2.10 函数的图象（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§2.10　函数的图象 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、 列表法、解析法)表示函数．　 2．会画简单的函数图象．　 3．会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式 解的问题． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 返回 理清主干知识 1．利用描点法作函数图象的步骤 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 f(x)－k －f(x) f(－x) －f(－x) logax 微提醒　(1)函数图象平移变换的八字方针 ①“左加右减”，要注意加减指的是自变量．②“上加下减”，要注意加减指的是函数值． (2)将y＝f(x)图象的横坐标变为原来的a倍，纵坐标不变得到函数y＝f (a>0)的图象． |f(x)| f(|x|) 记牢常用结论 1．记住几个重要结论 (1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称． (2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称． (3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． 2．图象的左右平移仅仅是对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换． 3．图象的上下平移仅仅是对于y而言的，利用“上加下减”进行． 练透教材典题 1．[多选题]下列说法中正确的是 A．当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同 B．若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1 对称 C．函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到 D．函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同 √ √ √ 2．(链接人A必修一P72T1)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是 法一：出发时距学校最远，先排除A；中途堵塞停留，距离不变，再排除D；堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B．故选C． 法二：由小明的运动规律知，小明距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加快速度行驶，比前段下降得快．故选C． √ 4．函数f(x)＝ln (x＋1)的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 √ 由于函数f(x)＝ln (x＋1)的图象是由函数y＝ln x的图象向左平移1个单位长度得到的，函数g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，故函数g(x)的对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，0)，开口向上，所以作出f(x)，g(x)的图象如图所示，故函数f(x)与g(x)的图象有两个交点．故选C． 返回 考点探究　精准突破 返回 返回 考点一 作函数图象 基础练 例1 作出下列函数的图象： (1)y＝－ ； (2)y＝ －1. 规律方法 作函数图象的三种常用方法 对点练1．作出下列各函数的图象： (1)y＝2－|x－x2|； (2)y＝|log2(x＋1)|. 解：设t(x)＝y＝|log2(x＋1)|，则其图象可由y＝log2x的图象向左平移1个单位，再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，其图象如图所示． 考点二 函数图象的识别 综合练 例2 (1)(2024·浙江金华三模)函数y＝ln(cos x)， x∈ 的图象大致形如 √ 依题意y＝ln (cos x)，x∈ ，y＝cos x为偶函数，则y＝ln (cos x)为偶函数，又0<cos x<1，则y＝ln (cos x)<0.故选A． √ 规律方法 辨识函数图象的五种策略 √ 对点练2．(1)(2024·山东威海期末)函数f(x)＝ 的图象为 (2)(2024·广东中山模拟)已知函数y＝f(x)部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为 A．f(x)＝xsin 2x B．f(x)＝xsin x C．f(x)＝2|x|sin x D．f(x)＝2|x|sin 2x √ 由图象知f(x)＝0，x∈[0，π]有三个零点，经验证只有AD满足，排除BC选项，A中函数满足f(－x)＝－xsin (－2x)＝xsin 2x＝f(x)，为偶函数，D中函数满足f(－x)＝2|－x|sin (－2x)＝－2|x|sin 2x＝－f(x)为奇函数，而图象关于原点对称，函数为奇函数，排除A．故选D． 考点三 函数图象的应用 多维练 例3 [多选题]函数y＝f(x)由关系式x|x|＋y|y|＝1确定，则下列说法正确的是 A．函数f(x)的零点为1 B．函数的定义域和值域均为[－1，1] C．函数y＝f(x)的图象是轴对称图形 D．