2.6 简单的幂函数与二次函数（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§2.6　简单的幂函数与二次函数 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1．通过具体案例，结合y＝x，y＝ ，y＝x2，y＝ ，y＝x3的图象， 理解它们的变化规律，了解幂函数．　 2．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 返回 理清主干知识 1．简单幂函数的图象和性质 (1)幂函数的定义：一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数． (2)简单幂函数的图象和性质 幂函数 y＝x y＝x－1 y＝x2 y＝ y＝x3 图象 微提醒　幂函数的特征：①自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；②xα的系数为1；③解析式只有一项． 幂函数 y＝x y＝x－1 y＝x2 y＝ y＝x3 定义域 R _____________ R ____________ R 值域 R {y|y∈R且y≠0} ____________ [0，＋∞) R 单调性 增 ________________， __________________ x∈[0，＋∞)增， x∈(－∞，0)减 增 增 {x|x≠0} [0，＋∞) [0，＋∞) x∈(－∞，0)减 x∈(0，＋∞)减 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝__________________． 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为________． 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的______． (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛 物线) 定义域 ____ ax2＋bx＋c(a≠0) (m，n) 零点 R 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 值域   ________________   _______________ 对称轴   ___________ 顶点坐标   _______________ 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在 上单调递____； 在 上单调递____ 在 上单调递____； 在 上单调递____ 减 增 增 减 记牢常用结论 1．幂函数y＝xα的图象在第一象限的两个重要结论 (1)恒过点(1，1)． (2)当x∈(0，1)时，α越大，函数值越小；当x∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大． 2．二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，闭区间为[m，n]． 练透教材典题 √ √ √ 3．(用结论)(链接北师必修一P33例1改编)函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为 A．[－6，2] B．[－6，1] C．[0，2] D．[0，1] √ 函数f(x)＝－2x2＋4x的对称轴为x＝1，则f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，即f(x)的值域为[－6，2]．故选A． 返回 4．(用结论)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为 A．－1＜m＜0＜n＜1 B．－1＜n＜0＜m＜ C．－1＜m＜0＜n＜ D．－1＜n＜0＜m＜1 幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0＜α＜1时，图象上凸，所以0＜m＜1.当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2－1＜2n，则－1＜n＜0.综上可知，－1＜n＜0＜m＜1.故选D． √ 考点探究　精准突破 返回 返回 (1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是 A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c 考点一 集合的基本概念 基础练 例1 √ 由幂函数的图象可知，在区间(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d.故选B． (2)[多选题]已知幂函数f(x)＝x (m，n∈N*，m，n互质)，下列关于f(x)的结论正确的是 A．m，n是奇数时，幂函数f(x)是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，幂函数f(x)是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，幂函数f(x)是偶函数 D．0< <1时，幂函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数 √ √ (3)已知幂函数f(x)＝mxn的图象过点( ，2 )，设a＝f(m)，b＝f(n)，c＝ f(ln 2)，则 A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c √ 规律方法 幂函数图象与性质问题的求解策略 √ (2)[多选题]已知幂函数f(x)＝(m－2)xm －2m，则下列结论正确的是 A．m＝1 B．f(x)的定义域为R C．