2.12 实际问题中的函数模型（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§2.12　实际问题中的函数模型 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例 体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的 含义．　 2．在实际情境中会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律， 了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等 在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 返回 理清主干知识 1．指数、对数、幂函数模型性质比较 　　函数 性质　　　　　　 y＝ax (a>1) y＝logax(a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调______ 单调______ 单调______ 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的 变化 随x的增大逐渐表现为与_____平行 随x的增大逐渐表现为与_____平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 递增 递增 递增 y轴 x轴 2．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 记牢常用结论 　　“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小． 练透教材典题 1．[多选题]下列说法中错误的是 A．函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大 B．某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利 C．在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)和y＝logax(a>1)的增长速度 D．在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型 √ √ √ √ 2．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为( ≈1.259) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 3．(链接北师必修一P134例2)有一组实验数据如下： 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是 √ t 1.99 3.00 4.00 5.10 6.12 V 1.5 4.04 7.5 12 18.01 4．(链接北师必修一P139T1)某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是 A．{x|10≤x<16} B．{x|12≤x<18} C．{x|15≤x<20} D．{x|10≤x<20} √ 设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，[30－2(x－15)]·x>400，即x2－30x＋200<0，解得10<x<20，又因为x≥15，所以15≤x<20，这批台灯的销售单价x的取值范围是{x|15≤x<20}．故选C． 返回 考点探究　精准突破 返回 返回 考点一 实际问题的函数刻画 基础练 例1 √ (1)如图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是 由文物的形状知，两头细中间粗，在注水过程中，以恒定的流速向其内注水，前段部分注水高度逐渐递增，但增长速度逐步变慢，当超过中间部分，注水高度继续递增，但增长速度逐步变快，对应图象C满足条件．故选C． (2)[多选题](2024·四川南充三模)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作用．某种药物服用1单位后，体内血药浓度变化情况如图所示(服用药物时间对应t时)，则下列说法中正确的是 A．首次服药1单位后30分钟时，药物已经在发挥疗效 B．若每次服药1单位，首次服药1小时药物浓度达到峰值 C．若首次服药1单位，3小时后再次服药1单位，一定不会发生药物中毒 D．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 √ √ √ 由图象知，当服药半小时后，血药浓度大于最低有效浓度，故药物已发挥疗效，故A正确；由图象可知，首次服药1小时药物浓度达到峰值，故B正确；首次服药1单位，3小时后再次服药1单位，经过1小时后，血药浓度超过3a＋6a＝9a，会发生药物中毒，故C错误； 服用该药物5.5小时后血药浓度达到最低有效浓度，再次服药可使血药浓度超过最低有效浓度且不超过最低中毒浓度，药物持续发挥治疗作用，故D正确．故选ABD． 规律方法 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种策略 x －2 －1 1 2 3 y 0.24 0.51 2.02 3.98 8.02 对点练1．在一次数学实验中，某同学运用计算器采集到如下一组数据： 在以下四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是 A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2 C．y＝a＋logbx D．y＝a＋bx √ 由题中表格数据画出散点图，如图所示，观察图象，类似于指数函数图象，对于A，是一次函数，图象是一条直线，所以A错误；对于B，是以y轴为对称轴的二次函数，所以B错误；对于C，是对数型函数，由于表中的x取到了负数，所以C错误；对于D，是指数型函数，所以D正确．故选D． (1)(2024·云南文山模拟)草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力．草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱．根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为4个等级，其等级x(x＝1，2，3，4)与其对应等级的市场销售单价y(单位：元/千克)近似满足函数关系式y＝eax＋b，若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为20元/千克，则3级草莓的市场销售单价最接近(参考数据： ≈1.26， ≈1.59) A．30.24元/千克 B．31.75元/千克 C．38.16元/千克 D．42.64元/千克 考点二 已知函数模型解决实际问题 综合练 例2 √ √ 规律方法 已知函数模型解决实际问题的步骤 对点练2．(2024·海南海口模拟)荧光定量PCR是一种通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA进行实时监测的方法．在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量X与扩增次数n满足 lg Xn＝nlg (1＋p)＋lg X0，其中X0为DNA的初始数量，p为扩增效率．已知某被测标本DNA扩增6次后，数量变为原来的100倍，则扩增效率p约为(参考数据： 10 ≈2.154，10 ≈1.778) A．56.2% B．77.8% C．115.4% D．118.4% √ 由题意，可得lg (100X0)＝6lg (1＋p)＋lg X0，即lg 102＋lg X0＝6lg (1＋p)＋ lg X0，所以2＝6lg (1＋p)，可得1＋p＝10 ≈2.154，解得p≈1.154＝115.4%. 故选C． (2024·浙江绍兴适应性测试)绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形(如图)．水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为(参考数据： ≈1.732) A．0.58米 B．0.87米 C．1.17米 D．1.73米 考点三 构建函数模型解决实际问题 多维练 例3 √ 角度1　构建二次函数模型 例4 角度2　构建分段函数模型 解：当x<45，x∈N＋时， 当x≥45，x∈N＋时， 解：当x<45，x∈N＋时，y＝－ x2＋30x＋200，则当x＝30时，y的最大值为650； 当x≥45，x∈N＋时， 所以当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为701万元． (2)年产量x为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？ 规律方法 构建函数模型解决实际问题的步骤 第一步，审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型． 第二步，建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型． 第三步，解模：求解函数模型，得出数学结论． 第四步，还原：将数学结论还原为实际问题的答案．　　 对点练3．某自来水厂的蓄水池中存有水400吨，水厂每小时向蓄水池注水60吨，而蓄水池t小时内向居民小区供水总量为120 吨(0≤t≤24)．若蓄水池中的水量少于80吨，就会出现供水紧张，则在一天24小时内，出现供水紧张的时长约为 A．6小时 B．7小时 C．8小时 D．9小时 √ 对点练4．某电子公司生产某种智能手环，其固定成本为2万元，每生产一个智能手环需增加投入100元，已知总收入R(单位：元)关于日产量x(单位： 个)满足函数：R＝ (1)将利润f(x)(单位：元)表示成日产量x的函数； 解：根据题意， 当x>400时，f(x)＝80 000－20 000－100x＝－100x＋60 000， (2)当日产量x为何值时，该电子公司每天所获利润最大？最大利润是多少？(利润＋总成本＝总收入) 返回 所以当x＝300时，f(x)max＝25 000； 当x>400时，易知f(x)＝－100x＋60 000是减函数， 所以f(x)<－100×400＋60 000＝20 000； 综上，当x＝300时，f(x)max＝25 000， 所以当日产量为300台时，公司每天所获利润最大，其值为25 000元． 课时测评 返回 返回 √ 1．(2024·广东梅州模拟)为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s(单位：万元)与生产线运转时间t(单位：年)，t∈N*，满足二次函数关系：s＝－2t2＋30t－72，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为 A．5 B．6 C．7 D．8 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．(2024·浙江杭州二模)提丢斯—波得定则，简称“波得定律”，是表示各行星与太阳平均距离的一种经验规则，它是在1766年由德国的一位中学教师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成了一个如下经验公式来表示：记太阳到地球的平均距离为1，若某行星的编号为n，则该行星到太阳的平均距离表示为a＋b×2n－1，那么编号为9的行星用该公式推得的平均距离位于 A．(30，50) B．(50，60) C．(60，70) D．(70，80) √ 行星 金星 地球 火星 谷神星 木星 土星 天王星 海王星 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 公式推得值 0.7 1 1.6 2.8 5.2 10 19.6 38.8 实测值 0.72 1 1.52 2.9 5.2 9.54 19.18 30.06 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．(2024·北京房山二模)高为H、满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是 根据题意知，函数的自变量为水深h，函数值为鱼缸中水的体积，所以当h＝0时，体积v＝0，所以函数图象过原点，故排除A，C；再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的．故选B． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 4．在一般情况下，过江大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为90千米/小时；研究表明，当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．设当车流密度x＝x0时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，则 A．x0＝100 B．x0＝120 C．f(x0)＝3 000 D．f(x0)＝6 000 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．[多选题](2024·河南商丘模拟)某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为θ0(单位：℃)，环境温度为θ1(θ1<θ0，单位：℃)，物体的温度冷却到θ(θ>θ1，单位：℃)需用时t(单位：分钟)，推导出函数关系为t＝f(θ)＝ [ln (θ0－θ1)－ln (θ－θ1)]，k为正的常数．现有一壶开水(100 ℃)放在室温为20 ℃的房间里，根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况，则(参考数据：ln 2≈0.7) A．函数关系θ＝θ1＋(θ0－θ1)ekt也可作为这壶开水的冷却模型 B．当k＝ 时，这壶开水冷却到40 ℃大约需要28分钟 C．若f(60)＝10，则f(30)＝30 D．这壶水从100 ℃冷却到70 ℃所需时间比从70 ℃冷却到40 ℃所需时间短 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．(新设问)(2024·北京密云模拟)一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与创造的价值y(单位：元)之间的关系为：y＝－20x2＋2 200x.如果这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 000元以上，请你给出一个该工厂在这周内生产的摩托车数量的建议，使工厂能够达成这个周创收目标，那么你的建议是__________________________． 由题意得－20x2＋2 200x>60 000，化简得x2－110x＋3 000<0，得(x－50)(x－60)<0，解得50<x<60，因为x取正整数，所以该工厂在这周内生产的摩托车数量在51到59辆时，工厂能够达成这个周创收目标． 摩托车生产数量在51到59辆 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域(除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致)，种植密度和单株产量统计如下： 根据上表所提供信息，第________号区域的总产量最大． 5 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度地激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)，增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t) ＝ ，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总 分，且f(60)＝ P.现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为________．(保留到个位)(lg 61≈1.79) 462 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元．根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝4 －6，乙城市收益Q与投入a(单位：万 元)满足Q＝ 设甲城市的投入为x(单位：万元)，两 个城市的总收益为f(x)(单位：万元)． (1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益； 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：当x＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元， 因此，此时公司的总收益为88万元． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？ 解：设甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元， 依题意得 解之得80≤x≤160， 当80≤x<120，即120<240－x≤160时， 当120≤x≤160，即80≤240－x≤120时， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当t＝8 ，即x＝128时，y取最大值88. 故f(x)的最大值为88. 因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(13分)(2024·上海一模)企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成．生产成本固定为每台130元．根据市场调研，若该产品产量为x万台时，每万台产品的销售收入为I(x)万元．两者满足关系：I(x)＝220－x(0<x<220). (1)甲企业独家经营，其研发成本为60万元．求甲企业能获得利润的最大值； 解：设利润为P(x)， P(x)＝x·I(x)－(60＋130x)＝－x2＋90x－60＝－(x－45) 2＋1 965， 当x＝45时，P(x)max＝1 965， 所以产量为45万台时，甲企业获利最大为1 965万元． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元．问：乙企业产量为多少万台时获得的利润最大；(假定甲企业按照原先最大利润生产，并未因乙的加入而改变) 解：设乙企业产量为x万台，此时甲依旧按照45万台产量生产．对于乙企业，每万台产品的销售收入为I(x＋45)＝220－(x＋45)＝175－x， P(x)＝x·I(x＋45)－(40＋130x)＝－x2＋45x－40＝－ ＋ ， 所以乙企业产量为22.5万台时，获得利润最大． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)由于乙企业参与，甲企业将不能得到预期的最大收益，因此会作相应调整，之后乙企业也会随之作出调整，最终双方达到动态平衡(在对方当前产量不变的情况下，乙方达到利润最大)，求动态平衡时，两企业各自的产量和利润分别是多少． 解：假设达到动态平衡时，甲企业产量a万台，乙企业产量b万台． 甲企业：P(a)＝a·I(a＋b)－(60＋130a)＝－a2＋(90－b) a－60，当a＝ 时利润最大； 乙企业：P(b)＝b·I(a＋b)－(40＋130b)＝－b2＋(90－a) b－40，当b＝ 时利润最大． 联立，解得a＝b＝30时达到动态平衡． 此时利润分别为：甲企业840万元，乙企业860万元． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．[多选题]为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，加强污水治理．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确的结论为 A．在[t1，t2]这段时间内，甲乙两企业的污水排放量均达标 B．在t2时刻，甲乙两企业的污水排放量相等 C．甲企业的污水排放量的最小值大于乙企业的污水排放量的最大值 D．在[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排放量高于乙企业的污水排放量 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由图可知在[t1，t2]这段时间内，甲乙两企业的污水排放量均超标，故A错误；在t2时刻，甲乙两企业的污水排放量相等，故B正确；甲企业的污水排放量的最小值不大于乙企业的污水排放量的最大值，故C错误；在[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排放量高于乙企业的污水排放量，故D正确．故选BD． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(2024·江西南昌二模)为了预防某种病毒，某学校需要通过喷洒药物对教室进行全面消毒．出于对学生身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，学生方可进入教室．已知从喷洒药物开始，教室内 部的药物浓度y(毫克/立方米)与时间t(分钟)之间的函数关系为y＝ 函数的图象如图所示．如果早上7：30就有学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是 A．7：00 B．6：40 C．6：30 D．6：00 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(2024·北京模拟)如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度V(x)(单位：米/分钟)与时间x(单位：分钟)的关系．若定义“速度差函数”v(x)为无人机在时间段[0，x]内的最大速度与最小速度的差，则v(x)的图象为 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当x∈[6，10]时，无人机做匀速运动，V(x)＝140，“速度差函数”v(x)＝80；当x∈[10，12]时，无人机做匀加速运动，V(x)＝40＋10x，“速度差函数”v(x)＝－20＋10x；当x∈[12，15]时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”v(x)＝100，结合选项，C项满足“速度差函数”解析式．故选C． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(新情境)(2024·北京检测)假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x(t)表示，被捕食者的数量以y(t)表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是 A．若在t1，t2时刻满足：y(t1)＝y(t2)，则x(t1)＝x(t2) B．如果y(t)数量是先上升后下降的，那么x(t)的数量一定也是先上升后下降 C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值 D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，捕食者的数量也会达到最大值 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；在曲线上半段中观察到y(t)是先上升后下降，而x(t)是不断变小的，故B不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大值或最小值，故C正确；当捕食者数量最大时在图象最右端，x(t)∈(25，30)，y(t)∈(0，50)，此时二者总和x(t)＋y(t)∈(25，80)，由图象可知存在点x(t)＝10，y(t)＝100，x(t)＋y(t)＝110，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，捕食者数量也会达到最大值，故D错误．故选C． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢谢观看 本节到此结束 由题意知4.9＝5＋lg V，得lg V＝－0.1，得V＝10＝≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C． A．V＝log2t B．V＝logt C．V＝ D．V＝2t－2 根据表中数据，作出数据的散点图，如图所示，结合选项，函数V＝log2t的增长速度越来越缓慢，不符合题意；函数V＝logt随着t的增大，V不断减小，不符合题意；函数V＝的增长速度越来越快，符合题意；函数V＝2t－2增长速度不变，不符合题意；所以最接近的一个函数是V＝.故选C． 由题意可知，＝e3a＝1＋1，解得ea＝，由ea＋b＝20，可得e3a＋b＝ ea＋b·e2a＝ea＋b·(ea) 2＝20×2≈20×1.262≈31.75.故选B． (2)(2024·山西运城二模)昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足ln y＝－ln t－x2＋a，其中k，a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为，则b＝ A．3 B．4 C．5 D．6 由题意ln m＝－4k＋a，ln ＝－ln 4－b2＋a，所以ln m－ln ＝－4k＋a－，即－4k＋b2＝0.又k≠0，所以b2＝16.因为b>0，所以b＝4.故选B． 