精品解析：安徽省马鞍山市第二中学2023届高三上学期10月阶段性测试数学试题

马鞍山市第二中学2023届高三年级第一学期阶段性测试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数的单调性求集合A，根据正弦函数性质求集合B，进而求其交集. 【详解】由，， 所以. 故选：D 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知，先根据给的复数，写出其共轭复数，然后带入要求的式子直接计算即可. 【详解】由已知，，， 所以. 故选：D. 3. 已知平面向量，，求（ ） A. B. 40 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量运算法则得到，再利用模长公式进行计算. 【详解】由，得， ∴. 故选：A. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系可得，而由配凑法及两角和与差的余弦公式可得 ，代值化简即可. 【详解】，. 又 ，， ， 故选：B． 5. 已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系(为保鲜时间，为储存温度)，若该食品在冰箱中0的保鲜时间是144小时，在常温20的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40的保鲜时间是（ ） A. 16小时 B. 18小时 C. 20小时 D. 24小时 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件列出方程组，整体求得，然后整体代入计算即可. 【详解】依题意，，解得， 则当时，（小时）. 故选：A 6. 已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点A满足，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线得到焦点坐标和准线方程，设，利用抛物线的定义可得到，代入抛物线可得或，即可得到答案 【详解】解：由抛物线得，准线为， 设，则由抛物线的定义可得即， 将代入抛物线可得，即或， 当的坐标为时，则的斜率； 当的坐标为时，则的斜率； 故选：C． 7. 的展开式中项的系数为（ ） A. B. C. 80 D. 200 【答案】B 【解析】 【分析】将原式化为，结合的展开式通项，即可求含项的系数即可. 【详解】的展开式通项为，， 因为， 在中，令，可得， 在中，令，可得， 因此，展开式中项的系数为. 故选：B 8. 已知函数，若有且只有两个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】不等式可化为，利用导数分析函数的单调性，作函数，的图象，由条件结合图象列不等式可求的取值范围. 【详解】由题设，定义域为，则可得， 令，则， 所以时,，即递增， 时，，即递减， 当时，，当时，，当时，， 当时，，当，且时，， 而恒过，函数图象如下： 要使有且只有两个整数解， 则与必有两个交点， 若交点的横坐标为，则，， 所以，即， 所以的取值范围为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. （4）考查数形结合思想的应用． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】由题图可得，，故， 所以，又，即， 所以，又，所以，所以． 当时，，故函数关于对称，故A错误； 当时，，即函数关于对称，故B错误； 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数 的图象，故C错误； 当时，， 则当，即时，单调递减， 当，即时，单调递增， 因为，，， 所以方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是，故D正确. 故选：ABC． 10. 设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（ ） A. 数列的最小项为第项 B. C. D. 时，的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用数列的单调性结合不等式的基本性质可判断A选项的正误；根据已知条件列出关于 的不等式组，求出的取值范围，可判断B选项的正误；利用等差数列求和公式及等差数列下标和性质可判断C，D选项的正误. 【详解】对于C选项，由且，可知，故C正确； 对于B选项，由 ，可得 ，故B正确； 对于D选项，因为，， 所以，满足的的最大值为，故D错误； 对于A选项，由上述分析可知，当且时， ； 当且时，， 所以，当且时，， 当且时，， 当且时，. 由题意可知单调递减， 所以当且时，， 由题意可知单调递减，即有， 所以， 由不等式的性质可得， 从而可得， 因此，数列的最小项为第 项，故A正确. 故选：ABC. 11. 点分别是正方体的棱的中点，如图所示，则下列选项中正确的有（ ） ①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多只有三个面是直角三角形； ②过点的截面是正方形； ③点在直线上运动时，总有； ④点在直线上运动时，三棱锥的体积是定值； ⑤点是正方体的面内的到点和的距离相等的点，则点的轨迹是一条线段. A. ①③ B. ③④ C. ②⑤ D. ③⑤ 【答案】BD 【解析】 【分析】以三棱锥为例判断①，根据四边形的形状判断②，根据棱锥的体积公式判断③；根据平面判断④，根据平面，且，判断⑤． 【详解】解：对于①，以三棱锥为例，则此三棱锥的4个面均为直角三角形，故①错误； 对于②，连接， 因为点分别的棱的中点，所以， 所以四边形即为截面， 又，所以过点、、的截面为矩形，故②错误； 对于③，连接， 因为平面，平面， 所以， 因为分别为的中点，所以， 所以，所以， 所以， 所以， 又平面， 所以平面， 当在直线上运动时，平面， 所以，故③正确； 连接，则四边形为矩形，当在直线上运动时，△的面积为定值，到平面即平面的距离为定值， 所以的体积是定值，故④正确； 对于⑤， 因为平面，且， 所以线段上的点到点和的距离相等， 所以的轨迹是线段，故⑤正确． 故选：BD． 12. 定义区间[a，b]，（a，b），（a，b]，[a，b）的长度为b－a．如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为m（其中，e为自然对数的底数），那么称这个函数为“m函数”．则下列说法正确的是（　　） A. 函数不是“m函数” B. 函数是“m函数”，且 C. 函数是“m函数” D. 函数是“函数”，且 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数求得的单调递增区间，结合“函数”的定义来判断出正确答案. 