2.3 函数的奇偶性、周期性（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§2.3　函数的奇偶性、周期性 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1．结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义．　 2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性． 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数 的周期性． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 返回 微提醒　函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． 理清主干知识 1．函数的奇偶性   偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为A，如果对∀x∈A，有_____∈A 且______________，那么称函数f(x)为偶函数 且________________，那么称函数f(x)为奇函数 图象特征 关于_____对称 关于______对称 －x f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) y轴 原点 2．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足________________，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个______的正数，那么这个最小______就称作函数y＝f(x)的______正周期． f(x＋T)＝f(x) 最小 正数 最小 记牢常用结论 1．函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)． (2)若f(x＋a)＝ ，则T＝2a(a＞0)． (3)若f(x＋a)＝－ ，则T＝2a(a＞0)． 练透教材典题 1．[多选题]下列命题是真命题的是 A．函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数 B．存在既是奇函数，又是偶函数的函数 C．若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0 D．若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈N*)也是函数f(x)的周期 √ √ 2．[多选题](链接北师必修一P65例2改编)给出下列函数，其中是奇函数 的为 A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x5 √ √ 对于f(x)＝x4，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，可知f(x)＝x4是偶函数， 3．(用结论)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x＋4)＝f(x)，则 f(2 024)＝ A．2 024 B．4 C．－4 D．0 √ 因为f(x＋4)＝f(x)，所以f(2 024)＝f(0＋4×506)＝f(0)，又因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.故选D． √ 返回 考点探究　精准突破 返回 返回 考点一 函数奇偶性的判断 基础练 例1 所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)f(x)＝ 解：显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 因为当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，所以函数f(x)为奇函数. (3)f(x)＝log2(x＋ )． 解：显然函数f(x)的定义域为R， 规律方法 函数奇偶性的判断方法 1．定义法 规律方法 2．图象法 3．性质法 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 提醒：对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判定函数f(x)是奇函数． √ (2)(新考法)(2024·辽宁辽阳一模)若f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数是奇函数的是 A．y＝f(2x＋2－x) B．y＝f(2x－x) C．y＝f(2x－2－x) D．y＝f(2x＋x) √ 依题意，f(x)是定义在R上的奇函数，f(－x)＝－f(x)，对于A选项，对于函数y＝f(2x＋2－x)，f(2－x＋2x)＝f(2x＋2－x)，所以函数y＝f(2x＋2－x)不是奇函数；对于B选项，对于函数y＝f(2x－x)，f(2－x＋x)≠－f(2x－x)，所以函数y＝f(2x－x)不是奇函数；对于C选项，对于函数y＝f(2x－2－x)，f(2－x－2x)＝－f(2x－2－x)，所以函数y＝f(2x－2－x)是奇函数；对于D选项，对于函数y＝f(2x＋x)，f(2－x－x)≠－f(2x＋x)，所以函数y＝f(2x＋x)不是奇函数．故选C． 考点二 函数奇偶性的应用 综合练 例2 (1)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝ A．－1 B．0 C． D．1 √ √ 由已知得，当x>0时，－x<0，f(－x)＝－ax3＋b，因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即x3＋1＝－ax3＋b，所以a＝－1，b＝1，所以2a＋b＝ 2－1＋1＝ .故选B． (3)已知函数f(x)＝sin x＋x3＋ ＋3，若f(a)＝1，则f(－a)等于 A．1 B．3 C．4 D．5 √ 规律方法 利用函数奇偶性可解决的问题及解题方法 对点练2．(1)(2023·全国乙卷)已知f(x)＝ 是偶函数，则a＝ A．－2 B．－1 C．1 D．2 √ 因为f(x)＝ 为偶函数，则f(x)－f(－x) √ 由函数f(x)是奇函数，函数g(x)是偶函数，f(x)－g(x)＝xsin x，故f(－x)－g(－x)＝－xsin(－x)，即－f(x)－g(x)＝xsin x，将该式和f(x)－g(x)＝xsin x 相减可得f(x)＝0，则f ＝0，故选C． 考点三 函数的周期性及应用 多维练 例3 √ (2)设f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，已知x∈[2，3]时，f(x)＝x，则x∈[－2，0]时，f(x)的解析式为f(x)＝ A．x＋4 B．2－x C．3－|x＋1| D．2－|x＋1| √ 因为f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f(x)＝x，所以x∈[－1)时，(2＋x)∈[0，1)，(4＋x)∈[2，3)， 此时f(x)＝f(4＋x)＝4＋x 当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，(2－x)∈[2，3]，此时f(x)＝f(－x)＝ f(2－x)＝2－x，所以f(x)＝ 综上可得x∈ [－2，0]时，f(x)＝3－|x＋1|.故选C． 规律方法 函数周期性有关问题的求解策略 √ √ 由f(x)＋f(－x)＝0可得f(x)为奇函数，又f(－x－1)＝f(－x＋1)，则－f(x＋1)＝－f(x－1)，故f(x)＝f(x＋2)，故f(x)周期为2.故f(log480)＝f(log4(16×5))＝f(2＋log45) 返回 课时测评 返回 返回 √ 1．(2024·上海嘉定二模)函数y＝lg (1－x)＋lg (1＋x)是 A．奇函数 B．偶函数 C．奇函数也是偶函数 D．非奇非偶函数 由函数y＝lg (1－x)＋lg (1＋x)可知，定义域为(－1，1)关于原点对称，又f(－x)＝lg (1＋x)＋lg (1－x)＝f(x)，故函数为(－1，1)内的偶函数．故选B． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．(2024·湖南常德二模)已知f(x)是周期为4的奇函数，f(3)＝2，则f(9)＝ A．6 B．－6 C．2 D．－2 因为f(x)是周期为4的奇函数，所以f(9)＝f(1)＝f(－3)＝－f(3)＝－2.故选D． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．(2024·安徽蚌埠模拟)如图是函数F(x)图象的一部分，设函数f(x)＝cos x，g(x)＝ex－e－x，则F(x)可以是 A．f(x)＋g(x) B．f(x)·g(x) C．f(x)－g(x) D． √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．(2024·陕西宝鸡期末)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且f(x)在[0，2]上是减函数，则 A．f(5)<f(4)<f(3) B．f(3)<f(4)<f(5) C．f(3)<f(5)<f(4) D．f(4)<f(5)<f(3) 因为f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的一个周期为4，又因为f(x)在[0，2]上是减函数，且在R上为奇函数，所以f(x)在[－2，0]上是减函数，所以f(1)<f(0)<f(－1)，即f(5)<f(4)<f(3)．故选A． √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 由“局部奇函数”的定义可知，f(－x)＝－f(x)有解，即9－x－m·3－x－3＝－(9x－m·3x－3)有解，即(9x＋9－x)－m(3x＋3－x)－6＝0有解，令t＝3x＋3－x，则t≥2，则9x＋9－x＝t2－2，所以方程可转化为t2－mt－8＝0在 [2，＋∞)上有解，即m＝t－ 在[2，＋∞)上有解．易知函数y＝t－ 在 [2，＋∞)上单调递增，所以当t＝2时，ymin＝－2，所以m≥－2.故选D． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．[多选题]若定义在R上的函数f(x)分别满足下列条件，其中可以得出f(x)的周期为2的有 A．f(x)＝f(x－2) B．f(x＋2)＝f(x－2) C．f(－x)＝f(x＋2) D．f(x－1)＝f(x＋1) √ √ 对于A，由f(x)＝f(x－2)可知f(x)的周期为2，故A正确；对于B，由f(x＋2)＝f(x－2)得f(x＋4)＝f(x)，故f(x)的周期为4，故B错误；对于C，由f(－x)＝f(x＋2)得f(x)关于x＝1对称，故C错误；对于D，f(x－1)＝f(x＋1) ⇒f(x)＝f(x＋2)，f(x)的周期为2，故D正确．故选AD． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．[多选题](2024·湖南郴州模拟)已知函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋4)＋ f(x)＝0，当0≤x≤2时，f(x)＝ ，则下列结论正确的是 A．a＝－1 B．a＝－2 C．f(－33)<f(40)<f(19) D．f(40)<f(－33) <f(19) √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin(x＋ )为偶函数，则a＝________． 因为f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin(x＋ )＝(x－1)2＋ax＋cos x＝x2＋(a－2)x＋1 ＋cos x，且函数为偶函数，所以a－2＝0，解得a＝2. 2 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(原创题)已知f(x)＝2 023sin x＋2 024tan x－1，则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＝______． 