2.5 函数性质的综合应用(培优课1)（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§2.5　函数性质的综合应用(培优课1) 第二章　函数与基本初等函数 　　函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查． CONTECT 内 容 索 引 01 类型一　函数的奇偶性与单调性 02 类型二　函数的奇偶性与周期性 05 课 时 测 评 03 类型三　函数的奇偶性与对称性 04 类型四　函数的对称性与周期性 类型一　函数的奇偶性与单调性 返回 返回 (1)(2023·云、皖、黑、吉四省联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则下列结论正确的是 A．f(f(1))<f(f(2)) B．f(g(1))<f(g(2)) C．g(f(1))<g(f(2)) D．g(g(1))>g(g(2)) 例1 √ 因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且两函数在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，g(x)在R上单调递减，所以f(1)<f(2)，g(0)＝0>g(1)>g(2)，所以f(g(1)) <f(g(2))，g(f(1))>g(f(2))，g(g(1)) <g(g(2))，所以B正确，C，D错误；若| f(1)|>| f(2)|，则f(f(1))>f(f(2))，A错误．故选B． (2)(2024·湖北武汉模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x1， x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，有 >0，若f(1)＝0，则不等式(x－1)f(x) >0的解集是 A．(－1，1)∪(1，＋∞) B．(－1，1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1) √ 已知f(x)是定义在R上的偶函数，则f(x)＝f(－x)，又对任意x1，x2∈[0， ＋∞)，且x1≠x2，都有 >0，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 规律方法 奇偶性与单调性的综合问题及解题方法 对点练1．(1)(2024·天津红桥二模)已知f(x)是定义在R上的偶函数且在[0， ＋∞)上为减函数，若a＝f (log 3)，b＝f(0.91.1)，c＝f(0.91.2)，则 A．c>b>a B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a √ 因为f(x)是偶函数，所以a＝f (log 3) ＝f(－log23)＝f(log23)，因为log23> log22＝1，由指数函数的性质知，函数y＝0.9x在R上单调递减，且1.1<1.2，所以1>0.91.1>0.91.2>0，所以log23>1>0.91.1>0.91.2>0，因为f(x)在[0，＋∞)上为减函数，所以f(log23) <f(0.91.1) <f(0.91.2)，即c>b>a.故选A． (2)(2024·河南商丘模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝0，且f(x)在 (0，＋∞)上单调递增，则不等式 <0的解集为 A．(－∞，－3)∪(3，＋∞) B．(－3，0)∪(0，3) C．(－3，0)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0，3) √ 因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝0，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(－3)＝0，f(x)在(－∞，0)上单调递增，由 <0，得 <0，即xf(x)>0，当x>0时，由f(x)>0＝f(3)，得x>3，当x<0时，由f(x)<0＝f(－3)，得x<－3，所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪(3，＋∞).故选A． 返回 类型二　函数的奇偶性与周期性 返回 返回 (1)[多选题]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，则以下说法正确的是 A．f(0)＝0 B．f(x)的周期为2 C．f(2 023)＝1 D．f(3)＝f(4)＋f(5) 例2 √ 因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，且f(x)＝－f(－x)，故A正确；因为f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)的周期为2，故B正确；由f(x)＝－f(－x)＝f(x＋2)，令x＝－1，则－f(1)＝f(1)，所以f(1)＝0，所以f(2 023)＝f(1)＝0，故C错误；f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，f(4)＝f(0)＝0，所以f(3)＝f(4)＋f(5)＝0，故D正确．故选ABD． √ √ (2)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋1)是偶函数，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝ A．－1 B．0 C．1 D．