【详解】对于A，的定义域为， ∵，∴，∴函数f（x）在上单调递增， 显然函数不是“m函数”，故A正确． 对于B，的定义域为，， 当时，函数g（x）单调递增，故只需， 构造函数，在上递减， ，， 所以存在，使，即， 所以在区间有， 所以的单调递增区间为，所以是“函数”，B选项正确. 对于C，函数的定义域为，， 显然当时，，此时函数单调递增， 故函数不是“m函数”，故C错误． 对于D，函数的定义域为， 当时，单调递增，故只需， 构造函数， 所以在区间递增；在区间递减. ， 当时，， ， 所以存在，使，即， 所以在区间， 即的单调递增区间为，所以是“函数”，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】当一次求导无法判断函数的单调性时，可利用构造函数法，通过第二次求导来研究函数的单调性.在多次求导时，要注意导函数和原函数间的对应关系. 三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13. 曲线在点处的切线方程为__________________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据导数的几何意义，求得切线的斜率k，再求得，可得切点的坐标，代入公式，即可求得切线方程. 【详解】由题意得， 所以在点处切线的斜率， 又，即切点为， 所以切线方程为，整理可得. 故答案为： 14. 设是双曲线的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【详解】根据双曲线的对称性，不妨设，短轴端点为， 从而可知点在双曲线上， 所以，即，所以. 15. 有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为______． 【答案】96 【解析】 【分析】由分类加法计数原理得到所标数字互不相邻的种数，由排列组合得到颜色不同的种数，最后由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】从1、2、3、4、5、6中任取3个标号不同且3个标号数字互不相邻的取法有：135、136、146、246，共4种； 3个颜色互不相同的取法有：种；所以满足题意的取法共有：种. 故答案为：96. 16. 已知的内角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作，则，由，，可得，可求，令，可得，利用二次函数的性质可求在，单调递，在，上单调递增，可得，从而得解． 【详解】解：由于，作，则， 因为，，可得， 所以， 令，可得， 所以， 令，可得， 由，可得在单调递减，在上单调递增， 所以， 综上． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：利用角间关系构造三角形，明确各边之间的大小关系，借助导数处理最值问题. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在数列中， . （1）求，，； （2）求数列的前2n项和. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据通项公式求出前3项即可. （2）由题意可知，数列奇数项为等差数列，偶数项为等比数列，利用分组求和即可，注意对项数奇偶的讨论. 【小问1详解】 因为， 所以，，. 【小问2详解】 因为，所以是以1为首项，4为公差的等差数列. 是以4为首项，4为公比的等比数列. 所以 . 18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设. （1）求角B； （2）若，且的面积等于，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理的边角互化以及辅助角公式即可求解. （2）根据三角形的面积公式可得，再利用余弦定理可得，代入即可求解. 【详解】解：（1）因为， 所以. ∵，∴， ∴，∴， ∴，∴. （2）因为，∴，∴. 又∵， ∴. ∴. 19. 如图多面体中，四边形是菱形，，平面，， （1）证明：平面平面； （2）在棱上有一点，使得平面与平面的夹角为，求点到平面的距离. 【答案】（1） 取的中点，连接交于，连接，， 因为是菱形，所以，且是的中点， 所以且，又，， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以， 又因为，平面， 所以平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接交于，连接，，证明，利用平面，证明平面，从而平面平面； （2）建立平面直角坐标系，设，求出二面角，再求得的值，即可得到的坐标，再利用空间向量法求出点到面的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取的中点，由四边形是菱形，，则， 是正三角形，，，又平面， 所以以为原点，，，为坐标轴建立空间直角坐标系， 设在棱上存在点使得平面与平面的夹角为， 则，，，，，， 则设，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为，，， 则，即，令，， 得 平面的法向量可以为， ，解得， 所以，则 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得， 所以点到平面的距离. 20. 某大学为了了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下统计数据： 2015 2016 2017 2018 2019 年份x 1 2 3 4 5 报考人数y 30 60 100 140 170 （1）经分析，与存在显著的线性相关性，求关于的线性回归方程并预测年（按计算）的报考人数； （2）每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布，根据往年统计数据，，，录取方案：总分在分以上的直接录取；总分在之间的进入面试环节，录取其中的；低于分的不予录取，请预测年该专业录取的大约人数（最后结果四舍五入，保留整数）． 参考公式和数据：，，． 若随机变量，则，，． 【答案】（1），人 （2）人 【解析】 【分析】（1）根据已知条件以及参考数据，利用公式求解即可. （2）根据已知，利用正态分布以及频数的计算公式进行求解. 【小问1详解】 由题可知： ，， ，， ． 关于的线性回归方程为， 当2020年即时，人， 即预测2020年的报考人数为208人. 【小问2详解】 研究生的考试成绩大致符合正态分布，， 则，, 直接录取人数为人, ，之间的录取人数为人， 预测2020年该专业录取的大约人数是人． 21. 已知点在椭圆上，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设，，，是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点.