专题2.1 有理数的运算（全章知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题2.1 有理数的运算（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】有理数的加法 1、加法法则： (1)同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加； (2)异号两数相加，绝对值相等时何为0，绝对值不等时，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； (3)一个数同0相加，仍得这个数。 2、运算律：交换律：a+b=b+a 结合律：（a+b）+c=a+（b+c） 【知识点二】有理数的减法 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 特别注意：将减法转化成加法时，注意两变：一是减号变加号，二是减数变为其相反数。 【知识点三】有理数的乘法 1、有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘，积仍为0。 特别注意：（1）如果两个数互为倒数，则它们的乘积为1；（2）※乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。 2、有理数乘法运算步骤：①先确定积的符号；②求出各因数的绝对值的积；乘积为1的两个有理数互为倒数。 特别注意：①零没有倒数；②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。带分数要先化成假分数；③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 【知识点四】有理数的除法 有理数除法法则： ①两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 ②0除以任何非0的数都得0。0不可作为除数，否则无意义。 ( 指数 底数 幂 )【知识点五】有理数的乘方 特别注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如5=；②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。 乘方的运算性质： ①正数的任何次幂都是正数； ②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ③任何数的偶数次幂都是非负数； ④1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0； ⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1； ⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。 【知识点六】有理数混合运算法则： 法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。②如果有括号,先算括号里面的。 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】有理数的加减运算 【例1】（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【变式1】（23-24七年级上·河南郑州·期末）已知有理数在数轴上的对应点如图，请化简，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（20-21七年级上·广东深圳·阶段练习）计算： ． 【题型2】有理数的乘除运算 【例2】阅读下面的解题过程： 计算： 解：原式=第一步 第二步 第三步 解答下列问题： (1)上面的解题过程中有两处错误：第一处错误是第______步，第二处错误是______步． (2)写出正确求解原式的计算过程． 【变式1】（20-21七年级上·四川成都·期中）计算：32÷（﹣4）×的结果是（　　） A．﹣16 B．16 C．﹣2 D．﹣ 【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： ． 【题型3】有理数的加减乘除混合运算 【例3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) (3) 【变式1】（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）图中，能说明“”与“”相等的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【变式2】（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）计算：( ) 【题型4】有理数的乘方及应用 【例4】（22-23七年级上·宁夏吴忠·期中）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：    (1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成_______个细胞； (2)这样的一个细胞经过n（n为正整数）小时后可分裂成_______个细胞． 【变式1】（2024·贵州·模拟预测）《2024年贵州省政府工作报告》中指出，省属高校“一校一址”布局调整基本完成．新增高等教育学位63500个，进入普及化发展阶段．数据63500用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21七年级上·广东深圳·期中）已知|m＋3|与(n－2)2互为相反数，那么mn等于 ． 【题型5】含乘方的加减乘除混合运算 【例5】（22-23七年级上·四川达州·期末）计算． (1)； (2)． 【变式1】（23-24六年级下·上海黄浦·期中）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）在远古时期，人们通常通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是 天． 【题型6】用简便方法进行有理数运算 【例6】（23-24七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）计算：有简便算法的要简便算 (1)； (2)． 【变式1】（23-24七年级上·浙江·期末）用简便方法计算：，其结果是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式2】（2024七年级上·江苏·专题练习）在数学中，为了简便计算记，，，，．则 ． 