3.1 导数的概念及其意义、导数的计算（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§3.1　导数的概念及其意义、导数的计算 第三章　导数及其应用 课程标准 1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程， 了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学 表达，体会导数的内涵与思想．　 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．　 3．能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝ 的导数．　 4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则， 求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的 导数，会用导数公式表． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 返回 微提醒　Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0. 理清主干知识 f′(x0)(x－x0) 3．基本初等函数的导数公式 函数 导数 y＝c(c是常数) y′＝___ y＝xα(α是实数) y′＝αxα－1 y＝ax(a>0，a≠1) y′＝__________，特别地(ex)′＝____ y＝logax(a>0，a≠1)   y′＝______，特别地(ln x)′＝______ y＝sin x y′＝_________ y＝cos x y′＝___________ y＝tan x   y′＝________ 0 axln a ex cos x －sin x 4．导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)＋g(x)]′＝_________________， (2)[f(x)－g(x)]′＝________________， (3)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)， 特别地：[kf(x)]′＝kf′(x)(k∈R)． f′(x)＋g′(x) f′(x)－g′(x) 5．复合函数的定义及其导数 (1)定义：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数_________和__________的复合函数，记作___________，其中u为中间变量． (2)复合函数的求导法则 复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为：y′x＝____________＝___________，其中u＝φ(x)． y＝f(u) u＝φ(x) y＝f(φ(x)) [f(φ(x))]′ f′(u)φ′(x) 记牢常用结论 1．区分在点处的切线与过点处的切线 (1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数． 3．可导函数y＝f(x)的导数为f′(x)，若f′(x)为增函数，则f(x)的图象是下凹的；反之，若f′(x)为减函数，则f(x)的图象是上凸的． 练透教材典题 √ √ √ √ √ 3．(用结论)已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝ a，则下列不等式正确的是 A．f′(1)<f′(2)<a B．f′(1)<a<f′(2) C．f′(2)<f′(1)<a D．a<f′(1)<f′(2) √ 由题图象可知，函数在[0，＋∞)上的增长越来越快，故函数图象在点(x0， f(x0))(x0∈(0，＋∞))的切线的斜率越来越大，因为 ＝a，所以f′(1)<a<f′(2)．故选B． √ 返回 考点探究　精准突破 返回 返回 考点一 导数的运算 基础练 例1 求下列函数的导数： (1)y＝x2sin x； 解：y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x. (2)y＝ln ； 规律方法 1．求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． 2．抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． 3．复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．　　 √ (excos 2x)′＝(ex)′cos 2x＋ex(cos 2x)′＝excos 2x－2·exsin 2x＝ex(cos 2x－2sin 2x)，故C正确； (1)(2024·河北张家口三模)函数f(x)＝xex－2ex＋x＋e在(1，f(1))处的切线方程为 A．y＝x B．y＝2x－1 C．y＝ex－e＋1 D．