2.9 指、对、幂的大小比较(培优课2)（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§2.9　指、对、幂的大小比较(培优课2) 第二章　函数与基本初等函数 　　指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现． CONTECT 内 容 索 引 01 题型一　直接利用单调性比较大小 02 题型二　借助中间值比较大小 05 课 时 测 评 03 题型三　数形结合比较大小 04 题型四　构造函数比较大小 题型一　直接利用单调性比较大小 返回 返回 例1 √ √ 规律方法 直接利用单调性法比较大小的思路 1．底数相同，指数不同时，如ax1和ax2，利用指数函数y＝ax的单调性比较大小． 2．指数相同，底数不同时，如x 和x ，利用幂函数y＝xa的单调性比较大小． 3．底数相同，真数不同时，如logax1和logax2，利用对数函数y＝logax的单调性比较大小．　　 对点练1．(2024·天津滨海新区三模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，若a＝f(log20.2)，b＝f(20.2)，c＝f(0.20.3)，则a，b，c的大小关系为 A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．b<a<c √ log20.2＝log2 ＝－log25，因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以a＝f(log20.2)＝f(－log25)＝f(log25)，因为log25>log24＝2，1＝20<20.2<21＝2，0<0.20.3<0.20＝1，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(log25)<f(20.2)< f(0.20.3)，即a<b<c.故选A． 返回 题型二　借助中间值比较大小 返回 返回 (1)(2024·河南郑州模拟)已知a＝log511，b＝log2 ，c＝ ，则a，b，c的大小关系为 A．a<c<b B．b<c<a C．c<a<b D．a<b<c 例2 √ (2)(2024·天津南开二模)已知a＝20.2，b＝1－2lg 2，c＝2－log310，则a，b，c的大小关系是 A．b>c>a B．a>b>c C．a>c>b D．b>a>c √ 由题意可得a＝20.2>20＝1，b＝1－2lg 2＝1－lg 4，且0<lg 4<1，则0<b<1，因为log310>log39＝2，则c＝2－log310<0，所以a>b>c.故选B． 规律方法 　　在指数、对数中通常可优先选择“－1，0， ，1”等常数对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的数，从而便于比较． 对点练2．(2024·湖南娄底模拟)已知x＝ln 1.1－1，y＝log1.11.2，z＝21.1，则三者的大小关系是 A．y<x<z B．z<y<x C．x<y<z D．x<z<y √ 返回 由x＝ln 1.1－1＝－ln 1.1<－ln 1＝0，即x<0，又由1＝log 1.11.1<log1.11.2<ln 1.11.12＝2，可得1<y<2，因为z＝21.1>21＝2，即z>2，所以x<y<z.故选C． 题型三　数形结合比较大小 返回 返回 (1)(2024·天津和平三模)已知a，b，c满足2－a＝a＋2，b＋log2b＝－2，c3－c－2＝0，则a，b，c的大小关系为 A．b<a<c B．a<b<c C．a<c<b D．c<b<a 例3 √ 由题意知：把a的值看成函数y1＝2－x与y2＝x＋2图象的交点的横坐标； 把b的值看成函数y3＝－log2x与y2＝x＋2图象的交点的横坐标； 把c的值看成函数y4＝x3与y2＝x＋2图象的交点的横坐标， 在同一坐标系中作出y1，y2，y3，y4的图象如图所示，由图可知，a<b<c.故选B． √ 规律方法 　　根据所要比较的数据的特点，可利用指数函数、对数函数、幂函数与一次函数或二次函数的图象将比较大小的问题转化为两个函数交点的横坐标的大小关系． 对点练3．(1)已知正实数a，b，c满足ec＋e－2a＝ea＋e－c，b＝log23＋log86，c＋log2c＝2，则a，b，c的大小关系为 A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a √ 作出函数y＝log2x与函数y＝2－x的图象，如图所示，则两图象交点横坐标在(1，2)内，即1<c<2，所以c<b，所以a<c<b.故选B． (2)(新考法)(2024·安徽亳州模拟)我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”“内卷”“躺平”等，定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x叫做函数f(x)的“躺平点”．若函数g(x)＝ex－x，h(x)＝ln x，φ(x)＝2 023x＋2 023的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为 A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a √ 返回 题型四　构造函数比较大小 返回 返回 (1)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则 A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a<b2 例4 √ 因为2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b<22b＋log22b＝22b＋log2b＋1，所以2a＋log2a<22b＋log22b，令f(x)＝2x＋log2x，由指、对数函数的单调性可得f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f(a)<f(2b)⇒a<2b.故选B． (2)若2a＋log2a<22b＋log2b＋1，则 A．ln (2b－a＋1)<0 B．ln (2b－a＋1)>0 C．ln |a－2b|>0 D．ln |a－2b|<0 √ 因为2a＋log2a<22b＋log2b＋1＝22b＋log22b，令f(x)＝2x＋log2x，其中x>0，因为函数y＝2x、y＝log2x在(0，＋∞)上均为增函数，所以函数f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上为增函数，因为2a＋log2a<22b＋log22b，即f(a)<f(2b)，故2b>a>0，则2b－a>0，所以2b－a＋1>1，则ln (2b－a＋1)>ln 1＝0，故A错误，B正确；无法确定|a－2b|与1的大小，故ln |a－2b|与0的大小无法确定，故CD都错误．故选B． 规律方法 　　某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，但细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，可将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数(或复合函数的性质)研究相应函数的单调性，进而比较大小． 对点练4．(1)(原创题)若实数x，y满足2 024x－2 024y<2 023－x－2 023－y，则 A．ln (y－x＋1) >0 B．ln (y－x＋1) <0 C．ln |x－y|>0 D．ln |x－y|<0 √ 因为2 024x－2 024y<2 023－x－2 023－y，所以2 024x－2 023－x<2 024y－2 023－y，令f(t)＝2 024t－2 023－t，则f(x)<f(y)，因为y＝2 024x和y＝－2 023－x在R上均为增函数，所以f(t)＝2 024t－2 023－t在R上为增函数，所以x<y，对于AB，因为x<y，所以y－x＋1>1，所以ln (y－x＋1) >0，所以A正确，B错误；对于CD，因为x<y，所以|x－y|>0，所以当0<|x－y|<1时，ln |x－y|<0，当|x－y|＝1时，ln |x－y|＝0，当|x－y|>1时，ln |x－y|>0，所以CD错误．故选A． (2)已知a＝log93 ，b＝π－0.25，c＝sin ，则a，b，c的大小关系是 A．c<a<b B．c<b<a C．a<b<c D．a<c<b √ 返回 课时测评 返回 返回 √ 1．若a＝20.2，b＝log0.22，c＝log32，则a，b，c的大小关系正确的是 A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．a>c>b 20.2>20＝1，即a>1；log0.22<log0.21＝0，即b<0；log31<log32<log33，即0<c<1.所以a>c>b.故选D． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 √ 2．设a＝lg 4＋lg 50，b＝ex(x>1)，则a与b的大小关系为 A．a>b B．a<b C．a＝b D．a≤b 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 √ 3．已知a>0，b>0，则“ ”是“ln a>ln b”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 √ 4．已知x＝6log643，y＝ log364，z＝ log83，则 A．x>y>z B．z>x>y C．y>z>x D．y>x>z 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 √ 5．已知奇函数f(x)在R上是增函数，若a＝－f ，b＝f(log24.1)，c＝ f(－20.8)，则a，b，c的大小关系为 A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．c<a<b f(x)在R上是奇函数，故f(－x)＝－f(x)，a＝－f ＝－f(－log25)＝ f(log25)，因为－20.8<0<log24.1<log25，奇函数f(x)在R上是增函数，所以f(－20.8)<f(log24.1)<f(log25)，即c<b<a.故选C． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 √ 6．设0.2a＝0.3，2b＝0.3，则 A．