【题型7】有理数加减混合运算的应用 【例7】（24-25七年级上·重庆·开学考试）某天爸开车送小红到距学校1000米的地方后，让她步行去学校，结果小红这天从家到学校用了22.5分钟，若小红骑自行车从家去学校需40分钟，她平时每分钟步行80米．骑自行车比爸爸开车平均每分钟慢800米，求小红家到学校的距离？ 【变式1】（23-24七年级下·四川成都·开学考试）由若干名同学站成一个中空的三层方阵，已知最外层的每边上有人，这个方阵中一共有（    ）名同学． A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）有数组，，， ……， 那么第2016组中三个数之和的末位数字是 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川巴中·中考真题）实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 2、拓展延伸 【例1】（2024七年级·全国·竞赛）某人从地去地，以每分钟米的速度行进，他先前进米，再后退米，又前进米，再后退米…… (1)小时后他离地多远？ (2)若、两地相距米，他可能到达地吗？如果能，需要多长时间？如不能，请说明理由． 【例2】（23-24七年级上·广东汕头·期末）【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把记作，读作“的4次商”． 【概念归纳】一般地，我们把个（）相除记作，读作“的次商” (1)【概念理解】直接写出结果：_______________． (2)关于除方，下列说法正确的是：________（填序号） ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数，；③； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 (3)【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例：．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： ____________________；__________． (4)计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 有理数的运算（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】有理数的加法 1、加法法则： (1)同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加； (2)异号两数相加，绝对值相等时何为0，绝对值不等时，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； (3)一个数同0相加，仍得这个数。 2、运算律：交换律：a+b=b+a 结合律：（a+b）+c=a+（b+c） 【知识点二】有理数的减法 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 特别注意：将减法转化成加法时，注意两变：一是减号变加号，二是减数变为其相反数。 【知识点三】有理数的乘法 1、有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘，积仍为0。 特别注意：（1）如果两个数互为倒数，则它们的乘积为1；（2）※乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。 2、有理数乘法运算步骤：①先确定积的符号；②求出各因数的绝对值的积；乘积为1的两个有理数互为倒数。 特别注意：①零没有倒数；②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。带分数要先化成假分数；③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 【知识点四】有理数的除法 有理数除法法则： ①两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 ②0除以任何非0的数都得0。0不可作为除数，否则无意义。 ( 指数 底数 幂 )【知识点五】有理数的乘方 特别注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如5=；②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。 乘方的运算性质： ①正数的任何次幂都是正数； ②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ③任何数的偶数次幂都是非负数； ④1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0； ⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1； ⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。 【知识点六】有理数混合运算法则： 法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。②如果有括号,先算括号里面的。 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】有理数的加减运算 【例1】（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)6.3 (3) (4)0 【分析】本题考查有理数的混合运算； （1）根据有理数的加减运算法则即可求解； （2）把各数统一为小数，即可求解； （3）利用结合律即可求解； （4）先求绝对值，再各数统一为小数，即可求解． 解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式1】（23-24七年级上·河南郑州·期末）已知有理数在数轴上的对应点如图，请化简，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算，数轴与绝对值，先根据数轴判断出、、、的符号，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号后进行计算即可求解，由是解题的关键． 解：由数轴可得，，， ∴，，， ∴原式 ， ， 故选：． 【变式2】（20-21七年级上·广东深圳·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查化简绝对值，有理数的加法．在本题中应先化简，再计算．先根据绝对值的性质化简，再从第二项开始依次相加即可得出结果． 解：原式 ， 故答案为：． 【题型2】有理数的乘除运算 【例2】阅读下面的解题过程： 计算： 解：原式=第一步 第二步 第三步 解答下列问题： (1)上面的解题过程中有两处错误：第一处错误是第______步，第二处错误是______步． (2)写出正确求解原式的计算过程． 