2.4 函数的对称性（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§2.4　函数的对称性 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论．　 2．会利用对称公式解决问题． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 返回 理清主干知识 1．奇函数、偶函数的对称关系 (1)奇函数图象关于______对称，偶函数图象关于_____对称． (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线______对称． 若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点______中心对称． 原点 y轴 x＝a (b，0) 2．函数图象自身的对称关系 (1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝ ________对称． 特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点________对称．特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称． 3．两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于_____对称． (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于_____对称． (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于______对称． (a，b) y轴 x轴 原点 记牢常用结论 1．函数对称性的有关结论 (1)y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于x＝ 对称．(注：由a＋x＝b－x得对称轴 方程) (2)y＝f(x)与y＝f(2a－x)关于x＝a对称． (3)y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于x＝0对称． (4)y＝f(x－a)与y＝f(a－x)关于x＝a对称． (5)y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点( ，0)对称． (6)y＝f(x)与y＝－f(2a－x)关于点(a，0)对称． (7)y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于点(0，0)对称． (8)y＝f(x－a)与y＝－f(a－x)关于点(a，0)对称． 2．函数对称性与周期性的关系 (1)若函数f(x)的图象关于x＝a和x＝b(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为 2|b－a|. (2)若函数f(x)的图象关于(a，0)和(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2|b－a|. (3)若函数f(x)的图象关于x＝a和(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为4|b－a|. 练透教材典题 1．[多选题]下列说法中正确的是 A．函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 B．函数y＝f(x－1)与函数y＝－f(－x－1)的图象关于点(1，0)对称 C．若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1) ＝0，则f(x)的图象关于y轴对称 D．若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称 √ √ 2．函数f(x)＝ 图象的对称中心为 A．(0，0) B．(0，1) C．(1，0) D．(1，1) √ 3．对任意实数x，函数f(x)都满足f(－x)＋f(2＋x)＋2＝0，则函数f(x)的图象关于 A．直线x＝1对称 B．直线x＝2对称 C．点(1，－1)对称 D．点(－1，1)对称 √ 由f(－x)＋f(2＋x)＋2＝0可得f(－x)＋f(2＋x)＝－2，所以函数f(x)的图象关于点(1，－1)对称．故选C． 4．(用结论)函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间 A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点(5，0)对称 D．关于点(1，0)对称 √ 据两个函数图象之间的对称性知函数y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)之间关于 点 ，即(1，0)中心对称．故选D． 返回 考点探究　精准突破 返回 返回 (1)已知函数y＝f(x)在(0，4)上单调递增，且y＝f(x＋4)是偶函数，则 A．f(2)<f(3)<f(7) B．f(7) <f(2)<f(3) C．f(2)<f(7) <f(3) D．f(3)<f(7)<f(2) 考点一 轴对称问题 基础练 例1 √ 由函数y＝f(x＋4)是偶函数，可得函数y＝f(x＋4)关于x＝0对称，所以函数y＝f(x)关于x＝4对称，所以f(7)＝f(1)，因为函数y＝f(x)在(0，4)上单调递增，且1<2<3，所以f(7)<f(2)<f(3)．故选B． (2)(2024·河北承德期末)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(4－x)，若y＝|x－2|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则x1＋x2＋x3＋x4＝ A．－4 B．0 C．4 D．8 √ 由f(x)＝f(4－x)可知y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，又y＝|x－2|的图象也关于直线x＝2对称，所以两图象的交点关于直线x＝2对称，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4×2＝8.故选D． 规律方法 1．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)． 2．若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝ 成轴对称．　　 √ √ 考点二 中心对称问题 综合练 例2 √ (2)(新情境)(2024·浙江温州期末)我们知道：y＝f(x)的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：y＝f(x)的图象关于(a，b)成中心对称图形的充要条件是y＝f(x＋a)－b为奇函数．若f(x)＝x3－3x2的对称中心为(m，n)，则f(2 023)＋f(2 021)＋…＋f(3)＋f(－1)＋f(－3)＋f(－5)＋…＋f(－2 019)＋f(－2 021)＝ A．8 088 B．4 044 C．－4 044 D．－2 022 √ 规律方法 1．函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)． 2．若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点 成中心对称．　　 对点练2．(1)(2024·湖南长沙二模)已知函数f(x)的定义域为R，且y＝f(x＋1) 的图象关于点(－1，0)成中心对称．当x>0时，f(x)＝ ，则f(－2)＝ A．1 B．3 C．－1 D．－3 √ 因为将y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度后，得到函数y＝f(x)的图象且y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)成中心对称，所以y＝f(x)的图象关于原点成中心对称，则y＝f(x)在R上是奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝ － ＝－1.故选C． (2)[多选题]若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，则下列说法正确的是 A．f(x)＝f(－x) B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0 C．f(－x)＝－f(x＋4) D．f(x＋2)＝f(x－2) √ 因为f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，故A正确；因为f(x)的图象关于点(2，0)对称，对于f(x)的图象上的点(x，y)关于(2，0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替换x得到，f[4－(2＋x)]＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正确；由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，令x＝x＋2，可得f(x＋4)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x＋4)，故C正确；由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D错误．故选ABC． √ √ 考点三 两个函数图象的对称 多维练 例3 (1)已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与 y＝f(4－x)的图象 A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3，0)对称 √ 设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．故选A． √ (2)(2024·河北邯郸模拟)将函数f(x)的图象向右平移1个单位长度后，再向上 平移4个单位长度，所得函数图象与曲线y＝4x关于直线x＝1对称，则f ＝ A．－4 B．－3 C．－2 D．4 函数y＝42－x的图象与函数y＝4x的图象关于直线x＝1对称，将y＝42－x的图象向下平移4个单位长度得到y＝42－x－4的图象，再将y＝42－x－4的图象向左平移1个单位长度得到y＝42－(x＋1)－4＝41－x－4的图象，即f(x)＝ 41－x－4，故f ＝41＋ －4＝4.故选D． 规律方法 函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝ 对称．　　 对点练3．(2024·河南平顶山模拟)下列函数中，其图象与函数y＝log2x的图象关于直线x＝2对称的是 A．y＝log2(2＋x) B．y＝log2(2－x) C．y＝log2(4＋x) D．y＝log2(4－x) √ 设所求函数的图象上任意一点P(x，y)，则点P关于x＝2对称的点为Q(4－x，y)，由题意知点Q在y＝log2x的图象上，可得y＝log2(4－x)，即函数y＝log2x关于x＝2对称的函数解析式为y＝log2(4－x).故选D． 返回 课时测评 返回 返回 1．已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a等于 A．1 B．2 C．0 D．－2 √ 函数y＝2|x|的图象关于y轴对称，将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x－2|的图象，所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2.故选B． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1，1)对称，则b＝ A．－1 B．1 C．－2 D．2 因为f(x)的图象关于点(1，1)对称，所以f(x)＋f(2－x)＝2，又f(2－x)＝ (2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b＝－x3＋(a＋6)x2－(4a＋13)x＋10＋4a＋b，所以f(x)＋f(2－x)＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝2，所以 解得a＝－3，b＝2.故选D． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．设函数f(x)＝ ，则下列结论正确的是 A．f(x)关于(0，－1)对称 B．f(x)关于(0，0)对称 C．f(x)关于x＝1对称 D．f(x)关于(1，－1)对称 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(2024·天津二模)设函数f(x)＝ ，g(x)＝e－|x－1|.当x∈[－2 023， 2 025]时，f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为 A．4 051 B．4 049 C．2 025 D．2 023 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图象可知，在直线x＝1的右侧，(1，2 025]包含f(x)的1 012个周期，f(x)在(1，3]，(3，5]，…，(2 023，2 025]每个周期内和g(x)的图象都有2个交点，则共有2 024个交点，根据对称性可知，在直线x＝1的左侧，f(x)和g(x)的图象也有2 024个交点，且在直线x＝1的两侧的交点是关于直线x＝1两两对称的，故这4 048个交点的横坐标之和为2 024×2＝4 048，而x＝1也是这两函数图象的一个交点的横坐标，故f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为4 048＋1＝4 049.故选B． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6．(新考法)(2024·上海浦东三模)对于两个实数a，b，设min{a，b}＝ 则“t＝1”是“函数f(x)＝min{|x|，|x－t|}的图象关于直线x＝ 对称”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 如图，在同一个坐标系中作出两个函数y＝|x|与y＝|x－t|的图象， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．[多选题]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1＋x)＝f(1－x).当0<x≤1时，f(x)＝3x－1，则下列结论正确的是 A．f(x)是周期为2的周期函数 B．f(x)的值域为[－2，2] C．x＝3是f(x)图象的一条对称轴 D．f(x)的图象关于点(－2，0)对称 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(1＋x)＝f(1－x)＝－f(1－x)，所以在f(1＋x)＝－f(x－1)中用x＋1替换x得f(x＋2)＝－f(x)，即f(x)＝－f(x＋2)，故f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期为4的周期函数，故选项A错误；由题意可知，f(x)的图象如图所示， 由f(x)的图象可得f(x)的值域为[，2]，其中x＝3是函数f(x)图象的一条对称轴，f(x)的图象关于点(－2，0)对称，故选项B，C，D正确．故选BCD． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．[多选题](2024·吉林长春模拟)已知函数f(x)的定义域为R，则下列说法正确的是 A．若f(x＋2)＝－f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于(1，0)对称 B．函数y＝－f(2－x)与函数y＝f(x)的图象关于(1，0)对称 C．函数y＝f(－1＋x)－f(1－x)的图象关于(1，0)对称 D．函数y＝f(1＋x)－f(1－x)的图象关于(1，0)对称 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若f(x＋2)＝－f(－x)，即f(x＋2)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于(1，0)对称，故A正确；若点(x，y)在y＝f(x)上，则点(2－x，－y)在y＝ －f(2－x)的图象上，且点(x，y)与点(2－x，－y)关于点(1，0)对称，则函数y＝－f(2－x)与函数y＝f(x)的图象关于(1，0)对称，故B正确；设g(x)＝f(－1＋x)－f(1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f(1－x)－f(x－1)＋f(－1＋x)－ f(1－x)＝0，故函数y＝f(－1＋x)－f(1－x)的图象关于(1，0)对称，故C正确；令g(x)＝f(1＋x)－f(1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f(3－x)－f(x－1)＋f(1＋x)－f(1－x)不恒为0，故函数y＝f(1＋x)－f(1－x)的图象不关于(1，0)对称，故D错误．故选ABC． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．[多选题]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0，且y＝f(2－x)为偶函数，则下列说法一定正确的是 A．函数f(x)的周期为2 B．函数f(x)的图象关于直线x＝2对称 C．函数f(x)为偶函数 D．函数f(x)的图象关于点(3，0)对称 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于选项A，因为f(x＋2)＋f(x)＝0，则f(x＋4)＋f(x＋2)＝0，可得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，故A错误；对于选项B, 因为y＝f(2－x)为偶函数，则f(2－x)＝f(2＋x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，故B正确；对于选项C，因为函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(4＋x)，由函数f(x)的周期为4，可得f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故C正确；对于选项D，因为f(－x)＝f(x)，且f(x＋2)＋f(x)＝0，可得f(x＋2)＋f(－x)＝0，又因为函数f(x)的周期为4，则f(x＋6)＋f(－x)＝0，所以函数f(x)的图象关于点(3，0)对称，故D正确．故选BCD． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(新设问)(2024·陕西宝鸡二模)请写出一个图象关于点(1，0)对称的函数 的解析式_____________________． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．(新考法)已知函数y＝f(x＋1)－3为奇函数，g(x)＝ ，f(x)与g(x)的图象有8个交 点，分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x8，y8)，则(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6＋y7＋y8)－(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8)＝_________． 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(2024·广东珠海期末)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x－4)－1是偶函 数，当x≤－4时，f(x)＝(x＋4)2－2，则不等式f(3x－5)>f(2x－4)的解集为 ___________________． 因为函数f(x)的定义域为R，y＝f(x－4)－1是偶函数，则f(－x－4)－1＝f(x－4)－1，即f(－x－4)＝f(x－4)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝－4对称，当x≤－4时，f(x)＝(x＋4)2－2，则函数f(x)在(－∞，－4]上单调递减，故函数f(x)在[－4，＋∞)上单调递增，因为f(3x－5)>f(2x－4)，则|3x－5＋4|>|2x－4＋4|， 即|3x－1|>2|x|，即(3x－1)2>4x2，即(x－1)(5x－1)>0，解得x< 或x>1，因此， 不等式f(3x－5)>f(2x－4)的解集为 ∪(1，＋∞). 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．已知函数f(x)＝ 则f(x)的图象关于 A．点(1，－2)对称 B．点(－1，2)对称 C．直线x＝1对称 D．直线x＝－1对称 √ 令g(x)＝f(x－1)－2＝ 由于g(x)的定义域关于原点对称，且 g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数，所以f(x)＝g(x＋1)＋2的图象关于点(－1，2)对称．故选B． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(新考法)函数f(x)＝x(m－x)满足f(2－x)＝f(x)，且在区间[a，b]上的值域是[－3，1]，则坐标(a，b)】所表示的点在图中的 A．线段AD和线段BC上 B．线段AD和线段DC上 C．线段AB和线段DC上 D．线段AC和线段BD上 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数f(x)＝x(m－x)满足f(2－x)＝f(x)，故函数的图象关于直线x＝1对称，且开口向下，所以m＝2，f(x)＝x(2－x).再根据f(－1)＝－3＝f(3)，f(1)＝1，画出函数f(x)的图象， 如图所示： 故有－1≤a≤1，1≤b≤3.且当a＝－1时，1≤b≤3；－1<a≤1时，b＝3，故坐标(a，b)所表示的点在图中的线段AD和线段DC上．故选B． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(2024·山东济南开学考)已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不间断，有下列四个命题： 甲：f(x)是奇函数； 乙：f(x)的图象关于点(2，0)对称； 丙：f(22)＝0； 丁：f(x＋6)＝f(x)； 如果有且仅有一个假命题，则该命题是 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若命题甲，乙正确，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，因为f(x)的图象关于点(2，0)对称，所以f(4－x)＝－f(x)，又由f(－x)＝－f(x)，得f(4－x)＝f(－x)，即f(4＋x)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，故丁是假命题；由f(4－2)＝－f(2)，即2f(2)＝0，解得f(2)＝0，所以f(22)＝f(4×5＋2)＝f(2)＝0，故丙是真命题．故选D． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(数学文化)[多选题](2024·江西新余期末)太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美．定义：若一个函数的图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分，则称该函数为圆O的一个“太极函数”，设圆O：x2＋y2＝1，则下列说法中正确的是 A．函数y＝x3＋x是圆O的一个太极函数 B．函数f(x)的图象关于原点对称是f(x)为圆O的太极函数的充要条件 C．圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数 D．函数y＝sin x是圆O的一个太极函数 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选项A，设y＝f(x)＝x3＋x，因为f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－f(x)，所以函数 y＝x3＋x是奇函数，它的图象将圆O周长与面积同时等分，如图①所示： 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以函数y＝x3＋x是圆O的一个太极函数，故A正确；选项C，如图②所示：函数y＝g(x)是偶函数，y＝g(x)也是圆O的一个太极函数，故C不 正确； 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 选项B，根据选项C的分析，圆O的太极函数可以是偶函数不一定关于原点对称，故B不正确；选项D，因为y＝sin x是奇函数，所以它的图象将圆x2＋y2＝1周长与面积同时等分，如图③所示．因此函数y＝sin x是圆O的一个太极函数，故D正确． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢谢观看 本节到此结束 因为f(x)＝＝1＋，由y＝向上平移一个单位长度得到y＝1＋，又y＝关于(0，0)对称，所以f(x)＝1＋的图象关于(0，1)对称．故选B． 对点练1．[多选题]若函数f(x)满足∀x∈R，f(x＋2)＝f(2－x)，且∀x1，x2∈[2，＋∞)，>0(x1≠x2)，则下列结论正确的是 A．f(x＋2)为偶函数 B．f(0)<f(3) C．f(－a2＋a＋1)≥f D．若f(m)>f(3)，则1<m<3 对于A，由题意可得f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(x)在[2，＋∞)上单调递增，则f(x)在(－∞，2)上单调递减，且f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，由偶函数图象的特征得A正确；对于B，结合函数f(x)的单调性和f(x)图象的对称性得，距离x＝2越近，函数值越小，|0－2|>|3－2|，所以B不正确；对于C，|－a2＋a＋1－2|＝|a2－a＋1|＝≥＝，所以C正确；对于D，若f(m)>f(3)，则直线x＝m距离直线x＝2更远，即|m－2|>1，解得m>3或m<1，所以D不正确．故选AC． 　　 (1)已知函数f(x)＝3sin πx＋2(x∈[－10，8])，g(x)＝，若f(x)与g(x)的图象的交点坐标依次为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x16，y16)，则(xi＋yi)＝ A．16 B．24 C．32 D．48 g(x)＝＝2－，而φ(x)＝－向左平移1个单位，再向上平移2个单位则得到g(x)，且φ(x)的对称中心为(0，0)，所以g(x)的对称中心为(－1，2)，又函数f(x)＝3sin πx＋2(x∈[－10，8])，所以(－1，2)也是函数f(x)的对称中心，所以函数f(x)与函数g(x)的图象的交点两两关于点(－1，2)对称，所以x1＋x16＝－2，x2＋x15＝－2，…，y1＋y16＝4，y2＋y15＝4，…，所以(xi＋yi)＝－2×＋4×＝16.故选A． 因为f(x)＝x3－3x2的对称中心为(m，n)，所以g(x)＝f(x＋m)－n＝(x＋m)3－3(x＋m)2－n为奇函数，g(x)＝(x＋m)2(x＋m－3)－n＝x3＋(3m－3)x2＋(3m2－6m)x＋m3－3m2－n，所以g(－x)＋g(x)＝2x2＋2(m3－3m2－n)＝0，所以解得所以f(x)＝x3－3x2的对称中心为(1，－2)，所以f(x＋2)＋f(－x)＝－4，所以f(2 023)＋f(－2 021)＝－4， f(2 021)＋f(－2 019)＝－4，…，f(5)＋f(－3)＝－4，f(3)＋f(－1)＝－4，所以f(2 023)＋f(2 021)＋…＋f(3)＋f(－1)＋f(－3)＋f(－5)＋…＋f(－2 019)＋f(－2 021)＝－4×1 011＝－4 044.故选C． 3．(2024·四川绵阳期末)定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，当x∈[0，1)时，f(x)＝，则f ＝ A． B． C．－ D．－ 因为f(x)的图象关于直线x＝－1对称，所以f(x)＝f(－2－x)，因为f(x)为奇函数，且当x∈[0，1)时，f(x)＝，所以f ＝f ＝f ＝－ f ＝－＝－.故选C． 对于选项A，因为f(－x)＋f(x)＝＋≠－2，所以f(x)不关于(0，－1)对称，故A错误；对于选项B，因为f(－x)＋f(x)＝＋≠0，所以f(x)不关于(0，0)对称，故B错误； 对于选项C，因为f(1－x)＝＝＝，f ＝＝，f(1－x)≠f(1＋x)，所以f(x)不关于x＝1对称，故C错误；对于选项D，因为f(1－x)＋f(1＋x)＝＋＝－2，所以f(x)关于(1，－1)对称，故D正确．故选D． 函数f(x)＝的最小正周期为2，直线x＝1为其一条对称轴，g(x)＝ e－|x－1|＝其图象关于直线x＝1对称，故可作出函数f(x)＝，g(x)＝e－|x－1|的图象如图： 则函数f(x)＝min{|x|，|x－t|}的图象为两个图象中较低的部分，即为图象中实线部分，根据图象令x＝－x＋t，解得x＝，分析可得其图象关于直线x＝对称，要使函数f(x)＝min{|x|，|x－t|}的图象关于直线x＝对称，则 t＝1；当t＝1时，函数f(x)＝min{|x|，|x－t|}的图象关于直线x＝对称，所以“t＝1”是“函数f(x)＝min{|x|，|x－t|}的图象关于直线x＝对称”的充分必要条件．故选C． y＝(答案不唯一) y＝的图象关于原点对称，则y＝的图象关于点(1，0)对称．同样如函数y＝(x－1)3也满足题意．(答案不唯一) 因为y＝f(x＋1)－3为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1，3)对称，因为g(x)＝＝＝3＋，所以函数g(x)的图象关于点(1，3)对称，所以f(x)与g(x)图象的8个交点关于点(1，3)对称，所以＝1，＝1，＝1，＝1，可得x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＝4×2×1＝8，同理可知y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6＋y7＋y8＝4×2×3＝24，所以(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6＋y7＋y8)－(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8)＝16. ∪(1，＋∞) $$