a＋b<ab<0 B．ab<a＋b<0 C．a＋b<0<ab D．ab<0<a＋b 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 7．已知a＝log8.14，b＝log3.1e，c＝ln 2.1，则 A．a<c<b B．a<b<c C．c<a<b D．b<c<a √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 10．已知a＝eπ，b＝πe，c＝ eπ，则这三个数的大小关系为 A．c<b<a B．b<c<a C．b<a<c D．c<a<b √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 11．(2024·山东潍坊三模)已知a＝2 0222 024，b＝2 0232 023，c＝2 0242 022，则a，b，c的大小关系为 A．b>c>a B．b>a>c C．a>c>b D．a>b>c 因为ln a＝2 024ln 2 022，ln b＝2 023ln 2 023，ln c＝2 022ln 2 024，构 造函数f(x)＝(4 046－x)ln x(x≥2 022)，f′(x)＝ －ln x－1在x≥2 022 时为减函数，且f′(x)max＝f′(2 022)<0，所以f(x)＝(4 046－x)ln x(x≥2 022)为减函数，所以ln a>ln b>ln c，则a>b>c.故选D． √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 13．[多选题](2024·湖南长沙模拟)已知0<c<1，logca<logcb<0，则下列结论正确的是 A．ca<cb<1 B．abc<bac C．3a＋3b>3b＋3a D．alogbc<blogac √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 12 13 14．[多选题](2024·江苏南京模拟)下列不等式正确的是 A．log23<log49 B．log23<lg 15 C．log812>log1215 D．log812>log63 返回 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 12 14 谢谢观看 本节到此结束 　　 (1)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是 A．a>c>b B．a>b>c C．c>b>a D．b>c>a 因为函数y＝x是增函数，所以<，即a<b，又因为函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以<，所以b<c，故c>b>a.故选C． (2)已知a＝ln 3，b＝ln 2，c＝log2，则a，b，c的大小关系正确的是 A．c>b>a B．c>a>b C．b>a>c D．a>c>b 因为＝log2<log2<log22＝1，所以<c<1，又a＝ln 3＝ln ，b＝ln 2＝ln ，因为6＝8，6＝9，(e)6＝e3>2.53＝15.625，所以e>>，则＝ln e>ln >ln ，即>a>b，所以c>a>b.故选B． 由对数函数的运算性质，可得a＝log511＝log5<log5＝，b＝log2＝log28＝，c＝>＝，所以a<b<c.故选D． (2)(2023·广东汕头统考三模)已知a＝loga，b＝logb，c＝logc，则a，b，c大小为 A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<b<a a＝loga可以看成y＝x与y＝logx图象的交点的横坐标为a，b＝logb可以看成y＝x与y＝logx图象的交点的横坐标为b，c＝logc可以看成y＝x与y＝ logx图象的交点的横坐标为c，画出函数的图象如图所示，由图象可知，c<b<a.故选D． ec＋e－2a＝ea＋e－c⇒ec－e－c＝ea－e－2a，故令f(x)＝ex－e－x，则f(c)＝ec－e－c，f(a)＝ea－e－a.易知y＝－e－x＝－和y＝ex均为(0，＋∞)上的增函数，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数．因为e－2a<e－a，故由题可知，ec－e－c＝ea－e－2a>ea－ e－a，即f(c)>f(a)，则c>a>0.易知b＝log23＋log2＝log23>2，log2c＝2－c， 根据“躺平点”的定义可得g(a)＝g′(a)，又g′(x)＝ex－1，所以ea－a＝ea－1，解得a＝1；同理h′(x)＝，即ln b＝；令m(x)＝ln x－，则m′(x)＝＋>0，即m(x)为(0，＋∞)上的单调递增函数，又m(1)＝－1<0，m(e)＝1－>0，所以m(x)在(1，e)有唯一零点，即b∈(1，e)；易知φ′(x)＝2 023，即φ(c)＝2 023c＋2 023＝φ′(c)＝2 023，解得c＝0；因此可得b>a>c.故选B． a＝log93＝log323＝，设f(x)＝sin x－x，x∈，则f′(x)＝cos x－1≤0在x∈恒成立，所以函数f(x)＝sin x－x，x∈为单调递减函数，所以f(0)＝0>f ＝sin －，即sin <，所以a>c.因为4＝π，4＝>3.16>π，所以4<4，即π<，所以π>，即b＝π－0.25＝π>，所以b>a.