y＝－ex＋e＋1 考点二 导数的几何意义 综合练 例2 √ f′(x)＝ex＋xex－2ex＋1＝(x－1)ex＋1，f′(1)＝1，f(1)＝1，所以所求切线方程为y－1＝x－1，即y＝x.故选A． 角度1　求切线方程 (2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为______， _________． 角度2　求参数的值(范围) 例3 √ (2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_______________________． (－∞，－4)∪(0，＋∞) 已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________． 例4 角度3　导数与函数图象问题 0 规律方法 1．求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同．求过某点的切线方程，要先设出切点坐标，再依据条件建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键． 2．处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数： (1)切点处的导数是切线的斜率． (2)切点在切线上，故满足切线方程． (3)切点在曲线上，故满足曲线方程．　　 对点练2．(1)如图，函数y＝f(x)的图象在点P(1，y0)处的切线是l，则f(1)＋f′(1)＝ A．1 B．2 C．0 D．－1 √ (2)已知曲线y＝ax2＋ 在(1，a)处的切线方程为y＝ex＋1＋b，则a＋b＝ A．e－1 B．－2 C．0 D．e √ (3)(2024·北京一模)过坐标原点作曲线y＝ex－2＋1的切线，则切线方程为 A．y＝x B．y＝2x C．y＝ x D．y＝ex √ 由函数y＝ex－2＋1，可得y′＝ex－2，设切点坐标为(t，et－2＋1)，可得切线方程为y－(et－2＋1)＝et－2(x－t)，把原点(0，0)代入方程，可得0－(et－2＋1)＝et－2(0－t)，即(t－1)et－2＝1，解得t＝2，所以切线方程为y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x.故选A． 考点三 两曲线的公切线 多维练 (1)(新情境)(2024·重庆联合诊断)在“数学王国”中有许多例如π，e等美妙的常数，我们记常数φ为ln x＝ 的根，若曲线y＝ex－a与y＝ln x存在公切线，则实数a的取值范围是 A．(－∞，φ＋ln φ] B．(－∞，－φ－ln φ] C．[φ＋ln φ，＋∞) D．[－φ－ln φ，＋∞) √ 例5 √ (2)(2024·河南襄城三模)已知函数f(x)＝x3－x＋a的图象关于原点对称，则与曲线y＝f(x)和y＝x2＋ 均相切的直线l有 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 规律方法 　　公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组 求解． 对点练3．(1)(2024·江苏南通模拟)若曲线f(x)＝ax(a>1)与曲线g(x)＝logax(a>1)有且只有一个公共点，且在公共点处的切线相同，则实数a的值为 A．e B．e2 √ √ (2)(2024·河北石家庄模拟)若曲线f(x)＝3x2－2与曲线g(x)＝－2－mln x(m≠0)存在公切线，则实数m的最小值为 A．－6e B．－3e C．2 D．6e 返回 课时测评 返回 返回 √ 1．在可导函数f(x)，g(x)中，已知f(1)＝－1，f′(1)＝2，g(1)＝－2，g′(1)＝1，则f(x)·g(x)在x＝1时的导数值是 A．－5 B．4 C．－4 D．2 令h(x)＝f(x)·g(x)，则h′(x)＝f′(x)·g(x)＋g′(x)·f(x)，则h′(1)＝f′(1)·g(1)＋g′(1)·f(1)＝2×(－2)＋1×(－1)＝－5.故选A. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3．(2024·四川成都模拟)如图，曲线y＝f(x)在点(2，2)处的切线为直线l，直线l经过原点O，则f′(2)＋f(2)＝ A．1 B．2 C．3 D．4 由题意，f(2)＝2，且f′(2)＝ ＝1，所以f′(2)＋f(2)＝1＋2＝3.故选C． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4．(2024·山东济宁二模)已知直线y＝x－1与曲线y＝ex＋a相切，则实数a的值为 A．－2 B．－1 C．0 D．2 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 8．[多选题]已知函数f(x)＝x(x＋1)(x－1)，过点(1，0)的直线l与曲线y＝f(x)相切，则与直线l垂直的直线为 A．4x－y＋2＝0 B．x－2y＋8＝0 C．x＋y－5＝0 D．