2.11 方程解的存在性及方程的近似解（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§2.11　方程解的存在性及方程的近似解 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1．结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程的解的联系．　 2．了解函数零点存在定理，并能简单应用．　 3．了解用二分法求方程的近似解． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 返回 理清主干知识 1．函数的零点 (1)定义：使得__________的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的______． (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系： f(x0)＝0 零点 x轴 f(x)＝0 微提醒　(1)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根．零点一定在定义域内；(2)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0，如图所示．所以f(a)f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 2．零点存在定理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即___________，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解． f(a)·f(b)<0 微提醒　 (1)二分法的求解原理是函数零点存在定理；(2)用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解． 3．二分法 对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，_______________，则每次取区间的______，将区间__________，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法． f(a)·f(b)<0 中点 一分为二 记牢常用结论 1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2．图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 3．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 4．周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点． 练透教材典题 1．[多选题]下列说法正确的是 A．用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点 B．函数的零点就是函数的图象与x轴的交点 C．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点 D．连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0 √ √ √ 2．(链接北师必修一P130T1)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 由二分法的定义知，若函数f(x)在区间[a，b]上连续，且满足f(a)·f(b)<0，则可以利用二分法求函数f(x)的零点的近似值，故选项A不能用二分法求图中函数零点．故选A． √ 4．(用结论)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 √ 由f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝ －3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．故选B． 返回 考点探究　精准突破 返回 返回 (1)(2024·广东梅州二模)用二分法求方程log4x－ ＝0近似解时，所取的第 一个区间可以是 A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 考点一 函数零点所在区间的判定 基础练 例1 √ (2)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.5 √ 因为f(1)<0，f(1.5)>0，所以f(1)f(1.5)<0，所以函数在(1，1.5)内有零点，因为1.5－1＝0.5>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.25)<0，所以f(1.25)f(1.5)<0，所以函数在(1.25，1.5)内有零点，因为1.5－1.25＝0.25>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.375)<0，所以f(1.375)f(1.5)<0， f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260 f(1.437 5)＝0.162 f(1.406 25)＝－0.054 所以函数在(1.375，1.5)内有零点，因为1.5－1.375＝0.125>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.437 5)>0，所以f(1.437 5)f(1.375)<0，所以函数在(1.375，1.437 5)内有零点，因为1.437 5－1.375＝0.062 5<0.1，所以满足精确度0.1.所以方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)是区 间(1.375，1.437 5)内的任意一个值(包括端点值)，根据四个选项可知 选B． 规律方法 判断函数零点所在区间的两种常用方法 1．利用函数零点存在定理 首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间[a，b]内必有零点． 2．数形结合法 通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 对点练1．(1)用二分法求方程x＋lg x－3＝0的近似解，以下区间可以作为初始区间的是 A．[1，2] B．[2，3] C．[3，4] D．[4，5] √ 设f(x)＝x＋lg x－3，显然函数图象是连续的，则有f(1)＝－2<0，f(2)＝　lg 2－1<0，f(3)＝lg 3>0，f(4)＝1＋lg 4>0，f(5)＝2＋lg 5>0，所以f(1)·f(2)>0，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)>0，f(4)·f(5)>0，故区间[2，3]可以作为初始区间．故选B． (2)用二分法求函数f(x)＝ln (x＋1)＋x－1在区间[0，2]上的零点，需求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为 A．5 B．6 C．7 D．8 √ 考点二 函数零点个数的判定 综合练 例2 √ (2)(2024·吉林长春模拟)已知函数f(x)＝ 则函数y＝f(x)－3 的零点个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 √ 法一(直接法)：由y＝f(x)－3＝0得f(x)＝3.当x＞0时，得ln x＝3或ln x＝　－3，解得x＝e3或x＝e－3；当x≤0时，得－2x(x＋2)＝3，无解．所以函数y＝f(x)－3的零点个数是2.故选B． 法二(图象法)：作出函数f(x)的图象，如图，函数y＝f(x)－3的零点个数即y＝f(x)的图象与直线y＝3的交点个数，作出直线y＝3，由图知y＝f(x)的图象与直线y＝3有2个交点，故函数y＝f(x)－3的零点个数是2.故选B． 规律方法 求解函数零点个数的基本方法 1．直接法：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点． 2．定理法：利用零点存在定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点． 3．图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数零点的个数．　　 对点练2．(2024·四川成都一模)函数f(x)＝log x－sin x的零点个数为 A．4 B．3 C．2 D．1 √ 考点三 函数零点的应用 多维练 例3 √ 角度1　根据函数零点的个数求参数 画出函数g(x)＝ 的图象如图所示： √ (2)[多选题](2024·河北廊坊模拟)已知函数f(x)＝|x2＋3x＋1|－a|x|，则下列结论正确的是 A．若f(x)没有零点，则a∈(－∞，0) B．若f(x)恰有2个零点，则a∈(1，5) C．若f(x)恰有3个零点，则a＝1或a＝5 D．若f(x)恰有4个零点，则a∈(5，＋∞) √ 由图可知，若f(x)没有零点，则a∈(－∞，0)，故A正确；若f(x)恰有2个零点，则a∈{0}∪(1，5)，故B不正确；若f(x)恰有3个零点，则a＝1或a＝5，故C正确；若f(x)恰有4个零点，则a∈(0，1)∪(5，＋∞)，故D不正确．故选AC． (1)(2024·山西阳泉三模)函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)存在零点，则实数m的取值范围是 A．(－∞，－5) B．(－5，－1) C．(1，5) D．(5，＋∞) √ 由y1＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，y2＝x2＋m在(0，＋∞)上单调递增，得函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(0，＋∞)上单调递增，因为函数f(x)＝ log2x＋x2＋m在区间(1，2)存在零点，所以 即 解得－5<m<－1，所以实数m的取值范围是(－5，－1).故选B． 角度2　根据函数零点的范围求参数 例4 (2)(2023·山东济南三模)已知函数f(x)＝ 若函数g(x)＝f(x)－b 有四个不同的零点，则实数b的取值范围为 A．(0，1] B．[0，1] C．(0，1) D．(1，＋∞) 依题意，函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，即f(x)＝b有四个解，转化为函数y＝f(x)与y＝b的图象有四个交点，作出y＝f(x)，y＝b的图象如图所示，结合图象，可知实数b的取值范围为(0，1].故选A． √ 规律方法 已知函数有零点求参数常用的方法和思路 1．直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围． 2．分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决． 3．数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．　　 √ 因为f(x)＋f(－x)＝4恒成立，所以令x＝0，得2f(0)＝4⇒b＝2，则f(x)＝ x3－3x＋2＝(x＋2)(x－1)2，则f(x)的零点为－2，1.函数y＝2－6x的零点 为 .函数y＝f(x)，y＝2－6x的图象如图所示． √ 返回 课时测评 返回 返回 1．(2024·四川成都三模)已知f(x)＝x2－ax＋a，则“a>4”是“f(x)有两个不同的零点”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 若f(x)有两个不同的零点，则Δ＝(－a) 2－4a>0，解得a>4或a<0，所以“a>4”是“f(x)有两个不同的零点”的充分不必要条件．故选A． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1，2)内近似解的过程可得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解所在区间为 A．(1.25，1.5) B．(1，1.25) C．(1.5，2) D．不能确定 √ 因为f(1.25)·f(1.5) <0，故方程f(x)＝0的解所在区间为(1.25，1.5).故选A． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5．(2023·广东深圳二模)函数f(x)＝|ln x|－e－x的所有零点的乘积为m，则 A．1<m<e B．m＝1 C．0<m<1 D．m>e 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6．(2024·山东济南一模)函数f(x)＝ax＋(a＋2)x－2(a＋1)x(a>0且a≠1)的零点个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 整理得 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．[多选题](2024·陕西西安期末)已知函数f(x)＝ 若函数g(x) ＝f(x)－m有三个零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则下列结论正确的是 A．m的取值范围为(0，1) B．x3的取值范围为[2，＋∞) √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．[多选题](2024·安徽滁州模拟)已知函数f(x)＝ ，x∈(－1，1)，有下列结论，正确的是 A．任意的x∈(－1，1)，等式f(－x)＋f(x)＝0恒成立 B．任意的m∈[0，＋∞)，方程|f(x)|＝m有两个不等实根 C．任意的x1，x2∈(－1，1)，若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2) D．存在无数个实数k，使得函数g(x)＝f(x)－kx在(－1，1)上有3个零点 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．[多选题](2024·安徽阜阳期末)已知函数f(x)＝ (m∈R)，则 A．对任意的m∈R，函数f(x)都只有1个零点 B．当m≤－3时，对∀x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)] >0成立 C．当m＝0时，方程f(f(x))＝0有4个不同的实数根 D．当m＝0时，方程f(x)＋f(－x)＝0有3个不同的实数根 √ √ 对于选项A，作出y＝ex－1和y＝－(x＋2)2的图象，如图①所示： √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当m>0时，函数f(x)只有一个零点，当－2<m≤0时，函数f(x)都有2个零点，故A错误；对于选项B，当m≤－3时，函数f(x)在R上单调递增，则对∀x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0成立，故B正确；对于选项C，当m＝0时，令f(x)＝t，则f(t)＝0，解得t1＝－2，t2＝0，当f(x)＝－2时，方程有两个解，当f(x)＝0时方程有两个解，所以方程f(f(x))＝0有4个不同的实数根，故C正确； 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于选项D，当m＝0时，方程f(x)＋f(－x)＝0的根为f(x)＝－f(－x)的根，令h(x)＝－f(－x)，作出h(x)，f(x)的函数图象，如图②，可知函数h(x)，f(x)有三个交点，其中包括原点，即方程f(x)＋f(－x)＝0有3个不同的实数根，故D正确． 故选BCD． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．(2024·上海模拟)若f(x)的值域为{0，1，2}，则g(x)＝(f(x)－x)(f(x)－2x)至多有_______个零点． 4 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(2024·天津红桥二模)若函数f(x)＝ 函数g(x)＝f(x)－ kx有两个零点，则实数k的取值是_____________． 由g(x)＝f(x)－kx＝0得f(x)＝kx，即y＝f(x)与y＝kx的图象有两个公共点，画出y＝f(x)，y＝kx的图象如图所示，由图可知，当k＝0时，y＝f(x)与y＝kx有两个公共点；当k<0时，y＝f(x)与y＝kx有一个公共点；当k>0时， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令f(x)＝0，可得当x≤4时，即－x2＋4x－t＝0，可得t＝－x2＋4x；当4<x<5时，即2－t－x＋4＝0，可得x＝2－t＋4，t＝－log2(x－4)；当x≥5时，即2t－x＋4＝0，可得x＝2t＋4，t＝log2(x－4).原函数的4个零点可 表示为直线y＝t与函数g(x)＝ 交点的横坐标，对 于选项A，C：如图所示，x1，x2是方程－x2＋4x－t＝0的两个解， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(新定义)(2024·陕西西安二模)函数int(x)是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过x的最大整数，例如int(－3.9)＝－4，int(2.4)＝2，已知函数 f(x)＝ (a>0，且a≠1)，若f(x)的图象上恰有3对点关于原点对 称，则实数a的最小值为__________． 根据题意，作出函数f(x)＝ (a>0，且a≠1)的图象，如图所示， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．[多选题](2024·浙江绍兴模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，下列说法正确的有 A．若a＝1，y＝f(x)与y＝1－x2图象至多有2个公共点 B．若a＝1，y＝|f(x)|与y＝|1－x2|图象至少有2个公共点 C．若b＝1，y＝f(x)与y＝1＋x图象至多有2个公共点 D．若b＝1，y＝|f(x)|与y＝图象至少有2个公共点 √ 对于选项A，x2＋bx＋1＝1－x2，所以2x2＋bx＝0，所以Δ＝b2≥0，所以f(x)与y＝1－x2图象至多有2个公共点，所以A正确；对于选项B, |f(x)|＝|x2＋bx＋1|，假设b＝0，则|f(x)|＝|x2＋1|，令|x2＋1|＝|1－x2|，所以x2＋1＝|1－x2|， √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(2024·北京海淀一模)已知函数f(x)＝ (1)函数f(x)的零点个数为__________； 当m>0时，可知f(x)有一个零点x＝－m；当m＝0时，f(x)有一个零点x＝0；当m<0时，可知f(x)有一个零点x＝0；综上，函数f(x)的零点个数为1个． 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则实数m的取值范围是____________________． 如图①所示，当m>0时，若要满足题意需2m>m2，得m∈(0，2)； 当m＝0时，不符合题意； 如图②所示，当m<0时，若要满足题意需m2>－2m，得m<－2. 综上，m的取值范围是(0，2)∪(－∞，－2). (0，2)∪(－∞，－2) 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢谢观看 本节到此结束 3．(链接人A必修一P144T2)函数f(x)＝x－logx＋1的零点所在的区间为 A． B． C． D． 因为y＝x＋1在(0，＋∞)上单调递增，y＝－logx在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝x－logx＋1在(0，＋∞)上单调递增，因为f ＝－log＋1＝－<0，f ＝－log＋1＝－log23＝log216－log227<0，f ＝－log＋1＝>0，所以函数f(x)＝x－logx＋1的零点所在的区间为.故选C． 令f(x)＝log4x－，因为函数y＝log4x，y＝－在(0，＋∞)上都是增函数，所以函数f(x)＝log4x－在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝－<0，f(2)＝log42－＝－＝>0，所以函数f(x)＝log4x－在区间(1，2)上有唯一零点，所以用二分法求方程log4x－＝0近似解时，所取的第一个区间可以是(1，2)．故选B． 区间[0，2]的长度等于2，每经过一次二分区间的操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为 ，因为用二分法求函数f(x)＝ln (x＋1)＋x－1在区间[0，2]上的零点，需求精确度为0.01, 由≤0.01，解得n≥8.故选D． (1)(2024·河北唐山一模)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－的零点个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 令g(x)＝0得f(x)＝，在同一直角坐标系中作出f(x)，y＝的大致图象如图，由图象可知，函数y＝f(x)与y＝的图象有3个交点，即函数g(x)有3个零点．故选C． 令f(x)＝0可得logx＝sin x，作出函数y＝logx，y＝sin x的图象如下图所示： 当x>时，logx<log＝－1，又因为－1≤sin x≤1，所以函数y＝logx和y＝sin x在上的图象没有交点，观察图象可知，函数y＝logx，y＝sin x的图象有三个交点，因此函数f(x)的零点个数为3.故选B． 　　 (1)(2024·北京西城一模)设c∈R，函数f(x)＝ 若f(x)恰有一个零点，则c的取值范围是 A．(0，1) B．{0}∪[1，＋∞) C．(0，) D．{0}∪ 函数f(x)＝可由g(x)＝分段平移得到，易知当c＝0时，函数f(x)恰有一个零点，满足题意；当c<0时，表示图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；当c>0时，图象往下平移，当0<2c<1时，函数f(x)有两个零点；当2c≥1时，f(x)恰有一个零点，满足题意，即c≥；综上可得c的取值范围是{0}∪.故选D． 当x＝0时，f(0)＝1≠0，所以x＝0不是f(x)的零点；当x≠0时，由f(x)＝0，整理得a＝，令g(x)＝，则函数f(x)的零点个数即为函数g(x)＝的图象与直线y＝a的交点个数，作出函数g(x)＝的大致图象(如图)． 对点练3．(1)(2024·广东广州二模)已知函数f(x)＝x3－3x＋b，且f(x)＋ f(－x)＝4恒成立，若h(x)＝恰好有1个零点，则实数a的取值范围为 A．(－∞，－2) B． C．(－∞，－2)∪ D． ①当a<－2时，h(x)在(－∞，a]上无零点，在(a，＋∞)上有零点，则a<－2符合题意；②当－2≤a<时，h(x)在(－∞，a]上有零点－2，在(a，＋∞)上有零点，则－2≤a<不符合题意；③当≤a<1时，h(x)在(－∞，a]上有零点－2，在(a，＋∞)上无零点，则≤a<1符合题意；④当a≥1时，h(x)在(－∞，a]上有零点－2，1，在(a，＋∞)上无零点，则a≥1不符合题意．综上，a∈(－∞，－2)∪.故选C． (2)(2024·北京海淀模拟)已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是 A． B． C．(－∞，0) D． 由f(x)＝3x－＝0，可得a＝3x－，令g(x)＝3x－，其中x∈(－∞，－1)，由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域．由于函数y＝3x，y＝－在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增．当x∈(－∞，－1)时，g(x)＝3x－<g(－1)＝3－1＋1＝，又g(x)＝3x－>0， 所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为.因此实数a的取值范围是.故选B． 3．已知定义在[a，b]上的增函数f(x)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a，b]，，，又f ＝0，则函数f(x)的零点为 A．－ B．－ C．－ D．－ 由f(x)在[a，b]上单调递增得：f(a)<0，f(b)>0，又a＋>a恒成立，所 以解得所以f(x)的零点为＝－. 故选C． 4．(2023·四川自贡三模)设函数f(x)＝＋x2－4x有唯一的零点，则实数m为 A．2 B． C．3 D． 令t＝x－2，则g(t)＝(3t＋3－t)＋t2－4，因为g(－t)＝(3－t＋3t)＋(－t) 2－4＝(3t＋3－t)＋t2－4＝g(t)，所以函数g(t)是偶函数．因为函数f(x)有唯一的零点，所以函数g(t)有唯一的零点．则g(0)＝0，即(1＋1)＋0－4＝0，解得m＝.故选B． 由|ln x|－e－x＝0可得|ln x|＝e－x，设函数y＝|ln x|，y＝x的图象交点的横坐标为x1，x2(0<x1<1<x2)，画出两函数图象如图，则＝，|ln x2|＝，因为函数y＝x在R上单调递减，所以>，即－ln x1>ln x2，所以ln x1＋ln x2<0，即0<x1x2<1，即0<m<1.故选C． f(x)＝(a＋1)x＝0， 即x＋x－2＝0. 令＝t，则tx＋(2－t)x－2＝0，(2－t)x＝2－tx，t∈∪，作出函数y＝(2－t)x与y＝2－tx在R上的图象(如图)，由图象可知两函数有且仅有两个交点，故f(x)有且仅有两个零点．故选B． C．2＋2＝2 D．2最大值为1 函数f(x)＝的图象如图所示： 由图可得0<m<1，故A正确；当＝1时，x＝2, 故x3>2，故B错误；又|2－1|＝|2－1|，且x1<0<x2<1，故－(2－1)＝2－1, 可得2＋2＝2，故C正确；又2＝2＋2≥2，可得2≤1, 又x1≠x2，故等号不成立，即2 <1，故D错误．故选AC． 函数f(x)＝，x∈(－1，1)，对于A，∀x∈(－1，1)，f(－x)＋f(x)＝＋＝0，故A正确；对于B，当m＝0时，由|f(x)|＝0，得＝0， 解得x＝0，即方程只有1个实根，故B错误；对于C，当0≤x<1时，f(x)＝＝1＋，即函数f(x)在[0，1)上单调递减，由选项A知，函数f(x)是(－1，1)上的奇函数，则f(x)在(－1，0]上单调递减，因此函数f(x)是(－1，1)上的减函数，∀x1，x2∈(－1，1)，x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)，故C正确；对于D，g(x)＝0⇔x(－k)＝0，则有x＝0或＝k，即0是g(x)的零点，当x∈(－1，0)∪(0，1)时，－1<|x|－1<0，则<－1，当k<－1时，x＝－1－或x＝1＋，因此当k<－1时，函数g(x)有3个零点，故D正确．故选ACD． 10．(新设问)(2024·广东深圳一模)定义开区间(a，b)的长度为b－a.经过估 算，函数f(x)＝－x的零点属于开区间___________________(只要求写出一个符合条件，且长度不超过的开区间)． (答案不唯一) 因为y＝，y＝－x都是减函数，所以f(x)＝－x是减函数，又f(1)＝－1＝－<0，f ＝－<0，f ＝－>0，即f ·f <0，所以函数f(x)在上有零点，且－＝，故答案为(答案不唯一)． 当f(x)＝0时，g(x)＝2x2，由g(x)＝0可得，x＝0；当f(x)＝1时，g(x)＝ (x－1)(2x－1)，由g(x)＝0可得，x＝1或x＝；当f(x)＝2时，g(x)＝ 2(x－1)(x－2)，由g(x)＝0可得，x＝1或x＝2.综上所述，g(x)的零点可能是x＝0或x＝1或x＝或x＝2.所以g(x)的零点至多有4个. 0或4－2 由消去y并化简得x2＋(k－4)x＋3＝0，由Δ＝(k－4)2 －4×3＝k2－8k＋4＝0，解得k＝4－2或k＝4＋2(结合图象可知不符合，舍去)．综上所述，g(x)＝f(x)－kx有两个零点，则实数k的值是0或4－2. 13．(新考法)[多选题](2024·广东佛山模拟)设函数f(x)＝有4个零点，分别为x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，则下列说法正确的是 A．x1＋x2＝4 B．t∈[0，4) C．x1·x2的取值与t无关 D．x1＋x2＋x3＋x4的最小值为10 根据韦达定理可得x1＋x2＝4，x1·x2＝t，即可知选项A成立，选项C不成立；对于选项B：因为g(2)＝4，结合图象可得t∈(0，4)，即可知选项B不成立；对于选项D：其中x1＋x2＝4，x3＝2－t＋4，x4＝2t＋4，则有x3＋x4＝2－t＋＋5≥6，当且仅当t＝1时，“＝”成立．综上所述，x1＋x2＋x3＋x4的最小值为10，选项D成立．故选AD． 要使f(x)的图象上恰有3对点关于原点对称，则函数y＝－logax＝logx与y＝x－int(x)，(x>0)的图象恰有3个交点，则解得≤a<，所以实数a的最小值为. 所以x2＋1＝1－x2或x2－1，所以x＝0.所以此时y＝|f(x)|与y＝|1－x2|图象只有1个公共点，所以B错误；对于选项C，b＝1，y＝f(x)＝ax2＋x＋1，令ax2＋x＋1＝1＋x，所以ax2＋x＝0，所以Δ＝>0，此时y＝f(x)与y＝1＋x图象至多有2个公共点，所以C正确；对于选项D, b＝1，y＝|f(x)|＝|ax2＋x＋1|，令|ax2＋x＋1|＝|1＋x|，假设ax2＋x＋1＝1＋x, 所以ax2＋x＝0，所以x＝0或x＝－，所以x＝0和x＝－是|ax2＋x＋1|＝|1＋x|的两个解，所以y＝|f(x)|与y＝图象至少有2个公共点，所以D正确．故选ACD． $$