第7章 第5节 空间直线、平面的垂直（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教B版2019）

第五节　空间直线、平面的垂直 第七章　立体几何与空间向量 课程标准 1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系，归纳出有关垂直的性质定理和判定定理，并加以证明．　 2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题．的 CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 理清主干知识 1．直线与直线垂直 (1)定义：若两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且夹角为直角，则称这两条直线互相垂直． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它就和平面内的任意一条直线垂直． 2．直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面α内的__________直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面． 任意一条 (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条______直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线______ ⇒a∥b 相交 a，b⊂α a∩b＝O l⊥a l⊥b a⊥α b⊥α 平行 3.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的______所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是______；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°. (2)范围： . 射影 90° 4．二面角 (1)定义：从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角： 若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α -l-β的平面角是__________. (3)二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°. 两个半平面 ∠AOB 5．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的_______，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 直二面角 垂线 l⊂β 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的______，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 微提醒 线线垂直 线面垂直 面面垂直　 交线 l⊂β 记牢常用结论 1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 2．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． 3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 练透教材典题 1．[多选题]下列说法错误的是 A．直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α B．垂直于同一个平面的两平面平行 C．若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 D．若直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，则直线a∥直线b √ √ √ √ 2．(链接人A必修二P162T2)已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是 A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β B．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β C．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β D．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β 对于A，若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊂β或l∥β或l与β相交，故选项A不正确；对于B，若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l与β相交但不一定垂直，故选项B不正确；对于C，若α⊥β，l⊂α，则l⊂β或l∥β或l与β相交，故选项C不正确；对于D，若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β，由面面垂直的性质定理可知选项D正确．故选D. 3．(链接人A必修二P163T5)如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中必有 A．SG⊥△EFG所在平面 B．SD⊥△EFG所在平面 C．GF⊥△SEF所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面 √ 四面体S-EFG如图所示： 由SG⊥GE，SG⊥GF，且GE∩GF＝G得，SG⊥△EFG所在的平面．故选A. √ 4．(用结论)[多选题]下列命题中正确的有 A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 若α⊥β，则α内有无数条直线垂直于平面β，而非所有直线都垂直于平面β，故D错误．易知A，B，C正确．故选ABC. √ √ 5．(链接人A必修二P152例4)如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________． 返回 考点探究　精准突破 返回 考点一 垂直关系命题的真假 基础练 例1 √ (1)(2024·河南开封模拟)l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是 A．若α⊥β，β⊥γ，α∩γ＝l，则l⊥β B．若m⊥n，n⊥l，则m∥l C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β 对于A，若α⊥β，β⊥γ，α∩γ＝l，则由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理得l⊥β，故A正确；对于B，若m⊥n，n⊥l，则m与l相交、平行或异面，故B错误；对于C，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故C错误；对于D，若l∥α，α⊥β，则l与β相交、平行或l⊂β，故D错误．