【答案】(1)二；三 (2)见解析 【分析】（1）根据有理数的乘除运算法则，从左往右，进行计算； （2）先通分，计算小括号的，然后从左往右依次计算，即可． 解：（1）∵乘除运算属于同级运算，同级运算中，从左往右，进行计算 ∴第二步应该先计算，化除法为乘法： ∴第二步计算错误； ∵同号为正，负负为正 ∴去括号银行应该为正数 ∴第三步错误． （2） 原式 ． 【点拨】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数乘除混合运算，运算顺序和符号是易错点． 【变式1】（20-21七年级上·四川成都·期中）计算：32÷（﹣4）×的结果是（　　） A．﹣16 B．16 C．﹣2 D．﹣ 【答案】C 【分析】根据有理数乘除法的运算法则计算可求解． 解：原式=﹣8× =﹣2． 故选：C． 【点拨】本题考查了有理数的乘除，解题关键是熟练掌握有理数乘除法的法则，准确运用法则进行计算． 【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分数四则运算的简算，把应用乘法分配律展开，再把、、展开成整数和分数的和，然后整数和整数一起简算，分数和分数一起简算，再结合减法的性质解答，灵活应用乘法分配律、减法性质是解题的关键． 解： ， 故答案为：． 【题型3】有理数的加减乘除混合运算 【例3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) (3) 【答案】(1) (2)1 (3)30 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数的运算律 （1）直接利用乘法的分配律进行简便运算即可； （2）先把除法化为乘法，再计算即可； （3）逆用乘法的分配律，进行简便运算即可． 解：（1） ； （2） ； （3） 【变式1】（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）图中，能说明“”与“”相等的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据图形，可以分别写出四幅图所列的算式，然后即可判断哪个选项符合题意． 解：由图可知， 图①求得是线段的长； 图②求得是大长方形的面积：； 图③求得是总的球的个数：； 图④求得是总的钱数：（元）； 由上可得，能说明“”与“”相等的是②③， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）计算：( ) 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解答此题关键是找出解题的规律．根据裂项相消的方法把原式化为，再计算即可． 解： ； 故答案为． 【题型4】有理数的乘方及应用 【例4】（22-23七年级上·宁夏吴忠·期中）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：    (1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成_______个细胞； (2)这样的一个细胞经过n（n为正整数）小时后可分裂成_______个细胞． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据题意，2小时是4个30分钟，从而得到答案； （2）经过n小时即个30分钟，根据题意，得到规律，即可得到答案． 解：（1）经过2小时，即第4个30分钟后，可分裂成个细胞， ∴经过2小时后，可分裂成16个细胞； 故答案为：16； （2）解：根据题意，一个细胞第1个30分钟分裂成2个，即个细胞； 第2个30分钟分裂成4个，即个； … 依此类推，第n个30分钟分裂为个细胞； 经过n小时即个30分钟分裂为个细胞； 故答案为：． 【点拨】本题考查幂的应用，熟记幂的相关定义及计算是解决问题的关键． 【变式1】（2024·贵州·模拟预测）《2024年贵州省政府工作报告》中指出，省属高校“一校一址”布局调整基本完成．新增高等教育学位63500个，进入普及化发展阶段．数据63500用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 解：， 故选B． 【变式2】（20-21七年级上·广东深圳·期中）已知|m＋3|与(n－2)2互为相反数，那么mn等于 ． 【答案】9 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 解：∵|m+3|与（n-2）2互为相反数， ∴|m+3|+（n-2）2=0， ∴m+3=0，n-2=0， 解得m=-3，n=2， 所以，mn=（-3）2=9． 故答案为：9． 【点拨】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 【题型5】含乘方的加减乘除混合运算 【例5】（22-23七年级上·四川达州·期末）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算： （1）先根据乘法分配律去括号，然后计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方，再计算除法，最后计算加减法即可． 解：（1） ； （2） ． 【变式1】（23-24六年级下·上海黄浦·期中）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是掌握有理数的相关运算法则．根据有理数得到加法法则、有理数的乘法和有理数的乘方，逐一判断即可． 解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D符合题意； 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）在远古时期，人们通常通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是 天． 【答案】27 【分析】本题以数学文化为载体，主要考查了进位制等基础知识和运算能力．解题的关键是会将四进制转化成十进制． 由题可知，孩子出生的天数的四进制数为123，化为十进制数即可． 解：根据题意得： 孩子出生的天数的四进制数为123，化为十进制数为：（天），孩子已经出生的天数是27天． 故答案为：27． 【题型6】用简便方法进行有理数运算 【例6】（23-24七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）计算：有简便算法的要简便算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）先确定积的符号，再逆用乘法分配律进行简便运算即可； （2）先计算括号内的运算与乘方运算，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可． 