2x＋4y－3＝0 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．[多选题](2024·安徽合肥模拟)已知函数f(x)＝ex＋2(e为自然对数的底数)，则下列结论正确的是 A．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－2 B．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是3 C．过点(0，2)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条 D．过点(1，4)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2条 √ √ 因为f(x)＝ex＋2，所以f′(x)＝ex，对于A，令f′(x)＝ex＝－2，方程无解，所以曲线y＝f(x)的切线斜率不可以是－2，故A错误；对于B，令f′(x)＝ex ＝3，解得x＝ln 3，所以曲线y＝f(x)的切线斜率可以是3，故B正确； √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．函数y＝x3在区间[0，2]的平均变化率与在x＝x0(0≤x0≤2)处的瞬时变 化率相同，则正数x0＝________． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．(2023·广东茂名二模)已知曲线f(x)＝x3＋x－3x 在x＝1处的切线与g(x) ＝acos x在x＝ 处的切线平行，则a的值为__________． －3 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(2024·四川广元模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝3x2－xf′(1)＋2ln x．则f(x)的图象上任意一点处的切线的斜率的取值范围为________________． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．[多选题]已知函数f(x)＝x3－mx，若过点P(－1，1)恰能作2条曲线y＝f(x)的切线，则m的值可以为 A．0 B．1 C．2 D．3 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(2024·福建南平模拟)已知曲线y＝aln x和曲线y＝x2有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为_______________． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(新角度)(2024·江苏南京模拟)已知a＝ ，b＝log23，c＝e2，设曲线 y＝ln x3－x3在x＝k，k>0处的切线斜率为f(k)，则 A．f(c) <f(b)<f(a) B．f(a)<f(c)<f(b) C．f(c)<f(a)<f(b) D．f(a)<f(b)<f(c) √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(新定义)[多选题]给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f ″(x)＝(f′(x))′.若 f ″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在 上是凸函数的是 A．f(x)＝cos x＋sin x B．f(x)＝ln x＋3x C．f(x)＝－x3＋4x－8 D．f(x)＝xex √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢谢观看 本节到此结束 1．平均变化率与瞬时变化率 (1)平均变化率 ①定义式：＝________________． ②实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． ③作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． ④几何意义：已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图象上两点，则＝，平均变化率表示割线P1P2的斜率． (2)瞬时变化率 ①定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则该函数的平均变化率为＝＝.如果当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率． ②作用：刻画函数在某一点处变化的快慢． 2．