8.2 两条直线的位置关系（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§8.2　两条直线的位置关系 第八章　直线与圆、圆锥曲线 课程标准 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直．　 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．　 3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式， 会求两条平行直线间的距离． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 返回 理清主干知识 1．两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝___________，l4的法向量v2＝__________的位置关系如下表： 位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 v1∥v2 ________________ ______________________________ (A1，B1) (A2，B2) k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0 微提醒　在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了一条直线或两条直线斜率不存在的情形． 位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 垂直 v1⊥v2 _____________ ___________________ 相交 v1与v2不共线 ________ ___________________ k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 2．三种距离公式 两点间的距离公式 点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离 |AB|＝___________________ 点到直线的 距离公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝____________(其中A，B不全为0) 两条平行直线 间的距离公式 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝___________(其中A，B不全为0，且C1≠C2) 微提醒(1)利用点到直线的距离公式时，需要先将直线方程化为一般式．(2)利用两平行直线间的距离公式时，需要先将两条平行线方程化为x，y的系数对应相等的一般式． 记牢常用结论 1．两个充要条件 (1)“直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”． (2)“直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2＝0”． 2．三类直线系方程 (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)． (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R). (3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 3．六种常用对称关系 (1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y) (2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y). (3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x). (4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y). (5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y). (6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k). 练透教材典题 1．[多选题]下列说法正确的是 A．当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2 B．如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1 C．若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交 D．直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离 √ √ 2．(链接北师选择性必修一P19T1)直线3x－y＋5＝0与直线6x－2y＋10＝0的位置关系是 A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 √ 直线6x－2y＋10＝0可化为3x－y＋5＝0，所以直线3x－y＋5＝0与直线6x－2y＋10＝0的位置关系是重合．故选C． √ 4．(用结论)点P(2，5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是____________． 由结论3(6)可知，对称点为(1－5，1－2)，即(－4，－1). (－4，－1) 返回 考点探究　精准突破 返回 返回 考点一 两条直线的平行与垂直 基础练 例1 (1)(2023·山东邹城月考)已知直线l1：ax＋y－2＝0，l2：(3a－2)x＋ay－4＝0，则a＝1是l1∥l2的 A．充分不必要条件 B．充要条件 C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 若两直线平行，则a2－(3a－2)×1＝0，解得a＝2或a＝1，当a＝2时，两直线重合，故a＝2不符合题意，舍去；当a＝1时，两直线平行，符合题意．故a＝1.所以a＝1是l1∥l2的充要条件．故选B． √ (2)(2024·上海长宁三模)已知直线l1：x＋y＝0和l2：2x－ay＋3＝0(a∈R)，若l1⊥l2，则a＝_____． 直线l1：x＋y＝0和l2：2x－ay＋3＝0(a∈R)，l1⊥l2，则1×2－a×1＝0，解得a＝2. 2 规律方法 1．已知两直线的斜率都存在，判断两直线平行或垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不相等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1. 2．解决两直线平行或垂直的参数问题要“前思后想” (1)前思：在解题前考虑是否需要讨论直线的斜率不存在的情况； (2)后想：在解题后要检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解．　　 √ 对点练1.(1)(2024·安徽蚌埠三模)已知直线l1：ax＋2y＋1＝0，l2：(3－a)x－y＋a＝0，则条件“a＝1”是“l1⊥l2”的 A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件 √ 考点二 两条直线的交点与距离问题 综合练 例2 已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P. (1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程； 解：因为经过两已知直线交点的直线系方程为2x＋y－5＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， (2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值． 变式探究 (变条件)若将本例变为：直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点且到点A(1，0)和点B(3，4)的距离相等，求直线l的方程． 当AB∥l时，又kAB＝2， 所以直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0， 当l过AB中点时，又AB的中点为(2，2)， 所以直线l的方程为x＝2. 规律方法 1．求过两直线交点的直线方程的方法 (1)先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程； (2)借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程，但需注意分类讨论． 2．处理距离问题的两大策略 (1)点到直线的距离问题直接代入点到直线的距离公式去求； (2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间的距离公式，而是转化到以两定点为端点的线段的垂直平分线上，从而简化计算．　　 √ 对点练2.[多选题]已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为 A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0 C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0 √ 考点三 对称问题 多维练 例3 过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_____________． x＋4y－4＝0 设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 角度1　点关于点中心对称 例4 角度2　点关于直线对称 若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝______． 角度3　直线关于点对称 直线l：4x＋3y－2＝0 关于点A(1，1)对称的直线方程为 A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 例5 √ 设直线l：4x＋3y－2＝0 关于点A(1，1) 对称的直线上任意一点P(x，y)，则P(x，y) 关于A(1，1)的对称点为B(2－x，2－y)，又因为B(2－x，2－y)在直线4x＋3y－2＝0 上，所以4(2－x)＋3(2－y)－2＝0，即4x＋3y－12＝0.故选B． 角度4　直线关于直线对称 两直线方程l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1 关于l2 对称的直线方程为 A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0 C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0 例6 √ 设所求直线上任一点M(x，y)，M 关于直线x－y－2＝0 的对称点为M(x1，y1)， 规律方法 对点练3.(1)(2024·广东广州模拟)已知点A与点B(1，2)关于直线x＋y＋3＝0对称，则点A的坐标为 A．(3，4) B．(4，5) C．(－4，－3) D．(－5，－4) √ √ 由题意得，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，所以直线y＝ax＋2上的点(0，2)关于直线y＝－x的对称点(－2，0)在直线y＝－3x＋b上，所以(－3)×(－2)＋b＝0，所以b＝－6，所以直线y＝－3x－6上的点(0，－6)关于直线y＝－x的对称点(6，0)在直线y＝ax＋2上，所以6a＋2＝0，所以a＝－ .故选D． (2)(2024·陕西宝鸡模拟)光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有 返回 课时测评 返回 返回 √ 1．(2024·江西南昌三模)若a为实数，则“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”，则a2－1＝0，解得a＝1或a＝－1，当a＝1时，直线l1：x＋y＋2＝0，l2：x＋y－4＝0，此时l1∥l2，符合题意；当a＝－1时，直线l1：－x＋y＋2＝0，即l1：x－y－2＝0，l2：x－y－2＝0，此时l1，l2重合，不符合题意；综上所述，“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”等价于a＝1.所以“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”的充要条件．故选C． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．(2024·海南海口二模)若直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点在直线y＝x＋2上，则实数k＝ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．(2024·河南濮阳模拟)已知点A(1，2)，B(3，1)，则线段AB 的垂直平分线方程为 A．4x＋2y－5＝0 B．4x－2y－5＝0 C．x＋2y－5＝0 D．x－2y－5＝0 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6．已知点A(1，3)，B(5，－2)，在x 轴上有一点P，若|AP|－|BP| 最大，则P点坐标为 A．(3，0) B．(13，0) C．(5，0) D．(－13，0) 由题知A点关于x 轴的对称点为A(1，－3)，则|AP|＝|A′P|，易知当A′，B，P三点共线时|AP|－|BP|最大，故A′B 所在直线方程为x－4y－13＝0.令y＝0 得x＝13，所以点P 的坐标为(13，0).