f(－x)＝－f(x) D．将函数f(x)的图象向左平移1个单位长度得到函数g(x)＝(x－1)3的图象 √ 由幂函数的定义可知m－2＝1，所以m＝3，所以f(x)＝x3，故A错误；由f(x)＝x3可知其定义域为R，故B正确；f(x)＝x3为奇函数，所以f(－x)＝ －f(x)，故C正确；将f(x)＝x3的图象向左平移1个单位长度得到函数y＝ (x＋1)3的图象，故D错误．故选BC． √ 2 考点二 二次函数的解析式 综合练 例2 (一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式． 解：法一：(利用“一般式”解题) 所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二：(利用“顶点式”解题) 因为f(2)＝－1，所以a ＋8＝－1，解得a＝－4， 所以f(x)＝－4 ＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三：(利用“零点式”解题) 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即 ＝8，解得a＝－4. 故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 规律方法 二次函数解析式的解法 解：若选①：设f(x)＝ax2＋bx＋c， 所以f(x)＝x2－3x＋2. 若选②：根据题意可设f(x)＝a ＋b(a>0)， 若选③：因为函数f(x)的顶点为 ，与x轴交点间的距离为1， 所以f(x)与x轴交于点(1，0)，(2，0)， 设f(x)＝a(x－1)(x－2)， 所以f(x)＝(x－1)(x－2)＝x2－3x＋2. 考点三 二次函数的图象与性质 多维练 例3 　　(1)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则函数f(x)的图象可能是 √ 由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c<0，所以函数图象开口向上，排除A，C；又f(0)＝c<0，排除B．故选D． 角度1　二次函数的图象及应用 √ 例4 (2024·福建福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1. (1)若f(x)在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围； 角度2　二次函数的单调性与最值 解：当a>0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝ ， 所以f(x)在区间[1，2]上单调递减需满足 ≥2，a>0，解得0<a≤ . 当a<0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝ <0， 所以f(x)在区间[1，2]上单调递减需满足a<0. 综上，a的取值范围是(－∞，0)∪ . (2)若a>0，设函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式． 综上所述， 规律方法 1．识别二次函数图象应学会“三看” 规律方法 2．求二次函数在闭区间上最值的类型及策略 对点练3．[多选题]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象为右图，则下面结论中正确的是 A．2a＋b＝0 B．4a－2b＋c<0 C．b2－4ac>0 D．当y<0时，x<－1或x>4 √ 因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为x＝1，所以x＝－ ＝1，得2a＋b＝0，故A正确；由图可知，当x＝－2时，y＝4a－2b＋c<0，故B正确；由图可知，该函数图象与x轴有两个交点，则b2－4ac>0，故C正确；因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为x＝1，点B坐标为(－1，0)，所以点A的坐标为(3，0)，由图可知，当y<0时，x<－1或x>3，故D错误．故选ABC． √ √ 对点练4．如图，已知二次函数f(x)的图象与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C(0，3). (1)若A(1，0)，B(3，0)，求函数f(x)的解析式； 解：由点C(0，3)在函数f(x)的图象上， 可设f(x)＝ax2＋bx＋3(a>0)． 由A(1，0)，B(3，0)，得f(1)＝f(3)＝0. 所以 解得a＝1，b＝－4. 所以f(x)＝x2－4x＋3. (2)若函数f(x)的二次项系数为1，A，B两点的横坐标之和为2m＋2，且函数f(x)在[1，4]上的最小值为－6，求正数m的值． 解：因为A，B两点的横坐标之和为2m＋2， 所以f(x)图象的对称轴为x＝m＋1. 又f(0)＝3，所以f(x)＝x2－2(m＋1) x＋3. 函数f(x)在[1，4]上的最小值必在区间端点或顶点处取得， ①当f(1)＝－6时，即1－2(m＋1)＋3＝－6，解得m＝4， 此时f(x)的对称轴为x＝5，函数f(x)在[1，4]上的最小值为f(4)，从而m＝4不符合题意； 返回 ②当f(4)＝－6时，即16－8(m＋1)＋3＝－6， 解得m＝ ， ③当f(m＋1)＝－6时，即(m＋1)2－2(m＋1)2＋3＝－6，解得m＝2或m＝ －4(舍去)， 当m＝2时，f(x)的对称轴为x＝3，函数f(x)在[1，4]上的最小值为f(3)＝f(m＋1)＝－6，从而m＝2符合题意．综上，m＝2. 课时测评 返回 返回 √ 1．已知点(8，2)在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则 C．f(x)＝x3 D．f(x)＝x－1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．已知函数f(x)＝ax2＋2ax－3(a>0)，则下列结论正确的是 A．f(0)>f(1) B．f(－2)>f(4) C．f(－3)>f(1) D．f(－4)>f(1) f(x)＝ax2＋2ax－3(a>0)的对称轴为x＝－1，则f(x)在(－∞，－1]上单调递减，在[－1，＋∞)上单调递增，对于A，f(0)<f(1)，故A错误；对于B，f(－2)＝f(0)<f(4)，故B错误；对于C，f(1)＝f(－3)，故C错误；对于D，f(1)＝f(－3)<f(－4)，故D正确．故选D． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．(2024·浙江舟山期末)已知幂函数y＝f(x)的图象过点A(4，2)， B(1，m)，C(sin 1，n)，则m与n的大小关系为 A．m>n B．m<n C．m＝n D．不能确定 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．已知m<－2，点(m－1，y1)，(m，y2)，(m＋1，y3)都在二次函数y＝－x2－2x的图象上，则 A．y1<y2<y3 B．y2<y3<y1 C．y1<y3<y2 D．y3<y1<y2 √ 二次函数y＝－x2－2x的对称轴为x＝－1，开口向下，在(－∞，－1)上单调递增，由于m<－2，则m－1<－3，m<－2，m＋1<－1，又m－1<m<m＋1，所以y1<y2<y3.故选A． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 6．(2024·安徽芜湖期末)设二次函数f(x)＝(a－2)x2＋3ax＋2在R上有最大值，最大值为m(a)，当m(a)取最小值时，a的值为 A．0 B．1 C． D．4 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．[多选题](2024·山东烟台期末)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最值有如下结论，其中正确的是 A．f(x)在区间[－1，0]上的最小值为1 B．f(x)在区间[－1，2]上既有最小值，又有最大值 C．f(x)在区间[2，3]上的最小值为2，最大值为5 D．f(x)在区间[0，a](a>1)上的最大值为f(a) √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 函数f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1.在选项A中，因为f(x)在区间[－1，0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1，0]上的最小值为f(0)＝2，故A错误；在选项B中，因为f(x)在区间[－1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以f(x)在区间[－1，2]上的最小值为f(1)＝1.又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在区间[－1，2]上的最大值为f(－1)＝5，故B正确；在选项C中，因为f(x)在区间[2，3]上单调递增，所以f(x)在区间[2，3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，故C正确；在选项D中，当1<a≤2时，f(x)在区间[0，a]上的最大值为2，当a>2时，由图象知f(x)在区间[0，a]上的最大值为f(a)，故D错误．故选BC． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(2024·四川绵阳一模)已知函数f(x)＝x2－2x在定义域[－1，n]上的值域为[－1，3]，则实数n的取值范围为________． 函数f(x)＝x2－2x的对称轴方程为x＝1，在[－1，1]上为减函数，且值域为[－1，3]，当x≥1时，函数为增函数，且f(3)＝3，所以要使函数f(x)＝x2－2x在定义域[－1，n]上的值域为[－1，3]，实数n的取值范围是 [1，3]． [1，3] 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(新设问)(2024·北京顺义期末)若幂函数f(x)＝xm在(0，＋∞)上单调递减，g(x)＝xn在(0，＋∞)上单调递增，则使y＝f(x)＋g(x)是奇函数的一组整数m，n的值依次是___________________． 因为幂函数f(x)＝xm在(0，＋∞)上单调递减，g(x)＝xn在(0，＋∞)上单调递增，所以m<0，n>0，又因为y＝f(x)＋g(x)是奇函数，所以m，n需要满足m为小于0的奇数，n为大于0的奇数．故m，n的值可以取－3，3(答案不唯一)． －3，3(答案不唯一) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数)满足f(x－1)＝f(3－x)，且方程f(x)＝2x有两等根，f(x)在[0，t]上的最大值为g(t)，则g(t)的最大值为__________． 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(16分)设二次函数f(x)满足：①当x∈R时，总有f(－1＋x)＝f(－1－x)； ②函数f(x)的图象与x轴的两个交点为A，B，且|AB|＝4；③f(0)＝－ . (1)求f(x)的解析式 解：由题意知，函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，且方程f(x)＝0的两根为－3和1， 设f(x)＝a(x＋3)(x－1)， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若存在t∈R，只要x∈[1，m](m>1)，就有f(x＋t)≤x－1成立，求满足条件的实数m的最大值． 解：只要x∈[1，m](m>1)，就有f(x＋t)≤x－1， 即x2＋2(t－1)x＋(t＋1)2≤0， 取x＝1，得t2＋4t≤0，－4≤t≤0； 当m＝9时，存在t＝－4，只要x∈[1，9]，就有f(x－4)－(x－1)＝ (x－1)(x－9)≤0成立， 满足题意．故满足条件的实数m的最大值为9. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．[多选题]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)的对称轴为x＝1，其图象如图所示，则下列选项正确的有 A．|abc|＋abc＝0 B．当a≤x≤1－a时，函数的最大值为c－a2 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A选项，二次函数图象开口向上，故a>0，对称轴为x＝－ ＝1，故b＝－2a<0，图象与y轴交点在y轴正半轴，故c>0，所以abc<0，故|abc|＋abc＝－abc＋abc＝0，故A正确；对于B选项，因为b＝－2a，故y＝ax2－2ax＋c，因为a>0，所以1－a<1，当a≤x≤1－a<1时，y＝ax2－2ax＋c随着x的增大而减小，所以当x＝a时，y取得最大值，最大值为y＝a3－2a2＋c，故B错误；对于C选项，因为b＝－2a，所以ax4＋bx2＝ax4－2ax2，a(x2－2)2＋b(x2－2)＝ax4－4ax2＋4a－2a(x2－2)＝ax4－6ax2＋8a，故不等式ax4＋bx2>a(x2－2)2＋b(x2－2)变形为4ax2－8a>0，因为a>0，所以x2>2，解得x> 或x<－ ，故C 正确； 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢谢观看 本节到此结束 x＝－ 微提醒　(1)二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关；(2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0. (1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)． (2)当m<－≤时，最小值为f(－)，最大值为f(n)． (3)当<－≤n时，最小值为f(－)，最大值为f(m)． (4)当－>n时，最小值为f(n)，最大值为f(m)． 1．[多选题]下列说法正确的是 A．函数y＝x是幂函数 B．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0 C．二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞) D．幂函数f(x)＝x是偶函数，且在(－∞，0)上为减函数 2．(链接人A必修一P100T5)已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(8)的值等于 A． B．4 C．8 D． 设幂函数f(x)＝xα，因为幂函数f(x)的图象经过点，所以f(5)＝5α＝，解得α＝－1，所以f(x)＝x－1，则f(8)＝8－1＝.故选D． f(x)＝x＝，对于A，当m，n是奇数时，f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝＝－＝－f(x)，则幂函数f(x)是奇函数，故A正确； 对于B，当m是偶数，n是奇数时，幂函数f(x)在x<0时无意义，故B错误；对于C，当m是奇数，n是偶数时，f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝＝＝f(x)，则幂函数f(x)是偶函数，故C正确；对于D，当0<<1时，>1，则幂函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故D错误．故选AC． 因为函数f(x)＝mxn为幂函数，故m＝1.又函数f(x)＝mxn的图象过点(，2)，所以()n＝2，解得n＝3，故函数f(x)＝x3，则函数为增函数．因为n＞m＞ln 2，故c＜a＜b.故选B． 对点练1．(1)已知f(x)＝x，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是 A．f(a)<f(b)<f <f B．f <f <f(b)<f(a) C．f(a)<f(b)<f <f D．f <f(a)<f <f(b) f(x)＝x在[0，＋∞)上单调递增，因为0<a<b<1，则0<a<b<1<<，所以f(a)<f(b)<f <f .故选C． 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得解得 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝＝， 所以m＝.又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a2 ＋8. 2 2 对点练2．在以下三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行 求解： ①函数图象过点(3，2)，(0，2)，(1，0)； ②函数图象开口向上，过点(1，0)，对称轴为x＝，且顶点到x轴的距离为； ③函数的顶点为，且函数f(x)的图象与x轴交点间的距离为1. 已知二次函数f(x)满足________，求函数f(x)的解析式． 由题意可得：解得 2 因为解得或(舍去)， 所以f(x)＝2－＝x2－3x＋2. 可得f ＝－a＝－，则a＝1， (2)(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝f()，b＝f()， c＝f()，则 A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 令g(x)＝－(x－1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x＝1，因为－1－ (1－)＝－，而(＋)2－42＝9＋6－16＝6－7>0， 所以－1－(1－)＝－>0，即－1>1－， 由二次函数的性质知g()<g()，因为－1－(1－)＝－，而(＋)2－42＝8＋4－16＝4－8＝4(－2)<0，即－1<1－，所以g()>g()．综上，g()<g()<g()，又y＝ex为增函数，故a<c<b，即b>c>a.故选A． 解：①当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1，2]上单调递增，此时g(a)＝f(1)＝3a－2. ②当1≤≤2，即≤a≤时，f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时g(a)＝f ＝2a－－1. ③当>2，即0<a<时，f(x)在区间[1，2]上单调递减，此时g(a)＝f(2)＝6a－3. g(a)＝ 此时f(x)的对称轴为x＝，函数f(x)在[1，4]上的最小值为f ，从而m＝不符合题意； A．f(x)＝2x B．f(x)＝x 由题意可得解得所以f(x)＝x.故选B． 依题意，设f(x)＝xα(α为常数)，于是4α＝2，解得α＝，则f(x)＝x＝，因此m＝f(1)＝1，n＝f(sin 1)＝<1，所以m>n.故选A． 4．(2024·山东枣庄二模)指数函数y＝ax的图象如图所示，则y＝ax2＋x图象顶点横坐标的取值范围是 A． B． C． D． 由图可知，a∈(0，1)，而y＝ax2＋x＝a2－(a≠0)，顶点横坐标为x＝－，所以－∈.故选A． 由题意可得：a－2<0，即a<2，且f(x)＝(a－2)x2＋3ax＋2的对称轴为x＝，故m(a)＝f ＝，a<2，令t＝a－2<0，则a＝t＋2，可得y＝＝－7≥×2－7＝2，当且仅当－t＝，即t＝－2，a＝0时，等号成立，即当a＝0时，m(a)取最小值2.故选A． 7．(知识融合)[多选题](2024·河北沧州三模)已知向量＝(ax，－1)，＝(x－ax，1－x)，则函数f(x)＝·的大致图象可能为 因为＝＋＝(x，－x)，所以f(x)＝·＝ax2＋x.当a＝0时，f(x)＝x，故A正确；当a>0时，f(x)的零点为0和－，且－<0，故B正确，C错误；当a<0时，f(x)的零点为0和－，且－>0，故D正确．故选ABD． 8．[多选题]已知幂函数f(x)的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(0<x1<x2)是函数图象上任意不同的两点，则下列结论中正确的有 A．x1f(x1) >x2f(x2) B．x1f(x2)<x2f(x1) C．> D．< 因为f(x)是幂函数，可设f(x)＝xα，因为幂函数f(x)的图象经过点，所以＝α，即2＝2－3α，解得α＝，所以f(x)＝，定义域为[0，＋∞)， 设g(x)＝xf(x)＝x＝x，因为>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，若0<x1<x2，则有g(x1)<g(x2)，即x1f(x1)<x2f(x2)，故A不正确；设h(x)＝＝＝＝x，定义域为(0，＋∞)，因为－<0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，若0<x1<x2，则有h(x1)>h(x2)，即>，即x1f(x2)<x2f(x1)，故B，C正确，D不正确．故选BC． 已知方程f(x)＝2x有两等根，即ax2＋(b－2)x＝0有两等根，所以Δ＝(b－2)2＝0，解得b＝2；因为f(x－1)＝f(3－x)，得＝1，所以x＝1是函数图象的对称轴．而此函数图象的对称轴是直线x＝－，所以－＝1⇒a＝－1，故f(x)＝－x2＋2x，若f(x)在[0，t]上的最大值为g(t)，当t≤1时，f(x)在[0，t]上是增函数，所以g(t)＝f(x)max＝－t2＋2t≤－12＋2＝1；当t>1时，f(x)在[0，1]上是增函数，在[1，t]上是减函数，所以g(t)＝f(x)max＝f(1)＝1.综上，g(t)的最大值为1. 又f(0)＝－，则f(0)＝－3a＝－，解得a＝. 故f(x)＝x2＋x－. 取x＝m，得[m＋(t－1)]2≤－4t，即1－t－2≤m≤1－t＋2， 由－4≤t≤0得0≤－t≤4，1－t＋2≤1＋4＋2×＝9，故当t＝－4时，m≤9； 14．[多选题](2024·江苏南通模拟)若函数f(x)＝x，且x1<x2，则下 列结论正确的是 A．(x1－x2)( f(x1)－f(x2))>0 B．x1－f(x1)>x2－f(x2) C．f(x1)－x2<f(x2)－x1 D．>f 由幂函数的性质知， f(x)＝x在R上单调递增．因为x1<x2，所以f(x1)<f(x2)，即x1－x2<0，f(x1)－f(x2)<0，所以(x1－x2)( f(x1)－f(x2))>0，故A正确；令x1＝0，x2＝1，则0－f(0)＝1－f(1)＝0，故B错误；令g(x)＝f(x)＋x＝x＋x，则由函数单调性的性质知，f(x)＝x在R上单调递增，y＝x在R上单调递增，所以y＝f(x)＋x＝x＋x在R上单调递增，因为x1<x2，所以g(x1)<g(x2)，即f(x1)＋x1<f(x2)＋x2，于是有f(x1)－x2<f(x2)－x1，故C正确；令x1＝－1，x2＝1，则＝0，所以＝f(0)＝0，故D错误．故选AC． C．关于x的不等式ax4＋bx2>a(x2－2)2＋b(x2－2)的解为x>或x<－ D．若关于x的函数t＝x2＋bx＋1与关于t的函数y＝t2＋bt＋1有相同的最小值，则|b－1|≥ 对于D选项，t＝x2＋bx＋1＝2＋1－，当x＝－时，t取得最小值，最小值为1－，y＝t2＋bt＋1＝2＋1－，当t＝－时，y取得最小值，最小值为1－，所以－≥1－，即b2－2b－4≥0，所以(b－1)2≥5，即|b－1|≥，故D正确．故选ACD． $$