；连接BE，则∠DBE为DB与平面ABC所成的角，BE＝1，DE＝6，所以tan∠DBE＝＝＝6，故选项B正确；对于选项C，取AB的中点F，连接EF， DF，则AB⊥DF，AB⊥EF，所以∠DFE为侧面ABD与 底面ABC所成二面角的平面角，因为EF＝，所以 tan∠DFE＝＝＝6，故选项C错误；设点C到平面ABD的距离为h，在△ABD中，AD＝BD＝＝，AB＝，由C项知DF⊥AB，且DF＝＝＝，S△ABD＝AB·DF＝×× ＝.又hS△ABD＝2，所以h＝＝，故选项D正确．故选ABD. －1 如图所示，连接AE，因为AA1⊥底面ABCD，所以∠A1EA即为A1E与底面ABCD所成的角，即∠A1EA＝60°.又因为AA1＝4，所以＝tan 60°＝， 解得AE＝.设BE＝m(0≤m≤2)，在△ABE中，AB＝2， ∠ABE＝120°，AE＝，由余弦定理，得2＝22＋m2－2×2×m×cos 120°，整理得3m2＋6m－4＝0，解得m＝－1. 知四边形A1CMC1为平行四边形， 所以C1M∥A1C，所以C1M⊥平面ABC， 又AM⊂平面ABC，所以C1M⊥AM， 则在Rt△AC1M中，AM＝2，C1M＝A1C＝， 因为A1D＝1，BD＝2，所以A1B＝AB＝， 在Rt△ABC中，BC＝＝， 延长AC，使AC＝CM，连接C1M， 由CM∥A1C1，CM＝A1C1， 所以AC1＝＝， 在Rt△AB1C1中，AC1＝，B1C1＝BC＝， 所以AB1＝ ＝， 又A到平面BCC1B1的距离也为1， 所以AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为＝. $$