1.3第2课时 补集及综合应用-2024-2025学年高一上学期必修第一册数学同步学案（自主预习+题型研析+当堂温习+分层练习）（人教2019A版专用）

1.3第2课时　补集及综合应用（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】补集的基本运算 2 【题型二】集合交、并、补的综合运算 3 【题型三】利用集合运算求参数 4 【当堂温习】 6 【分层练习】 6 考试要求： 1.在具体情境中，了解全集与补集的含义. 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集. 素养要求： 能够在现实情境或数学情境中概括出全集、补集、子集等数学对象的一般特征，并学会用三种语言表达和转换，提升数学抽象和数学运算素养. 自主预习 一、全集与补集的含义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 二、补集的性质 ∁U(∁UA)＝A，∁UU＝，∁U＝U. A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U. 题型研析 【题型一】补集的基本运算 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西临汾·三模）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知全集，其中，则可以是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河北唐山·期中）已知集合，，若为非空集合，且，则的可能取值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 三、填空题 5．（23-24高一上·重庆长寿·期末）已知集合，则 6．（2023高一·江苏·专题练习）已知是非空集合，定义运算且，若，，则 ， 解题策略： 求补集的基本方法 (1)全集及其子集是用列举法表示的，从全集U中去掉所有属于集合A的所有元素组成的集合. (2)较为复杂的集合，还可借助于Venn图求解. (3)全集及其子集是用不等式构成的无限集表示的，常借助于数轴求解. 【题型二】集合交、并、补的综合运算 一、单选题 1．（23-24高二下·山东青岛·期中）设集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北·模拟预测）已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D．或 二、多选题 3．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知全集，集合，则下列结论正确的是（    ） A．集合中有6个元素 B． C． D．的真子集个数是3 4．（21-22高一上·黑龙江鸡西·期末）已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高一上·湖南湘西·阶段练习）设集合，，则 ． 6．（23-24高一上·北京·期中）定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 . 解题策略： 1.解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到. 2.解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再计算其他部分. 【题型三】利用集合运算求参数 一、单选题 1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 2．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 二、多选题 3．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）设全集，若，，，则下列结论正确的是（　 　） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 4．（22-23高二下·山东青岛·期末）已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（    ） A． B．A的不同子集的个数为8 C． D． 三、填空题 5．（23-24高一上·山东青岛·期中）设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 ； 6．（2023高三·全国·专题练习）已知非空集合，，分别结合下列条件求出实数的取值范围．（将结果填在相应的答题线上） （1）， ； （2）， ； （3）， ； （4）， ． 解题策略： 由集合的补集求解参数的方法 (1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解. (2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解. 当堂温习 一、单选题 1．（2024高二下·浙江·学业考试）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）已知，均为集合的子集， ，，，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）若全集，，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·湖南·阶段练习）已知非空集合都是的子集，满足，，则（  ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知集合，设全集，则 ． 6．（2023高一·全国·专题练习）设全集，集合，．则实数的值为 ． 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·模拟预测）设全集，集合．若，则的值分别为（    ） A．3，2 B．4，3 C．3，2或5，3 D．5，2或5，3 3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知全集，则集合（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·青海海东·阶段练习）已知集合，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏连云港·期中）设为全集，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）已知全集U，集合A，B是U的子集，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（2023高一·江苏·专题练习）设集合，，若，则实数m的取值范围是 . 