解：（1） ； （2） ． 【点拨】本题考查的是乘法分配律的应用，含乘方的有理数的混合运算，掌握混合运算的运算顺序是解本题的关键． 【变式1】（23-24七年级上·浙江·期末）用简便方法计算：，其结果是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘法运算律．熟练掌握乘法运算律是解题的关键． 利用乘法运算律计算求解即可． 解： ， 故选：B． 【变式2】（2024七年级上·江苏·专题练习）在数学中，为了简便计算记，，，，．则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，依照题目给出的范例，正确理解“”是计算关键，“”是阶乘的符号，“”表示从1到n的n个连续自然数的乘积．此题先用自定义变成常规式子，再按照运算顺序计算． 解：， ． 故答案为：1． 【题型7】有理数加减混合运算的应用 【例7】（24-25七年级上·重庆·开学考试）某天爸开车送小红到距学校1000米的地方后，让她步行去学校，结果小红这天从家到学校用了22.5分钟，若小红骑自行车从家去学校需40分钟，她平时每分钟步行80米．骑自行车比爸爸开车平均每分钟慢800米，求小红家到学校的距离？ 【答案】小红家到学校的距离是米 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，根据题意可求得这天小红步行花的时间，从而可得到小红这天坐车的时间，再根据题意可得开车分钟比骑自行车多跑的距离，结合到学校剩余的距离骑自行车还需要分钟可求得骑自行车的速度，从而可求得小红家到学校的距离． 解：由题可得：这天小红步行花的时间为（分钟）， 这天小红坐车（分钟）， 开车分钟比骑自行车多跑的距离（米）， 此时到学校剩余的距离（米） 骑自行车还需要（分钟）， 骑自行车的速度（米/分钟） 小红家到学校的距离（米）， 答：小红家到学校的距离是米． 【变式1】（23-24七年级下·四川成都·开学考试）由若干名同学站成一个中空的三层方阵，已知最外层的每边上有人，这个方阵中一共有（    ）名同学． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数四则混合运算的应用，根据公式“空心方阵的总人数（最外层每边人数空心方阵层数）空心方阵的层数”，代入数据进行解答即可. 解：根据题意可得， （人）， 即这个方阵中一共有名同学． 故选：B 【变式2】（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）有数组，，， ……， 那么第2016组中三个数之和的末位数字是 【答案】8 【分析】本题主要考查了有理数乘法以及加法的应用，根据题意可知第2016组数据为： ，则可得出三个数的末尾数都是6，相加即可得出答案． 解：∵有数组，，， ……， ∴第2016组数据为： ， ∴第一个数的末尾数是：6 第二位数的末尾数是：，也是6， 第三位数的末尾数是：，也是6， ∴， 故第2016组中三个数之和的末位数字是：8， 故答案为：8． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川巴中·中考真题）实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查利用数轴比较大小．实数，在数轴上对应点的位置可知，，，由此即可求解． 解：由题意得，，，则， ∴，，， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 【例2】（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0 【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果． 解：由题意，填写如下： ，满足题意； 故答案为：0． 2、拓展延伸 【例1】（2024七年级·全国·竞赛）某人从地去地，以每分钟米的速度行进，他先前进米，再后退米，又前进米，再后退米…… (1)小时后他离地多远？ (2)若、两地相距米，他可能到达地吗？如果能，需要多长时间？如不能，请说明理由． 【答案】(1)小时后，这个人离地米． (2)能到达地，需要分钟． 【分析】本题考查了有理数加法的应用，读懂题意，找出规律，准确进行计算是解答本题的关键． （1）根据题意，小时共行（米），，当时，，由此得到答案． （2）由，得到他走的总路程是，再由路程、速度、时间的关系，求出答案． （1）解：根据题意得： 小时共行（米）， 又， 当时，， （米）， 答：小时后，这个人离地米． （2） ， 他走的总路程是： ， ， ， （米） （分钟）， 答：能到达地，需要分钟． 【例2】（23-24七年级上·广东汕头·期末）【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把记作，读作“的4次商”． 【概念归纳】一般地，我们把个（）相除记作，读作“的次商” (1)【概念理解】直接写出结果：_______________． (2)关于除方，下列说法正确的是：________（填序号） ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数，；③； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 (3)【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例：．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： ____________________；__________． (4)计算：． 【答案】(1) (2)①④ (3)， (4) 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、有理数的混合运算： （1）根据所给的例子进行计算即可； （2）结合除方的定义进行分析即可； （3）根据除方的运算方式进行求解即可； （4）结合除方的运算方式运算即可； 解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）解：由题意得， 故答案为：； （2）解：①任何非零数的2次商都等于这两个数相除，所以结果为1，该说法正确， ②对于任何正整数，当n为奇数时，，当n为偶数时，，所以原说法错误， ③，，则，原说法错误， ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，说法正确， 故答案为：①④； （3）解：由题意可得： =， =， 故答案为：，； （4）解： = = = = = =． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$