若g(x)＝f(x)＋x，则g(x)在定义域内满足g(x)>0恒成立 √ 因为函数y＝f(x)由关系式x|x|＋y|y|＝1确定，所以y＝f(x)＝ 角度1　利用图象研究函数的性质 √ √ 则y＝f(x)的图象如图所示， 由图象可知，函数f(x)的零点为1，所以A正确；由图象可知，函数的定义域和值域均为R，所以B错误；因为对于x|x|＋y|y|＝1，x与y互换后得到x|x|＋y|y|＝1，与原式子相同，所以y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，所以函数y＝f(x)的图象是轴对称图形，所以C正确；由图象可知，y＝f(x)的图象恒在直线y＝－x的上方，所以g(x)＝f(x)＋x在定义域内满足g(x)>0恒成立，所以D正确．故选ACD． 例4 角度2　利用图象解不等式 √ 例5 √ 　　(1)已知函数f(x)＝ 若关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个 不同的实数解，则实数m的取值范围是 A．(0，1) B．[0，1) C．(1，3)∪{0} D．[1，3)∪{0} 因为关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，所以函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点，作出函数图象，如图所示， 角度3　 利用图象求参数的取值范围 所以当m∈[1，3)∪{0}时，函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点，所以实数m的取值范围是[1，3)∪{0}．故选D． (2)(2024·山东泰安一模)已知函数f(x)＝ (a>0且a≠1)在 R上单调递增，且关于x的方程|f(x)|＝x＋3恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是______________． 因为f(x)是R上的单调递增函数，所以y＝1＋loga|x－1|＝1＋loga(1－x) 在(－∞，0]上单调递增，可得0<a<1，且0＋4a≥1＋0，即 ≤a<1, 规律方法 　　求解函数图象的应用问题，其实质是利用数形结合思想解题，其思维流程如下： 对点练3．(1)若∀x∈R，f ＝f ，当x≥1时，f(x)＝x2－4x，则下列 说法正确的是 A．函数f(x)为奇函数 B．函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增 C．f(x)min＝－4 D．函数f(x)在(－∞，1)上单调递减 由∀x∈R，f(x＋1)＝f(1－x)可知∀x∈R，f(x)＝f(2－x)，可知f(x)关于直线x＝1对称，当x≥1时，f(x)＝x2－4x＝(x－2) 2－4，当x<1时，2－x>1， √ f(2－x)＝(2－x－2) 2－4＝x2－4，所以f(x)＝ 作出f(x)的图 象，如图所示， 所以f(x)在(0，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)，(1，2)上单调递减，f(x)min＝－4，f(x)不是奇函数，故ABD错误，C正确．故选C． (2)设函数f(x)＝ 则满足条件“方程f(x)＝a有三个实数解”的实数a的一个值 为_______________________________． 3(答案不唯一，只要满足a>2均可) 返回 课时测评 返回 返回 √ 1．(2024·四川遂宁模拟)要得到函数y＝log2(2x＋4)的图象，只需将函数y＝log2(x＋2)的图象 A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 因为y＝log2(2x＋4)＝log22(x＋2)＝log22＋log2(x＋2)＝1＋log2(x＋2)，故只需将函数y＝log2(x＋2)的图象向上平移1个单位长度，即可得到y＝log2(2x＋4)的图象．故选C． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2．(2024·湖南岳阳开学考)函数f(x)＝ －e|x|＋1在[－2，2]上的大致图象为 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3．(2024·陕西西安模拟)已知函数f(x)在区间[－2，2]上的大致图象如图所示，则f(x)的解析式可以是 A．f(x)＝(ex－e－x) x B．f(x)＝(ex－e－x) sin x C．f(x)＝(ex－e－x) cos x D．f(x)＝(ex－e－x) x2 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为(ex－e－x)＋(e－x－ex)＝0，所以y＝ex－e－x为奇函数，对于选项A：因为y＝x为奇函数，则f(x)＝(ex－e－x) x为偶函数，不合题意，故A错误；对于选项B：因为y＝sin x为奇函数，则f(x)＝(ex－e－x) sin x为偶函数， 不合题意，故B错误；对于选项D：当x>0时，ex>1，e－x＝ <1，x2>0， 可得ex－e－x＝ex－ >0，则(ex－e－x) x2>0，所以当x>0时，f(x)＝(ex－ e－x) x2>0恒成立，不合题意，故D错误．故选C． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4．(2023·广东广州三模)函数f(x)＝ 的图象如图所示，则 A．a>0，b＝0，c<0 B．a<0，b＝0，c<0 C．a<0，b<0，c＝0 D．a>0，b＝0，c>0 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5．