2.7 指数运算与指数函数（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§2.7　指数运算与指数函数 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数 幂的运算性质．　 2．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的 概念．　 3．会画指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点 等性质，并能简单应用． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 返回 微提醒　0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 理清主干知识 1．指数幂的拓展 微提醒　(1)指数幂的运算性质中，底数大于0，否则不能用性质进行运算．(2)幂指数不能随意约分． 2．指数幂的运算性质 aα·aβ＝______； (aα)β＝_____； (ab)α＝_____ (a>0，b>0，α∈R，β∈R)． aα＋β aαβ aαbα 3．指数函数及其性质 (1)概念：y＝ax(a>0，且a≠1)是一个定义在实数集上的函数，称为__________，其中指数x是自变量，定义域是R.函数值大于0. (2)指数函数的图象和性质   a＞1 0＜a＜1 图象 指数函数 微提醒　当底数a大小不确定时，必须分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的图象和性质．   a＞1 0＜a＜1 性 质 定义域：____ 值域：___________ 过定点________，即x＝0时，y＝1 当x＜0时，_____________；当x＞0时，______ 当x＜0时，__________；当x＞0时，_________ 在R上是__________当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0 在R上是__________当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大 R (0，＋∞) (0，1) 0＜y＜1 y＞1 y＞1 0＜y＜1 增函数 减函数 记牢常用结论 1．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过三个关键点：(1，a)，(0，1)， . 2．y＝ax(a>0，且a≠1)的图象特征： 如图(a1>a2>a3>a4)，不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内图象越高，底数越大；在第二象限内图象越高，底数越小． 3．当a>0，且a≠1时，函数y＝a 与函数y＝x的图象关于y轴对称． 练透教材典题 √ √ √ 2．(链接人A必修一P119T6)已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则 A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b √ 因为函数y＝1.01x在(－∞，＋∞)上是增函数，y＝0.75x在(－∞，＋∞)上是减函数，且3.5＞2.7，0.1>0，故1.013.5＞1.012.7＞1＝0.750＞0.750.1，即c＞b＞a.故选C． √ 3．(2023·山东潍坊二模)已知函数f(x)＝ －3x，则f(x)＝ A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 7 47 返回 考点探究　精准突破 返回 返回 考点一 指数幂运算 基础练 例1 规律方法 指数幂运算的一般原则 1．有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． 2．先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． 3．底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数． 4．若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 5．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．　　 √ √ (1)[多选题](2024·福建福州调研)已知实数a，b满足等式2 023a＝2 024b，下列等式可以成立的是 A．a＝b＝0 B．a＜b＜0 C．0＜a＜b D．0＜b＜a 考点二 指数函数的图象及应用 综合练 例2 √ 如图，观察易知，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0，故选ABD． √ √ (2)若方程|3x－1|＝k有一解，则k的取值范围为_______________． 函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示． 当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，即方程有一解． 故k的取值范围为{0}∪[1，＋∞)． {0}∪[1，＋∞) 变式探究 1．(变条件)若本例(2)的条件变为：方程3|x|－1＝k有两解，则k的取值范围为__________． 作出函数y＝3|x|－1与y＝k的图象如图所示，数形结合可得k＞0. (0，＋∞) 2．(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋k的图象不经过第二象限，则实数k的取值范围是____________． 作出函数y＝|3x－1|＋k的图象如图所示．