故选A. (2)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题_______________________． 已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可以与α平行，也可以相交不垂直；由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m. ②③⇒①(或①③⇒②) 规律方法 与线面垂直关系有关的命题真假的判断方法 1．借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准，甚至无需作图通过空间想象来判断． 2．寻找反例，只要存在反例，结论就不正确． 3．反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定定理或性质定理进行简单说明． 对点练1.(1)[多选题](2024·江苏南京模拟)已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项中，l⊥m的充分条件有 A．α⊥β，l⊥α，m∥β B．α∥β，l∥α，m⊥β C．α⊥β，l⊥α，m⊥β D．α⊥β，l∥α，m∥β √ √ A选项不是l⊥m的一个充分条件，两个平面垂直，两条直线分别平行和垂直于平面，则这两条直线可能相交、平行或异面，故A错误；B选项，因为m⊥β，且α∥β，所以m⊥α，又因为l∥α，所以l⊥m，故B正确；C选项，因为m⊥β，l⊥α，又因为α⊥β，所以l⊥m，故C正确；D选项不是l⊥m的一个充分条件，两个平面垂直，两条直线分别平行于平面，则这两条直线可能垂直、平行或异面，故D错误．故选BC. √ (2)已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD垂直于圆柱的底面，则必有 A．平面ABC⊥平面BCD B．平面BCD⊥平面ACD C．平面ABD⊥平面ACD D．平面BCD⊥平面ABD 因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直于圆柱的底面，所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD，因为BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD.故选B. 考点二 直线与平面垂直的判定与性质 综合练 例2 如图①所示，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，AD的中点，将四边形CDFE沿直线EF折起，使得平面CDFE⊥平面ABEF，如图②所示，点M，N分别满足 AM ＝2 MC ，FN＝ NE . 求证：AN⊥平面BMN. 连接AE交BN于点G，连接MG(图略)，设AB＝2， 因为平面CDFE⊥平面ABEF，平面CDFE∩平面ABEF＝EF，CE⊂平面CDFE，CE⊥EF， 所以CE⊥平面ABEF. 因为点N是EF的中点，NE∥AB，所以AG＝2GE. 又AM＝2MC，所以MG∥CE， 所以MG⊥平面ABEF. 因为AN⊂平面ABEF，所以MG⊥AN. 又AB＝2，AN＝NB＝ ，所以AN⊥NB. 因为NB∩MG＝G，NB，MG⊂平面BMN，所以AN⊥平面BMN. 规律方法 证明线面垂直的常用方法及关键 1．证明直线和平面垂直的常用方法 (1)判定定理． (2)传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)． (3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)． (4)面面垂直的性质． 2．证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直常借助线面垂直的定义． 3．判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．　 对点练2.如图①所示，在平面四边形ABDC中，∠ABC＝∠BDC＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，将△ABC沿直线BC折起，如图②所示，使AD＝ ，点M，N分别为AC，AD的中点． 判断直线MN与平面ABD的位置关系，并说明理由． MN⊥平面ABD.理由如下： 在Rt△BDC中，BC＝2，CD＝1，由勾股定理得，BD＝ ， 因为AD＝ ，AB＝2，所以AB2＋BD2＝AD2， 所以AB⊥BD. 又AB⊥BC，且BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面CBD，所以AB⊥平面CBD. 又CD⊂平面CBD，所以AB⊥CD. 又CD⊥BD，且BD∩AB＝B，BD，AB⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD. 又M，N分别为AC，AD的中点，所以MN∥CD， 所以MN⊥平面ABD. 考点三 面面垂直的判定与性质 多维练 例3 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点． 求证：(1)PE⊥BC； 因为PA＝PD，E为AD的中点， 所以PE⊥AD. 因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD. 所以PE⊥BC. (2)平面PAB⊥平面PCD. 因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD， 又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以PD⊥平面PAB， 又因为PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD. 规律方法 1．面面垂直的两种判定方法与一个转化 (1)两种方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． (2) 一个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 规律方法 2．面面垂直性质定理的应用 (1) 两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”． (2) 两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．　 对点练3.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，D为BC的中点，AA1＝2，且∠C1CB＝60°，平面BB1C1C⊥平面ABC. 证明：C1D⊥AB. 连接BC1(图略)，在△BCC1中，因为BC＝CC1＝2，∠C1CB＝60°， 所以△BCC1为等边三角形， 又D为BC的中点，所以C1D⊥BC， 因为平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，C1D⊂平面BB1C1C，所以C1D⊥平面ABC， 因为AB⊂平面ABC，所以C1D⊥AB. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点，AB＝BC，AC＝2，AA1＝ . (1)求证：B1C∥平面A1BM； 考点四 垂直关系的综合应用 创新练 例4 解：证明：连接AB1，交A1B于点O，连接OM，如图． 