6.1 平面向量的概念及线性运算（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§6.1　平面向量的概念及线性运算 第六章 平面向量及其应用、复数 课程标准 1．通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景， 理解平面向量的意义和两个向量相等的含义． 2．理解平面向量的几何表示和基本要素． 3．借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及 运算规则，理解其几何意义． 4．通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几 何意义．理解两个平面向量共线的含义． 5．了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 返回 理清主干知识 1．向量的有关概念及向量的基本关系 (1)向量的概念与表示 名称 定义 备注 向量 既有______又有______的量；向量的大小叫作向量的____ 向量由方向和长度确定，不受位置影响 零向量 长度为___的向量 其方向是任意的，记作___ 单位向量 模等于_____________的向量 非零向量a的单位向量为± 大小 方向 模 0 0 1个单位长度 (2)向量的基本关系 名称 定义 备注 相等向量 长度______且方向______的向量. 向量a与b相等，记作a＝b 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度______、方向______的向量 0的相反向量为0 a的相反向量为－a 共线向量(平行向量) 方向______或______的非零向量，记作a∥b 0与任一向量______(或平行) 相等 相同 相等 相反 相同 相反 共线 微提醒　向量概念的4点注意： (1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0；(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同；(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性；(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上． 名称 定义 备注 向量的夹角 已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作 ＝a， ＝b，则θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角 当θ＝0°时，a与b______；当θ＝180°时，a与b______；当θ＝90°时，a与b垂直，记作__________. 规定零向量可与任一向量垂直 同向 反向 a⊥b 2．向量的线性运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 向量的加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：a＋b＝______ (2)结合律：(a＋b)＋c＝_________ 向量的减法 向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量 a－b＝a＋(－b) 平行四边形 三角形 三角形 b＋a a＋(b＋c) 定义 法则(或几何意义) 运算律 向量的数乘运算 实数λ与向量a的乘积是一个______，记作λa (1)方向：当λ>0时，向量λa与向量a的方向______；当λ<0时，向量λa与向量a的方向______；当λ＝0时，0a＝0 (2)模：|λa|＝|λ||a| 设λ，μ是实数. (1)(λ＋μ)a＝________； (2)λ(μ a)＝________； (3)λ(a＋b)＝________ 微提醒　向量加法的多边形法则 多个向量相加，利用向量加法的三角形法则，首尾顺次连接，a＋b＋c表示从起点指向终点的向量． 向量 相同 相反 λa＋μa (λμ)a λa＋λb 3．向量的数乘与向量共线的关系 a＝λb 方向 向量 记牢常用结论 1．若a，b为不共线向量，则a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形的对角线向量，如图． 练透教材典题 1．[多选题]下列命题中，正确的是 A．若a与b都是单位向量，则a＝b B．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 C．若用有向线段表示的向量 不相等，则点M与N不重合 D．海拔、温度、角度都不是向量 √ √ 2．(链接北师必修二P78T4)如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与 共线的向量有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 √ √ 4．(链接北师必修二P92T3)(2024·江西九江模拟)设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝______． －4 返回 考点探究　精准突破 返回 返回 考点一 平面向量的基本概念 基础练 例1 (1)[多选题]给出下列命题，不正确的有 A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B．若A，B，C，D是不共线的四点，且 ，则四边形ABCD为平行四边形 C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线 √ √ √ (2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是 √ 规律方法 平行向量有关概念的四个关注点 1．非零向量的平行具有传递性． 2．共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． 3．向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． 4． 是与a同方向的单位向量． 对点练1.(2024·北京模拟)设a，b为非零向量，则“|a＋b|<|a|＋|b|”是“a与b不共线”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 √ a与b不共线，则“|a＋b|<|a|＋|b|”，当a与b反向时，满足|a＋b|<|a|＋|b|，但不能得到a与b不共线，所以“|a＋b|<|a|＋|b|”是“a与b不共线”的必要而不充分条件．故选B． 考点二 平面向量的线性运算 多维练 例2 角度1　向量加、减法的几何意义 (2023·山东德州模拟)已知单位向量e1，e2，…，e2 023，则|e1＋e2＋…＋e2 023|的最大值是________，最小值是____． 当单位向量e1，e2，…，e2 023方向相同时，|e1＋e2＋…＋e2 023|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2 023|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2 023|＝2 023；当单位向量e1，e2，…，e2 023首尾相连时，e1＋e2＋…＋e2 023＝0，所以|e1＋e2＋…＋e2 023|的最小值为0. 