由图象知1＋k≤0，即k≤－1，故k的取值范围为(－∞，－1]． (－∞，－1] 规律方法 处理与指数函数图象有关问题的策略 √ 考点三 指数函数的性质及应用 多维练 例3 (1)(2024·江苏苏州模拟)若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是 A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．a＞c＞b √ 因为函数y＝0.3x在R上是减函数，所以0＜0.30.7＜0.30.3＜0.30＝1，又因为幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，0.3＜0.7，所以0＜0.30.3＜0.70.3，所以0＜a＜b＜1，而函数y＝1.2x是R上的增函数，所以c＝1.20.3＞1.20＝1，所以c＞b＞a.故选B． 角度1　比较指数式大小 (2)[多选题](2024·湖南长沙期末)若3x－3y<4－x－4－y，则下列结论正确的是 A． B．x<y C．2－y<2－x D．y－3>x－3 √ 由3x－3y<4－x－4－y变形得到3x－4－x<3y－4－y，令f(x)＝3x－4－x，显然f(x)在R上为增函数，所以x<y，显然B正确；对于A选项，若x<0或y<0时，A不满足要求，舍去；对于C选项，－x>－y，故2－y<2－x，故C正确；对于D选项，不妨设x＝2，y＝3，则3－3<2－3，即y－3<x－3，故D错误．故选BC． √ (1)设a为实数，若关于x的方程4x＋2x＋1＋a＝0有实数解，则a的取值范围是 A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0] √ 因为4x＋2x＋1＋a＝0，所以－a＝4x＋2x＋1＝(2x)2＋2×2x，令t＝2x(t>0)，则－a＝t2＋2t(t>0)，要想方程4x＋2x＋1＋a＝0有实数解，只需y＝－a与f(t)＝t2＋2t有交点即可；设f(t)＝t2＋2t＝(t＋1)2－1，当t>0时，f(t)单调递增，所以f(t)>f(0)＝0，即－a>0时，解得a<0，故a的取值范围是(－∞，0).故选C． 角度2　解简单的指数方程或不等式 例4 √ 例5 已知函数f(x)＝ (a为常数，且a≠0，a∈R)． (1)当a＝－1时，若对任意的x∈[1，2]，都有f(2x)≥mf(x)成立，求实数m的取值范围； 角度3 指数函数性质的综合应用 (2)当f(x)为偶函数时，若关于x的方程f(2x)＝mf(x)有实数解，求实数m的取值范围． 所以t2－2＝mt，即m＝t－ 在t∈[2，＋∞)上有实数解， 而m＝t－ 在t∈[2，＋∞)上单调递增，所以m≥1. 规律方法 1．比较指数式大小的方法 (1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小． (2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小． 2．指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化． 3．涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．　　 对点练3．(1)(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为 A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c 由y＝1.01x在R上单调递增，则a＝1.010.5<b＝1.010.6，由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，则a＝1.010.5>c＝0.60.5，所以b>a>c.故选D． √ √ √ 返回 令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝ g(x)，因为f(x)有最大值3，所以g(x)有最小值－1， 则 解得a＝1. 1 课时测评 返回 返回 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 2．函数f(x)＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是 因为函数f(x)＝ax－a(a>0，且a≠1)，当a>1时，y＝ax是增函数，并且恒过定点(0，1)，又因为f(x)＝ax－a的图象在y＝ax的基础上向下平移超过1个单位长度，故D错误，C正确；当0<a<1时，y＝ax是减函数，并且恒过定点(0，1)，又f(x)＝ax－a的图象在y＝ax的基础上向下平移了不到1个单位长度，故A，B错误．故选C． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5．人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lg .一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的 A．1倍 B．10倍 C．100倍 D．1 000倍 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 构造函数f(x)＝ex＋x，易知函数f(x)在R上为单调递增函数．因为不等式ex2－x－1>2＋e＋x－x2等价于ex2－x－1＋(x2－x－1) >e＋1，又f(1)＝e＋1，所以f(x2－x－1)>f(1)，所以由函数f(x)的单调性知x2－x－1>1，即x2－x－2>0，解得x<－1或x>2，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞).故选D． 6．(新考法)不等式ex2－x－1>2＋e＋x－x2的解集为 A．(－1，2)∪(2，＋∞) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7．[多选题](2024·黑龙江哈尔滨二模)点M(x1，y1)在函数y＝ex的图象上，当x1∈[0，1)，则 可能等于 A．－1 B．－2 C．