因为在△B1AC中，M，O分别为AC，AB1的中点，所以OM∥B1C， 又因为OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM， 所以B1C∥平面A1BM. (2)求证：AC1⊥平面A1BM； 解：证明：因为侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM， 又因为M为棱AC的中点，AB＝BC，所以BM⊥AC. 因为AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面ACC1A1， 所以BM⊥平面ACC1A1， 因为AC1⊂平面ACC1A1，所以BM⊥AC1. 易知AM＝1，又AA1＝ ，所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝ ， 所以∠AC1C＝∠A1MA， 所以∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，所以A1M⊥AC1. 因为BM∩A1M＝M，BM，A1M⊂平面A1BM， 所以AC1⊥平面A1BM. (3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求出此时 的值并证明；如果不存在，请说明理由． 解：存在，当点N为BB1的中点，即 ＝ 时， 平面AC1N⊥平面AA1C1C. 证明：取BB1的中点N，AC1的中点D，连接AN，NC1，DM，DN. 因为D，M分别为AC1，AC的中点，所以DM∥CC1，且DM＝ CC1. 又因为N为BB1的中点，所以DM∥BN，且DM＝BN，所以四边形BNDM为平行四边形，所以BM∥DN， 由(2)知BM⊥平面AA1C1C， 所以DN⊥平面AA1C1C. 又因为DN⊂平面AC1N， 所以平面AC1N⊥平面AA1C1C. 规律方法 1．三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． 2．对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证．　 对点练4.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD，△ABC是底面圆的内接正三角形，且DO＝6，则在线段DO上是否存在一点P，使得PA⊥平面PBC？若存在，求出PO的值；若不存在，请说明理由． 由题得PA2＝AO2＋PO2＝12＋PO2. 假设PA⊥平面PBC，则PA⊥PB， 所以36＝12＋PO2＋12＋PO2， 所以PO＝ . 此时PC2＝PO2＋OC2＝18，PA2＝18，所以PA2＋PC2＝AC2，所以PA⊥PC. 故当PO＝ 时，PA⊥平面PBC. 返回 课时测评 返回 √ 1．已知l1，l2是平面α内的两条直线，l是空间的一条直线，则“l⊥α”是“l⊥l1且l⊥l2”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 当l⊥α时，l1⊂α，l2⊂α，所以l⊥l1且l⊥l2；当l⊥l1且l⊥l2，l1⊂α，l2⊂α，但l1，l2是否相交无法判断，所以l⊥α可能成立，也可能不成立．综上，“l⊥α”是“l⊥l1且l⊥l2”的充分不必要条件．故选A. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．下列三个命题，真命题的个数为 (1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于该平面； (2)过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直； (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． A．0 B．1 C．2 D．3 √ 命题(1)：由直线垂直平面的定义可知，若直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则该直线垂直于该平面，故命题(1)错误；命题(2)：由直线与平面垂直的性质定理可知，过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故命题(2)正确；命题(3)：垂直于同一条直线的两个平面一定平行，故命题(3)正确．故选C. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3．(2024·九省适应性测试)设α，β是两个平面，m，l是两条直线，则下列命题为真命题的是 A．若α⊥β，m∥α，l∥β，则m⊥l B．若m⊂α，l⊂β，m∥l，则α∥β C．若α∩β＝m，l∥α，l∥β，则m∥l D．若m⊥α，l⊥β，m∥l，则α⊥β 对于A，m，l可能平行，相交或异面，故A错误；对于B，α，β可能相交或平行，故B错误；对于D，α，β可能重合或平行，故D错误；由线面平行性质得C正确．故选C. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.如图，在四面体D -ABC中，若AB＝CB，AD＝CD， E是AC的中点，则下列结论正确的是 A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面BDE.故选C. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5．(2024·河北秦皇岛模拟)在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝PC，D，E，M分别为AC，PC，BC的中点，则以下结论不一定成立的是 A．PA∥平面BDE B．若PA⊥BC，则AB＝AC C．若∠BAC＝90°，则平面PBC⊥平面PAM D．点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心 对于A，因为D，E分别为AC，PC的中点，所以PA∥DE，又PA⊄平面BDE，DE⊂平面BDE，所以PA∥平面BDE，故A正确；对于B，因为BC的中点为M，PB＝PC，所以PM⊥BC，又PA⊥BC，PA∩PM＝P，PA，PM⊂平面PAM，所以BC⊥平面PAM，又因为AM⊂平面PAM， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以BC⊥AM，则AB＝AC，故B正确；对于C，∠BAC＝90°，则MA＝MB＝MC，又PA＝PB＝PC，则△PMA≌△PMB≌△PMC，则∠PMA＝∠PMB＝∠PMC＝90°，故PM⊥AM，若平面PAM⊥平面PBC，因为平面PAM∩平面PBC＝PM，AM⊂平面PAM，所以AM⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AM⊥BC，又M为BC的中点，则AB＝AC，不一定成立，故C不一定成立；对于D，由PA＝PB＝PC可知，点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，故D正确．故选C. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.[多选题]如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，则下列结论可能正确的有 A．DF⊥BC B．BD⊥FC C．平面BDF⊥平面BCF D．