导数的概念及其几何意义 (1)函数y＝f(x)在点x0处的导数 称函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数，通常用符 f′(x0)表示，记作f′(x0)＝ ＝___________________________． (2)导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝________________． (3)函数y＝f(x)的导函数 一般地，如果一个函数y＝f(x)在区间(a，b)的每一点x处都有导数f′(x)＝ _______________________，那么f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为y＝f(x)的导函 (4)′＝(g(x)≠0)， 1．[多选题]下列说法中正确的有 A．′＝cos B．已知函数f(x)在R上可导，且f′(1)＝1，则＝1 C．一质点A沿直线运动，位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y(t)＝t2＋1，则该质点在t＝2 s时的瞬时速度是4 m/s D．若y＝f(x)·g(x)，则y′＝f′(x)·g′(x) 2．[多选题](链接北师选必二P69T4)下列结论中正确的有 A．′＝2cos B．(ln 2x)′＝ C．(2xex)′＝2ex(x＋1) D．′＝2x＋ 对于A，′＝2cos ，故A正确；对于B，(ln 2x)′＝＝，故B错误；对于C，(2xex)′＝2[x′ex＋(ex))′x]＝2ex(x＋1)，故C正确；对于D，′＝(x2＋(x)′＝(x2)′＋(x)′＝2x＋x＝2x＋，故D正确．故选ACD． 4．(2023·全国甲卷)曲线y＝在点(1，)处的切线方程为 A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 设曲线y＝在点(1，)处的切线方程为y－＝k(x－1)，因为y＝，所以y′＝＝，所以k＝y′|x＝1＝，所以y－＝(x－1)，所以曲线y＝在点(1，)处的切线方程为y＝x＋.故选C． 解：因为y＝ln＝ln(1＋x2)，所以y′＝×＝. (3)y＝； 解：y′＝′＝＝－. (4)y＝xsincos. 解：因为y＝xsincos＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x， 所以y′＝－sin 4x－x·4cos 4x＝－sin 4x－2xcos 4x. 对点练1．下列求导运算正确的是 A．′＝＋ B．(x2ex)′＝2xex C．(excos 2x)′＝ex(cos 2x－2sin 2x) D．′＝2＋ ′＝－，故A错误；(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex，故B 错误； ′＝，故D错误．故选C． y＝x y＝－x 先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，则由y′＝，得切线斜率为，又切线的斜率为，所以＝，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，所以切线斜率为，切线方程为y＝x.同理可求得当x<0时的切线方程为y＝－x.综上可知，两条切线方程为y＝x，y＝－x. 　　 (1)(2024·山东济南模拟)若曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则a的值为 A．－ B．－ C． D．1 由题设，知在点(0，1)处的切线的斜率为k＝－，又因为y′＝2a·e2ax，所以y′|x＝0＝2a＝－，解得a＝－.故选A． 因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，依题意，当曲线的切线过原点时，切线斜率kOA＝y′|x＝x0＝(x0＋a＋1)ex0＝，化简，得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，所以f′(3)＝－.因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×(－)＝0. 由图象可得切线过点(2，0)，(0，2)，所以切线l的方程为＋＝1，即y＝2－x，所以切线的斜率为－1，所以f′(1)＝－1，因为点P(1，y0)在切线上，所以y0＝2－1＝1，所以f(1)＝1，所以f(1)＋f′(1)＝1－1＝0.故选C． 由y＝ax2＋，得y′＝2ax＋，因为曲线y＝ax2＋在(1，a)处的切线方程为y＝ex＋1＋b，所以解得所以a＋b＝＝－2.故选B． 设公切线与曲线y＝ln x和y＝ex－a的切点分别为A(x0，ln x0)，B(x1， e)，则易求得公切线为y＝(x－x0)＋ln x0，即y＝x＋ln x0－1， 而切线斜率k＝＝e，所以x1＝a－ln x0，则B(a－ln x0，)， 由点B在公切线上，得＝(a－ln x0)＋ln x0－1，化简得a＝1＋x0＋ln x0－x0ln x0，其中x0>0，令g(x)＝1＋x＋ln x－xln x，其中x>0，则g′(x)＝－ln x，易知g′(x)在(0，＋∞)上单调递减，而φ为ln x＝的根，即φ为g′(x)＝－ln x的零点，所以当x∈(0，φ)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(φ，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，故g(x)≤g(x)max＝g(φ)＝1＋φ＋ln φ－φln φ＝φ＋ln φ，所以g(x)≤φ＋ln φ，所以a≤φ＋ln φ.