9．（22-23高一下·湖南张家界·开学考试）已知全集，集合，，则 10．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知全集，且，，，则集合       ． 四、解答题 11．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 12．（23-24高二下·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【能力篇】 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）下列选项正确的有（    ） A．已知全集，，，则实数p的值为3 B．若，则 C．已知集合中元素至多只有1个，则实数a的范围是 D．若，，且，则 三、填空题 3．（23-24高一上·上海杨浦·期中）若集合的两个非空子集A，B满足，则称为集合U的一组“互斥子集”，与视为同一组互斥子集，则U共有互斥子集 组． 四、解答题 4．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求m的取值范围. 【培优篇】 一、填空题 1．（20-21高一上·上海宝山·阶段练习）设整数集，，且，若，满足，的所有元素之和为，求= ； 二、解答题 2．（20-21高一上·上海奉贤·阶段练习）已知集合，． （1）若，且，求实数及的值； （2）在（1）的条件下，若关于的不等式组没有实数解，求实数的取值范围； （3）若，且关于的不等式；的解集为，求实数的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3第2课时　补集及综合应用（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】补集的基本运算 2 【题型二】集合交、并、补的综合运算 5 【题型三】利用集合运算求参数 8 【当堂温习】 12 【分层练习】 14 考试要求： 1.在具体情境中，了解全集与补集的含义. 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集. 素养要求： 能够在现实情境或数学情境中概括出全集、补集、子集等数学对象的一般特征，并学会用三种语言表达和转换，提升数学抽象和数学运算素养. 自主预习 一、全集与补集的含义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 二、补集的性质 ∁U(∁UA)＝A，∁UU＝，∁U＝U. A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U. 题型研析 【题型一】补集的基本运算 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西临汾·三模）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知全集，其中，则可以是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河北唐山·期中）已知集合，，若为非空集合，且，则的可能取值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 三、填空题 5．（23-24高一上·重庆长寿·期末）已知集合，则 6．（2023高一·江苏·专题练习）已知是非空集合，定义运算且，若，，则 ， 参考答案： 1．B 【分析】根据Venn图可知图中阴影部分表示的集合为，结合交集与补集运算的概念与运算即可求解. 【详解】由题意，图中阴影部分表示的集合为， 因为，所以， 又，所以题图中阴影部分表示的集合为. 故选：B． 2．A 【分析】根据补集运算求出，然后利用数轴分析可得. 【详解】因为，所以或， 又，所以. 故选：A 3．AC 【分析】根据集合元素的性质及补集的概念求解即可得答案. 【详解】已知全集，其中， 当时， 当时， 当时， 故选：AC. 4．BD 【分析】利用集合的补集运算与包含关系即可得解. 【详解】因为，为非空集合，所以或，且， 而，，所以， 综上，，故BD正确，AC错误. 故选：BD. 5．或 【分析】根据补集的定义即可写出答案. 【详解】全集为实数R，集合； 故或. 故答案为：或. 6． 【分析】根据给定的定义，结合数轴法及补集的定义求解即得. 【详解】画出数轴如图：    所以且，． 故答案为：； 解题策略： 求补集的基本方法 (1)全集及其子集是用列举法表示的，从全集U中去掉所有属于集合A的所有元素组成的集合. (2)较为复杂的集合，还可借助于Venn图求解. (3)全集及其子集是用不等式构成的无限集表示的，常借助于数轴求解. 【题型二】集合交、并、补的综合运算 一、单选题 1．（23-24高二下·山东青岛·期中）设集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北·模拟预测）已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D．或 二、多选题 3．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知全集，集合，则下列结论正确的是（    ） A．集合中有6个元素 B． C． D．的真子集个数是3 4．（21-22高一上·黑龙江鸡西·期末）已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高一上·湖南湘西·阶段练习）设集合，，则 ． 6．（23-24高一上·北京·期中）定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 . 参考答案： 1．A 【分析】根据补集的定义与运算求出，结合交集的概念与运算即可求解. 【详解】由题意知，，又， 所以. 故选：A 2．B 【分析】根据题意，求得且，结合，即可求解. 【详解】由不等式，解得或，所以或， 又由，可得且， 又因为. 故选：B. 3．BCD 【分析】计算出集合后，结合集合性质逐个选项计算即可得. 【详解】由，且，故， 故集合中有5个元素，A错误； ，B正确； ，C正确； ，真子集个数是个，D正确. 故选：BCD. 4．AD 【分析】根据集合之间的基本关系与集合的基本运算逐项判断. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以不成立，故B错误； 因为，所以，故C错误； 因为或，所以，故D正确； 故选：AD. 5． 【分析】先求出，再计算 【详解】因为，所以或， 又因为，所以. 故答案为：. 6． / 【分析】空1：根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可；空2：代入得到，再根据区间长度大于，得到关于的不等式组，解出即可. 