2.8 对数运算与对数函数（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§2.8　对数运算与对数函数 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1．理解对数的概念和运算性质，能用换底公式将一般对数转化成 自然对数或常用对数．　 2．通过具体实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象， 理解对数函数的单调性与图象特殊点．　 3．知道指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且 a≠1)互为反函数． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 返回 微提醒　对数式与指数式的关系：ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)． 理清主干知识 1．对数的概念 一般地，如果ab＝N (a>0，且a≠1)，那么数b称为以a为底N的对数，记作___________，其中___叫作对数的底数，____叫作真数． 以10为底的对数叫作常用对数，记作_________． 以e为底的对数叫作自然对数，记作_________．(e＝2.718281…)． logaN＝b a N lg N ln N 微提醒　谨记对数运算法则的有关口诀：积的对数变加法；商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前．另外，使用运算法则要注意前提是M>0，N>0. 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝__，logaa＝__，alog N＝__(a>0，且a≠1，N>0)． (2)对数的运算性质： 若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(M·N)＝________________． ②loga ＝________________． ③logaMb＝_________ (b∈R)． (3)对数换底公式：logab＝ (a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． logaM＋logaN 0 1 N logaM－logaN blogaM a 3．对数函数及其性质 (1)对数函数的概念：一般将函数y＝_______(a＞0，且a≠1)称为对数函数，其中___为自变量，定义域是(0，＋∞)．___为底数． (2)特殊的对数函数 以10为底的对数函数称为常用对数函数，记作___________． 以e为底的对数函数称为自然对数函数，记作___________． (3)对数函数的图象和性质   a>1 0<a<1 图象 logax x a y＝lg x y＝ln x   a>1 0<a<1 性质 定义域：___________ 值域：____ 过定点________，即x＝1时，y＝0 当x>1时，______； 当0<x<1时，______ 当x>1时，______； 当0<x<1时，______ 在定义域(0，＋∞)上是________，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 在定义域(0，＋∞)上是________，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大 (0，＋∞) R (1，0) y>0 y<0 y<0 y>0 增函数 减函数 记牢常用结论 2．对数函数图象的特点 (1)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，( ，－1)，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象． (2)函数y＝logax与y＝log x(a＞0且a≠1)的图象关于x轴对称． (3)如图给出4个对数函数的图象 则b＞a＞1＞d＞c＞0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． (4)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 练透教材典题 √ √ 2．(链接北师必修一P105B组T5)化简(2log43＋log83)(log32＋log92)的值为 A．1 B．2 C．4 D．6 √ 3．(链接北师必修一P113T2)函数y＝ 的定义域是 A．(－2，＋∞) B．[－2，＋∞) C．[－2，1)∪(1，＋∞) D．(－2，1)∪(1，＋∞) √ 由题意 可得x∈(－2，1)∪(1，＋∞)．故选D． 4．(用结论)若函数f(x)＝loga(x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，则P的坐标是 A．(3，0) B．(4，0) C．(3，1) D．(4，2) √ 令x－3＝1，可得x＝4，f(4)＝loga1＋2＝2.因此，定点P的坐标为(4，2).故选D． 返回 考点探究　精准突破 返回 返回 考点一 对数运算 基础练 例1 √ (2)(2024·浙江杭州模拟)若实数b>a>1，且logab＋logba＝ ，则3ln a－ln b＝________． 0 规律方法 对数运算的一般策略 √ (2)(数学文化)17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化成乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，设N＝45×2710，则N所在的区间为 A．(e38，e39) B．(e39，e40) C．(e40，e41) D．(e41，e42) √ 因为N＝45×2710，所以ln N＝ln 45＋ln 2710＝ln 210＋ln 330＝10ln 2＋30ln 3≈0.693 1×10＋1.098 6×30＝39.889，所以N≈e39.889∈(e39，e40).故选B． 