－3 D．0 √ √ 由 表示点M(x1，y1)与点A(1，－1)所成直线的斜率k，又M(x1，y1)是y＝ex在x∈[0，1)部分图象上的动点，如右图，B(1，e)，则k∈(－∞，－2]，只有B，C满足．故选BC． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8．[多选题](2024·浙江杭州期末)已知函数f(x)＝ ，则下列结论正确 的是 A．函数f(x)的图象关于原点对称 B．函数f(x)的图象关于y轴对称 C．函数f(x)的值域为(－1，1) D．函数f(x)是减函数 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9．[多选题]对任意实数a>1，函数y＝(a－1)x－1＋1的图象必过定点A(m，n)， f(x)＝ 的定义域为[0，2]，g(x)＝f(2x)＋f(x)，则下列结论正确的是 A．m＝1，n＝2 B．g(x)的定义域为[0，1] C．g(x)的值域为[2，6] D．g(x)的值域为[2，20] √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10．已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[0，2]上的最大值比最小值大 ， 则a＝____________． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11．(新设问)(2024·湖南长沙二模)已知函数f(x)满足f(x－y)＝ ，且f(1)< f(3)，请写出一个符合上述条件的函数f(x)＝______________． 2x(答案不唯一) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12．(2024·上海模拟)设f(x)＝x .若函数y＝f(x)的定义域为(－∞，1) ∪(1，＋∞)，则关于x的不等式ax≥f(a)的解集为__________． [1，＋∞) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13．(20分)已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0，且a≠1)是奇 函数． (1)求实数k的值； 解：因为f(x)是定义域为R的奇函数， 所以f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0， 所以k＝2， 经检验k＝2符合题意，所以k＝2. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围． 解：f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)， 因为f(1)<0，所以a－ <0， 又a>0，且a≠1， 所以0<a<1， 从而y＝ax在R上单调递减，y＝a－x在R上单调递增， 故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减， 不等式f(m2－2)＋f(m)>0可化为f(m2－2)>f(－m)， 所以m2－2<－m，即m2＋m－2<0， 解得－2<m<1， 所以实数m的取值范围是(－2，1)． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 令u＝3x，u∈(0，＋∞)， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若a> ，存在实数m，n(m<n)，当f(x)的定义域为[m，n]时，f(x)的值域为[3m＋1，3n＋1]，求实数a的取值范围． 解：因为a> ，所以f(x)在R上单调递增， 所以当f(x)的定义域为[m，n]时，f(x)的值域为[f(m)，f(n)]，即 即f(x)＝3x＋1在R上有两个不同的实数解， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 谢谢观看 本节到此结束 x 1．[多选题]下列根式与分数指数幂的互化中正确的有 A．x＝－ B．＝x C．xy＝ D．＝a 对于A，－＝－x，故A不正确；对于B，＝＝＝x，故B正确；对于C，xy＝·＝(x>0，y>0)，故C正确；对于D，＝＝ ＝＝a，故D正确．故选BCD． 函数的定义域为R，因为f(－x)＝3x－x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，又因为函数y＝x，y＝－3x在R上都是减函数，所以函数f(x)＝x－3x在R上是减函数．故选C． x 4．(链接北师必修一P80B组T3)已知a＋a＝3，则a＋a－1＝________；a2＋a－2＝________． 由a＋a＝3，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7，则a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47. 　　 计算： (1)(－1.8)0＋－2·－＋； 解：(－1.8)0＋－2·－＋＝1＋()2·()－10＋9 ＝1＋2·2－10＋33＝1＋1－10＋27＝19. (2)·(a>0，b>0)． 解：·＝4×0.12×＝2××8＝. 对点练1．(1)化简4ab÷的结果为 A．－ B．－ C．－ D．6ab 4ab÷＝ ab＝－6ab－1＝－.故选C． (2)若a＞0，且ax＝3，ay＝5，则a等于 A．9＋ B． C．9 D．6 因为ax＝3，ay＝5，所以a＝(ax)2·(ay)＝32×5＝9.故选C． 对点练2．(2024·湖北武汉开学考)设函数f(x)＝3x＋b，函数f(x)的图象经过第一、三、四象限，则g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范围为 A． B． C． D． 