1.3第1课时　并集和交集-2024-2025学年高一上学期必修第一册数学同步学案（自主预习+题型研析+当堂温习+分层练习）（人教2019A版专用）

1.3第1课时　并集和交集（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 3 【题型一】并集的概念及简单应用 3 【题型二】交集的概念及简单应用 4 【题型三】并集、交集的运算性质及应用 4 【当堂温习】 5 【分层练习】 6 考试要求： 1.理解两个集合的并集与交集的含义. 2.能求两个集合的并集与交集. 3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 素养要求： 1.结合具体实例感知并集与交集的含义，初步认识“或”“且”的意义，提升数学抽象素养. 2.对于连续数集的并集与交集，利用数轴这一直观工具；对于抽象集合或应用问题利用Venn图这一直观工具，体会数形结合思想的重要性提升直观想象素养. 自主预习 一、并集 自然语言 符号语言 图形语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 二、交集 自然语言 符号语言 图形语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 三、交集与并集的运算性质 (1)A∪A＝A，A∪＝A；A∩A＝A，A∩＝. (2)若集合A是集合B的子集，则A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 题型研析 【题型一】并集的概念及简单应用 一、单选题 1．（2024·湖南·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南·二模）使成立的集合一共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多选题 3．（23-24高一上·湖北荆州·期末）给定集合P，Q，定义且，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知集合，，且，则实数的值可以为（    ） A． B． C．0 D．1 三、填空题 5．（2024·全国·模拟预测）设集合，．若，则 ． 6．（2024·海南海口·二模）已知集合，，若，则的取值范围是 . 解题策略： 求集合并集的两种方法 1.利用定义：若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性. 2.数形结合：(1)若集合是实数集的子集，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值的取舍.(2)若集合中元素无限，且不连续，可借助Venn图求解. 【题型二】交集的概念及简单应用 一、单选题 1．（2024·安徽·三模）已知集合，则的子集的个数为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 2．（2024·河北邢台·二模）已知集合，，若中有2个元素，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知集合M，N满足，则集合M，N可能是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏连云港·期中）设，若，则实数的值可以是（    ） A．0 B． C． D．2 三、填空题 5．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知集合，若为单元素集，则的最小值为 ． 6．（2024·辽宁·二模）已知集合，，若，则实数m的取值范围为 ． 解题策略： (1)若A，B的元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集. (2)若A，B的元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，交集是点集. (3)若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示. 【题型三】并集、交集的运算性质及应用 一、单选题 1．（23-24高三下·河北沧州·期中）已知集合，若，则实数（    ） A．-1或2 B．1 C． D．2 2．（2024·辽宁·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 二、多选题 3．（23-24高一上·江西·期中）已知集合，，若，则实数a的值可以是（    ） A． B．1 C． D． 4．（23-24高一上·河北·期中）设集合，，若，则实数的取值可能为（    ） A．－3 B．0 C． D． 三、填空题 5．（2024·河北沧州·二模）已知集合，若，则的取值范围为 . 6．（23-24高一上·上海·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 解题策略： 利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点 (1)依据：A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. (2)关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝的情况，否则易漏解. 当堂温习 一、单选题 1．（23-24高一下·云南保山·期中）已知集合，，那么集合等于（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东泰安·模拟预测）设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·江苏徐州·期中）以下四个关系式表达正确的有（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏连云港·期中）设，若，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 三、填空题 5．（2024·上海普陀·二模）已知，设集合，集合，若，则 . 6．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合，且，则的值为 . 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（2024·河南·三模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北保定·二模）已知集合，，若中有2个元素，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川南充·三模）已知集合，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·河南商丘·期中）设，若，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C． D． 6．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·安徽·阶段练习）设集合，，集合中所有元素之和为7，则实数a的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 三、填空题 8．（2024·辽宁·二模）已知集合，，若．则m的取值范围是 ． 9．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知集合或，，其中. （ⅰ）当时， ； （ⅱ）若，则实数的取值范围为 . 10．（23-24高一上·河南·期中）已知集合，，则 ． 四、解答题 11．（21-22高一上·湖南株洲·期中）已知集合，集合. (1)当时，求 (2)若，求的取值范围. 12．（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【能力篇】 一、单选题 1．（2024·贵州·模拟预测）已知集合，，，若，则的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．7 D．8 二、多选题 2．（23-24高一上·重庆南岸·阶段练习），或，若，则的可能取值为（    ） A．3 B．2 C． D．1 三、填空题 3．（22-23高一上·北京·期中）设是非空数集，若对任意，都有、，则称具有性质，给出以下命题： ①若具有性质，则可以是有限集； ②若具有性质，且，则具有性质； ③若、具有性质，且，则具有性质； ④若、具有性质，则具有性质. 