平面DCF⊥平面BCF √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，因为BC∥AD，AD与DF相交但不垂直，所以BC与DF不垂直，所以A错误；对于B，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，所以B正确；对于C，当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以C正确；对于D，因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上，所以D错误．故选BC. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．[多选题](2024·河南焦作模拟)如图，在三棱锥V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，则下列结论中一定成立的是 A．AC＝BC B．AB⊥VC C．VC⊥VD D．S△VCD·AB＝S△ABC·VO √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为VO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以VO⊥AB. 因为VA＝VB，AD＝BD，所以VD⊥AB.又因为VO∩ VD＝V，VO，VD⊂平面VCD，所以AB⊥平面VCD. 又因为CD⊂平面VCD，所以AB⊥CD.又因为AD＝BD， 所以AC＝BC，故A正确；因为VC⊂平面VCD，所以AB⊥VC，故B正确；因为S△VCD＝ VO·CD，S△ABC＝ AB·CD，所以S△VCD·AB＝S△ABC·VO，故D正确．由题中条件无法判断VC⊥VD.故选ABD. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面PBC，若PB⊥BC，则△ABC的形状为______________． 因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，PB⊥BC，BC⊂平面PBC，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥AB，所以△ABC为直角三角形． 直角三角形 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．(10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，侧面PAD为等边三角形． (1)求证：AD⊥PB； 解：证明：如图，取AD的中点O，连接OB，OP，BD. 因为△PAD为等边三角形，O是AD的中点，所以OP⊥AD. 因为底面ABCD是菱形， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∠BAD＝60°， 所以△ABD是等边三角形，OB⊥AD. 因为OP∩OB＝O，OP，OB⊂平面POB， 所以AD⊥平面POB. 因为PB⊂平面POB，所以AD⊥PB. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若平面PAD⊥平面ABCD，点E为PB的中点，求三棱锥P-ADE的体积． 解：因为底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形， 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊥AD，PO⊂平面PAD， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以PO⊥平面ABCD. 因为E为PB的中点， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. (1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； 解：证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以A1C⊥BC， 又因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC， 因为A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC＝C， 所以BC⊥平面ACC1A1， 又因为BC⊂平面BB1C1C， 所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：如图，过点A1作A1O⊥CC1，垂足为O. 因为平面 ACC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1O⊂平面ACC1A1， (2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以A1O⊥平面BB1C1C， 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为A1O. 因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以A1C⊥BC， 又因为A1B＝AB，BC为公共边， 所以△ABC与△A1BC全等，所以A1C＝AC. 所以△ACA1与△A1CC1均为等腰直角三角形， 所以A1O＝CC1＝1， 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为1. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．图①是建筑工地上的塔吊，图②是根据图①绘制的塔吊简易直观图，点A，B，C在同一水平面内．塔身PO⊥平面ABC，直线AO与BC的交点E是BC的中点，起重小车挂在线段AO上的D点，AB＝AC，DO＝6 m．若PO＝2 m，PB＝3 m，△ABC的面积为10 m2，根据图中标注的数据，忽略△ABC自重对塔吊平衡的影响，在塔吊保持平衡的条件下可得点A，P之间的距离为(0.5OD＝1.5OE) √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.[多选题]如图所示，在四棱锥S-ABCD中，四边形 ABCD为正方形，SC＝SD＝CD＝1，E为线段SD的中 点，F为AC与BD的交点，AD⊥SD.则下列结论正确的是 A．BC⊥平面SCD B．EF∥平面SAB C．平面SCD⊥平面ABCD D．线段BE的长度等于线段SF的长度 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为四边形ABCD是正方形，所以BC⊥CD.又因为 AD⊥SD，所以BC⊥SD，CD∩SD＝D，CD，SD⊂平 面SCD，所以BC⊥平面SCD，因此A正确；因为BC⊂ 平面ABCD，所以平面SCD⊥平面ABCD，因此C正确； 因为F是BD的中点，E为SD的中点，所以EF∥SB，又 因为SB⊂平面SAB，EF⊄平面SAB，所以EF∥平面SAB，因此B正确；因为△CDS是边长为1的正三角形，四边形ABCD是正方形，所以DS＝1，BD＝ .又由BC⊥平面SCD，得BC⊥SC，所以BS＝ .在△BDS中，BS＝BD＝ ，DS＝1，又BE，SF分别是等腰三角形BDS的底边DS和腰BD上的中线，所以线段BE与SF的长度不相等(否则△BDS是正三角形)，因此D不正确．