1.3 不等式性质（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§1.3　不等式性质 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 课程标准 1．梳理等式性质．　 2．理解用作差法比较两个实数的大小的理论依据．　 3．理解不等式的概念与性质，掌握不等式性质的简单应用． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 返回 理清主干知识 1．比较实数大小的基本事实 (1)文字叙述 如果a－b是正数，那么a____b；如果a－b等于0，那么a____b；如果a－b是负数，那么a____b.反过来也成立． (2)符号表示 a－b>0⇔a____b； a－b＝0⇔a____b； a－b<0⇔a____b. > ＝ < > ＝ < 2．不等式的性质 性质1　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质2　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质3　可乘性：a>b，c>0⇒________； a>b，c<0⇒ac<bc； 性质4　同向可加性：a>b，c>d⇒____________； 性质5　同向同正可乘性：(1)a>b>0，c>d>0⇒________； (2)a>b>0，c<d<0⇒________； (3)同正可乘方性：a>b>0⇒________(n∈N＋，n≥2)； 性质6　同正可开方性：a>b>0⇒________(n∈N＋，n≥2)． ac>bc a＋c>b＋d ac>bd ac<bd an>bn 微提醒　(1)在利用不等式的性质进行证明时，一定要注意性质的前提条件是否具备；(2)在应用不等式传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的，如a≤b，b＜c⇒a＜c. 记牢常用结论 练透教材典题 1．[多选题]下列说法错误的是 A．两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a<b三种关系中的一种 B．若a＞b，则ac2＞bc2 C．若 >1，则a＞b D．若a＝b，则ac＝bc √ √ 2．(链接北师必修一P25例1)设M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为________． M＞N M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0.故M ＞N. 3．(链接人A必修一P43T5)已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，则a＋2b的取值范围是__________． (－7，12) 因为－3＜b＜5，所以－6＜2b＜10，又－1＜a＜2，所以－7＜a＋2b＜12. ①中，当c＝0时不成立，故①不正确；②中，由分数性质知②正确；③中，因为a>b，－c<－d, 不满足不等式的同向可加性，故③不正确；④中，由倒数性质知④正确．综上可知②④正确． ②④ 返回 考点探究　精准突破 返回 返回 考点一 数(式)的大小比较 基础练 例1 √ (1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为 A．M<N B．M >N C．M≤N D．M ≥N 因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M >N.故选B． (2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为____________． eπ·πe＜ee·ππ 规律方法 比较大小常用的方法 提醒：含根号的式子作差时一般先乘方再作差．　　 对点练1．若a＜0，b＜0，则p＝ 与q＝a＋b的大小关系为 A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q √ 考点二 不等式的基本性质 综合练 例2 (1)(2024·山东枣庄模拟)若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是 A．a＋c>b－c B．(a－b)c2≥0 C．ac>bc D． >0 √ 若a＝2，b＝1，c＝－2，满足a>b，但a＋c＝0，b－c＝3，所以a＋c>b－c不成立，A选项错误；a>b，c2≥0，则有ac2≥bc2，即(a－b) c2≥0，B选项正确；a>b，当c≤0时，ac>bc不成立，C选项错误；当c2＝0时， ＝0，则D选项错误．故选B． √ √ 规律方法 解决不等式有关问题常用的两种方法 √ 对点练3．下列结论正确的是 A．若a>b，则a2>b2 B．若a<b，则 C．若a3>b3，则a2>b2 D．若lg a>lg b，则a>b 当a＝1，b＝－2时，a2<b2，则A错误．当a＝－1，b＝2时， ，则B错误．当a＝1，b＝－2时，a2<b2，则C错误．由lg a>lg b，得a>b>0，则D正确．故选D． 考点三 不等式性质的综合应用 多维练 例3 (1)已知b<a<－3b，则 的取值范围为 A．(0，3) B．[0，3) C．(3，＋∞) D．(1，3) √ (2)已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________． 因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2.由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18. (－4，2) (1，18) 变式探究 (变条件)若将本例(2)中条件改为－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围． 解：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)， 又因为－1<x＋y<4，2<x－y<3， 规律方法 　　利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． √ 对点练4．