令g(x)＝2 023sin x＋2 024tan x，由y＝sin x与y＝tan x为奇函数，则g(－x)＝－g(x)，则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＝g(－2)－1＋g(－1)－1＋g(0)－1＋g(1)－1＋g(2)－1＝－g(2)＋g(2)－g(1)＋g(1)＋g(0)－5＝－5. －5 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1，3)上的解集为____________________． 根据函数f(x)是周期为4的偶函数，以及当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，画出函数图象如下图所示，由图可知，当x∈(－1，0)时，f(x)<0，xf(x)>0符合题意；当x∈(1，3)时，f(x)>0，xf(x)>0符合题意；综上所述，不等式的解集为(－1，0)∪(1，3)． (－1，0)∪(1，3) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(16分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝ －f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； 解：证明：因为f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． 所以f(x)是周期为4的周期函数． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式； 解：当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]， 由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2. 又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，所以f(x)＝x2＋2x. 又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]， 所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)． 又f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 从而求得x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 027)． 解：f(0)＝0, f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＋f(2 027)＝0. 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 027)＝0. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(新考法)(2024·江苏南通二模)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋ex是偶函数，y＝f(x)－3ex是奇函数，则f(x)的最小值为 A．e B．2 C．2 D．2e √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢谢观看 本节到此结束 C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ 同理可知f(x)＝x5，f(x)＝x＋是奇函数，f(x)＝是偶函数．故选BC． 4．(链接人教A必修一P86T11)若奇函数y＝f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－3x＋，则x∈(－∞，0)时，f(x)＝ A．－－ B．－ C．－＋ D．＋ 设x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，则f(－x)＝－3－x－＝－－，因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝＋，即x∈(－∞，0)时，f(x)＝＋.故选D． 　　 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋； 解：由得x2＝3，解得x＝±，即函数f(x)的定义域为{－，}， 从而f(x)＝＋＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， f(－x)＝log2[－x＋]＝log2(－x)＝log2(＋x)－1＝ －log2(＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数． 对点练1．(1)(2024·辽宁丹东一模)下列函数中为偶函数的是 A．y＝lg x B．y＝ C．y＝x＋x D．y＝ 函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，故函数为非奇非偶函数，故A不符合；函数y＝的定义域为R，则f＝＝－＝－f(x)，故该函数为奇函数，故B不符合；函数y＝x＋x的定义域为R，则f(－x)＝－x＋－x＝x＋x＝f(x)，故该函数为偶函数，故C符合；函数y＝的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，故函数为非奇非偶函数，故D不符合．故选C． 因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，所以(1＋a)ln＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝xln，由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>或x<－，则其定义域为，关于原点对称．f(－x)＝(－x)ln＝(－x)ln＝xln＝f(x)，故此时 f(x)为偶函数．故选B． (2)(2024·福建福州模拟)已知函数f(x)＝为偶函数，则2a＋b 等于 A．3 B． C．－ D．－ 根据题意f(a)＝sin a＋a3＋＋3＝1，即sin a＋a3＋＝－2，所以f(－a)＝sin(－a)＋(－a)3＋＋3＝－＋3＝2＋3＝5.