故选A． 函数f(x)＝x3－x＋a的图象关于原点对称，则有f(－x)＝－f(x)，即(－x) 3－(－x)＋a＝－(x3－x＋a)(x3－x＋a)，解得a＝0，所以f(x)＝x3－x，f′(x)＝3x2－1，所以y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－＝(x－x1)，整理得y＝x－2x.设g(x)＝x2＋，直线l与g(x)的图象相切于点(x2，g(x2))，因为g′(x)＝2x，所以切线方程为y－＝2x2(x－x2)，整理得y＝2x2x－x＋， 则(*)，整理得2－2x－＝x－2x－x＝(9x－8x1－6)＝0，当9x－8x1－6＝0时，Δ＝82＋4×9×6>0，方程有两个非零实数根，x1＝0也满足方程，故x1有3个解，所以方程组(*)有3组解，故满足题中条件的直线l有3条．故选C． C．e D． 易得f′(x)＝ln a·ax，g′(x)＝(a>1)，设公共点为(x0，y0)，则由题意可得即⇒＝x0·ln x0，且ln a·a＝⇒x0·a＝＝(x0·ln x0) 2⇒a＝x0·(ln x0)2⇒x0·ln a＝2ln (ln x0)＋ln x0＝； 令ln x0＝t，则上式可化为：2ln t＋t－＝0，记h(t)＝2ln t＋t－，则h′(t)＝≥0恒成立，即h(t)＝2ln t＋t－在(0，＋∞)上单调递增，而h(1)＝0，故满足2ln t＋t－＝0的根只有t＝1，即故选C． 因为f(x)＝3x2－2，g(x)＝－2－mln x(m≠0)，所以f′(x)＝6x，g′(x)＝－，设公切线与f(x)切于点，与曲线g(x)切于点(x2，－2－mln x2) (x2>0)， 所以6x1＝－＝＝，所以m＝－6x1x2， 所以6x1＝，所以x1＝0或x1＝2x2－2x2ln x2，因为m≠0，所以x1≠0，所以x1＝2x2－2x2ln x2，所以m＝－6(2x2－2x2ln x2) x2＝12xln x2－12x，令h(x)＝12x2ln x－12x2(x>0)，则h′(x)＝12x(2ln x－1)，所以当0<x<时，h′(x)<0，当x>时，h′(x)>0，所以h(x)在上单调递减，在上单调递增，所以h(x)min＝h＝－6e，所以实数m的最小值为－6e.故选A． 2．(2024·山东潍坊模拟)设f(x)为R上的可导函数，且＝ －2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为 A．2 B．－1 C．1 D．－ f′(1)＝＝－ ＝1.故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为1.故选C． 设切点为(x0，y0)，易知y′＝ex＋a，则解得故选A． 5．(数学建模)(2024·河南校联考模拟预测)某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到15米．假设在该海湾某一固定点，大海水深d(单位：m)与午夜后的时间t(单位：h)之间的关系为d(t)＝10＋4cos t，则下午 5∶00时刻该固定点的水位变化的速度为 A． B． C．－ D．－ 由d(t)＝10＋4cos t，则d′(t)＝－sin t，所以下午5∶00时刻该固定点的水位变化的速度为d′(17)＝－sin ＝－sin (5π＋)＝－×＝.故选A． 6．(2024·吉林长春模拟)已知a>0，若点P为曲线C1：y＝＋ax与曲线C2：y＝2a2ln x＋m的交点，且两条曲线在点P处的切线重合，则实数m的最大值为 A．e B．e C． D．2e 设点P的横坐标为n(n>0)，则由y＝＋ax可得y′＝x＋a，k＝n＋a，由y＝2a2ln x＋m可得y′＝，k＝，所以n＋a＝(a>0)，解得n＝a或n＝－2a(舍去)，由点P为曲线C1：y＝＋ax与曲线C2：y＝2a2ln x＋m的交点，所以P(n，＋an)与P(n，2a2ln n＋m)为同一点，所以＋an＝2a2ln n＋m，即m＝－2a2ln a＋a2，令f(a)＝－2a2ln a＋a2(a>0)，则f′(a)＝－4aln a＋a＝a(1－4ln a)，令f′(a)＝0可得a＝e，由a>0知，当0<a<e时，f′(a)>0，当a>e时，f′(a)<0，所以f(a)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以f(a)max＝f(e)＝e，故实数m的最大值为e.故选B． 7．[多选题]下列求导运算正确的是 A．(exsin 2x)′＝ex(sin 2x＋2cos 2x) B．[(x2＋2))sin x]′＝2xsin x＋(x2＋2) cos x C．[ln (3x＋2)]′＝ D．