故选B． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 7．[多选题]已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是 A．若l1∥l2，则m＝－1 或m＝3 B．若l1∥l2，则m＝3 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 8．[多选题](2024·山东聊城模拟)若三条直线x＋3y＋7＝0，x－y－1＝0， x＋2ny＋n＝0 能围成一个三角形，则n的值不可能是 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．[多选题](2024·江苏扬州模拟)已知直线l1：(sin α)x－(cos α)y＋1＝0，l2：(sin α)x＋(cos α)y＋1＝0，l3：(cos α)x－(sin α)y＋1＝0，l4：(cos α)x＋(sin α)y＋1＝0.则下列结论正确的是 A．存在实数α，使l1∥l2， B．存在实数α，使l2∥l3； C．对任意实数α，都有l1⊥l4 D．存在点到四条直线距离相等 当α＝0时，l1：y＝1，l2：y＝－1，l1∥l2，故选项A正确；因为sin α·(－sin α)－cos 2α＝－1≠0，所以l2与l3不平行，故选项B错误；因为sin α·cos α＋(－cos α)·(sin α)＝0恒成立，所以l1⊥l4，故选项C正确；坐标原点(0，0)到四条直线距离均为1，故选项D正确．故选ACD． √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．直线2x＋4y－5＝0 关于直线x＝2对称的直线的方程为____________． 2x－4y－3＝0 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(新角度)(2024·黑龙江齐齐哈尔模拟)已知直线l：x－2y－8＝0 和A(－2，0)，B(2，4) 两点，若直线l 上存在点M 使得|MA|＋|MB| 最小，则点M 的坐标为________． 如图，作出点A 关于直线l 的对称点A′，连接A′B， (2，－3) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．[多选题](2024·吉林长岭期末)已知直线l：mx＋y－m＋1＝0，A(1，2)，B(3，4)，则下列结论正确的是 A．存在实数m，使得直线l与直线AB垂直 B．存在实数m，使得直线l与直线AB平行 C．存在实数m，使得点A到直线l的距离为 4 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(新角度)(2024·云南宣威模拟)已知P，Q分别在直线l1：x－y＋1＝0与直线l2：x－y－1＝0上，且PQ⊥l1，点A(－4，4)，B(4，0)，则|AP|＋|PQ|＋|QB|的最小值为__________． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(新考法)(2024·湖北武汉模拟)美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的 ，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2 cm，五眼中一眼的宽度为1 cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作出点P的轨迹如图所示： 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢谢观看 本节到此结束 3．(链接北师选择性必修一P25练习T4)若直线2x－y－3＝0与4x－2y＋a＝0之间的距离为，则a的值为 A．4 B．－6 C．4或－16 D．8或－16 将直线2x－y－3＝0化为4x－2y－6＝0，则直线2x－y－3＝0与直线4x－2y＋a＝0之间的距离d＝＝，根据题意可得：＝，即|a＋6|＝10，解得a＝4或a＝－16，所以a的值为4或－16.故选C． 若l1⊥l2，则(3－a)×＝－1，解得a＝1或a＝2.故“a＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选B． (2)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为 A． B． C． D． 由题意得直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点．当直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行时，m＝或m＝－；当直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点(－1，－)时，m＝－.所以实数m的取值集合为.故选D． 所以＝3，解得λ＝或λ＝2. 所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. 解：由 解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离， 则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)． 所以dmax＝|PA|＝. 解：由解得交点坐标为(2，1)． 设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，由题知：d1＝，d2＝，因为＝，所以＝，即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－，即直线l为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.故选BD． 由题可知纸的折痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的垂直平分线，即直线y＝2x－3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的垂直平分线，于是 解得故m＋n＝. 则 解得(*) 因为点M′ 在直线3x－2y－6＝0 上，所以将(*)式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，化简得2x－3y－4＝0，即为l1 关于l2 对称的直线方程．故选C． 设A(x，y)，则解得所以点A的坐标为(－5，－4).故选D． A．a＝，b＝6 B．a＝－3，b＝ C．a＝3，b＝－ D．a＝－，b＝－6 A．4 B．2 C． D． 解方程组得直线y＝－2x＋4与直线y＝x＋2的交点为(，)，依题意，＝k，解得k＝4，所以实数k＝4.故选A． 由题设，kAB＝＝－，故线段AB 的垂直平分线的斜率为2，又线段AB 的中点坐标为，所以线段AB 的垂直平分线方程为y－＝2 (x－2)，整理得4x－2y－5＝0.故选B． 4．已知直线l 经过直线l1：x＋y＝2与l2：2x－y＝1 的交点，且直线l 的斜率为－，则直线l 的方程是 A．3x－2y－1＝0 B．3x－2y＋1＝0 C．2x＋3y－5＝0 D．2x－3y＋1＝0 解方程组 得 所以两直线的交点为(1，1).因为直线l 的斜率为－，所以直线l 的方程为y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0.故选C． 5．若m，n 满足m＋2n－1＝0，则直线mx＋3y＋n＝0 过定点 A． B． C． D． 法一：由m＋2n－1＝0得m＝1－2n，代入直线方程得(1－2n)x＋3y＋n＝0，整理得n(1－2x)＋x＋3y＝0，因为直线过定点，所以解得故定点为(，－)．故选B． 法二：因为m＋2n－1＝0，所以m＋2n＝1.因为mx＋3y＋n＝0，所以(mx＋n)＋3y＝0，当x＝ 时，mx＋n＝m＋n＝，所以3y＝－，所以y＝－，故直线过定点.故选B． C．若l1⊥l2，则m＝－ D．若l1⊥l2，则m＝ 若l1∥l2，则1×3－m(m－2)＝0，解得m＝3 或m＝－1，当m＝－1 时，l1：x－y－1＝0，l2：x－y－1＝0，l1 与l2 重合，所以m＝－1 (舍去)，故m＝3，故A不正确，B正确；若l1⊥l2，则1×(m－2)＋m×3＝0，解得m＝，故C不正确，D正确．故选BD． A． B．1 C．－ D．－ 由 得 所以两条直线交于点(－1，－2).当x＋2ny＋n＝0 也过(－1，－2)时，－1＋2n×(－2)＋n＝0，解得n＝－，此时三条直线交于同一点，不能构成三角形；当x＋3y＋7＝0 与x＋2ny＋n＝0 平行时，有2n＝3，则n＝，不能构成三角形；当x－y－1＝0 与x＋2ny＋n＝0 平行时，有2n＝－1，则n＝－，不能构成三角形，所以n≠ 且n≠－ 且n≠－.故选ACD． 设直线2x＋4y－5＝0 上任意一点P(x0，y0)关于直线x＝2对称的点为Q(x，y)，则 所以 代入2x0＋4y0－5＝0，得2(4－x)＋4y－5＝0，整理得2x－4y－3＝0. 11．已知直线l过直线l1：x－y＋1＝0 和l2：x＋y－＝0 的交点A，且原点到直线l 的距离为，则直线l 的方程为 ____________________． x＝ 或x－y＋1＝0 由 解得 故A.①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x＝，原点(0，0) 到直线x＝ 的距离为，符合题意． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y－＝k，即kx－y－k＋＝0.由原点(0，0)到直线l 的距离d＝＝，解得k＝，故直线l 的方程为x－y＋1＝0.综上所述，直线l 的方程为x＝ 或x－y＋1＝0. 则|MA|＝|MA′|，所以|MA|＋|MB|＝|MA′|＋|MB|≥|A′B|，当A′，B，M 三点共线时取等号，即A′，B，M 三点共线时，|MA|＋|MB| 最小．设A′(a，b)，则 解得 即A′(2，－8)，因为B(2，4)，所以直线A′B 的方程为x＝2.由 解得 即M(2，－3). D．存在实数m，使得以线段AB为直径的圆上的点到直线l的最大距离为＋ 因为直线l：mx＋y－m＋1＝0，A(1，2)，B(3，4)，所以直线l的斜率为－m，直线AB的斜率为1，故当m＝1时，直线l与直线AB垂直；当m＝－1时，直线l与直线AB平行，故AB正确；直线l：mx＋y－m＋1＝0，即m(x－1)＋y＋1＝0，令求得可得直线经过定点P(1，－1)，由于AP＝3，故点A到直线l的最大距离为3，故C错误； 由于A(1，2)，B(3，4)，AB＝＝2，故以AB为直径的圆的圆心Q(2，3)，且PQ＝＝，又圆的半径为，圆心Q到直线l的最大距离为，故以线段AB为直径的圆上的点到直线l的最大距离为＋，故D正确．故选ABD． ＋ 由直线l1与l2间的距离为得|PQ|＝，过B(4，0)作直线l垂直于l1：x－y＋1＝0，如图， 则直线l的方程为：y＝－x＋4，将B(4，0)沿着直线l往上平移个单位到B′点，有B′(3，1)，连接AB′交直线l1于点P，过P作PQ⊥l2于Q，连接BQ，有BB′∥PQ，|BB′|＝|PQ|，即四边形BB′PQ为平行四边形，则|PB′|＝|BQ|，即有|AP|＋|QB|＝|AP|＋|PB′|＝|AB′|，显然|AB′|是直线l1上的点与点A，B′距离和的最小值，因此|AP|＋|QB|的最小值，即|AP|＋|PB′|的最小值|AB′|，而|AB′|＝＝，所以|AP|＋|PQ|＋|QB|的最小值为|AB′|＋|PQ|＝＋. A． B． C． D． 如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则A，B，故直线AB：＝，整理得x－y＋＝0，原点O到直线AB的距离为＝.故选B． 16．(新定义)[多选题](2024·山东泰安模拟)“出租车几何”或“曼哈顿距离”(ManhattanDistance)是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系xOy内，对于任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义它们之间的“欧几里得距离”|AB|＝，“曼哈顿距离”为||AB||＝|x1－x2|＋|y1－y2|，则下列说法正确的是 A．若点P为线段x＋y＝3(x，y≥0)上任意一点，则||OP||为定值 B．对于平面上任意一点P，若||OP||＝2，则动点P的轨迹长度为4π C．对于平面上任意三点A，B，C，都有||AB||≤||AC||＋||BC|| D．若A，B为椭圆x2＋4y2＝4上的两个动点，则||AB||的最大值为2 对于A选项，设点P(x，y)为线段x＋y＝3(x，y≥0)上任意一点，则||OP||＝|x|＋|y|＝x＋y＝3，故A正确；对于B选项，设点P(x，y)，则||OP||＝|x|＋|y|＝2，当x≥0，y≥0时，则x＋y＝2；当x≤0，y≥0时，则－x＋y＝2；当x≤0，y≤0时，则－x－y＝2；当x≥0，y≤0时，则x－y＝2. 由图可知，点P的轨迹是边长为2的正方形，故动点P的轨迹长度为8，故B错误；对于C选项，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由绝对值三角不等式可得|x1－x2|＝|(x1－x3)－(x2－x3)|≤|x1－x3|＋|x2－x3|，同理可得|y1－y2|≤|y1－y3|＋|y2－y3|，所以|x1－x2|＋|y1－y2|≤|x1－x3|＋|x2－x3|＋|y1－y3|＋|y2－y3|，即||AB||≤||AC||＋||BC||，故C正确；对于D选项，设点A(2cos α，sin α)，B(2cos β，sin β)，不妨设cos α>cos β，sin α>sin β，则||AB||＝|2cos α－2cos β|＋|sin α－sin β|＝2cos α－2cos β＋sin α－sin β＝sin(α＋φ)－sin(β＋φ)≤2，其中φ为锐角，且tan φ＝2，取α＝－φ，β＝－φ，等号成立，故D错误．故选AC． $$