如图，设横截面为等腰梯形ABCD，BE⊥CD于E，∠BAD＝∠ABC＝120°，要使过水横断面面积最大，则此时资金3万元都用完，则100×(AB＋BC＋AD)×100＝30 000，解得AB＋BC＋AD＝3米，设BC＝x，则AB＝3－2x，BE＝x，CE＝x，故CD＝3－x，且0<x<，梯形ABCD的面积S＝＝(－x2＋2x)，当x＝1时，Smax＝，此时BE＝≈0.87，即当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为0.87米．故选B． 　　 (2024·黑龙江佳木斯模拟)为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件之一．湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款新能源电池设备．生产这款设备的年固定成本为200万元，每生产x台(x∈N＋)需要另投入成本a(x)(万元)，当年产量x不足45台时，a(x)＝x2＋30x－300万元，当年产量x不少于45台时，a(x)＝61x＋－900万元．若每台设备的售价与销售量的关系式为万元，经过市场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完． (1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式； y＝x－200－a(x)＝60x＋100－200－＝－x2＋30x＋200； y＝x－200－a(x)＝60x＋100－200－＝－x－＋800； 综上所述：y＝(x∈N＋). y＝－x－＋800＝－＋801≤－2＋801＝701，当且仅当x＋1＝，即x＝49时等号成立； 设蓄水池中的水量为y，则y＝400＋60t－120，0≤t≤24，设＝m∈[0，12]，t＝，则y＝400＋60·－120m＝10m2－120m＋400，令y<80，解得4<m<8，所以<t<，所以出现供水紧张的时长约为－＝8小时．故选C． 当0≤x≤400时，f(x)＝400x－x2－20 000－100x＝－x2＋300x－20 000； 所以f(x)＝ 解：当0≤x≤400时，f(x)＝－x2＋300x－20 000＝－(x－300)2＋25 000， 由题意，年平均利润为f(t)＝＝＝－2t－＋30，t∈N*，因为t>0时，2t＋≥2＝24，当且仅当2t＝，即t＝6时，等号成立，所以f(t)≤－24＋30＝6，即当t＝6时，年平均利润最大为6万元．故选B． 由表格可得⇒⇒a＋b×29－1＝77.2∈(70，80).故选D． v(x)＝则当x＝200时，v(200)＝0，当x＝20时，v(20)＝90，即解得k＝－，m＝100，故f(x)＝x·v(x)＝ 当0<x≤20时，f(x)的最大值为当x＝20时，f(20)＝1 800；当20≤x≤200时，f(x)＝x＝－x2＋100x，根据二次函数的对称轴方程为x＝100，得f(x)的最大值为当x0＝100时，f(100)＝5 000.故选A． 5．[多选题](2024·湖北十堰模拟)某城市有一个面积为1 km2的矩形广场，该广场为黄金矩形(它的宽与长的比为)，在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道宽度使矩形草坪为黄金矩形？下列选项不正确的是 A．步行道的宽度为 m B．步行道的宽度为 m C．步行道的宽度为5 m D．草坪不可能为黄金矩形 设该广场的宽为a m，则长为a m，所以a2＝1 000 000，设步行道的宽度为z m，使得草坪为黄金矩形，由于a－2z<a－2z，则＝(a－2z)，解得z＝0，故草坪不可能为黄金矩形，D正确，ABC错误．故选ABC． 对于A，由t＝f(θ)＝[ln (θ0－θ1)－ln (θ－θ1)]，得kt＝ln ，所以＝ekt，整理得θ＝θ1＋(θ0－θ1).故A错误；对于B，由题意可知t＝f(θ)＝[ln (100－20)－ln (θ－20)]＝ln ，代入θ＝40，k＝，得t＝20ln ＝20ln 4＝40ln 2≈28，故B正确；对于C，由f(60)＝10，得ln ＝10，即k＝，则t＝f(30)＝·ln ＝ln 8＝30，故C正确；对于D，设这壶水从100 ℃冷却到70 ℃所需时间为t1分钟，则t1＝ln ＝(ln 8－ln 5)，设这壶水从70 ℃冷却到40 ℃所需时间为t2分钟，则t2＝ln ＝(ln 5－ln 2)，因为t1－t2＝(ln 8＋ln 2－2ln 5)＝ln <0，所以t1<t2，故D正确．故选BCD． 设区域代号为x，种植密度为y1，单株产量为y2，则x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，由图象可得种植密度y1是区域代号x的一次函数，故设y1＝kx＋b，x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，由已知函数y1＝kx＋b的图象经过点(1，2.4)，(8，4.5)，所以解得所以y1＝0.3x＋2.1， 由图象可得单株产量y2是区域代号x的一次函数，故可设y2＝mx＋n，x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，观察图象可得当x＝1时，y2＝1.28，当x＝8时，y2＝0.72，所以解得所以y2＝－0.08x＋1.36，所以总产量m(x)＝(0.3x＋2.1)(－0.08x＋1.36)＝－0.024(x2－10x－119)，当x＝5时，函数m(x)有最大值，即5号区域总产量最大，最大值为3.456. 由题意得，f(60)＝≈＝P，所以k≈＝0.465，所以f(100)＝＝≈＝62，所以该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462. 所以f(128)＝4×－6＋×112＋2＝88(万元)． f(x)＝4－6＋32＝4＋26<26＋16； f(x)＝4－6＋(240－x)＋2＝－x＋4＋56. 令t＝，则t∈[2，4 ]， 所以y＝－t2＋4t＋56＝－ (t－8)2＋88. 因为88－(26＋16)＝2×(31－8)>0， 2 根据函数的图象，可得函数的图象过点(10，1)，由函数图象连续，代入函数的解析式，可得1－a＝1，解得a＝1，所以y＝ 令y≤0.25，可得0.1t≤0.25或≤0.25，解得0<t≤2.5或t≥30.所以如果7：30学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是7：00.故选A． 由题意可得，当x∈[0，6]时，无人机做匀加速运动，V(x)＝60＋x，“速度差函数”v(x)＝x； $$