(2024·广东惠州一模)“家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园……”一首婉转动听的《美丽惠州》唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．如图①是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图②是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 7．[多选题](2024·广东肇庆模拟)函数f(x)＝ (α∈R)的大致图象可能是 由题意知1－|x|≠0，则x≠±1，当x∈(0，1)时，1－|x|>0，xα>0，f(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，1－|x|<0，xα>0，f(x)<0，所以f(x)的大致图象不可能为C，而当α为其他值时，A，B，D均有可能出现，不妨设α＝ ， √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 8．[多选题](2024·湖北荆州模拟)如图所示为函数f(x)的图象，则其解析式可能为 A．f(x)＝(x2－x－2) ln |x| B．f(x)＝|2x－2－x|ln |x| C．f(x)＝x2－|x|(x≠0) D．f(x)＝ 由题图可得函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且为偶函数，选项 D中的函数为奇函数，故D选项错误；对于A选项，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝(x2－x－2) ln |x|＝f(x)，是偶函数，当x>0时， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．[多选题]f(x)是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如图所示，令g(x)＝af(x)＋b，则下列关于函数g(x)的叙述正确的是 A．若a<0，则函数g(x)的图象关于原点对称 B．若a＝－1，－2<b<0，则方程g(x)＝0有大于2的实根 C．若a≠0，b＝2，则方程g(x)＝0有两个实根 D．若a≥1，－2<b<2，则方程g(x)＝0有三个实根 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是____________． 如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)． [－1，＋∞) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．(2024·上海虹桥模拟)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是____________________． 因为f(x)＝2x－x－1，所以f(x)>0等价于2x>x＋1，在同一直角坐标系中作出y＝2x和y＝x＋1的图象如图： 两函数图象的交点坐标为(0，1)，(1，2)，由图可知：当x<0或x>1时，2x>x＋1成立，所以不等式f(x)>0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)． (－∞，0)∪(1，＋∞) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(新角度)函数f(x)的定义域为(－1，1)，其图象如图所示．函数g(x)是定义域为R的奇函数，满足g(2－x)＋g(x)＝0，且当x∈(0，1)时，g(x)＝f(x)．给出下列三个结论： ①g(0)＝0； ②函数g(x)在(－1，5)上有且仅有3个零点； ③不等式f(－x) <0的解集为{x|－1<x<0}. 其中，正确结论的序号是________． ①③ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于①，由g(x)是定义域为R的奇函数可得g(0)＝0，所以①正确；对于②，依题意得g(x)在[0，1)上有唯一的零点x＝0，因为g(2－x)＋g(x)＝0，g(－x)＋g(x)＝0，所以g(2－x)＝g(－x)，可知函数g(x)是以2为周期的函数，则g(4)＝g(2)＝g(0)＝0，g(－1)＝g(1)＝－g(1)，即g(－1)＝g(1)＝0，则有g(5)＝g(3)＝g(1)＝0， 可知函数g(x)在(－1，5)上有且仅有5个零点，如图所示，所以②不正确；对于③，结合f(x)的图象可知，令f(－x) <0，则0<－x<1，得－1<x<0，因此不等式f(－x) <0的解集为{x|－1<x<0}，所以③正确．综上所述，正确结论的序号是①③. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．(2024·北京海淀统考一模)已知二次函数f(x)，对任意的x∈R，有f(2x)<2f(x)，则f(x)的图象可能是 √ 因为对任意的x∈R，有f(2x)<2f(x)，令x＝0，则f(0)<2f(0)，所以f(0)>0，排除C，D；设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(0)＝c>0，所以f(2x)＝4ax2＋2bx＋c，2f(x)＝2ax2＋2bx＋2c，由f(2x)<2f(x)可得4ax2＋2bx＋c<2ax2＋2bx＋2c，则2ax2－c<0，所以c>2ax2对任意的x∈R恒成立，则c>0，2a<0，故排除B．故选A． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(数学建模)[多选题]如图①是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象(收支差额＝车票收入－支出费用)．由于目前本条线路亏损，公司有关人员为扭亏为盈，分别提出了将图①变为图②与图③的两种建议．下列关于两种建议说法中正确的是 A．图②的建议是：支出不变，只提高票价 B．图②的建议是：只减少支出，票价不变 C．图③的建议是：减少支出，同时提高票价 D．图③的建议是：支出不变，只提高票价 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于AB，由图②可知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是减少支出而保持票价不变，故A错误，B正确；对于CD，由图③可知，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持支出不变，故C错误，D正确．故选BD． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②③④ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数f(x)＝ 其图象如下图所示： 对于①，由图可知，函数f(x)的值域不是R，故①不正确；对于②，由图可知，∀a>1，方程f(x)＝a恰有3个实数根，故②正确；对于③，当∃x0∈ R＋时，使得f(－x0)＝f(x0)成立，即y＝x2－4x＋1与y＝|ln x|有交点，这显然成立，故③正确；对于④，若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)时， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢谢观看 本节到此结束 (2)对称变换 y＝f(x)的图象y＝________的图象； y＝f(x)的图象y＝________的图象； y＝f(x)的图象y＝__________的图象； y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝_______(a>0，且a≠1)的图象． (3)伸缩变换 y＝f(x)y＝f(ax)； y＝f(x)y＝Af(x)． (4)翻折变换 y＝f(x)的图象y＝__________的图象； y＝f(x)的图象y＝__________的图象． 3．(用结论)要得到函数y＝2x－1的图象，只需将指数函数y＝x的图象 A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 由y＝x＝()2x向右平移个单位，则y＝()＝()2x－1.故选D． 解：函数y＝－＝－2－，则其图象可看作由反比例函数y＝－的图象，先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其图象如图 所示． |x－1| 解：设h(x)＝y＝|x－1|－1，其图象可看作由函数y＝|x|的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到，而y＝|x|＝其图象可由y＝()x的图象保留x≥0时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，则y＝ |x－1|－1图象如图所示． 解：设g(x)＝y＝2－|x－x2|＝其图象如图所示． (2)(2023·天津卷)函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为 A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 由题图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且f(－2)＝f(2)<0，由＝－且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；当x>0时，>0、>0，即A，C中(0，＋∞)上函数值为正，排除．故选D． 函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，函数f(x)为奇函数，故A选项错误；又当x<0时，f(x)＝≤0，故C选项错误；当x>1时，f(x)＝＝＝x－，函数单调递增，故B选项错误．故选D． 　　(2024·重庆模拟)已知函数f(x)＝则f(x)>|log2x|的解集是 A． B．(1，2) C． D．∪(1，2) 根据题意，当x∈时，f(x)＝2－(x－＋)＝3－x，当x∈时，f(x)＝2－[2－f(x－3)]＝f(x－3)＝x－， 作出函数f(x)＝的部分图象如图，在同一坐标系中作出函数y＝|log2x|的图象， 由图象可得不等式f(x)>|log2x|的解集为.故选C． ∪ 由1＋loga|x－1|＝0，解得x＝1－≥－3，作出y＝|f(x)|和y＝x＋3的函数草图如图所示，由图象可知|f(x)|＝x＋3在(0，＋∞)上有且只有一解，可得4a≤3，或x2＋4a＝x＋3时Δ＝1－4(4a－3)＝0，解得≤a≤或a＝，则a的取值范围是∪. 由于函数y＝x＋(x>0)为对勾函数，且y＝x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，函数y＝x－(x<0)为单调递增函数，且x＝－1，y＝0，作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，要使方程f(x)＝a有三个实数解，则需a>2，则符合题意的一个a的值为3.