2 023 0 角度2　向量的线性运算 例3 √ √ 例4 角度3　根据向量线性运算求参数 √ 规律方法 平面向量线性运算的解题策略 策略一：常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则． 策略二：用指定向量表示某个向量问题的基本技巧： (1)观察各向量的位置； (2)寻找相应的三角形或多边形； (3)运用法则找关系； (4)化简结果． 策略三：与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值或范围． 规律方法 对点练2.(1)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则 A．a⊥b B．|a|＝|b| C．a∥b D．|a|>|b| √ 法二：因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，所以a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，所以a·b＝0，所以a⊥b.故选A． √ √ 考点三 共线定理及其应用 综合练 设两个非零向量a和b不共线． 例5 所以A，B，D三点共线． (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线． 解：因为ka＋b与a＋kb共线， 所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即k＝±1时，ka＋b与a＋kb共线． 1．(变条件)若将本例(1)中条件“ ＝2a＋8b”改为“ ＝a＋mb”，则m＝____时，A，B，D三点共线． 7 变式探究 2．(变结论)若将本例(2)中的条件“共线”改为“反向共线”，则k＝___． －1 规律方法 共线(平行)向量基本定理的应用 1．证明向量共线：对于向量a，b(b≠0)，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线． 2．证明三点共线：若存在实数λ，使 ，则A，B，C三点共线[如本例(1)]． 3．求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值[如本例(2)]． √ √ √ 返回 课时测评 返回 返回 1．下列说法正确的是 A．向量 与向量 的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反 D．向量的模是一个正实数 √ 对于A项， 的长度相等，方向相反，故A正确；对于B项，两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故B错误；对于C项，向量a与b平行时，若a或b为零向量，不满足条件，故C错误；对于D项，向量的模是一个非负实数，故D错误．故选A． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．点P不在直线BC上 B．点P在CB的延长线上 C．点P在线段BC上 D．点P在BC的延长线上 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．0 B．－1 C．1 D．2 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．(2024·四川成都模拟)关于向量a，b，c，下列命题中正确的是 A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若a∥b，b∥c，则a∥c C．若a＝－b，则a∥b D．若|a|>|b|，则a>b √ 选项A，因为|a|＝|b|，只说明两向量的模长相等，但方向不一定相同，故选项A错误；选项B，当b＝0时，有a∥b，b∥c，但a可以和c不平行，故选项B错误；选项C，若a＝－b，由相反向量的条件知a∥b，故选项C正确；选项D，因为向量不能比较大小，只有模长才能比较大小，故选项D错误．故选C． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．[多选题]下列选项中的式子，结果为零向量的是 √ √ 利用向量运算，易知A，D中的式子结果为零向量．故选AD． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当D点在线段BC的延长线上时，如图， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －8 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(新考法)已知向量＝a，＝b，P1，P2，…，Pn－1(n∈N，n>1)是线段AB上依次从A到B排列的n等分点，若OP5＝xa＋yb，则x＋y＝______，OP1＋ OP2＋…＋OPn－1＝______(a＋b)． 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1∶6 设S△AOB＝x，S△BOC＝y，S△AOC＝z，则S△A′OB＝2x，S△BOC′＝3y，S△A′OC′＝6z，由2x＝3y＝6z，可得S△AOC∶S△ABC＝z∶(x＋y＋z)＝1∶6. 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢谢观看 本节到此结束 2．三点共线的等价转化 A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)． 3．向量的中线公式 若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝(＋)． 4．若G为△ABC的重心，则有 (1)＋＋＝0. (2)＝(＋)． 与 由题图可知，根据正六边形的性质，与共线的有，，，共3个．故选C． 3．(用结论)在△ABC中，＝2，点P在CD上，且＝m＋(m∈R)，则m＝ A． B． C． D． 因为＝2，所以＝，所以＝m＋＝m＋×＝m＋，又P，C，D三点共线，所以m＋＝1，得m＝.故选D． 因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以存在λ(λ<0)，使得ka＋2b＝λ(8a＋kb)，又a，b是两个不共线的非零向量，所以解得或(舍去)，故k＝－4. ＝ A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B正确，因为＝，所以||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．故选ACD． A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 易知与不平行，与不平行，所以＝，＝均错误；与平行，但方向相反，所以与不相等；只有与方向相同，且大小都等于线段EF的长度的一半，所以＝.故选D． (1)(2024·山东潍坊二模)在△ABC中，BD＝BC，点E是AD的中点，记＝a，＝b，则＝ A．－a＋b B．－a＋b C．－a－b D．a－b 由题设，＝(＋)＝(＋)＝＝－＋，所以＝－a＋b.故选B． 在▱ABCD中，＝3，＝a，＝b，所以＝＝＋＝－＝(－)－＝a－b.故选D． (2)(2024·北京密云三模)平行四边形ABCD中，点M在边AB上，AM＝3MB，记＝a，＝b，则＝ A．a－b B．b－a C．b－a D．