【详解】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是； 若，， 要使集合的“长度”大于，故或 即或又，故. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据交并集的含义得到不等式组，结合分类讨论的思想即可. 解题策略： 1.解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到. 2.解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再计算其他部分. 【题型三】利用集合运算求参数 一、单选题 1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 2．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 二、多选题 3．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）设全集，若，，，则下列结论正确的是（　 　） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 4．（22-23高二下·山东青岛·期末）已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（    ） A． B．A的不同子集的个数为8 C． D． 三、填空题 5．（23-24高一上·山东青岛·期中）设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 ； 6．（2023高三·全国·专题练习）已知非空集合，，分别结合下列条件求出实数的取值范围．（将结果填在相应的答题线上） （1）， ； （2）， ； （3）， ； （4）， ． 参考答案： 1．D 【分析】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值. 【详解】因为方程的判别式， 所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 2．A 【分析】由，得到，分与讨论即可. 【详解】由，得到 分两种情况考虑： ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，需， 解得：，综上得：，则实数的取值范围为. 故选：A 3．BC 【分析】根据题意，画出图，即可得到结果. 【详解】   根据题意，由条件可得图如图所示， 所以， 所以，故A错误，B正确； ，故C正确，D错误； 故选：BC 4．ABC 【分析】根据题意利用韦恩图逐项分析判断. 【详解】由题意可知：，， 所以，故A正确； 集合A有3个元素，所以A的不同子集的个数为，故B正确； ，故C正确； 因为，所以，故D错误； 故选：ABC.    5． 【分析】先根据题意得，再根据求解即可得答案. 【详解】由已知的：，则， 因为，且， 如图： 则，即，则实数m的取值范围为. 故答案为： 6． 【分析】根据集合的包含关系或运算结果，分别列不等式求对应条件下的取值范围． 【详解】因为为非空集合，所以， 又， 由，可得，所以实数的取值范围为． 由，可得，所以，所以实数的取值范围为． 由可得，故实数的取值范围为． 因为或，， 所以，实数的取值范围为． 故答案为：；；；. 解题策略： 由集合的补集求解参数的方法 (1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解. (2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解. 当堂温习 一、单选题 1．（2024高二下·浙江·学业考试）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）已知，均为集合的子集， ，，，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）若全集，，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·湖南·阶段练习）已知非空集合都是的子集，满足，，则（  ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知集合，设全集，则 ． 6．（2023高一·全国·专题练习）设全集，集合，．则实数的值为 ． 参考答案： 1．B 【分析】根据补集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2．B 【分析】由，先求出，再由，，可得集合. 【详解】，均为集合的子集，，则， ，，则. 故选：B 3．BCD 【分析】根据交并补的混合运算逐个选项判断即可. 【详解】对A，，，故，故A错误； 对B，，故，故B正确； 对C，，故，故C正确； 对D，，故，故D正确. 故选：BCD 4．ABD 【分析】根据交集、并集、补集的定义及性质判断各选项. 【详解】对于A，由可得，故A正确； 对于B，由，可得，从而，故B正确； 对于C、D，结合与，可知，又，所以，故C错误，D正确. 故选：ABD. 5． 【分析】根据补集的定义即可得解. 【详解】因为集合，全集， 所以. 故答案为：. 6． 【分析】根据补集的运算即可求解. 【详解】∵，∴且，∴． 故答案为： 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·模拟预测）设全集，集合．若，则的值分别为（    ） A．3，2 B．4，3 C．3，2或5，3 D．5，2或5，3 3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知全集，则集合（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·青海海东·阶段练习）已知集合，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏连云港·期中）设为全集，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）已知全集U，集合A，B是U的子集，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（2023高一·江苏·专题练习）设集合，，若，则实数m的取值范围是 . 9．（22-23高一下·湖南张家界·开学考试）已知全集，集合，，则 10．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知全集，且，，，则集合       ． 四、解答题 11．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 12．