考点二 对数函数的图象及应用 综合练 例2 (1)已知log2a＋log2b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝log x的图象可能是 √ log2a＋log2b＝log2ab＝0，ab＝1，a＝ ，所以f(x)＝ax，g(x)＝logax.所以f(x)与g(x)互为反函数，图象关于直线y＝x对称，所以D选项符合题意．故选D． (2)[多选题]关于函数f(x)＝|ln |2－x||，下列描述正确的有 A．函数f(x)在区间(1，2)上单调递增 B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称 C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2 D．函数f(x)有且仅有两个零点 √ 由函数y＝ln x，x轴下方图象翻折到上方可得函数y＝|ln x|的图象，将y轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数y＝|ln |x||＝|ln |－x||的图象，将函数图象向右平移2个单位，可得函数y＝|ln |－(x－2)||＝|ln |2－x||的图象，则函数f(x)＝|ln |2－x||的图象如图所示． √ √ 由图可得函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，故A正确；函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，故B正确；若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，若x1，x2关于直线x＝2对称，则x1＋x2＝4，故C错误；函数f(x)有且仅有两个零点，故D正确．故选ABD． 规律方法 研究对数型函数图象的两种策略 √ 对点练2．(1)(2024·广东惠州模拟)若函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是 由题设，0<a<1且|x|－1>0，即函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除A，B；当x∈(－∞，－1)时，t＝|x|－1＝－x－1单调递减，当x∈(1，＋∞)时，t＝|x|－1＝x－1单调递增，而y＝logat在定义域上单调递减，所以当x∈(－∞，－1)时，y单调递增；当x∈(1，＋∞)时，y单调递减；排除C．故选D． √ 易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图所示， 考点三 对数函数的性质及应用 多维练 例3 (2024·湖北武汉一模)已知a＝3log83，b＝－ log 16，c＝log43，则a，b，c的大小关系为 A．a>b>c B．c>a>b C．b>c>a D．b>a>c √ 角度1　比较对数式的大小 当x≥0时，f(x)＝2x2≥0，4f(x)＝8x2＝f(2x)，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增．当x＜0时，f(x)＝－2x2＜0，4f(x)＝－8x2＝f(2x)，且f(x)在(－∞，0)上单调递增．所以f(x)在R上有4f(x)＝f(2x)，且函数f(x)是R上的增函数，于是原不等式可化为(log2x)2－3＜2log2x，即(log2x)2－2log2x－3＜0，即(log2x＋1)(log2x－3)＜0，得－1＜log2x＜3，解得 ＜x＜8. (1)(新角度)(2024·安徽江淮十校联考)已知函数f(x)＝ 则不等式f((log2x)2－3)＜4f(log2x)的解集为________． 角度2　解对数方程、不等式 例4 (2)已知f(x)＝2lg x－1，g(x)＝2lg x－3，若|f(x)|＋|g(x)|＝|f(x)＋g(x)|，则满足 条件的x的取值范围是______________________． 例5 角度3　对数函数性质的综合应用 √ (2)[多选题](2024·河北邯郸一模)已知函数f(x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，则 A．f(x)的定义域是(－6，4) B．f(x)有最大值 C．不等式f(x)<4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞) D．f(x)在(0，4)上单调递增 √ 由题意可得 解得－6<x<4，即f(x)的定义域是(－6，4)，故A正确；f(x)＝ log2(－x2－2x＋24)，因为y＝－x2－2x＋24在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，所以f(x)max＝f(－1)＝2log25，故B正确；令f(x)＝4，即－x2－2x＋24＝16，解得x＝2或x＝－4，因为f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，且f(－4)＝f(2)＝4，所以不等式f(x)<4的解集是(－6，－4)∪(2，4)，故C错误；因为f(x)在(－1，4)上单调递减，故D错误．故选AB． √ 规律方法 　　利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用． 对点练3．(1)设a＝log2 0.3，b＝log 0.4，c＝0.40.3，则a，b，c的大小关 系为 A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b √ (2)(2024·广东广州期中)已知函数f(x)＝log (3x2－ax＋8)在[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是 A．(－∞，－6] B．[－11，－6] C．(－11，－6] D．(－11，＋∞) √ 返回 (3)(2024·山东淄博模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x) 单调递减，则不等式f(log (2x－5))＞f(log38)的解集为____________________． 课时测评 返回 返回 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝ A．4 B．3 C．2 D．1 因为f(x)＝lg x，f(ab)＝1，所以f(ab)＝lg (ab)＝1，所以f(a2)＋f(b2)＝lg a2＋lg b2＝2lg a＋2lg b＝2lg (ab)＝2.故选C． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．(2024·山东烟台期末)函数f(x)＝ln |x－1|－ln |x＋1|的部分图象大致为 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 4．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为 A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 因为y＝log5x是增函数，所以a＝log52<log5 ＝0.5；因为y＝log0.5x是减函数，所以b＝log0.50.2>log0.50.5＝1；因为y＝0.5x是减函数，所以0.5＝0.51<c＝0.50.2<0.50＝1，即0.5<c<1.所以a<c<b.故选A． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．(数学文化)(2024·福建三明三模)17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上，对2p－1(p为素数)型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在p≤257的素数中，当p＝2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，2p－1是素数，其它都是合数．除了p＝67和p＝257两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实．人们为了纪念梅森在2p－1型素数研究中所做的开创性工作，就把2p－1型的素数称为“梅森素数”，记为Mp＝2p－1.几千年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数海明珠”．已知第7个梅森素数M19＝219－1，第8个梅森素数M31＝231－1， 则lg 约等于(参考数据：lg 5≈0.7) A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.6 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 6．(新定义)若定义运算f(a⊗b)＝ 则函数f(|log2x|⊗2－x)的值域是 A．(－1，0) B．[－1，1] C．[0，1) D．(1，＋∞) 由题意可得f(|log2x|⊗2－x)＝ 作函数y＝|log2x|与函数y＝ 2－x的图象，如下图所示 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由图可知f(|log2x|⊗2－x)＝ 易知其值域为[0，1)．故选C． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 8．[多选题](2024·湖南益阳期末)关于函数f(x)＝ln |x|－ ，下列说法正确 的是 A．f(x)为偶函数 B．f(x)在其定义域上单调递增 C．f(x)有且仅有一个零点 D．f(x)在区间(1，2)上存在唯一的零点 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(2024·河北沧州三模)若lg x＝2lg y，lg (x＋y)＝lg y－lg x，则y2＋y3＝________． 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(新设问)已知函数f(x)同时满足条件：①定义域为(0，＋∞)；②∀m，n∈(0，＋∞)，f(mn)＝f(m)＋f(n)；③∀x，y∈(0，＋∞)，x≠y，(x－y)[f(x)＋f(y)]>0.请写出这样的一个函数f(x)＝____________________． 因为∀x，y∈(0，＋∞)，x≠y，(x－y)[f(x)＋f(y)]>0，定义域为(0，＋∞)，所以函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，又因为logam＋logan＝logamn，所以对数函数满足条件∀m，n∈(0，＋∞)，f(mn)＝f(m)＋f(n)，综上，函数f(x)可以是底数大于1的对数函数．故答案为log2x(答案不 唯一)． log2x(答案不唯一) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．已知直线y＝1与函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x的图象交点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝______． 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(16分)已知函数f(x)＝log2[(3m－6)x＋2m－5]，g(x)＝log2 ，m∈R. (1)若f(1)＝2，求m的值 解：f(1)＝2⇒log2(5m－11)＝log24⇒5m－11＝4⇒m＝3. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若方程g(x)－f(x)＝0恰有一个实根，求m的取值范围； 解：方程g(x)－f(x)＝0⇔ 由①可得(3m－6) x2＋(m－5) x－1＝0⇒(3x＋1)[ (m－2)x－1]＝0. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若x2＝ 满足m－2＋m＝2m－2>0⇒m>1， 综上，当1<m≤3时方程恰有一个实根． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)设m>0，若对任意t∈ ，当x1，x2∈[t，t＋1]时，满足|g(x1)－ g(x2)|≤1，求m的取值范围． 解：当x1，x2∈[t，t＋1]时，|g(x1)－g(x2)|≤1恒成立，则有g(x)max－g(x)min≤1， 由已知m>0，结合复合函数的单调性知g(x)＝log2 在(0，＋∞)上单调 递减， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以mt2＋(m＋1)t－1≥0对∀t∈ 恒成立， 令h(t)＝mt2＋(m＋1)t－1. 因为m>0，所以h(t)在t∈ 上单调递增， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(新角度)[多选题](2024·广东汕头一模)已知2x＝3y＝36，则下列说法正确 的是 A．xy＝2(x＋y) B．xy>16 C．x＋y<9 D．x2＋y2<32 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(数学建模)[多选题](2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值， p 是实际声压．下表为不同声源的声压级： 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则 A．p1≥p2 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 √ 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢谢观看 本节到此结束 1．换底公式的三个重要结论 (1)logab＝. (2)logambn＝logab. (3)logab·logbc·logcd＝logad. (其中a，b，c均大于0，且不等于1，d＞0，m≠0，n∈R.) 1．[多选题]下列说法中正确的是 A．若MN＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN B．log4.2＝m⇔()m＝4.2 C．函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数 D．函数y＝log2x与y＝log的图象重合 原式＝(2×log23＋log23)(log32＋log32)＝log23×log32＝2.故选B． (1)已知2m＝9n＝6，且＋＝b，则b的值是 A． B．3 C．1 D．2 因为2m＝9n＝6，则m＝log26，n＝log96，所以b＝＋＝log62＋log69＝log6＝1.故选C． 因为b>a>1，所以logab>1，0<logba<1，设logab＝x，则logba＝，x＋＝，所以x＝3(舍去)，所以logab＝3，所以b＝a3，所以3ln a－ln b＝3ln a－ln a3＝3ln a－3ln a＝0. ＝lg 10＋－·＝1＋－2＝－. (3)lg 25＋lg 2－lg －log29×log32＝________． － lg 25＋lg 2－lg －log29×log32 ＝lg 5＋lg 2－lg 10－1－· 对点练1．(1)已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log475＝ A． B． C． D． log475＝＝＝＝，又lg 2＝a，lg 3＝b，则log475＝.故选B． (2)(2024·江苏南京检测)当0＜x≤时，4x＜logax，则实数a的取值范围是 A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2) 则由题意知，当0＜x≤时，4x＜logax.只需满足loga＞4，解得a＞，所以＜a＜1.故选B． a＝3log83＝3log233＝log23>1，b＝－log16＝－log3－116＝log316＝log34>1，c＝log43∈(0，1)，log23－log34＝－＝，又lg 2lg 4<()2＝(lg )2<(lg 3)2，故log23>log34，所以a>b>c.故选A． ∪ 若满足条件|f(x)|＋|g(x)|＝|f(x)＋g(x)|，当且仅当f(x)g(x)≥0，即(2lg x－1) (2lg x－3)≥0，即lg x≥或lg x≤，解得x≥10或0<x≤ . 　　 (1)(2024·湖北武汉模拟)函数f(x)＝loga(3－2ax)在区间[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围为 A．(0，1) B． C． D．(1，＋∞) 设u(x)＝3－2ax(a＞0且a≠1)，则u(x)是减函数，要使得函数f(x)＝loga(3－2ax)在[1，2]上单调递增，只需y＝logau为减函数，且满足u(x)＝3－2ax＞0在x∈[1，2]上恒成立，所以解得0＜a＜，所以实数a的取值范围为.故选C． 因为log20.3＜log21＝0，所以a＜0.因为log0.4＝－log20.4＝log2＞log22＝1，所以b＞1.因为0＜0.40.3＜0.40＝1，所以0＜c＜1，所以a＜c＜b.故选D． y＝logu在(0，＋∞)上单调递减，故u＝3x2－ax＋8在[－1，＋∞)上单调递增，且3x2－ax＋8>0在[－1，＋∞)恒成立，故要满足－≤－1且3×(－1)2－a×(－1)＋8>0，解得a∈(－11，－6]．故选C． 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以f(log(2x－5))＞f(log38)等价于|log(2x－5)|＞|log38|，即log3(2x－5)＞log38或log3(2x－5)＜－log38＝log3，即2x－5＞8或0＜2x－5＜，解得x＞或＜x＜. 1．函数f(x)＝＋lg (3x－2)的定义域为 A． B．(0，2] C． D．(1，2] 要使函数有意义，需满足解得<x≤2，所以f(x)的定义域为.故选C． 