专题2.2 有理数的运算（全章常考知识点分类专题）（基础练）-2024-2025学年七年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题2.2 有理数的运算（全章常考知识点分类专题）（基础练） 【考点目录】 【考点1】科学记数法与近似数 【考点2】倒数 【考点3】乘方中的符号化简 【考点4】有理数加法运算律 【考点5】有理数乘法运算律 【考点6】有理数加法运算 【考点7】有理数减法运算 【考点8】有理数加减运算中的简便运算 【考点9】有理数的乘除运算 【考点10】有理数乘方的应用 【考点11】有理数的混合运算 【考点12】有理数运算综合题 一、单选题 【考点1】科学记数法与近似数 1．（2024·贵州贵阳·一模）北京时间2023年12月10日09时58分，我国在西昌卫星发射中心使用长江二号丁运载火箭成功将遥感三十九号卫星发射升空，已知卫星绕地球飞行一圈的空间轨迹大约为42660km．则数据42660用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南·模拟预测）现有一个整数70……，后面的0被墨汁盖住了，已知这个整数用科学记数法表示为的形式，其中，则原数中“0”的个数为（    ） A．4 B．6 C．5 D．7 【考点2】倒数 3．（2023·湖南娄底·模拟预测）2023的倒数的相反数是（   ） A． B． C． D．2023 4．（23-24七年级上·四川泸州·期末）有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数，则的值是（　　） A． B．1 C．0 D． 【考点3】乘方 5．（2024·贵州遵义·三模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数（天），那么图2表示孩子出生后的天数是（    ）天． A．520 B．515 C．513 D．500 6．（22-23六年级上·山东威海·期中）下列各数：、0、、、、、、中，负数有m个，非负整数有n个，则（    ） A．4 B．3 C．7 D．5 【考点4】有理数加法运算律 7．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）在计算时，下面四种方法运算过程正确且比较简便的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24六年级上·山东淄博·期中），上面的计算所运用的运算律是（    ） A．交换律 B．结合律 C．先用结合律，再用交换律 D．先用交换律，再用结合律 【考点5】有理数乘法运算律 9．（22-23七年级上·浙江衢州·期中）算式运用了（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．分配律 10．（23-24七年级上·福建福州·期中）对式子进行简便计算，如图所示，运用到的运算律①是（   ）． A．乘法交换律 B．乘法分配率 C．乘法结合律 D．加法交换律 【考点6】有理数加法运算 11．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，且，则的值等于（　　） A．29或1 B．或1 C．或 D．29或 12．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列各组运算结果符号为负的有（    ） ，，， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点7】有理数减法运算 13．（19-20七年级上·山东滨州·期末）计算：（　　） A． B．5 C． D．1 14．（2022·四川达州·模拟预测）如图，点，，，在数轴上，点，点表示的数分别是和，且满足，则线段的中点所表示的数是（   ）    A． B． C． D． 【考点8】有理数加减运算中的简便运算 15．（2023·河北张家口·模拟预测）能与相加得0的是（    ） A． B． C． D． 16．（22-23七年级上·河南南阳·阶段练习）计算时，运算律用得最为恰当的是（    ） A． B． C． D． 【考点9】有理数的乘除运算 17．（24-25七年级上·山东聊城·开学考试）同学们在计算时，出现了下面4种不同的计算方法，其中正确的是（      ） A． B． C． D． 18．（20-21七年级上·四川成都·期中）计算：32÷（﹣4）×的结果是（　　） A．﹣16 B．16 C．﹣2 D．﹣ 【考点10】有理数乘方的应用 19．（2024·云南昆明·模拟预测）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（    ） A．6 B．4 C．2 D．8 20．（22-23七年级上·内蒙古兴安盟·期中）拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成许多细的面条，如图所示，这样捏合到第8次后，就可以拉出（    ）根细面条． A．16 B．32 C．64 D． 【考点11】有理数的混合运算 21．（22-23七年级上·江苏南通·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为3，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 22．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）《辞海》注释：“幻方亦称魔方”即纵横图（注：南北曰纵，东西曰横），到现在仍是很流行的数学游戏．如图所示，将数字1，2，3，…，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方：一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记n阶幻方的一条对角线上的数字之和为（如），则的值是（   ） 4 9 2 3 5 7 8 1 6 A．505 B．500 C．510 D．515 【考点12】有理数运算综合题 23．（2024七年级上·全国·专题练习）将式子中的除法转化为乘法运算，正确的是（　　） A． B． C． D． 24．（2024·河南开封·二模）截至2023年6月23日，国家智慧教育公共服务平台累计浏览量达260亿次，访客量超19.2亿人次，访问用户覆盖200多个国家和地区．数据“260亿”可表示为，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是一个10位数 D．是一个11位数 2、 填空题 【考点1】科学记数法与近似数 25．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）据初步统计去年哈尔滨冰雪大世界平均每天接待游客50000人次，用科学记数法表示按照这样计算15天将接待游客人次为 ． 26．（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）国家信息中心大数据监测显示，1月23日武汉宣布暂时关闭机场、火车站等离汉通道的一周时间里，从外省（区、市）进入到武汉的人次，却在持续攀升，共计达到了十二万三千八百一十二人次，横线上的数写作 ，用“万”作单位保留一位小数约是 万． 【考点2】倒数 27．（18-19七年级·浙江杭州·期中）若，则的倒数是 . 28．（22-23七年级上·宁夏银川·期中）若、互为相反数，为最大的负整数，的倒数等于它本身，则的值是 ． 【考点3】乘方 29．（22-23六年级上·山东威海·期中）比较下列a，b，c，d的大小，用“”连接 ． ，，，． 30．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： ， ， ． 【考点4】有理数加法运算律 31．（23-24七年级上·福建南平·阶段练习）对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是 ．（请填写正确说法的序号） ①；②；③若，则；④该运算满足交换律． 32．（23-24七年级上·全国·课堂例题）（1）加法交换律： ， 例： ； （2）加法结合律：( )， 例：[ ]． 【考点5】有理数乘法运算律 33．（2022七年级·全国·专题练习）乘法的结合律： ． 34．（18-19七年级上·全国·课后作业）为了使计算简便，可以根据乘法交换律和结合律把写成 ． 【考点6】有理数加法运算 35．（2024·甘肃·模拟预测）规定：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，表示最接近x的整数．例如：，，．按此规定： ． 36．（2024·陕西西安·模拟预测）实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则 0（填“”“”或“”） 【考点7】有理数减法运算 37．（23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习）若“方框”表示运算： 则“方框”的运算结果是 38．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）计算： ． 【考点8】有理数加减运算中的简便运算 39．（21-22七年级上·广东江门·阶段练习）计算： ． 40．（22-23七年级上·广东江门·期中）计算： ． 【考点9】有理数的乘除运算 41．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）计算： ． 42．（18-19七年级上·山东日照·阶段练习）________． 【考点10】有理数乘方的应用 43．（22-23七年级上·辽宁铁岭·期末）一根长的小木棒，如果第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，截第四次后，剩下的小木棒的长度为 ． 44．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）一般地，n个相同因数a相乘：记为，如，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为（即），那么 ． 【考点11】有理数的混合运算 45．（22-23七年级上·广西防城港·期中）定义一种新运算：，如：，则 ． 46．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【整数、小数的综合应用】有资料表明，某地区海拔每增加100米，气温下降，数学兴趣小组的同学由此想出了测量山峰高度的办法：一名同学在山脚，一名同学在山顶，他们在某天上午9时整测得山脚和山顶的气温分别为和，由此可推算出该山峰高 米． 【考点12】有理数运算综合题 47．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【火车过桥】四、五、六三个年级各有100名学生去春游，都分成2列（竖排）并列行进．四、五、六年级的学生相邻两行之间的距离分别为1米、2米、3米，年级之间相距5米．他们每分钟都走90米，整个队伍通过某座桥用了4分钟，那么这座桥长 米． 48．（23-24七年级下·四川成都·开学考试）一个物流港有6个货站，用4辆同样载重的汽车经过这6个货站组织循环运输．每个货站所需要的装卸工人数如图．为了节省人力，可安排流动的装卸工人随车到任何一个货站装卸．在最优的安排下使物流港装卸工总人数最少，则是 人． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A D B C D D D C 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 A D D A A B C C A D 题号 21 22 23 24 答案 B A B D 1．C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，即可得到答案． 【详解】解：42660用科学记数法表示为． 故选：C． 2．D 【分析】本题主要考查了绝对值较大的科学记数法．（其中正整数）表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向右移动位所得的数，据此解答即可． 【详解】解：∵这个整数用科学记数法表示为的形式，其中， ∴ ∴这个数为70000000， 即原数中“0”的个数为7． 故选：D. 3．A 【分析】本题考查了倒数的定义、相反数的定义．利用倒数的定义“乘积是1的两个数互为倒数，零没有倒数”、相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”即可得． 【详解】解：2023的倒数是， 的相反数是， 故选：A． 4．D 【分析】本题考查了求代数式的值，乘方运算，先根据倒数和相反数的性质求出a，b的值，再代入解析式求解即可． 【详解】∵有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数， ∴， 当时，原式， 当时，原式， 综上，的值是， 故选：D． 5．B 【分析】此题考查了用数字表示事件，以及有理数的乘方，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据图1的计算方法，表示出图2中的天数，计算即可得到结果． 【详解】解：根据图1的方法得： 图2中孩子出生后的天数是（天． 故选：B 6．C 【分析】先分别化简或计算各数，再根据有理数的分类作答即可． 【详解】解：∵，，，，，， ∴负数有，，，， 非负整数有，0，， ∴，， ∴； 故选C 【点睛】本题考查的是有理数的乘方运算，绝对值的含义，化简双重符号，有理数的分类，掌握基础知识是解本题的关键． 7．D 【分析】有理数的加减混合运算，运用加法交换律和结合律，将同分母的结合即可简便计算． 【详解】解：． 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的加减法混合运算，涉及加法交换律和加法结合律的运用，注意到题目的特征是解决问题的关键． 8．D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据加法交换律和结合律进行计算，即可解答． 【详解】解：， 上面的计算所运用的运算律是先用交换律，再用结合律， 故选：D． 9．D 【分析】乘法分配律的概念为：两个数的和乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数相乘，再把两个积相加，得数不变，用字母表示：，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，算式运用了乘法分配律， 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法分配律，熟知有理数乘法分配律的定义是解题的关键． 10．C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，根据计算过程结合有理数的乘法运算律进行判断即可得出答案，熟练掌握有理数的乘法运算律是解此题的关键． 【详解】解：，上面的计算中运用到的运算律是乘法结合律， 故选：C． 11．A 【详解】本题考查了绝对值的意义，以及有理数的加法，根据题意，利用绝对值的代数意义确定出a与b的值，即可求出的值． 【解答】解：∵，且， ∴或， 则或1． 故选：A． 12．D 【分析】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 计算各项得到结果，即可做出判断． 【详解】解：， ， ， ， 则结果符号为负的有4个． 故选：D． 13．D 【分析】此题主要是考查了有理数的减法法则，能够熟练运用减去一个数等于加上这个数的相反数是解答此题的关键． 根据有理数的减法法则进行计算可得结果． 【详解】解： 故选：D． 14．A 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，两点中点计算公式，先根据两点距离计算公式得到，再根据线段之间的关系求出，，进而得到，再分别求出点B和点C表示的数即可得到答案． 【详解】解：∵点，点表示的数分别是和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A表示的数为， ∴点B表示的数为，点C表示的数为， ∴线段的中点所表示的数是， 故选：A． 15．A 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，根据互为相反数的两个数相加得0即可求出这个数． 【详解】解：∵的相反数是， ∴能与相加得0的是， 故选：A． 16．B 【分析】根据有理数的加减运算，凑整，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的加减中运算中的简便运算，掌握有理数的运算律以及运算法则是解题的关键． 17．C 【分析】本题考查乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键. 根据乘法分配律计算即可. 【详解】解： 故选：C. 18．C 【分析】根据有理数乘除法的运算法则计算可求解． 【详解】解：原式=﹣8× =﹣2． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的乘除，解题关键是熟练掌握有理数乘除法的法则，准确运用法则进行计算． 19．A 【分析】本题主要考查数字的变化规律，乘方运算．根据尾数的循环性得出结论即可， 【详解】解：由题意知，个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现， ∵， ∴的个位数字与相同，为6， 故选：A． 20．D 【分析】本题主要考查有理数的乘方，能够根据题意列出式子是解题的关键．由图可知，第一次捏合是，即，第二次是，即，第三次是，即，即可得到答案． 【详解】解：第一次捏合后面条根，即根， 第二次捏合后面条根，即根， 第三次捏合后面条根，即根， 故第8次捏合后面条为根， 故选D． 21．B 【分析】本题考查了流程图与有理数的运算，根据题目所给出的运算程序进行计算得出规律即可．熟练掌握有理数的相关运算法则，根据运算结果得出数字的变化规律是解本题的关键． 【详解】解：输入，是奇数，则输出． 输入，是偶数，则输出． 输入，是奇数，则输出． 输入，是偶数，则输出． 输入，是奇数，则输出． 输入，是偶数，则输出． 输入，是偶数，则输出． 输入，是偶数，则输出． 输入，是奇数，则输出 依次类推，输出分别以、、、、、循环． ． 故第次输出的结果是． 故选：B． 22．A 【分析】本题考查有理数混合运算的应用．根据题意，计算10阶幻方中，所有数字的和，再分析10阶幻方的特点、性质，计算可得答案． 【详解】解：根据题意，时，需要将100个正整数1，2，3，，100，填入的方格内， 全部数字的和为， 而幻方中，每一行的数字的和相等，则每一行数字之和为， 又由幻方中，每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，故． 故选：A． 23．B 【分析】本题主要考查了把有理数乘除混合运算统一为乘法运算，根据有理数的乘除法法则求解即可． 【详解】解：把统一为加法运算为， 故选：B． 24．D 【分析】本题考查科学记数法，有理数的运算，根据科学记数法和有理数的运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误； B、，原选项计算错误； C、是一个11位数，原选项错误； D、是一个11位数，正确； 故选D． 25． 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 26． 123812 12.4 【分析】先把各数写在各所在的数位上，然后把百位上的数字8进行四舍五入即可．本题考查了近似数：“精确度”是近似数的常用表现形式． 【详解】解：十二万三千八百一十二写作123812，用“万”作单位保留一位小数约是12.4． 故答案为：123812；12.4． 27． 【分析】先根据非负数的性质求出a和b的值，然后代入计算即可. 【详解】∵， ∴a-3=0，b+2=0， ∴a=3，b=-2， ∴=， ∴的倒数是. 故答案为：. 【点睛】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零.初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方. 28．或1． 【分析】由题意可得，，，从而可求解．本题主要考查相反数，倒数，有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解：、互为相反数，为最大的负整数，的倒数等于它本身， ，，， 当时， ； 当时， ． 故答案为：或1． 29． 【分析】本题考查的是有理数的乘方的运算，有理数的大小比较，先计算各数，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ，， 而， ∴； 故答案为： 30． 4 【分析】本题考查了去括号法则、有理数的乘方运算，正确计算出结果是解题的关键．根据有理数的乘方法则、去括号法则计算即可． 【详解】解：，，， 故答案为：，4，． 31．②③ 【分析】根据新定义逐项进行分析即可． 【详解】解：①∵， ∴， 故①错误； ∵，； ∴， 故②正确； ∵，，， ∴； 故③正确； ，， 只有当时，， ∴该运算满足交换律不成立． 故④错误， 故答案为：②③ 【点睛】此题考查了新定义运算，读懂题意是解题的关键． 32． 【分析】（1）由有理数的加法交换律即可以得解； （2）由有理数的加法结合律即可得解． 【详解】解：（1）； ． 故答案为：；． （2）； ． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法的交换律和结合律等知识点，解题时要熟练掌握运算律并准确计算是关键． 33．三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等 【解析】略 34．　 【分析】根据题意可知0.25×4和，这样比较方便计算，即可解答 【详解】先运用乘法交换律交换和4的位置，再运用乘法结合律先算0.25×4和的积，最后把所得的积相乘． 【点睛】此题考查运算定律与简便运算，难度不大 35．5 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算．根据新定义计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ． 故答案为：5 36． 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的含义，相反数的含义，有理数的加法运算，掌握，在数轴上对应点的位置得出，互为相反数是关键．由，表示不同的数，可得互为相反数，从而可得答案． 【详解】解：∵，表示不同的数， ∴互为相反数， ∴且， ∴， 故答案为： 37． 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则，理解题意，正确列出算式是解题关键．根据定义运算列式，然后根据有理数加减混合运算法则进行计算求解． 【详解】解：由题意可得： 故答案为：． 38． 【分析】此题考查了有理数的混合运算和绝对值，准确化简绝对值是解题的关键．根据绝对值的意义化简后再进行加减法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 39． 【分析】根据有理数加减的运算法则求解即可． 【详解】 ． 【点睛】本题主要考查有理数的加减运算及简便算法，牢记有理数加减的运算性质是解题的关键． 40． 【分析】根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 41． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先将除法化为乘法，再运用乘法分配律的逆运算进行计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ， 故答案为： 42． 【分析】首先确定符号，再将除法改成乘法，根据乘法计算法则进行计算即可得出答案． 【详解】原式=． 【点睛】本题主要考查的是有理数的乘除法计算法则，属于基础题型．明确计算法则是解决这个问题的关键． 43．/ 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，列出正确的算式是解本题的关键．根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解析：解：根据题意得：， 则截第四次后，剩下的小木棒的长度为． 故答案为：． 44．14 【分析】本题主要考查定义新运算，有理数的乘方运算，由，，可求出，，继而可计算出结果． 【详解】解：，， ，， ， 故答案为：14． 45． 【分析】本题考查新定义及有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．根据定义的新运算列式计算即可． 【详解】解：由可得： ． 故答案为：． 46．300 【分析】该山峰的高度（山脚的温度山顶的温度），正确计算即可．本题考查了有理数的加减乘除混合运算的实际应用，解决本题的关键是明确数量关系，并能正确计算． 【详解】解： （米） 答：该山峰高300米． 故答案为：300． 47．56 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，100名学生分为两列，则每列50名学生，总共会产生49行，据此求出队伍的长度，再用4分钟所走的路程减去队伍的长度即可得到桥长． 【详解】解：， 米， 米， ∴这座桥长56米， 故答案为：56． 48． 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用，根据题意可分为5种情况进行分析即可． 【详解】解：如果没有人跟车，需要（人）， 如果每辆车配3人，此时共有装卸工（人）， 如果每辆车配4人，此时共有装卸工（人）， 如果每辆车配5人，此时共有装卸工（人）， 如果每辆车配6人，此时共有装卸工（人）， 可以发现最少需要人， 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$