(2024·江苏南通模拟)已知a－b∈[0，1]，a＋b∈[2，4]，则4a－2b的取值范围是 A．[1，5] B．[2，7] C．[1，6] D．[0，9] 返回 课时测评 返回 返回 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2．(2024·北京朝阳一模)如果a>0>b，则下列不等式中正确的是 A．a3>b3 B．|a|>|b| C． D．ln (a－b)>0 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3．已知1≤a≤4，－1≤b≤2，则3a－b的取值范围是 A．[－13，1] B．[－1，8] C．[－1，13] D．[1，13] 因为1≤a≤4，－1≤b≤2，所以－2≤－b≤1，3≤3a≤12，所以1≤3a－b≤13.故选D． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6．(2024·山西阳泉二模)已知 m<n, 则下列结论正确的是 A．m2<n2 B． < C．2m<2n D．lg m<lg n 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 P<Q 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．(新设问)能够说明“设a，b，c是任意实数．若a2＋b2>c2，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为_________________________． 令a＝－3，b＝－1，c＝1，则a2＋b2＝10>1＝c2，此时a＋b＝－4<1，所以该命题是假命题． －3，－1，1(答案不唯一) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(数学建模)A杯中有浓度为a的盐水x克，B杯中有浓度为b的盐水y克，其中A杯中的盐水更咸一些．若将A，B两杯盐水混合在一起，其咸淡的程 度可用不等式表示为______________． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．[多选题]若a>0>b>c，则下列结论正确的是 A．ln(a－b)－ln(a－c)<0 B．b2a>c2a C．(a－b)c<(a－c)c D．a－c≥2 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(10分)(新定义)(2024·九省适应性测试) 以maxM表示数集M中最大的数．设 0<a<b<c<1，已知b≥2a或a＋b≤1，则max{b－a，c－b，1－c}的最小值为___． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(14分)若a＞b＞0，c＜d＜0，|b|＞|c|. (1)求证：b＋c＞0； 解：证明：因为|b|＞|c|，且b＞0，c＜0， 所以b＞－c，所以b＋c＞0. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：证明：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0. 又a＞b＞0，得a－c＞b－d＞0， 所以(a－c)2＞(b－d)2＞0， 因为a＞b，d＞c，可得a＋d＞b＋c， 所以a＋d＞b＋c＞0.② 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢谢观看 本节到此结束 > 1．有关倒数的性质 若ab>0，且a>b⇒<；若a<0<b⇒<；若a>b>0，d>c>0⇒>. 2．有关分数的性质 (1)真分数性质：若a>b>0，m>0⇒<； (2)假分数性质：若b>a>0，m>0⇒>. 其中真分数性质也常被称为“糖水不等式”，即“糖水加糖后，糖水更甜(浓度变大)；糖水析出糖后，糖水变淡(浓度变小)．” 4．(用结论)下列命题中，正确的是________(填序号)． ①若a<b，则ac2<bc2；②若b>a>0，则>； ③若a>b，c>d，则a－c>b－d；④若ab>0，a>b，则<. ＝＝π－e，又0＜＜1，0＜π－e＜1，所以π－e＜1，即＜1，即eπ·πe＜ee·ππ. ＋ p－q＝＋－a－b＝＋＝(b2－a2)·＝＝，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p<q.综上，p≤q.故选B． 对点练2．设a＞b＞0，比较与的大小． 解：因为a>b>0，所以>0，>0， 所以＝＝＝1＋>1， 故>. (2)[多选题](2024·河北衡水模拟)已知<<0，则下列不等式一定成立的有 A．>1 B．<0 C．< D．bc<ba 由<<0，得c≠0，当c>0时，得0>>，即a<b<0；当c<0时，得0<<，即a>b>0，综上a<b<0<c或a>b>0>c，上述两种情况均可得0<<1，故A选项错误；当a<b<0<c时，得<0，当a>b>0>c时，得<0，故B选项正确；令a＝－1，b＝－，c＝1，则＝2，＝0，从而得>，故C选项错误；由上述论证可知bc<0<ba恒成立，故D正确．故选BD． > < 因为b<a<－3b，所以b<0，则有<0，将不等式b<a<－3b的两边同时乘以可得：－3<<1，所以0≤<3.故选B． 则所以 即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)， 所以－<(x＋y)<10，1<(x－y)<， 所以－<(x＋y)＋(x－y)<， 即－<3x＋2y<，所以3x＋2y的取值范围为. 设4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n) a－(m－n) b，所以解得所以4a－2b＝3(a－b)＋(a＋b)，又a－b∈[0，1]，a＋b∈[2，4]，所以3(a－b)∈[0，3]，4a－2b∈[2，7].故选B． 1．(2024·吉林长春模拟)已知a>0，b>0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系为 A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小关系不确定 M2－N2＝(a＋b)－(a＋b＋2)＝－2<0，所以M<N.故选B． < 因为a>0>b，所以a3>0，b3<0，即a3>b3，故A正确；对于B，若a＝1，b＝－2，则|a|>|b|，故B不正确；对于C，－＝，由a>0>b，可得a－b>0，且ab<0，所以－＝>0，所以>，故C不正确；对于D，若a＝，b＝－，则ln (a－b)＝ln 1＝0，故D不正确．故选A． 4．(2024·湖北武汉模拟)下列不等式正确的是 A．若ac2≥bc2，则a≥b B．若>，则a<b C．若a＋b>0，c－b>0，则a>c D．若a>0，b>0，m>0，且a<b，则> 对于A，当c＝0，a＝－1，b＝2时满足ac2≥bc2，但a<b，所以A错误；对于B，当c＝－1，a＝－2，b＝－3时，满足>，但a>b，所以B错误；对于C，由不等式的基本性质易知a＋c>0，当a＝－1，b＝，c＝2时满足a＋b>0，c－b>0，但a<c，所以C错误；对于D，－＝＝>0，所以>，故D正确．故选D． 5．(2024·江西南昌二模)“x>y”的一个充分条件可以是 A．2x－y> B．x2>y2 C．>1 D．xt2>yt2 由x>y，即x－y>0，所以对选项A，当x＝0，y＝1时，2x－y＝>，但x>y不满足，故A不正确；选项B，由x2>y2，则x2－y2>0⇒(x＋y) (x－y)>0，则或故B项不正确；选项C，>1⇒－1>0⇒>0⇒y(x－y)>0，则或故C不正确；选项D，由xt2>yt2知t2>0，所以x>y成立，故D正确．故选D． 根据题意可知，不妨取m＝－1，n＝1，则m2＝1，n2＝1，此时不满足m2<n2，即A错误；易得＝1，＝－1，此时>，所以B错误；对于D，lg m无意义，所以D错误，由指数函数单调性可得，当m<n时，2m<2n，即C正确．故选C． 7．[多选题](2024·湖南长沙二模)已知实数a，b，c满足0<a<b<c，则下列说法正确的是 A．> B．> C．> D．ab＋c2>ac＋bc 因为0<a<b<c，所以有c－a>b－a>0，<，故A错误；>⇔b(a＋c) >a(b＋c)⇔bc>ac⇔b>a，故B正确；>⇔>⇔b>a，故C正确；ab＋c2>ac＋bc⇔c(c－b)－a(c－b)>0⇔(c－a)(c－b)>0，故D正确．故选BCD． 8．[多选题](2024·河北统考模拟预测)已知a>b>0>c，则下列不等式正确 的是 A．< B．a3c<b3c C．> D．lg >0 由题意，a>b>0>c，所以>0>，故A错误；a3>b3，又c<0，所以a3c<b3c，故B正确；a2>b2>0，所以<，故C错误；a－c>b－c>0，>1，所以lg >0，故D正确．故选BD． 9．[多选题](2024·湖南永州三模) 已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是 A．若b<a<0，则bc2<ac2 B．若b>a>0>c，则< C．若c>b>a>0，则> D．若a>b>c>0，则> 对于A，因为b<a<0，所以a－b>0，又c2≥0，所以(a－b)c2≥0，即bc2≤ac2，故A错误；对于B，－＝，因为b>a>0>c，所以c(b－a)<0，ab>0，所以<，故B正确；对于C，－＝，因为c>b>a>0，所以c－a>0，c－b>0，a－b<0，所以<，故C错误；对于D，因为－＝，因为a>b>c>0，所以a－b>0，b＋c>0，所以>，故D正确．故选BD． 10．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系为__________(用“<”“≤”“＝”连接两者的大小关系)． 依题意可知P>0，Q>0，a≥0，P2＝2a＋7＋2，Q2＝2a＋7＋2，所以P2<Q2，所以P<Q. b<<a 由题意，将A，B两杯盐水混合在一起后浓度为，因为－a＝，－b＝，A杯中的盐水更咸一些，所以a>b，所以b<<a. 13．(新情境)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是 A．若a>b，则< B．若a>b，则ac2>bc2 C．若a>b，则a2>b2 D．若a>b>c>0，则> 取a＝1，b＝－1，满足a>b，但>，故A错误；当c＝0时，若a>b，则ac2＝bc2，故B错误；取a＝1，b＝－1，满足a>b，但a2＝b2，故C错误；若a>b>c>0，则0<a－b<a－c，故>>0，所以>>0，故D正确．故选D． 对于A，因为a，b，c均为非零实数，且a>b>c，所以－b<－c，a－c>0，a－b>0，所以0<a－b<a－c，0<<1，所以ln <ln 1，即ln <0，所以ln (a－b)－ln (a－c)<0成立，故A正确；对于B，例如a＝1， b＝－2，c＝－3，b2a＝(－2)2＝4，c2a＝(－3)2＝9, 显然4<9，故B错误；对于C，取特殊值a＝3，b＝－1，c＝－2，满足非零实数a>0>b>c，此时(a－b)c＝(3＋1)－2＝，(a－c)c＝(3＋2)－2＝5－2＝，但(a－b)c>(a－c)c，故C不正确；对于D，a－c－2＝(a－b)＋(b－c)－2＝(－)2≥0，所以a－c≥2，故D正确．故选AD． 令b－a＝m，c－b＝n，1－c＝p，其中m，n，p>0，所以 ①若b≥2a，则1－n－p≥2(1－m－n－p)，故2m＋n＋p≥1. 令M＝max{b－a，c－b，1－c}＝max{m，n，p}，因此故4M ≥2m＋n＋p≥1，则M ≥. ②若a＋b≤1，则(1－n－p)＋(1－m－n－p)≤1，即m＋2n＋2p≥1，令M＝max{b－a，c－b，1－c}＝max{m，n，p}，则故5M ≥m＋2n＋2p≥1，则M ≥，当m＝2n＝2p时，等号成立．综上可知max{b－a，c－b，1－c}的最小值为. (2)求证：＜； 所以0＜＜.① 由①，②相乘得＜. (3)(新考法)在(2)的不等式中，能否找到一个代数式，满足＜所求式＜？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由． 解：因为a＋d＞b＋c＞0，0＜＜， 所以＜＜或＜＜. 所以，均为所求代数式．(只要写出一个即可) $$