由得x≠±1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，关于原点对称，又f(－x)＝ln |－x－1|－ln |－x＋1|＝ln |x＋1|－ln |x－1|＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD选项；当x＝时，函数f(x)＝ln －ln ＝ln <ln 1＝0，当x＝－时，函数f(x)＝ln －ln ＝ln 3>ln 1＝0，故排除B选项．故选A． 由已知可得lg ＝lg ＝lg 212＝12lg 2＝12×(1－lg 5)≈3.6.故选D． 7．[多选题](2024·安徽蚌埠三模)下列命题中，错误的是 A．∃x∈(0，＋∞)，x<x B．∀x∈(0，1)，logx>logx C．∀x∈(0，＋∞)，x>logx D．∃x∈，x>logx ∀x∈(0，＋∞)，x>x，因此A不正确；∀x∈(0，1)，则logx>logx，因此B正确；取x＝，则<1＝log，因此C不正确；∀x∈，则 x<1<logx，因此D不正确．故选ACD． f(x)＝ln |x|－的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝ln |－x|－＝ln |x|－＝f(x)，则f(x)为偶函数，故A正确；因为f(－e)＝ln |－e|－＝1－>0， f(－1)＝ln －＝－1<0，所以f(－e) >f(－1)，由此可判断B错误；当x>0时，f(x)＝ln x－，因为y＝ln x，y＝－在(0，＋∞)上均单调递增，所以f(x)＝ln x－在(0，＋∞)上单调递增，f(1)＝ln 1－＝－1<0，f(2)＝ ln 2－＝ln －ln >0，故f(x)在区间(1，2)上存在唯一的零点，故D正确；f(x)在区间(0，＋∞)上存在唯一的零点，又f(x)为偶函数，则f(x)在区间(－∞，0)上存在唯一的零点，故f(x)有2个零点，故C错误．故 选AD． 9．[多选题](2024·安徽蚌埠二模)已知函数f(x)＝log4－x，则下列说法中正确的是 A．函数f(x)的图象关于原点对称 B．函数f(x)的图象关于y轴对称 C．函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数 D．函数f(x)的值域为 因为f(x)的定义域为R，f(x)＝log4(1＋4x)－log44＝log4＝log4(2－x＋2x)，所以f(－x)＝log4(2x＋2－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所以A错误，B正确；令t＝2x，则y＝log4，令s＝t＋，则y＝log4s，当x∈时，t∈[1，＋∞)，所以s＝t＋为增函数，又y＝log4s为增函数，所以y＝log4为增函数，又t＝2x为增函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数．又f(x)为R上的偶函数，所以f(x)≥f(0)＝，所以f(x)的值域为，所以C错误，D正确．故选BD． 为lg x＝2lg y，lg (x＋y)＝lg y－lg x，所以x＝y2，x＋y＝(x>0，y>0)，则y2＋y＝，所以y2＋y3＝1. 由f(x)＝2x＋x＝1得2x＝1－x；由g(x)＝log2x＋x＝1得log2x＝1－x；画出y＝2x，y＝log2x，y＝x，y＝1－x的图象如下图所示，y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称，由解得x＝y＝，所以x1＋x2＝2×＝1. 当m＝2时，方程有唯一解x＝－，此时＋m＝－3＋2＝－1<0，所以不满足②. 当m＝－1时，方程有两相等解x＝＝－，此时＋m＝－3－1＝－4<0，所以不满足②. 若x＝－是唯一解，则有⇒m∈∅. 当m≠－1且m≠2时，方程有两不等解x1＝－，x2＝， 若x1＝－满足＋m＝－3＋m>0⇒m>3， 则若x＝ 是唯一解，则有⇒1<m≤3， 所以g(t)－g(t＋1)≤1⇒log2－log2≤1＝log22⇒＋m≤＋2m， 所以h(t)min＝h＝≥0⇒m≥，所以实数m的取值范围是. 由2x＝3y＝36，得x＝log236，y＝log336，对于A，＝＋＝log363＋log362＝log366＝，所以xy＝2(x＋y)，故选项A正确；对于B，x＝log236＝log24＋log29＝2＋log29，log28<log29<log216，即3<log29<4，所以x＝2＋log29∈(5，6)， y＝log336＝log39＋log34＝2＋log34，log33<log34<log39，即1<log34<2， 所以y＝2＋log34∈(3，4)，所以x＋y>8，xy＝2(x＋y)>16，故选项B正确；对于C，x＝log236＝2＋2log23，y＝log336＝2＋2log32，所以x＋y＝4＋2(log23＋log32)＝4＋2(log23＋)，令log23＝t∈(1，2)，则x＋y＝4＋2(t＋)在(1，2)上单调递增，所以x＋y＝4＋2(t＋)<4＋2×(2＋)＝9，故选项C正确；对于D，x＝2＋log29∈(5，6)，y＝2＋log34∈(3，4)，所以x2>52＝25，y2>32＝9，所以x2＋y2>34，故选项D错误．故选ABC． 由题意可知：Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3＝40，对于选项A，可得Lp1－Lp2＝20×lg－20×lg＝20×lg，因为Lp1≥Lp2，则Lp1－Lp2＝20×lg≥0，即lg≥0，所以≥1且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正确；对于选项B，可得Lp2－Lp3＝20×lg－20×lg＝20×lg，因为Lp2－Lp3≥10，则20×lg≥10，即lg≥，所以≥ 且p2，p3>0，可得p2≥ p3，当且仅当Lp2＝50时，等号成立，故B错误； 对于选项C，因为Lp3＝20×lg＝40，即lg＝2，可得＝100，即p3＝100p0，故C正确；对于选项D，由选项A可知：Lp1－Lp2＝20×lg，且Lp1－Lp2≤90－50＝40，则20×lg≤40， 即lg≤2，可得≤100，且p1，p2>0，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD． $$