1 012 √ 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)①，且f(0)＝0，又f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，即f(x)＝f(2－x)②，所以f(2)＝f(0)＝0，由①②可得：－f(－x)＝f(2－x)，所以－f(2－x)＝f(4－x)，则f(－x)＝f(4－x)，则函数f(x)的周期为4，当x∈(0，1]时，f(x)＝x2，则f(1)＝1，所以f(－1)＝－f(1)＝－1＝f(3)，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝506[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(0)＝0.故选B． 规律方法 奇偶性与周期性综合问题的解题策略 √ 返回 类型三　函数的奇偶性与对称性 返回 返回 (1)(2024·辽宁丹东期末)设函数f(x)＝ ，则下列结论正确的是 A．f(x)是奇函数 B．f(x)是偶函数 C．f(x)的图象关于点(0，1)中心对称 D．f(x)的图象关于直线x＝1轴对称 例3 √ (2)[多选题]已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，则下列结论一定正确的是 A．f(x＋2)＝f(x) B．函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称 C．函数y＝f(x＋1)是偶函数 D．f(2－x)＝f(x－1) √ 对于选项A，因为f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，则f(1－(1＋x))＝f(1＋(1＋x))，即f(x＋2)＝－f(x)，故A错误；对于选项B，因为f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，因为f(－x)＋f(x)＝0，则f(－(2＋x))＋f(2＋x)＝0，即f(2＋x)＝－f(－2－x)＝－f(2－x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，故B正确；对于选项C，因为f(1－x)＝f(1＋x)，故函数y＝f(x＋1)是偶函数，故C正确；对于选项D，因为f(1－x)＝f(1＋x)，则f(1－(x－1))＝f(1＋(x－1))，即f(2－x)＝f(x)，没有条件能说明f(x)＝f(x－1)，故D错误．故选BC． √ 规律方法 由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等．　　 √ √ 返回 类型四　函数的对称性与周期性 返回 返回 (1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x－3)，且y＝f(x＋3)为偶函数，若f(x)在(0，3)上单调递减，则下面结论正确的是 A．f(－4.5) <f(3.5) <f(12.5) B．f(3.5)<f(12.5)<f(－4.5) C．f(12.5)<f(3.5)<f(－4.5) D．f(3.5)<f(－4.5)<f(12.5) 例4 √ 由f(x＋3)＝f(x－3)得f(x＋6)＝f(x)，所以T＝6，又y＝f(x＋3)为偶函数，所以f(x)的图象关于x＝3对称，所以f(3.5)＝f(2.5)，f(－4.5)＝f(1.5)，f(12.5)＝f(0.5)，又f(x)在(0，3)上单调递减，所以f(2.5)<f(1.5)<f(0.5)，即f(3.5)<f(－4.5)<f(12.5)．故选D． (2)(2024·北京大兴三模)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，且f(－x)＝－f(x)，当x∈(－1，1]时，f(x)＝x3.则下列结论正确的是 A．函数y＝f(x)的图象关于点(k，0)(k∈Z)对称 B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2k(k∈Z)对称 C．当x∈[2，3]时，f(x)＝(x－2) 3 D．函数y＝|(f(x))|的最小正周期为2 √ 因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x－2)，故f(x＋2)＝f(x－2)，所以f(x)的周期为4，又f(－x)＝－f(x)，所以f(－x)＝f(x－2)，故f(x)关于x＝－1对称，又当x∈(－1，1]时，f(x)＝x3，故画出f(x)的图象如下： A选项，函数y＝f(x)的图象不关于点(1，0)中心对称，故A错误；B选项，函数y＝f(x)的图象不关于直线x＝2对称，故B错误；C选项，当x∈[2，3]时，x－2∈[0，1]，则f(x)＝－f(x－2)＝－(x－2)3，故C错误；D选项，由图象可知y＝f(x)的最小正周期为4，又|f(x＋2)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，故y＝|f(x)|的最小正周期为2，故D正确．故选D． 规律方法 综合应用对称性与周期性解题的技巧 　　函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆．　　 对点练4．(新设问)(2024·湖南长沙三模)定义在R上的非常数函数f(x)满足：f(－x)＝f(x)，且f(2－x)＋f(x)＝0.请写出符合条件的一个函数的解析式 ______________________． 因为f(2－x)＋f(x)＝0，且f(－x)＝f(x)得出对称中心(1，0)，对称轴为y轴，且周期为4的函数都可以． 返回 课时测评 返回 返回 √ 1．(原创题)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，周期为4，且f(1)＝1，则f(2 022)＋f(2 023)＋f(2 024)＝ A．1 B．2 C．0 D．－1 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，由函数f(x)的周期为4，得f(x＋4)＝f(x)，所以f(－2)＝f(2)＝－f(－2)，则f(－2)＝f(2)＝0，又f(1)＝1，所以f(2 022)＋f(2 023)＋f(2 024)＝f(2)＋f(－1)＋f(0)＝0－f(1)＋0＝－1.故选D． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 √ 3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋3)＋f(3－x)＝0，且当－3<x<0时，f(x)＝2－x＋2，则f(2 024)＝ A．16 B．－2 C．0 D．－16 因为函数f(x)满足f(x＋3)＋f(3－x)＝0，可得f(x)＋f(6－x)＝0，又因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，所以f(6－x)＝－f(x)＝f(－x)，即f(x＋6)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为6的周期函数，因为当－3<x<0时，f(x)＝2－x＋2，且函数f(x)为奇函数，可得f(2 024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝－f(－2)＝－24＝－16.故选D． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 √ 4．(2023·山东潍坊三模)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为偶函数，f(x＋4)＝f(－x)，则 A．函数f(x)为偶函数 B．f(3)＝0 D．f(2 023)＝0 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 √ 5．(2024·广东广州模拟)设函数f(x)＝(a－1)x|x－b＋1|为奇函数且在R上为减函数，则关于a，b的值表述正确的是 A．a>1，b＝1 B．a>1，b<1 C．a<1，b＝1 D．a<1，b>1 因为函数f(x)＝(a－1)x|x－b＋1|为R上的奇函数，且单调递减，所以a－1≠0且f(－1)＝－f(1)，即－(a－1)|－b|＝－(a－1)|2－b|，所以|－b|＝|2－b|， 解得b＝1，经检验符合题意，故f(x)＝(a－1)x|x|＝ 因为 函数f(x)＝(a－1)x|x|在R上为减函数，所以a－1<0，所以a<1.故选C． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 √ 6．已知函数f(x＋1)是偶函数，当1<x1<x2时，f(x2)－f(x1)>0恒成立，设a＝ f ，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为 A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．b<a<c 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 8．[多选题](2024·福建福州期末)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，且对∀x∈R，f(x＋4)＝f(－x)恒成立，则下列结论正确的是 A．f(x)为奇函数 B．f(3)＝0 D．f(x)是以8为周期的函数 √ √ 因为f(x＋1)为奇函数，所以f(1－x)＝－f(1＋x)，故 又 f(x＋4)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f(2－x)，故f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)， √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 9．[多选题](2024·福建宁德模拟)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域为R，若f(x＋2)＝－f(x)，且f(x＋2)＋f(－x＋6)＝0，则下列结论正确的是 A．f(x＋2)·f(x)＝－1 B．f(x)是奇函数 C．点(2，0)是f(x)图象的对称中心 D．点(－2，0)是f′(x)图象的对称中心 √ √ 因为f(x＋2)＋f(－x＋6)＝0，故f(4)＝0，若f(x＋2)＝－f(x)，又f(x＋2)·f(x)＝－1，则－f2(x)＝－1，所以f(x)＝±1，这与f(4)＝0矛盾，故A不正确； 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 若f(x＋2)＝－f(x)，以x－2替换x得，f(x)＝－f(x－2)，所以f(x＋2)＝f(x－2)，故函数f(x)的周期为4，即f(x)＝f(x＋4)，因为f(x＋2)＋f(－x＋6)＝0，则f(x＋2)＋f(－x＋2)＝0，可知点(2，0)是f(x)图象的对称中心，故C正确；函数f(x)关于点(2，0)对称得f(x＋4)＝－f(－x)，又f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)＝－f(－x)，所以函数f(x)为奇函数，故B正确；对f(x＋2)＝－f(－x＋2)两边求导可得f′(x＋2)＝f′(－x＋2)，则导函数f′(x)关于直线x＝2对称，又T＝4，所以f′(x)关于直线x＝－2对称，故D不正确．故选BC． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 11．(新设问)(2024·广东汕头质检)写出符合如下两个条件的一个函数f(x)＝________________________． ①f(－x)－f(x＋2)＝0；②f(x)在(－∞，0)上单调递增． 因为f(－x)－f(x＋2)＝0，所以f(x)关于 x＝1对称．又函数 f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以符合条件的一个函数解析式可以是 f(x)＝－x2＋ 2x－1. －x2＋2x－1(答案不唯一) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 12．(2024·海南海口一模)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(4－x)＝f(x)，且 当x∈[0，2]时，f(x)＝ 则f(18)＝________． 