证明：是等腰三角形. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据所给条件可列方程，即可得解； （2）设直线的方程为：，由，可得：，即可求得，，进而求得，所以直线的方程为，分别联立 和 求得坐标即可得解. 【小问1详解】 根据题意可得，所以， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 证明：由（1）可得，， 直线的方程为， 直线的方程为， 设直线的方程为：， 由，可得：， 由， 所以， 即，， ， 所以直线的方程为， 由 得， 由得， 又的中点的坐标为， 所以轴，的中线， 所以是等腰三角形. 22. 已知函数. （1）求函数在上的极值； （2）若对，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值为，极大值为 （2） 【解析】 【分析】（1）求函数的导函数，令，可得或，分析函数的单调性，可得函数的极值； （2）将条件转化为在上单调递增，由此可得在上恒成立，然后通过分类讨论求的取值范围． 【小问1详解】 由已知可得，， 令可得，，， 所以或， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 故当时， 取极小值，极小值为， 当时， 取极大值，极大值为； 【小问2详解】 由对称性，不妨设， 则即为. 设，则在上单调递增， 故在上恒成立， 设， 则，，解得. ，，. ①当时，， 故当时，，递增； 当时，，递减； 此时，， 在上单调递增，故，符合条件. ②当时，同①当时，递增； 当时，递减； ∵，， ∴由连续函数零点存在性定理及单调性知，，. 于是，当时，，单调递增； 当时，，单调递减. ∵，， ∴，符合条件 综上，实数a的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第二小问的关键在于将条件转化为在上单调递增，进一步转化为在上恒成立，再结合不等式恒成立问题的处理方法求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马鞍山市第二中学2023届高三年级第一学期阶段性测试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，求（ ） A. B. 40 C. 4 D. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系(为保鲜时间，为储存温度)，若该食品在冰箱中0的保鲜时间是144小时，在常温20的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40的保鲜时间是（ ） A. 16小时 B. 18小时 C. 20小时 D. 24小时 6. 已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点A满足，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 的展开式中项的系数为（ ） A. B. C. 80 D. 200 8. 已知函数，若有且只有两个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 10. 设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（ ） A. 数列的最小项为第项 B. C. D. 时，的最大值为 11. 点分别是正方体的棱的中点，如图所示，则下列选项中正确的有（ ） ①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多只有三个面是直角三角形； ②过点的截面是正方形； ③点在直线上运动时，总有； ④点在直线上运动时，三棱锥的体积是定值； ⑤点是正方体的面内的到点和的距离相等的点，则点的轨迹是一条线段. A. ①③ B. ③④ C. ②⑤ D. ③⑤ 12. 定义区间[a，b]，（a，b），（a，b]，[a，b）的长度为b－a．如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为m（其中，e为自然对数的底数），那么称这个函数为“m函数”．则下列说法正确的是（　　） A. 函数不是“m函数” B. 函数是“m函数”，且 C. 函数是“m函数” D. 函数是“函数”，且 三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13. 曲线在点处的切线方程为__________________. 14. 设是双曲线的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为______． 15. 有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为______． 16. 已知的内角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在数列中， . （1）求，，； （2）求数列的前2n项和. 18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设. （1）求角B； （2）若，且的面积等于，求的值. 19. 如图多面体中，四边形是菱形，，平面，， （1）证明：平面平面； （2）在棱上有一点，使得平面与平面的夹角为，求点到平面的距离. 20. 某大学为了了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下统计数据： 2015 2016 2017 2018 2019 年份x 1 2 3 4 5 报考人数y 30 60 100 140 170 （1）经分析，与存在显著的线性相关性，求关于的线性回归方程并预测年（按计算）的报考人数； （2）每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布，根据往年统计数据，，，录取方案：总分在分以上的直接录取；总分在之间的进入面试环节，录取其中的；低于分的不予录取，请预测年该专业录取的大约人数（最后结果四舍五入，保留整数）． 参考公式和数据：，，． 若随机变量，则，，． 21. 已知点在椭圆上，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设，，，是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点.证明：是等腰三角形. 22. 已知函数. （1）求函数在上的极值； （2）若对，都有成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $