2.2 函数的单调性和最值（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§2.2　函数的单调性和最值 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最 小值，理解它们的作用和实际意义．　 2．掌握函数单调性的简单应用． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 返回 理清主干知识 1．函数的单调性 (1)增函数和减函数 分类 增函数 减函数 定 义 设函数y＝f(x)的定义域是D：如果对于任意的x1，x2∈D 当x1<x2时，都有__________，那么就称函数y＝f(x)是增函数，特别地，当I⊆D时，也称函数y＝f(x)在区间I上________ 当x1<x2时，都有__________，那么就称函数y＝f(x)是减函数，特别地，当I⊆D时，也称函数y＝f(x)在区间I上________ 图象描述 自左向右看图象是______ 自左向右看图象是______ f(x1) < f(x2) 单调递增 f(x1) > f(x2) 单调递减 上升 下降 微提醒　(1)求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域；(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数． (2)单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上__________或__________，那么就称函数_______在区间I上具有单调性，此时，_______为函数y＝f(x)的单调区间． 单调递增 单调递减 y＝f(x) 区间I 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域是D，若存在实数M 条件 ①所有的x∈D，都有__________； ②存在x0∈D，使得___________ ①所有的x∈D，都有__________； ②存在x0∈D，使得___________ 结论 M为函数y＝f(x)的________ M为函数y＝f(x)的________ f(x)≤M f(x)≥M f(x0)＝M f(x0)＝M 最大值 最小值 记牢常用结论 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数． 3．函数y＝f(x) (f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝ 的单调性相反． 4．复合函数y＝f(g(x))的单调性：同增异减． 练透教材典题 1．[多选题]下列说法中不正确的是 A．对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数 B．函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞) C．函数y＝ 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞) D．所有的单调函数不一定都有最值 √ √ √ √ 2．在下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是 A．y＝－x＋1 B．y＝－x2＋4x＋5 C．y＝ D．y＝|x－2| y＝－x＋1在(0，2)上单调递减，A不合题意；y＝－x2＋4x＋5开口向下， 对称轴为x＝2，所以在区间(0，2)上是增函数，B正确；y＝ 在(0，2)上 单调递减，C不合题意；y＝|x－2|＝ 在(0，2)上单调递减， D不合题意．故选B． √ 4．(2024·海南海口模拟)函数f(x)＝x2－4|x|＋3的单调递减区间是 A．(－∞，－2) B．(－∞，－2)和(0，2) C．(－2，2) D．(－2，0)和(2，＋∞) √ f(x)＝x2－4|x|＋3＝ 则由二次函数的性质知，当x≥0时， y＝x2－4x＋3＝(x－2) 2－1的单调递减区间为(0，2)；当x<0，y＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1的单调递减区间为(－∞，－2)，故f(x)的单调递减区间是(－∞，－2)和(0，2)．故选B． 返回 考点探究　精准突破 返回 返回 考点一 函数的单调性 基础练 例1 √ 试讨论函数f(x)＝ (a≠0)在(－1，1)上的单调性． 例2 解：法一：设－1<x1<x2<1， 由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 规律方法 1．求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间． 2．(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法． (2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．　　 对点练1．函数y＝ 的单调递减区间是____________． (－∞，－6] 解：由已知可得 解得a＝1，b＝1， 所以f(x)＝x＋ (x≠0). (2)用函数单调性的定义证明：f(x)在(0，1)上单调递减． 因为x1，x2∈(0，1)，且x1<x2， 所以x1－x2<0，0<x1x2<1，x1x2－1<0， 所以f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)· >0，即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在(0，1)上单调递减． 考点二 函数的最值 综合练 (1)函数f(x)＝ －ln(4－x)在x∈[1，3]上的最大值为________． 例3 (2)(2024·浙江宁波调研)设f(x)＝ 则f(f(－1))＝___，f(x)的最小值是________． 0 规律方法 1．求函数最值的三种基本方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． 2．对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 对点练3．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝ 设函数f(x)＝－x ＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是____． 法一：在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象， 依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分．易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1. 1 法二：依题意，h(x)＝ 当0<x≤2时，h(x)＝log2x是增函数； 当x>2时，h(x)＝－x＋3是减函数，因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1. 考点三 函数单调性的应用 多维练 例4 √ 角度1　比较函数值的大小 √ (2)已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x1≠x2且x1，x2∈(1，＋∞)时， [f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f ，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为 A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c 例5 角度2　解不等式 √ (2)已知函数f(x)＝ －log2(x＋2)，若f(a－2)＞3，则a的取值范围是________． (0，1) √ (1)(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是 A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) 角度3　求参数的取值范围 例6 √ (2)已知函数f(x)＝ 是R上的增函数，则a的取值范围是 A．[0，3) B．(0，3) C．[2，3) D．(2，3) 由题意得，函数为R上的增函数，有 解得0≤a<3.故选A． 规律方法 1．比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． 2．求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． 3．利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．　　 对点练4．(1)[多选题]定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，且f(x)是单 调函数，f(1)＝ ，则 A．f(0)＝0 B．f(－1)<f(2) C．f ＝－1 D．f(x2－x＋2) >f(1) 对于A，因为定义在R上的函数f(x)满足f f(－x)＋f(x)＝0，所以f(x)是奇函数，从而f(0)＝0，所以A正确；对于B，因为f(x)是单调函数，且0＝f(0)<f(1)＝ ，所以f(x)是R上的单调递增函数，故f(－1)<f(2)，所以B正确； √ √ √ (2)(2024·山东济宁一模)若函数f(x)＝loga(ax－x3)(a>0且a≠1)在区间(0，1)内单调递增，则a的取值范围是 A．[3，＋∞) B．(1，3] √ 返回 课时测评 返回 返回 √ 1．下列函数为增函数的是 A．f(x)＝|x| B．f(x)＝2x C．f(x)＝x2 D．f(x)＝log0.5x 对于A，函数f(x)＝|x|＝ 函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，在 定义域R上不单调，故A不是；对于B，函数f(x)＝2x在R上单调递增，故B是；对于C，函数f(x)＝x2在(－∞，0]上单调递减，在定义域R上不单调，故C不是；对于D，函数f(x)＝log0.5x在(0，＋∞)上单调递减，故D不是．故选B． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．已知函数f(x)＝－x|x|＋2x，则下列结论正确的是 A．f(x)的递增区间是[0，＋∞) B．f(x)的递减区间是(－∞，－1] C．f(x)的递增区间是(－∞，－1] D．f(x)的递增区间是[－1，1] 因为函数f(x)＝－x|x|＋2x的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－(－x)|－x|＋2(－x)，＝x|x|－2x＝－f(x)，所以函数f(x)＝－x|x|＋2x是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1) 2＋1，所以f(x)在(0，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，又因为f(x)＝－x|x|＋2x是定义在R上的奇函数，所以f(x)的单调递增区间为[－1，1]，单调递减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞).故选D． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．若函数f(x)＝ ，则f(x)的值域为 A．(－∞，3] B．(2，3) C．(2，3] D．[3，＋∞) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 4．(2024·广东深圳模拟)已知函数f(x)的定义域为R，若对∀x∈R都有f(3＋x)＝f(1－x)，且f(x)在(2，＋∞)上单调递减，则f(1)，f(2)与f(4)的大小关系是 A．f(4)<f(1)<f(2) B．f(2)<f(1)<f(4) C．f(1)<f(2)<f(4) D．f(4)<f(2)<f(1) 因为对∀x∈R都有f(3＋x)＝f(1－x)，所以f(1)＝f(3－2)＝f[1－(－2)]＝f(3)．又因为f(x)在(2，＋∞)上单调递减，且2<3<4，所以f(4)<f(3)<f(2)，即f(4)<f(1)<f(2)．故选A． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．f(x)＝ 在R上是增函数的充分不必要条件是 A．a∈[－4，－2] B．a∈[－4，－1] C．a∈[－3，－1] D．a∈[－3，－2] 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 6．(2024·江西南昌一模)已知函数f(x)＝ ，若对于任意的x∈[2，3]，不等式 f(x)＋f(a－2x)≤恒成立，则实数a的取值范围是 A．[5，＋∞) B．[4，＋∞) C．(－∞，6] D．(－∞，4] 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．[多选题]已知函数f(x)＝ ，则下列叙述正确的是 A．f(x)的值域为(－∞，－4)∪(－4，＋∞) B．f(x)在区间(－∞，－4)上单调递增 C．f(x)＋f(－8－x)＝4 D．若x∈{x|x>－4，x∈Z}，则f(x)的最小值为－3 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．(新设问)[多选题]已知函数f(x)＝ax2＋x－3，若对任意的x1，x2∈[1， ＋∞)，且x1≠x2， <3恒成立，则实数a的取值可以是 A．－2 B．－1 C．1 D．2 √ √ 不妨设1≤x1<x2，则x1－x2<0，根据题意，可得f(x1)－f(x2)>3(x1－x2)恒成立，即f(x1)－3x1>f(x2)－3x2恒成立，令g(x)＝f(x)－3x＝ax2－2x－3，则g(x1)>g(x2)恒成立，所以函数g(x)在[1，＋∞)上单调递减．当a＝0时，g(x)＝－2x－3在[1，＋∞)上单调递减，符合题意；当a≠0时，要使g(x) ＝ax2－2x－3在[1，＋∞)上单调递减，则 解得a<0.综上所述，实数a的取值范围是(－∞，0]．故选AB． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(新角度)[多选题]已知定义在[1，6]上的函数f(x)＝x＋ ，则 A．任意a，b，c∈[1，6]，f(a)，f(b)，f(c)均能作为一个三角形的三条边长 B．存在a，b，c∈[1，6]，使得f(a)，f(b)，f(c)不能作为一个三角形的三条边长 C．任意a，b，c∈[1，6]，f(a)，f(b)，f(c)均不能成为一个直角三角形的三条边长 D．存在a，b，c∈[1，6]，使得f(a)，f(b)，f(c)能成为一个直角三角形的三条边长 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(2024·海南海口二模)已知偶函数y＝f(x＋1)在区间[0，＋∞)上单调递减，则函数y＝f(x－1)的单调增区间是________． 因为偶函数y＝f(x＋1)在区间[0，＋∞)上单调递减，所以y＝f(x＋1)在区间(－∞，0]上单调递增，又因为f(x－1)＝f((x－2)＋1)，则函数f(x－1)的图象是由函数f(x＋1)的图象向右平移2个单位长度得到，所以函数f(x－1)的单调增区间是(－∞，2]. (－∞，2] 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(新设问)(2024·北京顺义一模)能说明“若f(x)≤f(2)对任意的x∈[0，2]都成立，则f(x)在 [0，2]上单调递增”为假命题的一个函数是_____________ ______________． 令f(x)＝(x－1)2，则f(x)≤f(2)对任意的x∈[0，2]都成立，但f(x)在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以函数f(x)在[0，2]上不是增 函数． f(x)＝(x－1)2 (答案不唯一) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，若对于任意正实数x，y，恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(x－8) <2的解集是________． (8，9) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(新考法)(2024·广东阳江开学考)已知函数f(x)是(0，＋∞)上的单调函数，且f(f(x)－x－log2x)＝5，则f(x)在[1，8]上的值域为 A．[2，10] B．[3，10] C．[2，13] D．[3，13] √ 因为f(x)是(0，＋∞)上的单调函数，所以存在唯一的t∈(0，＋∞)，使得f(t)＝5，则f(x)－x－log2x＝t，f(x)＝t＋x＋log2x，f(t)＝2t＋log2t＝5.