(答案不唯一，只要满足a>2均可) 由已知得f(0)＝0，排除选项D，f(1)＝－e＋1＝－e<0，排除选项B，f(2)＝－e2＋1＝9－e2>0，排除选项A．故选C． 由图象观察可得函数图象关于y轴对称，即函数为偶函数，所以f(－x)＝＝f(x)，得b＝0，故C错误；由图象可知f(0)＝<0⇒c<0，故D错误；因为定义域不连续，所以ax2－bx＋c＝0有两个根可得Δ＝b2－4ac>0，即a，c异号，a>0，即B错误，A正确．故选A． A．y＝|x| B．y＝x C．y＝ D．y＝ 依题意，“心形”图形关于y轴对称，所以x轴上方的图象对应的函数为偶函数，所以函数y＝x和y＝都不满足题意，故排除选项B，D；y＝|x|的图象过点(0，0)，(－2，0)，(2，0)，且当0<x<2时，y＝|x|≤＝2，当且仅当x＝时，等号成立，即函数y＝|x|的最大值为2.又“心形”图形对应函数的最大值为1，故排除选项A；y＝的图象过点(0，0)，(－2，0)，(2，0)且当0<x<2时，y＝＝＝≤1，当且仅当x＝1时，等号成立，即函数y＝的最大值为1，满足题意，故选C． 6．(2024·河南南阳期末)已知函数f(x)＝若f(x)的图象上至少有两对点关于y轴对称，则实数a的取值范围是 A． B． C． D．[0，1] 当x<0时，f(x)＝－，则其关于y轴对称的图象所对应的函数解析式为y＝，x>0.由题意知，当x>0时，y＝与y＝|x－2|＋a的图象至少有两个公共点， 即方程＝|x－2|＋a在区间(0，＋∞)内至少有两个实根．令y＝a，y＝－|x－2|＝在同一平面直角坐标系中分别作出y＝a与y＝－|x－2|(x>0)的图象，如图： 由图可知，若直线y＝a与曲线y＝－|x－2|(x>0)至少有两个公共点，则0≤a≤. 故实数a的取值范围是.故选C． 定义域为[0，1)∪(1，＋∞)，此时A选项符合要求；当α＝1时，定义域为{x|x≠±1}，且f(－x)＝＝＝－f(x)，故函数f(x)＝为奇函数，所以B选项符合要求，当α＝2时，定义域为{x|x≠±1}，且f(－x)＝＝＝f(x)，故函数f(x)＝为偶函数，所以D选项符合要求．故选ABD． f(x)＝(x2－x－2) ln x，令f(x)＝0得x＝1，所以函数f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，又f ＝ln ＝ln 2>0，与图象不符，故A选项错误；对于B选项，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝|2－x－2x|ln |x|＝f(x)，是偶函数，当x>0时，f(x)＝|2x－2－x|ln x，令f(x)＝0得x＝1，所以函数f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，当0<x<1时，ln x<0，f(x)<0，满足图象，故B选项正确；对于C选项，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝x2－|x|＝f(x)，是偶函数，当x>0时，f(x)＝x2－x，满足图象，故C选项正确．故选BC． 当a<0时，f(x)关于原点对称，根据图象平移知g(x)＝af(x)＋b关于点(0，b)对称，A错误；当a＝－1时，方程g(x)＝0⇔f(x)＝b，－2<b<0，由f(x)的图象知，f(x)＝b在x∈(2，c)上有一个交点，故B正确；当a≠0，b＝2时，g(x)＝0⇔f(x)＝－，若使方程g(x)＝0有两个根，由图知，必有－＝±2⇒a＝±1，其他的非零a值均不满足，故C错误；当a≥1，－2<b<2时，g(x)＝0⇔f(x)＝－∈(－2，2)，由图知有三个交点，故D正确．故选BD． 15．(2024·河南新乡三模)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x－2)＝2f(x)，且当x∈(0，2]时，f(x)＝x(2－x)．若对任意x∈[a，＋∞)，都有f(x)≤成立，则a的取值范围是 A． B． C． D． 因为当x∈(0，2]时，f(x)＝x(2－x)，f(x－2)＝2f(x), 所以f(x)＝ f(x－2)，即若f(x)在(0，2]上的点的横坐标增加2，则对应y值变为原来的；若减少2，则对应y值变为原来的2倍．当x∈(0，2]时，f(x)＝x(2－x)＝－(x－1)2＋1，f(x)max＝f(1)＝1， 因为当x∈(2，4]时，f(x)＝－(x－3)2＋∈， 令－(x－3)2＋＝，解得x1＝，x2＝，因为当x∈[a，＋∞)时，f(x)≤成立，所以a≥.故选A． 故当a<0时，对任意x∈[a，＋∞)，f(x)≤不成立，当x∈(2，4]时，f(x)＝f(x－2)＝(x－2)[2－(x－2)]＝－(x－3)2＋∈，同理当x∈(4，6]时，f(x)＝f(x－4)＝f [(x－2)－2]＝＝－(x－5)2＋∈，以此类推，当x>4时，必有f(x)≤.函数f(x)和函数y＝的图象如图所示： 16．(2024·北京房山一模)设函数f(x)＝给出下列四个结论：①函数f(x)的值域是R；②∀a>1，方程f(x)＝a恰有3个实数根；③∃x0∈R＋，使得f(－x0)－f(x0)＝0；④若实数x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则(x1＋x2)(x3－x4)的最大值为4e－.其中所有正确结论的序号是__________． 由图可知＝－2，即x1＋x2＝－4，|ln x3|＝|ln x4|，即－ln x3＝ln x4，x3＝，所以(x1＋x2)(x3－x4)＝－4，由图可知，x4∈(1，e]，而y＝－x在x∈(1，e]上单调递减，所以－x4∈，所以(x1＋x2)(x3－x4)＝－4∈，则(x1＋x2)(x3－x4)的最大值为4e－，故④正确．故答案为②③④. $$