因为f(4－x)＝f(x)＝f(－x)，所以f(x＋4)＝f(x)，即4为函数f(x)的周期，所以f(18)＝f(4×4＋2)＝f(2)＝log24＝2. 2 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 13．已知f(x)为定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上单调递减，则满足不 等式f(2a)<f(4a－1)的a的取值范围是________(用区间表示)． 因为f(x)为定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上单调递减，所以f(x)在 [0，1]上单调递增，所以 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 12 13 14．(新设问)已知f(x)为定义在R上的奇函数，f(x＋2)为偶函数，且对任意的x1，x2∈(0，2)，x1≠x2，都有 <0，试写出符合上述条件的一 个函数解析式f(x)＝____________________． 因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0，又f(x＋2)为偶函数，则f(－x＋2)＝f(x＋2)，即f(x＋4)＝f(－x)，于是f(x＋4)＝－f(x)，则f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是以8为周期的周期函数，对任意x1， x2∈(0，2)，x1≠x2，都有 <0，可得f(x)在(0，2)上单调递减， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 12 14 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 12 14 谢谢观看 本节到此结束 则函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，又f(1)＝0，所以f(－1)＝f(1)＝0，根据函数f(x)的单调性可知：(x－1)f(x)>0等价为或即或解得x>1或－1<x<1，即不等式的解集为(－1，1)∪(1，＋∞).故选A． 对点练2．(2024·江西萍乡期末)已知偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝cos x，则x∈[2 023，2 024]时，f(x)的解析式为 A．f(x)＝sin x B．f(x)＝sin πx C．f(x)＝sin 2x D．f(x)＝cos x 设x∈[－1，0]，则－x∈[0，1]，所以f(－x)＝cos ＝cos x，因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝cos x，x∈[－1，0].因为f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)的周期为2，设x∈[2 023，2 024]，则x－2 024∈[－1，0]，所以f(x)＝f(x－2 024)＝cos ＝cos ＝cos x，x∈[2 023，2 024].故选D． 对于选项A，f(－x)＝≠－f(x)，则f(x)不是奇函数，故A错误；对于选项B， f(－x)＝≠f(x)，则f(x)不是偶函数，故B错误；对于选项C，f(x)＋f(－x)＝＋＝＝2，故f(x)的图象关于点(0，1)中心对称，故C正确；对于选项D， f(2－x)＝≠f(x)，则f(x)的图象不关于直线x＝1轴对称，故D错误．故选C． 对点练3．[多选题]已知f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(2＋x)＝ f(2－x)，且f(x)在[－2，0]上单调递减，则下列所给结论中正确的是 A．f(3)>f B．f(3)<f C．f >f(－1) D．f <f(－1) 对于AB，因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(3)＝f(1)，又f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，因为f(x)在[－2，0]上单调递减，所以f(－1)>f ，从而f(3)> f ，因此选项A正确，B错误；对于CD，因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f ＝f ，因为f(x)为偶函数，所以f ＝f ，因为f(x)在[－2，0]上单调递减，所以f >f(－1)，所以f >f(－1)，所以选项C正确，D错误．故选AC． y＝cos x(答案不唯一) 2．(2024·山东泰安模拟)下列函数中，为奇函数且在(0，1)上为减函数的是 A．f(x)＝4x＋ B．f(x)＝x＋sin x C．f(x)＝ D．f(x)＝ 对于选项A，为双勾函数，奇函数，但在上单调递减，在上单调递增，故A错误；对于选项B，定义域是R，f(－x)＝－x＋sin (－x)＝－x－sin x＝－f(x)，是奇函数，f′(x)＝1＋cos x≥0，所以在R上单调递增，故B错误；对于选项C，因为2x－1≠0，x≠0，所以定义域是{x|x≠0}， f (－x)＝＝＝－f(x)，是奇函数，f(x)＝＝1＋在(0，＋∞)上单调递减，故C正确；对于选项D，因为1－x2≥0，x2≤1，定义域是[－1，1]，f(－x)＝＝f(x)，是偶函数，故D错误．故选C． C．f ＝－f 因为f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，所以f(x)的图象关于x＝1对称，所以f(x＋12)＝f(－x).又因为f(x＋4)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于x＝2对称，所以由得f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的函数．由得f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；f(2 023)＝f(1)＝f(3)，但无法确定其具体的值，故B，D错误；f()＝f()，故C错误．故选A． 因为当1<x1<x2时，f(x2)－f(x1)>0恒成立，即f(x2)>f(x1)恒成立，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，因为f(x＋1)是偶函数，所以f(x)的图象关于x＝1对称，因为a＝f ＝f ，b＝f(2)，c＝f(3)，2<<3，所以f(2)<f <f(3)，即f(2)<f <f(3)，所以b<a<c.故选D． 7．(2024·陕西西安模拟)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(x)为偶函数且f(x)＋f(x＋2)＝3，g(x)＋g(10－x)＝2，则 [ f(i)＋g(i)]＝ A．21 B．22 C． D． 因为f(x)为偶函数且f(x)＋f(x＋2)＝3，则f(－x)＋f(x＋2)＝3，故f(x)关于点对称，又因为f(x＋2)＋f(x＋4)＝3，则f(x)＝f(x＋4)，则f(x)是周期为4的周期函数，故f(x)关于点对称，所以f(x)＋f(10－x)＝3， 则 (i)＝[f(1)＋f(9)]＋[f(2)＋f(8)]＋[f(3)＋f(7)]＋[f(4)＋f(6)]＋[f(5)＋f(5)]＝3×4＋＝，又因为g(x)＋g(10－x)＝2，则(i)＝[g(1)＋g(9)]＋[g(2)＋g(8)]＋[g(3)＋g(7)]＋[g(4)＋g(6)]＋[g(5)＋g(5)]＝2×4＋1＝9，故 [ f(i)＋g(i)]＝f(i)＋g(i)＝＋9＝.故选C． C．f ＝－f 所以f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数，故A错误；因为f(x＋1)为奇函数，所以f(1)＝0，f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(3)＝f(1)＝0，故B正确；f ＝f ，又f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f ＝－f ，所以f ＝－f ，故C正确；又f(x＋4)＝f(－x)＝f(x)，则f(x＋8)＝f(x)，所以f(x)是以8为周期的函数，故D正确．故选BCD． 10．[多选题](2023·山东聊城一模)已知奇函数f(x)的定义域为R，f(2)＝2，对于任意的正数x1，x2，都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)－1，且x>时，都有f(x)>0，则下列结论正确的是 A．f ＝0 B．函数f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增 C．对于任意x<0都有f(x)＋f ＝－2 D．不等式ln [f(x)－2] <0的解集为∪(2，4) 对于A，已知f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)－1，令x1＝1，x2＝1，可得f(1)＝f(1)＋f(1)－1，f(1)＝1，令x1＝2，x2＝，可得f(1)＝f(2)＋f －1＝1，又f(2)＝2，得f ＝0，故A正确；对于B，奇函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，所以f(0)＝0，又知f ＝0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)内不是单调递增，故B错误；对于C，对于任意的正数x1，x2，都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)－1，对于任意x<0都有－x>0，f(1)＝f(－x)＋f －1，f ＋f ＝2， 又因为函数f(x)为奇函数，可得f(x)＋f ＝－2，故C正确；对于任意的正数x1，x2∈，x2>x1，都有f(2x1)＝f(x1)＋f(2)－1＝f(x1)＋1，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f(2x1)＋1，又因为x>0，f(x)＋f ＝2，所以f(2x1)＋f ＝2，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2)－＋1＝f(x2)＋f －1＝f ，又因为x2>x1，>1，>，所以f >0，所以f(x2)－f(x1)>0，所以函数f(x)在(0，＋∞)内单调递增，又因为函数f(x)为奇函数，所以函数f(x)在(－∞，0)内单调递增，因为不等式ln [f(x)－2] <0，所以0<f(x)－2<1，2<f(x)<3， 已知f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)－1，令x1＝2，x2＝2,由f(2)＝2可得f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝3，因为函数f(x)在(0，＋∞)内单调递增，所以2<x<4，已知f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)－1，令x1＝，x2＝，因为f ＝0，可得f ＝f ＋f －1＝－1，同理f ＝f ＋f －1＝－2，f ＝f ＋f －1＝－3，又因为函数f(x)为奇函数，所以f ＝3，f ＝2，又因为函数f(x)在 (－∞，0)内单调递增， 所以－<x<－.所以不等式ln [f(x)－2]<0的解集为∪(2，4)，故D正确．故选ACD． 解得所以0≤a<. －sin x(答案不唯一) 不妨设f(x)＝Asin ωx，由题意，T＝＝8，所以ω＝，则f(x)＝Asin x，当x∈(0，2)时，x∈，因为f(x)＝Asin x在(0，2)上单调递减，且y＝sin x在上单调递增，所以A<0，不妨取A＝－1，此时f(x)＝－sin x.故符合上述条件的一个函数解析式为f(x)＝－sin x(答案不唯一)． $$