因为y＝2t＋log2t为(0，＋∞)上的增函数，且2×2＋log22＝5，所以t＝2，所以f(x)＝x＋log2x＋2.因为f(x)在[1，8]上单调递增，所以f(1)≤f(x)≤f(8)，得3≤f(x)≤13.故选D． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(20分)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)对于任意的x，y∈(0，＋∞)，总有f(x)＋f(y)＝f(xy)，当x＞1时，f(x)＜0且f(e)＝－1. (1)求f(1)的值； 解：令x＝y＝1， 得f(1)＋f(1)＝f(1)⇒f(1)＝0. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)判断函数在(0，＋∞)上的单调性，并证明； 解：f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 证明如下： 设x1＞x2＞0，令xy＝x1，x＝x2， 则y＝ ，所以y＞1，f(y)＜0， 由已知得f(x2)＋f ＝f(x1)⇒f(x1)－f(x2)＝f ＜0⇒f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)求函数f(x)在 上的最大值与最小值． 解：因为f(e)＝－1，令x＝y＝e，得f(e2)＝f(e)＋f(e)＝－2， 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢谢观看 本节到此结束 1．函数单调性的两个等价结论 (1)∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在区间I上单调递增． (2)∀x1，x2∈I且x1≠x2，有<0或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在区间I上单调递减． 3．(链接北师必修一P63－A组T3)y＝在[3，4]上的最大值为 A．2 B． C． D．4 y＝＝＝＋1，因为y＝＋1在[3，4]上单调递减，所以当x＝3时，y取得最大值，最大值为＋1＝2.故选A． 　　 (2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是 A．f(x)＝－ln x B．f(x)＝ C．f(x)＝－ D．f(x)＝3|x－1| 对于A，因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；对于B，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，故B错误；对于C，因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，因为f ＝3＝3＝，f(1)＝3|1－1|＝30＝1，f(2)＝3|2－1|＝3，显然f(x)＝3|x－1|在(0，＋∞)上不单调，D错误．故选C． f(x)＝a＝a， f(x1)－f(x2)＝a－a ＝， 法二：f′(x)＝＝＝－. 由题意，要使函数y＝有意义，需满足x2＋2x－24≥0，解得x≤－6或x≥4，又由t＝x2＋2x－24在(－∞，－6]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数y＝的单调递减区间是(－∞，－6]． 对点练2．已知函数f(x)＝ax＋(a，b∈R)，且f(1)＝2，f(－2)＝－. (1)求f(x)的解析式，并写出其定义域； 解：证明：任取x1，x2∈(0，1)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋－＝(x1－x2) ＝(x1－x2)·， y＝＝x－在[1，3]上单调递增，y＝ln(4－x)在[1，3]上单调递减，所以f(x)在[1，3]上单调递增，所以f(x)max＝f(3)＝－0＝. 2－3 因为f(－1)＝2，所以f(f(－1))＝f(2)＝2＋－3＝0，当x≥1时，f(x)＝x＋－3在[1， ]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，所以f(x)在x＝时取得最小值，即f(x)min＝2－3；当x＜1时，f(x)＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，所以f(x)在x＝0时取得最小值，即f(x)min＝1，综上，f(x)的最小值为2－3. 　　 (1)已知f(x)＝2x－，a＝f()，b＝f()，c＝f()，则 A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 易知f(x)＝2x－在(1，＋∞)上单调递增，又＞＞，故f()＞f()＞f()，即c＞b＞a.故选D． 当x1≠x2且x1，x2∈(1，＋∞)时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，可得f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且f(x)关于x＝1对称，所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，所以a＝f ＝f ，因为2<<e，所以f(2)>f >f(e)，即b>a>c.故选D． 　　(1)已知函数f(x)＝若对任意的正数t，恒有f(m＋t)>2f，则m的取值范围是 A． B． C． D． 