′＝ 对于A, (exsin 2x)′＝exsin 2x＋ex·2cos 2x＝ex(sin 2x＋2cos 2x)，故A正确；对于B，[(x2＋2))sin x]′＝(x2＋2)′sin x＋(x2＋2)(sin x)′＝2xsin x＋(x2＋2) cos x，故B正确；对于C，[ln (3x＋2)]′＝，故C错误；对于D，′＝＝，故D正确．故选ABD． f(x)＝x(x＋1)(x－1)＝x(x2－1)＝x3－x，则f′(x)＝3x2－1，设切点坐标 为，则f′(x0)＝3x－1，所以切线方程为y－(x－x0)＝(3x－1) (x－x0)，又切线过点(1，0)，所以0－(x－x0)＝(3x－1)(1－x0)，即 2x－3x＋1＝0，故(2x0＋1)(x0－1) 2＝0，解得x0＝1或x0＝－， 所以直线l的斜率为f′＝3×2－1＝－或f′(1)＝3×12－1＝2.对于A，直线4x－y＋2＝0的斜率为4，符合题意，故A正确；对于B，直线x－2y＋8＝0的斜率为，不符合题意，故B错误；对于C，直线x＋y－5＝0的斜率为－1，不符合题意，故C错误；对于D，直线2x＋4y－3＝0的斜率为－，符合题意，故D正确．故选AD． 对于C，设切点(x0，e＋2)，则切线方程为y－e－2＝e(x－x0)，因为点(0，2)在切线上，所以2－e－2＝e(0－x0)，即－e＝－x0e，显然e≠0，所以x0＝1，故过点(0，2)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条，故C正确；对于D，设切点(x1，ex1＋2)，则切线方程为y－e－2＝ex1(x－x1)，因为点(1，4)在切线上，所以4－e－2＝e(1－x1)，即x1e－2e＋2＝0， 令g(x)＝xex－2ex＋2，则g′(x)＝(x－1) ex，所以当x<1时g′(x)<0，当x>1时g′(x)>0，所以g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又g(0)＝0，g(1)＝2－e<0，g(2)＝2，所以存在x2∈(1，2)使得g(x2)＝0，所以方程x1e－2e＋2＝0有且仅有两个实数根，所以过点(1，4)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2条，故D正确．故选BCD． 函数y＝x3在区间[0，2]上的平均变化率等于＝＝4，因为y′＝3x2，则y＝x3在x＝x0处的瞬时变化率为3x，则有3x＝4，解得x0＝±，因为0≤x0≤2，所以x0＝. f′(x)＝3x2＋1－x，g′(x)＝－asin x，由题意可知，g′＝f′(1)，即－asin ＝3，解得a＝－3. 因为f(x)＝3x2－xf′(1)＋2ln x，所以f′(x)＝6x－f′(1)＋，所以f′(1)＝6－f′(1)＋2，所以f′(1)＝4，所以f(x)＝3x2－4x＋2ln x(x>0)，所以f′(x)＝6x－4＋≥2－4＝4－4，当且仅当6x＝，即x＝时等号成立，所以f′(x)的最小值为4－4，所以f(x)的图象上任意一点处的切线的斜率的取值范围为. 设切点为(x0，y0)，f′(x)＝3x2－m，切线的方程为y－＝(x－x0). 代入点P(－1，1)，可得1－＝(－1－x0)，即2x＋3x＝m－1.因为过点P(－1，1)恰能作2条曲线y＝f(x)的切线，所以方程2x＋3x＝m－1有2解．令函数g(x)＝2x3＋3x2，则g′(x)＝6x(x＋1).当x<－1或x>0时，g′(x)>0；当－1<x<0时，g′(x)<0，所以g(x)在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递增，在(－1，0)上单调递减．所以g(x)的极大值为g(－1)＝1，g(x)的极小值为g(0)＝0，所以m－1＝1或m－1＝0，解得m＝2或m＝1.故选BC． 2x－y－e＝0 设曲线g(x)＝aln x和曲线f(x)＝x2在公共点(x0，y0)处的切线相同，则f′(x)＝2x，g′(x)＝，由题意知即解得a＝2e，x0＝，故切点为(，e)，切线斜率为k＝f′(x0)＝2，所以切线方程为y－e＝2(x－)，即2x－y－e＝0. 因为当x>0时，y＝3ln x－x3，所以y′＝－3x2，所以f(k)＝－3k2，因为f′(k)＝－－6k<0，所以f(k)在(0，＋∞)上单调递减；4a＝4＝<6，4b＝4log23＝log281>log264＝6⇒4a<4b，所以1<a<b<2，而c＝e2>2，所以c>b>a，所以f(c)<f(b)<f(a)．故选A． 对于A，f(x)＝cos x＋sin x，f′(x)＝－sin x＋cos x，f ″(x)＝－cos x－sin x＝－sin (x＋)，当x∈时，x＋∈，sin (x＋)>0，f ″(x)<0恒成立， 故A为凸函数；对于B，f(x)＝ln x＋3x，f′(x)＝＋3，f ″(x)＝－，当x∈时，f ″(x)<0恒成立，故B为凸函数；对于C，由f(x)＝－x3＋4x－8，得f′(x)＝－3x2＋4，所以f ″(x)＝－6x，因为x∈，所以f ″(x)＝－6x<0恒成立，故C为凸函数；对于D，f(x)＝xex，f′(x)＝(x＋1)ex，f ″(x)＝(x＋2)ex，当x∈时，f ″(x)>0恒成立，故D不是凸函数．故选ABC． $$