故选ABC. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.[多选题](2024·广西柳州模拟)如图，在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，AD⊥AA1，AD⊥AB，∠A1AB＝60°，M，N分别是棱AB和BC的中点，则下列说法中正确的是 A．A1，C1，M，N四点共面 B．B1N与AB共面 C．AD⊥平面ABB1A1 D．A1M⊥平面ABCD √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，连接MN，AC，A1C1，因为M，N分别是棱AB 和BC的中点，所以MN∥AC.因为AA1∥CC1，且AA1 ＝CC1，所以四边形AA1C1C是平行四边形，所以AC ∥A1C1，所以MN∥A1C1，所以A1，C1，M，N四点共 面，故A正确；因为AD⊥AA1，AD⊥AB，AA1∩AB＝ A，所以AD⊥平面ABB1A1，故C正确；连接A1B，因为 ∠A1AB＝60°，AB＝AD＝AA1＝1，所以△ABA1是等边三角形，所以A1M⊥AB，因为AD⊥平面ABB1A1，A1M⊂平面ABB1A1，所以A1M⊥AD，因为AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以A1M⊥平面ABCD，故D正确；若B1N与AB共面，则B1，N，A，B共面，故N在平面ABB1A1中，这与题设矛盾，故B错误．故选ACD. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．在矩形ABCD中，AB<BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论： ①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直； ②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直； ③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直． 其中正确结论的序号是________． ② 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ①假设AC与BD垂直，过点A作AE⊥BD于点E，连接 CE，如图所示．则 ⇒BD⊥平面AEC，则 BD⊥CE，而在平面BCD中，CE与BD不垂直，故假 设不成立，①不正确；②假设AB⊥CD，因为AB⊥ AD，CD∩AD＝D，所以AB⊥平面ACD，所以AB⊥ AC，由AB<BC可知，存在这样的直角三角形，使AB⊥AC，故假设成立，②正确；③假设AD⊥BC，因为CD⊥BC，AD∩CD＝D，所以BC⊥平面ACD，所以BC⊥AC，即△ABC为直角三角形，且AB为斜边，而AB<BC，故矛盾，假设不成立，③不正确． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(数学文化)刘徽注《九章算术·商功》“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”如图①解释了由一个长方体得到“堑堵”“阳马”“鳖臑”的过程．堑堵是底面为直角三角形的直棱柱；阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥；鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体． 在如图②所示由正方体ABCD -A1B1C1D1得到的堑堵ABC-A1B1C1中，当点P在下列三个位置：A1A中点，A1B中点，A1C中点时，分别形成的四面体P-ABC中，鳖臑的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．在长方体ABCD -A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝t，若在线段AB上存在点E，使得EC1⊥ED，则实数t的取值范围是________． (0,1] 返回 因为C1C⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，可得C1C ⊥ED，由EC1⊥ED，EC1∩C1C＝C1，EC1，C1C⊂平 面ECC1，可得ED⊥平面ECC1，所以ED⊥EC，在矩 形ABCD中，设AE＝a,0≤a≤2，则BE＝2－a，由 ∠DEA＋∠CEB＝90°， 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢谢观看 本节到此结束 判定定理 判定定理 性质定理 性质定理 ∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角．因为AB＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝2，又AA1＝1，所以AC1＝3，所以sin∠AC1A1＝＝. → → → → 所以AD＝4，所以AO＝2， 因为△ABC是底面圆的内接正三角形， 所以＝2×2，所以AB＝6， 解：存在点P，使得PA⊥平面PBC.由题得AO＝AD，因为AD2＝DO2＋AO2， 所以AD2＝36＋AD2， 所以PA＝PD＝AD＝2，PO＝， S四边形ABCD＝2××2×2×sin 60°＝2. 所以VP-ADE＝VB-ADE＝VP-ABD＝VP-ABCD＝×××2＝. A．2 m B．6 m C．8 m D．9 m 根据条件得，OE＝＝ ＝2 m．因为PO⊥平面ABC，BC，AE⊂平面ABC，所以PO⊥AE，PO⊥BC，又AB＝AC，E是BC的中点，所以AE⊥BC，又PO∩AE＝O，PO，AE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE，又PE⊂平面PAE，所以PE⊥BC.因为PO＝2 m，所以PE＝2 m，因为PB＝3 m，所以BE＝1 m．由于△ABC的面积为10 m2，所以BC·AE＝10，解得AE＝10 m，即AO＝8 m，即AP＝2 m．故选A. 设正方体的棱长为a，则由题意知，A1C1＝AC＝a，A1B＝a，A1C＝a，当点P为A1A的中点时，因为PA⊥平面ABC，则∠PAC＝∠PAB＝90°，∠ABC＝90°.由BC⊥平面PAB，得BC⊥PB，即∠PBC＝90°，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC是直角三角形，即此时四面体P-ABC是鳖臑；当点P为A1B的中点时，因为BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥PB， BC⊥AB，所以△PBC，△ABC为直角三角形．因为ABB1A1是正方形， 所以AP⊥BP，则△PAB是直角三角形，又AP⊥BC，BP∩BC＝B，所以AP⊥平面PBC，所以AP⊥PC，所以△PAC是直角三角形，则此时四面体P-ABC是鳖臑；当点P为A1C的中点时，此时PA＝PC＝A1C＝，又AC＝a，由勾股定理可知，△PAC不是直角三角形，则此时四面体P-ABC不是鳖臑．故选C. 可得tan∠DEA·tan∠CEB＝·＝＝1，即t2＝a(2－a)＝－(a－1)2＋1，当a＝1时，t2取得最大值1，即t的最大值为1；当a＝0或2时，t2取得最小值0，但由于t>0，所以t的取值范围是(0,1]． $$