当x≤0时，f(x)＝＝1－在(－∞，0]上单调递增；当x>0时，易知函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且0＝<20.即函数f(x)在(－∞， ＋∞)上单调递增，因为2f()＝2·2 ＝2 ＋1＝f(＋1)，f(m＋t)>2f ，所以m＋t> ＋1，即m>－t＋1＝－2＋，所以m>.故选C． 由f(x)＝x－log2(x＋2)知，f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数，且 f(－1)＝3，由f(a－2)＞3，得f(a－2)＞f(－1)，所以解得 0＜a＜1. x 函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝2－在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．故选D． 对于C，取f(x)＝x3，则f(x)满足题干的所有条件，此时f ＝－≠－1，所以C错误；对于D，由于x2－x＋2－1＝x2－x＋1＝2＋>0，且f(x)是R上的单调递增函数，故f>f(1)，所以D正确．故选ABD． C． D． 令μ＝g(x)＝ax－x3，则g′(x)＝a－3x2，当x> 或x<－时，g′(x)<0，当－<x<时，g′(x)>0，所以g(x)在和上单调递减，在上单调递增，当a>1时，y＝logaμ为增函数， 且函数f(x)在区间(0，1)内单调递增，所以a>1，－≤0, ≥1，解得a≥3，此时g(x)在(0，1)上单调递增，则g(x)>g(0)＝0恒成立．当0<a<1时，y＝logaμ为减函数，且函数f(x)在区间(0，1)内单调递增，所以 ≤0，0<a<1，无解．综上所述，a的取值范围是[3，＋∞).故选A． f(x)＝＝2＋，因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<≤1，所以f(x)∈(2，3]．故选C． f(x)＝在R上是增函数，则有解得－4≤a≤－2，所以f(x)在R上是增函数的充要条件是a∈[－4，－2]，则充分不必要条件要求是[－4，－2]的真子集，只有D选项满足，即[－3，－2] [－4，－2].故选D． 因为y＝2x在R上单调递增，所以f(x)＝在R上单调递减．因为f(x)＋f(2－x)＝＋＝＋＝，所以由f(x)＋f(a－2x)≤，得f(a－2x)≤－f(x)，即f(a－2x)≤f(2－x)，所以a－2x≥2－x，即a≥2＋x对于任意的x∈[2，3]恒成立，而(2＋x) max＝5，则a≥5，即实数a的取值范围是[5，＋∞)．故选A． 函数f(x)＝＝＝2－，对于A，f(x)的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，故A错误；对于B，f(x)在区间(－∞，－4)上单调递增，故B正确；对于C, f(x)＋f(－8－x)＝＋＝4，故C正确；对于D, 因为x∈{x|x>－4，x∈Z}，则f(x)的最小值为f(－3)＝－3，故D正确．故选BCD． 函数f(x)＝x＋在[1，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，f(x)min＝f(2)＝4，f(x)max＝f(6)＝，任意a，b，c∈[1，6]，不妨令f(a)≥f(b)≥f(c)，则f(b)＋f(c)≥2f(c)≥2f(x)min>f(x)max≥f(a)，即f(a)，f(b)，f(c)均能作为一个三角形的三条边长，A正确，B错误；取a＝b＝2，c＝2＋2，满足a，b，c∈[1，6]，则f(a)＝f(b)＝4，f(c)＝4，显然有[f(a)]2＋[f(b)]2＝[f(c)]2，即以f(a)，f(b)，f(c)为边的三角形是直角三角形，C错误，D正确．故选AD． 因为f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，所以2＝f(3)＋f(3)＝f(3×3)＝f(9)，则不等式f(x)＋f(x－8)<2等价为f[x(x－8)]<f(9)，因为函数f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以不等式等价为即 解得8<x<9，所以不等式的解集为(8，9)． 14．(新定义)[多选题]已知函数f(x)的定义域为A，若对任意x∈A，都存在正数M使得|f(x)|≤M总成立，则称函数f(x)是定义在A上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是 A．f(x)＝x＋ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝x|x＋1| 对于A，f(x)的定义域为(－∞，4]，令＝t(t≥0)，则x＝4－t2，所以y＝－t2＋t＋4＝－(t－)2＋，y∈，不存在正数M，使得|y|≤M总成立，所以f(x)不是有界函数；对于B，f(x)的定义域为{x|－3≤x≤1}，所以0≤－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4≤4，所以0≤f(x)≤2，所以存在M≥2，使得|f(x)|≤M，所以f(x)是有界函数；对于C，因为2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1≥1，所以0<≤5，所以存在M≥5，使得|f(x)|≤M，所以f(x)是有界函数；对于D，f(x)＝x|x＋1|＝由于x<－1时，f(x)单调递增，此时f(x)∈(－∞，0)，故不存在正数M，使得|f(x)|≤M总成立，所以f(x)不是有界函数．故选BC． 令x＝e，y＝，得f(1)＝f(e)＋f＝0，f＝1. 由(2)知函数f(x)在上单调递减，所以f(x)max＝f ＝1，f(x)min＝f(e2) ＝－2. $$