a－b 在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于 A． B． C．－ D．－ 由题意，知＝＝(＋)＝＋×＝＋(－)＝－＋，又＝λ＋μ，所以λ＝－，μ＝，则λ＋μ＝.故 选A． 法一：利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD中，设＝a，＝b，由|a＋b|＝|a－b|知，||＝||，从而平行四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A． (2)点G为△ABC的重心，设＝a，＝b，则等于 A．b－2a B．a－b C．a＋b D．2a＋b 如图所示，由题意可知＋＝，故＝－2＝b－2a.故选A． (3)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)．若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是 A．(0，) B．(0，) C．(－，0) D．(－，0) 依题意，设＝λ(1<λ<)，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，又＝x＋(1－x)，所以x＝1－λ.因为1<λ<，所以－<1－λ<0，即－<x<0.故选D． 所以，共线． 又与有公共点B， (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线； 解：证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b， ＝3(a－b)， 所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5， 即解得k＝±1. ＝＋＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使＝λ，即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，所以4a＋(m－3)b＝λa＋λb，所以解得m＝7.故当m＝7时，A，B，D三点共线． 因为ka＋b与a＋kb反向共线，所以存在实数λ(λ<0)，使ka＋b＝λ(a＋kb)，所以所以k＝±1.又λ<0，k＝λ，所以k＝－1.故当k＝－1时，两向量反向共线． ＝λ 对点练3.[多选题]已知A，B，C是三个不同的点，＝a－b，＝2a－3b，＝3a－5b，则下列结论正确的是 A．＝2 B．＝ C．＝3 D．A，B，C三点共线 因为＝a－b，＝2a－3b，＝3a－5b，所以＝－＝a－2b，＝－＝2a－4b，所以＝2，故A正确；由＝2，可知∥，A为公共点，所以A，B，C三点共线，故D正确；又＝－＝a－2b，所以＝，＝2，故B正确，C错误．故选ABD． 与 2．(2024·北京海淀模拟)在△ABC中，点P满足＝2－，则 因为＝2－，得－＝－，所以＝，所以B，P，C三点共线，且点P在CB的延长线上．故选B． 3．(2024·浙江丽水模拟)如图所示，单位圆上有动点A，B，当|－|取得最大值时，|－|等于 因为|－|＝||，A，B是单位圆上的动点，所以|－|的最大值为2，此时与反向．故选D． 5．(2024·海南海口二模)如图，在△ABC中，E是AB的中点，＝2，＝，EF与AD交于点M，则＝ A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ 在△ABC中，设＝λ，λ∈R，由＝2，可 得－＝2－2，即＝＋，故 ＝λ＝λ＋λ.又E是AB的中点，＝， 所以＝2，＝，所以＝λ＝λ＋λ.由点E，M，F三点共线，可得＋＝1，解得λ＝，故＝＋.故选A． A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－ 由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.因为a，b不共线，所以λ＝k，且2λk－k＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－，又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－.故选B． A．＋＋ B．＋＋＋ C．＋＋＋ D．－＋－ 8．[多选题]已知4－3＝，则下列结论正确的是 A．A，B，C，D四点共线 B．C，B，D三点共线 C．||＝|| D．||＝3|| 因为4－3＝，所以3－3＝－，所以3＝，因为，有公共端点B，所以C，B，D三点共线，且||＝3||，所以B，D正确，A错误；由4－3＝，得＝3－3＋＝3＋，所以||≠||，所以C错误．故选BD． 9．[多选题](2024·江苏苏州模拟)在△ABC中，记＝a，＝b，点D在直线BC上，且BD＝3DC．若＝ma＋nb，则的值可能为 A．－2 B．－ C． D．2 当D点在线段BC上时，如图，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，所以＝＝； ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋＝－a＋b，则＝＝－.故选BC． 即|＋＋|＝2. 10．若正六边形ABCDEF的边长为2，中心为O，则|＋＋|＝________． 2 正六边形ABCDEF中，＋＋＝＋＋＋＝＋＝，在△AEF中，∠AFE＝120°，AF＝EF＝2，所以||＝＝2， 11．(2024·湖北枣阳模拟)设点M是▱ABCD的对角线的交点，O为任意一点，满足＋＋＋＝λ，则λ为______． 因为M是▱ABCD的对角线的交点，所以M为AC中点，故＋＝0，所以－＋－＝0，故＋＝2，同理＋＝2，所以＋＋＋＝4，故λ＝4. 12．(2024·四川成都模拟)e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝______． 依题意得，＝－e1－3e2，于是＝＋＝－e1－3e2＋2e1－e2＝e1－4e2，由A，B，D三点共线可知，存在λ，使得＝λ，即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，由于e1，e2是两个不共线的向量，则解得k ＝－8. 13．[多选题]点P是△ABC所在平面内一点，且满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC不可能是 因为点P是△ABC所在平面内一点，且|－|－|＋－2|＝0，所以||－|(－)＋(－)|＝0，即||＝|＋|，所以|－|＝|＋|，等式两边平方并化简得·＝0，所以⊥，∠BAC＝90°，则△ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形．故选AD． 14．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n(m，n∈R)，则＋＝______． 因为＝(＋)＝＋，又P，Q，G三点共线，故＋＝1，得＋＝3. 由三点共线知，x＋y＝1.由题知OP1＋OP2＋…＋OPn－1＝[a＋(b－a)]＋[a＋(b－a)]＋…＋＝(n－1)a＋(＋＋…＋)(b－a)＝(n－1)a＋×(b－a)＝(n－1)a＋(b－a)＝(a＋b)． 16．(新角度)若2＋＋3＝0，S△AOC，S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，则S△AOC∶S△ABC＝________． 若2＋＋3＝0，设＝2，＝3，可得O为△A′BC′的重心，如图， $$