（23-24高二下·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 参考答案： 1．C 【分析】先求，再根据并集运算求解. 【详解】由题意可得：，所以. 故选：C. 2．D 【分析】根据集合关系得到，且，再得到，且，，，，分类讨论得到的值. 【详解】因为，所以，且． 由题意得，，且，，，． 若，则，不满足，不符合题意； 若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，，符合题意． 故选：D． 3．D 【分析】根据题中韦恩图结合集合间运算分析判断. 【详解】图中阴影部分表示的集合为. 故选：D． 4．C 【分析】 根据题意，结合集合的运算，即可得到结果. 【详解】， 且，则集合中不包含元素， 即. 故选：C 5．AC 【分析】先求出集合，再有交集，并集和补集的定义求解即可. 【详解】因为， 对于A，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AC. 6．BCD 【分析】根据包含关系结合集合间的运算求解. 【详解】因为，等价于，等价于和， 故A错误，BCD正确； 故选：BCD. 7．AC 【分析】由题意判断，根据并集的运算可判断A；结合补集的含义以及交集并集运算可判断B、C、D. 【详解】因为，所以，    对于A：由，可得，A正确； B：由于，故，B错误； C：因为，，则，C正确； D：由于，故，D错误． 故选：AC． 8． 【分析】由于处理较繁琐，可先求时实数m的取值范围，再取相反情况即可. 【详解】若时， 则当时，，解得； 当时，，解得， 由可得或，解得或， 又，所以或， 综上可得当时，或， 所以当时，m的取值范围是. 故答案为：. 9． 【分析】根据集合的交集和补集运算求解. 【详解】由题意可知：，所以. 故答案为：. 10． 【分析】由已知补集交集的运算结果，得到集合A与集合B，再求补集与交集的运算. 【详解】全集， ，则，， 所以. 故答案为：. 11．(1) (2) 【分析】（1）由分类讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可. （2）由条件知，讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可. 【详解】（1）时，知： 当时，得； 当时，或， 解得； 综上，∴的取值范围为； （2）因为，所以，所以， 当时，得； 当时，解得； 综上可得，即m的取值范围是； 12．(1)， (2) 【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果； （2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且，+ 解得，所以实数m的取值范围是． 【能力篇】 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）下列选项正确的有（    ） A．已知全集，，，则实数p的值为3 B．若，则 C．已知集合中元素至多只有1个，则实数a的范围是 D．若，，且，则 三、填空题 3．（23-24高一上·上海杨浦·期中）若集合的两个非空子集A，B满足，则称为集合U的一组“互斥子集”，与视为同一组互斥子集，则U共有互斥子集 组． 四、解答题 4．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求m的取值范围. 参考答案： 1．A 【分析】根据集合的补集运算得到，把转化为，最后利用包含关系得到答案. 【详解】因为，， 因为，所以， 所以， 故选：A. 2．AD 【分析】求出集合，再求出p的值即可判断A；由集合相等求出判断B；利用已知分类讨论求解判断C；利用集合的包含关系分类讨论求解判断D. 【详解】对于A，， 因为，所以， 即方程的根为， 所以，故A正确； 对于B，由，得， 因此，解得，则，故B错误； 对于C，依题意，当时，由，得，此时集合中只有一个元素， 当时，集合中最多只有一个元素， 即一元二次方程最多一个实根， 于是，解得， 所以实数a的范围是或，故C错误； 对于D，因为，所以当时，，解得， 当时，，解得， 综上，，D正确. 故选：AD. 3．90 【分析】由题意，任意一个元素只能在集合之一中，求出这5个元素在集合中的个数，再求出分别为空集的种数，从而即可得解． 【详解】任意一个元素只能在集合之一中， 则这5个元素在集合中，共有种； 其中为空集的种数为，为空集的种数为， ∴均为非空子集的种数为， 又与视为同一组互斥子集， U共有互斥子集种. 故答案为：90． 4．(1)； (2)或 【分析】（1）求出集合后根据集合的运算法则计算； （2）根据集合运算得出集合间包含关系，再由包含关系求参数范围． 【详解】（1）当时，， 因为， 所以；； （2）因为， 所以或， 因为，所以， 因为， 所以或， 得或， 所以m的取值范围为或. 【培优篇】 一、填空题 1．（20-21高一上·上海宝山·阶段练习）设整数集，，且，若，满足，的所有元素之和为，求= ； 二、解答题 2．（20-21高一上·上海奉贤·阶段练习）已知集合，． （1）若，且，求实数及的值； （2）在（1）的条件下，若关于的不等式组没有实数解，求实数的取值范围； （3）若，且关于的不等式；的解集为，求实数的取值范围． 参考答案： 1． 【分析】根据可得，结合已知条件可得，然后分情况讨论，和时，利用集合元素的互异性和确定性即可求解. 【详解】由可得，所以， 因为，所以， 若，因为，所以， 所以，，，故 所以， 若则，可得或 与矛盾，所以此时不成立， 若，则，所以， 所以，所以即 显然，可得或， 因为与矛盾，所以，， 此时，，所以， 由题意知：，即，解得或（舍） 综上所述：，，所以， 故答案为：. 2．（1），；（2）；（3）. 【解析】（1）本题首先可通过求解得出或，然后根据、得出集合，最后根据和是方程的解即可得出结果； （2）本题首先可结合（1）将转化为，然后根据没有实数解即可得出结果； （3）本题首先可根据求出、，然后分为、两种情况对进行讨论，即可得出结果. 【详解】（1）因为，即，解得或， 所以集合或， 因为，，所以集合， 因为集合， 所以和是方程的解， 则，解得，. （2）因为，， 所以，即，解得， 故不等式组没有实数解即没有实数解， 故，实数的取值范围为. （3）因为，所以和是方程的解， 则，解得，， 即， 因为的解集为， 所以若，则，解得， 若，即，解集为， 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】本题考查集合与一元二次不等式的性质的综合应用，考查根据交集、并集的相关性质求集合，考查一元二次不等式的解法，考查推理能力与计算能力，考查函数方程思想，体现了综合性，是难题. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$