由函数f(x)＝3x＋b的图象经过第一、三、四象限，可得b<－1，所以g(b)＝f(b)－f(b－1)＝3b－3b－1＝3b·＝·3b<·3－1＝，又因为·3b>0，所以g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范围为.故选A． < (2)若2x2＋1≤x－2，则函数y＝2x的值域是 A． B． C． D． 因为x－2＝2x－4，所以2x2＋1≤x－2可化为2x2＋1≤2x－4＝24－2x，由指数函数的单调性可得x2＋1≤4－2x，解得－3≤x≤1，所以2－3≤2x≤21，故函数y＝2x的值域是.故选B． 解：当a＝－1时，f(x)＝2x－在[1，2]上单调递增，所以当x∈[1，2]时，f(x)＝2x－∈，对任意的x∈[1，2]都有f(2x)≥mf(x)成立，可转化为22x－≥m恒成立，即m≤2x＋对x∈[1，2]恒成立，令t＝2x，t∈[2，4]，则m≤h(t)＝t＋恒成立，即m≤h(t)min， 由对勾函数的性质知h(t)＝t＋在[2，4]上单调递增，故h(t)min＝h(2)＝， 所以m的取值范围是. 解：当f(x)为偶函数时，对∀x∈R都有f(－x)－f(x)＝0，即－＝0恒成立，即＝0恒成立， 所以－1＝0，解得a＝1，则f(x)＝2x＋，故由f(2x)＝mf(x)可得22x＋＝m有实数解， 令t＝2x＋≥2＝2(当x＝0时取等号)，则22x＋＝2－2＝t2－2， (2)[多选题]已知函数f(x)＝＋a(x∈R)为奇函数，则下列结论正确的是 A．a＝－ B．f(x)为R上的增函数 C．f(x)>0的解集为(－∞，0) D．f(x)的值域为 对于A，因为函数f(x)＝＋a(x∈R)为奇函数，所以f(0)＝0，即＋a＝0，解得a＝－， 此时f(x)＝－，则f＝－＝－＝－＝－f(x)，符合题意，故a＝－，故A正确；对于B，因为y＝2x＋1在定义域上单调递增，且2x＋1>1，又y＝在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－在定义域R上单调递减，故B错误；对于C，由f(x)>0，即－>0，所以>，即2x＋1<2，即2x<1，解得x<0，所以不等式f(x)>0的解集为(－∞，0)，故C正确；对于D，因为2x＋1>1，所以0<<1，所以－<－<，即f(x)的值域为，故D错误．故选AC． (3)已知函数f(x)＝()，若f(x)有最大值3，则a的值为________． 1．式子＋的值为 A．7－2π B．2π－7 C．－1 D．1 ＋＝|π－4|＋3－π＝4－π＋3－π＝7－2π.故选A． 3．若<a<b，则有 A．a<b<1 B．b>a>1 C．b<a<1 D．a>b>1 因为函数y＝x在R上是减函数，又<a<b，所以b<a<1.故选C． 4．已知函数f(x)＝ax－4－(a>0，且a≠1)的图象过定点(m，n)，则mn＝ A． B． C． D． 因为指数函数y＝ax过定点(0，1)，所以f(x)＝ax－4－(a>0，且a≠1)的图象过定点(4，)，所以m＝4，n＝，所以mn＝，所以mn＝＝＝()3＝.故选D． 设老师上课声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为x1 W/m2，x2 W/m2，根据题意得d(x1)＝9lg＝63，解得x1＝10－6.d(x2)＝9lg＝54，解得x2＝10－7，所以＝10，因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，故选B． f(x)的定义域为R，f(x)＝，则f＝＝－＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，故A正确，B错误； f(x)＝＝1－，因为2x＋1>1，所以0<<1，0<<2，所以－1<1－<1，故f(x)的值域为(－1，1)，故C正确；设x2>x1，则f(x2)－f(x1)＝－＝－＝，因为x2>x1，所以2－2>0，2x1＋1>0，2＋1>0，所以f(x2)－f(x1)>0，即 f(x2)>f(x1)，所以函数f(x)是增函数，故D错误．故选AC． x 对于A，令x－1＝0，得x＝1，此时y＝(a－1)0＋1＝2，所以函数y＝(a－1)x－1＋1的图象过定点A(1，2)，即m＝1，n＝2，故A正确；对于B，因为m＝1，n＝2，所以f(x)＝x＝2x，x∈[0，2]，所以g(x)＝f ＋f(x)＝22x＋2x，由得0≤x≤1，所以g(x)的定义域为[0，1]，故B正确；对于C，D，易知g(x)在[0，1]上单调递增，所以当x＝0时，g(x)取得最小值2，当x＝1时，g(x)取得最大值6，所以g(x)的值域为[2，6]，故选项C正确，选项D错误．故选ABC． 或 当a>1时，f(x)＝ax在[0，2]上的最大值为a2，最小值为a0＝1，故a2－1＝，解得a＝或－(舍去)；当0<a<1时，f(x)＝ax在[0，2]上的最大值为a0＝1，最小值为a2，故1－a2＝，解得a＝或－(舍去)．综上，a＝或. 令f(x)＝2x，显然f(x)＝2x在定义域上单调递增，满足f(1)<f(3)，且f(x－y)＝2x－y＝，即满足f(x－y)＝，所以f(x)＝2x符合题意． 若a≤0，对任意的x∈R，2x－a>0，则函数f(x)的定义域为R，不符合题意，所以a>0，由2x－a≠0可得x≠log2a，因为函数y＝f(x)的定义域为{x|x≠1}，所以log2a＝1，解得a＝2，所以f(x)＝x，则f(a)＝f(2)＝2＝2，由ax≥f(a)可得2x≥2，解得x≥1.因此，不等式ax≥f(a)的解集为[1，＋∞). 14．(20分)已知函数f(x)＝4a×9x＋(8a－3)×3x－1＋a－(a∈R)． (1)若a＝，求f(x)的值域； 解：若a＝，则f(x)＝9x－3x－1－， 则y＝u2－－，u∈(0，＋∞)，二次函数开口向上，对称轴为u＝， 所以当u＝时，ymin＝2－×－＝－1，所以f(x)的值域为[－1，＋∞). 即4a×9x＋×3x＋－＝0在R上有两个不同的实数解， 令t＝3x，t∈(0，＋∞)，所以4at2＋t＋－＝0在(0，＋∞)上有两个不同的实数解， 所以 解得<a<1，所以实数a的取值范围为. $$