综上，c<a<b.故选A． 因为a＝lg 4＋lg 50＝lg 200＝2＋lg 2，b＝ex>e，又lg 2<lg ＝，则2＋lg 2<2＋<e，所以a<b.故选B． 因为y＝x在定义域上单调递减，故由a<b得a>b>0，而y＝ln x在定义域上单调递增，故a <b⇒ln a>ln b，满足充分性；又ln a>ln b⇒a< b，满足必要性．故选C． a<b 因为x＝6log643＝log23＝log23，y＝log364＝log34＝，z＝log83＝log23，由＝＝()2>1，所以y>z，由＝＝()2，而log23>log22＝，则>()2>1，所以x>y.综上，x>y>z.故选A． 由0.2a＝0.3⇒a＝log0.20.3，因为log0.21<log0.20.3<log0.20.2，所以0<a<1，由2b＝0.3⇒b＝log20.3，因为log20.3<log20.5＝－1，所以b<－1，因此ab<0，a＋b<0.由a＝log0.20.3⇒＝log0.30.2，b＝log20.3⇒＝log0.32，于是有：＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，因为log0.30.4<log0.30.3＝1，所以＋<1⇒<1，因为ab<0，所以b＋a>ab，即ab<a＋b<0.故选B． 因为b＝log3.1e>0，c＝ln 2.1>0，所以＝＝ln 2.1×ln 3.1<2＝2＝2，又e2≈7.389，所以<e，所以ln <ln e＝1，所以<1，故c<b，因为a＝log8.14＝＝＝，又e2≈7.389，所以8.1>e2，所以ln >1，所以a<ln 2，又ln 2<ln 2.1＝c，所以a<c，所以a<c<b.故选A． 8．(2024·陕西西安一模)设a>b>0，a＋b＝1且x＝－b，y＝loga，z＝logab，则x，y，z的大小关系是 A．x<z<y B．z<y<x C．y<z<x D．x<y<z 由a>b>0，a＋b＝1，可得0<b<<a<1，则z＝logab＝logab＝logab＝－1，因为0<b<1，所以logba<logbb＝1，则y＝loga＝－logba>－logbb＝－1，因为x＝－b<－1，所以x<z<y.故选A． 9．(2024·山东临沂一模)已知x＝x，logy＝，x＝logxz，则 A．x<y<z B．y<x<z C．z<x<y D．z<y<x 令f(x)＝x－x，则f(x)在R上单调递增，由f(1)>0，f<0，则当x∈时，f(x)＝0，即x＝x，而logy＝⇒y＝，因为x<，所以x－y＝x－>0⇒x>y，x＝logxz⇒z＝xx>x＝x.综上y<x<z.故选B． 令f(x)＝(x>0)，则f′(x)＝，由f′(x)>0，解得0<x<e，由f′(x)<0，解得x>e，所以f(x)＝(x>0)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减；因为π>e，所以f(π) <f(e)，即<，所以eln π<πln e，所以ln πe<ln eπ， 又y＝ln x单调递增，所以πe<eπ，即b<a；eπ＝e，在同一坐标系中作出y＝x与y＝x的图象，如图： 由图象可知在(2，4)中恒有x>x，又2<π<4，所以π>π，又y＝xe在(0，＋∞)上单调递增，且π>π，所以πe>e＝eπ，即b>c；综上可知，c<b<a.故选A． 12．[多选题](2023·安徽宣城二模)已知3x＝5y＝15，则实数x，y满足 A．x>y B．x＋y<4 C．＋< D．xy>4 因为3x＝5y＝15，所以x＝log315，y＝log515，x＝log315＝1＋log35，y＝log515＝1＋log53，易知log35>1>log53，所以x>y，故A正确；＋＝log153＋log155＝log1515＝1，故C错误；显然x>0，y>0，x≠y，x＋y＝(x＋y)(＋)＝2＋＋>2＋2＝4，故B错误；xy＝(1＋log35)(1＋log53)＝1＋log35＋log53＋log35·log53＝2＋log35＋log53>2＋2＝4，故D正确．故选AD． 由0<c<1，logca<logcb<0可得 a>b>1，当0<c<1时，y＝cx为减函数，故ca<cb<1，故A正确；取a＝4，b＝2，c＝，则4×2>2×4，故B错误；令y＝3x－3x，y′＝3xln 3－3，当x>1时，y′＝3xln 3－3>0恒成立，故y＝3x－3x在(1，＋∞)上单调递增，a>b>1时，有3a－3a>3b－3b，故3a＋3b>3b＋3a，故C正确；0<c<1，a>b>1，则logbc<logac<0，则－logbc>－logac>0，又a>b>1>0，则－alogbc>－blogac，故alogbc<blogac，故D正确．故选ACD． 对于选项A，log23＝log2232＝log49，故A不正确；设f(x)＝log2x(3x)(x≥1)，因为x≥1，所以f′(x)＝′＝＝<0，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以对于选项B，f(1)＝log23>log1015＝lg 15＝f(5)，故B不正确；对于选项C，f(4)＝log812>f(5)＝log1015>log1215，故C正确；对于选项D，f(4)＝log812>f(18)＝log3654＝log63，故D正确．故选CD． $$