故选D． ＝－＝＝0，又因为x不恒为 0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D． (2)已知函数f(x)是奇函数，函数g(x)是偶函数．若f(x)－g(x)＝xsin x， 则f ＝ A． B．－ C．0 D．－1 　　 (1)已知函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，当x∈[－3，0)时，f(x)＝2x＋sin ，则f(2 024)＝ A．－ B．－ C． D．－＋ 因为f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是以6为周期的函数，所以f(2 024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝f(－1＋3)＝－f(－1)＝－＝－＋.故选D． 对点练3．(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋π)－f(x)＝sin x，且f ＝ －，则f ＝ A． B． C．－ D．－ 由题意，f(x＋π)－f(x)＝sin x，所以f(x＋2π)－f(x＋π)＝sin (x＋π)＝－sin x，所以f(x＋2π)＝f(x＋π)－sin x＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，即f(x)的周期为 T＝2π；由条件知f －f ＝sin ＝，所以f ＝－，f ＝f ＝f ＝－.故选D． (2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，f(－x－1)＝f(－x＋1)，当x∈(0，1)时，f(x)＝4x－3，则f(log480)＝ A． B．－ C．1 D．－ ＝f(log45－2)＝－f(2－log45)＝－42－log45＋3＝－＋3＝－＋3＝－.故选D． 因为f(－x)＝cos (－x)＝cos x，g(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－g(x)，所以f(x)为偶函数，g(x)为奇函数．可知f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)为非奇非偶函数，f(x)·g(x)，为奇函数，由图可知：F(x)为奇函数，故A，C错误；由于＝，令ex－e－x≠0，可得x≠0，故的定义域为{x|x≠0}.又因为F(x)的定义域为R，所以D错误．故选B． 5．若函数f(x)＝ln 为奇函数，则f(0)＋f(1)＝ A．0 B．ln C．ln D．ln 2 f(－x)＝ln ＝ln (＋x)，因为f(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，即ln ＋ln(＋x)＝ln [(－x)(＋x)]＝ln[(x2＋a)－x2]＝ln a＝0，所以a＝1，经检验，a＝1满足题意，所以 f(x)＝ln (－x)，所以f(0)＋f(1)＝ln .故选B． 6．(新定义)(2024·广东四校联考)若函数f(x)在其定义域内存在实数x满足f(－x)＝－f(x)，则称函数f(x)为“局部奇函数”．已知函数f(x)＝9x－m·3x－3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是 A．[－2， ] B．[－，3] C．(－∞，2 ] D．[－2，＋∞) 8．[多选题](2024·山东临沂一模)已知f(x)＝x3·g(x)为定义在R上的偶函数，则函数g(x)的解析式可以为 A．g(x)＝lg B．g(x)＝3x－3－x C．g(x)＝＋ D．g(x)＝ln 因为f(x)＝x3g(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是定义在R上的奇函数．对于A，定义域为(－1，1)，所以不满足题意；对于B，定义域为R，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，符合题意；对于C，定义域为R，g(－x)＝＋＝＋＝－≠－g(x)，不符合题意；对于D，定义域为R，g(－x)＝ln ，而g(－x)＋g(x)＝ln (－x)＋ln ＝0，符合题意．故选BD． 已知函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0，即f(0)＝＝0，解得a＝ －1，A正确；B错误；又因为f(x＋4)＋f(x)＝0，即f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，从而周期为8，f(－33)＝f(－1－4×8)＝f(－1)＝－f(1)，f(40)＝f(0＋5×8)＝f(0)，f(19)＝f(3＋2×8)＝f(3)＝f(－1＋4)＝－f(－1)＝f(1)．因为当0≤x≤2时，f(x)＝，所以f(1)＝，从而f(－33)＝－f(1)＝－，f(40)＝0，f(19)＝，所以f(－33) <f(40) <f(19)，C正确；D错误．故选AC． 因为函数y＝f(x)＋ex为偶函数，所以f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex，即f(x)－ f(－x)＝e－x－ex，①，又因为函数y＝f(x)－3ex为奇函数，所以f(－x)－ 3e－x＝－f(x)＋3ex，即f(x)＋f(－x)＝3ex＋3e－x，②，联立①②可得f(x)＝ ex＋2e－x，由基本不等式可得f(x)＝ex＋2e－x≥2＝2，当且仅当ex＝2e－x，即x＝ln 2时，等号成立，故函数f(x)的最小值为2.故选B． 15．[多选题](2024·九省适应性测试)已知函数f(x)的定义域为R，且f ≠0，若f(x＋y)＋f(x)f(y)＝4xy，则 A．f ＝0 B．f ＝－2 C．函数f 是偶函数 D．函数f 是减函数 令x＝，y＝0，则有f ＋f ×f(0)＝0，所以f [1＋f(0)]＝0，又f ≠0，故1＋f(0)＝0，即f(0)＝－1.令x＝，y＝－，则有f ＋f f ＝4××，即f(0)＋f f ＝－1，由f(0)＝－1，可得f f ＝0，又 f ≠0，故f ＝0，故A正确；令y＝－，则有f ＋f(x)f ＝4x×，即f ＝－2x，故函数f 是奇函数，故C错误；有f(x＋1－)＝－2(x＋1)＝－2x－2，即f ＝－2x－2，即函数f 是减函数，故D正确；令x＝1，有f ＝－2×1＝－2，故B正确．故选ABD． $$