其中所有真命题的序号是 . 四、解答题 4．（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由. 【培优篇】 一、单选题 1．（2020高二·浙江·专题练习）已知集合，，若，且中恰好有两个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（22-23高一上·浙江杭州·期中）19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：，则称为的二划分，例如，，则就是的一个二划分，则下列说法正确的是（    ） A．设，则为的二划分 B．设，则为的二划分 C．存在一个的二划分，使得对于；对于 D．存在一个的二划分，使得对于，则；，则 三、填空题 3．（21-22高一上·云南玉溪·阶段练习）设集合，其中为实数，令，，若中的所有元素之和为6，中的所有元素之积为 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3第1课时　并集和交集（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 3 【题型一】并集的概念及简单应用 3 【题型二】交集的概念及简单应用 5 【题型三】并集、交集的运算性质及应用 8 【当堂温习】 11 【分层练习】 13 考试要求： 1.理解两个集合的并集与交集的含义. 2.能求两个集合的并集与交集. 3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 素养要求： 1.结合具体实例感知并集与交集的含义，初步认识“或”“且”的意义，提升数学抽象素养. 2.对于连续数集的并集与交集，利用数轴这一直观工具；对于抽象集合或应用问题利用Venn图这一直观工具，体会数形结合思想的重要性提升直观想象素养. 自主预习 一、并集 自然语言 符号语言 图形语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 二、交集 自然语言 符号语言 图形语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 三、交集与并集的运算性质 (1)A∪A＝A，A∪＝A；A∩A＝A，A∩＝. (2)若集合A是集合B的子集，则A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 题型研析 【题型一】并集的概念及简单应用 一、单选题 1．（2024·湖南·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南·二模）使成立的集合一共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多选题 3．（23-24高一上·湖北荆州·期末）给定集合P，Q，定义且，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知集合，，且，则实数的值可以为（    ） A． B． C．0 D．1 三、填空题 5．（2024·全国·模拟预测）设集合，．若，则 ． 6．（2024·海南海口·二模）已知集合，，若，则的取值范围是 . 参考答案： 1．C 【分析】由并集的定义可得出答案. 【详解】因为，， 所以， 故选：C. 2．B 【分析】列举出的可能结果，得到答案. 【详解】或，共2个. 故选：B 3．ABD 【分析】根据并集运算和新定义逐一判断即可. 【详解】， 故，故A正确； 由新定义可知，，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD． 4．BCD 【分析】根据已知得出.分以及讨论，即可得出答案. 【详解】由可得，. 当时，满足，此时； 当时，， 解可得，. 因为，所以或. 当时，； 当时，. 综上所述，或或. 故选：BCD. 5．2 【分析】先根据题目条件以及集合中元素的互异性证明，再验证满足条件即可. 【详解】由于，而，故. 所以是整数，且，再由集合中元素的互异性知，. 从而是整数，且，，，得. 当时，，，故，满足条件. 故答案为：. 6． 【分析】结合并集定义可得，将中所有元素代入计算即可得. 【详解】由，则， 故有，解得，即. 故答案为：. 解题策略： 求集合并集的两种方法 1.利用定义：若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性. 2.数形结合：(1)若集合是实数集的子集，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值的取舍.(2)若集合中元素无限，且不连续，可借助Venn图求解. 【题型二】交集的概念及简单应用 一、单选题 1．（2024·安徽·三模）已知集合，则的子集的个数为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 2．（2024·河北邢台·二模）已知集合，，若中有2个元素，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知集合M，N满足，则集合M，N可能是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏连云港·期中）设，若，则实数的值可以是（    ） A．0 B． C． D．2 三、填空题 5．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知集合，若为单元素集，则的最小值为 ． 6．（2024·辽宁·二模）已知集合，，若，则实数m的取值范围为 ． 参考答案： 1．B 【分析】利用交集定义与子集个数与元素个数的关系计算即可得. 【详解】由，可得， 则的子集的个数为. 故选：B. 2．A 【分析】若条件满足，设出2个元素以后可推知，从而确定的值，再证明，最后验证时条件满足即可得到答案. 【详解】一方面，若中有2个元素，则由知. 由，结合，知只可能分别是. 所以，，得； 另一方面，若，则，所以有2个元素. 综上，的取值范围是. 故选：A. 3．BD 【分析】根据交、并集的定义和运算，结合选项即可求解. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，若，则，故D正确. 故选：BD． 4．ABC 【分析】根据题意，先将集合化简，再由集合子集的定义求解，即可得到结果. 【详解】因为，且，则， 当时，，符合题意； 当时，则，则或，解得或； 综上所述，或或. 故选：ABC 5． 【分析】根据为单元素集，所以，即可求解. 【详解】因为，且为单元素集，所以， 所以的最小值为． 故答案为：． 6． 【分析】根据交集的结果，根据端点值的大小，列式求解. 【详解】因为，所以，则． 故答案为：． 解题策略： (1)若A，B的元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集. (2)若A，B的元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，交集是点集. (3)若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示. 【题型三】并集、交集的运算性质及应用 一、单选题 1．（23-24高三下·河北沧州·期中）已知集合，若，则实数（    ） A．-1或2 B．1 C． D．2 2．（2024·辽宁·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 二、多选题 3．（23-24高一上·江西·期中）已知集合，，若，则实数a的值可以是（    ） A． B．1 C． D． 4．（23-24高一上·河北·期中）设集合，，若，则实数的取值可能为（    ） A．－3 B．0 C． D． 三、填空题 5．（2024·河北沧州·二模）已知集合，若，则的取值范围为 . 6．（23-24高一上·上海·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 参考答案： 1．D 【分析】由交集的结果，计算元素的值并检验. 【详解】因为，则， 若，解得，此时， 根据集合中元素的互异性，不合题意； 若，即， 解得或，若，此时， 不合题意；当时成立. 故选：D. 2．C 【分析】由题意可求出B中可能的元素，讨论a的取值，验证是否符合题意，即可得答案. 【详解】由题意知：对于集合B，当时，；当时，； 当时，； 又，故，则， 若，则，此时， 不满足； 若，此时，满足， 故， 故选：C 3．CD 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】，因为，所以，则有： 若，解得或， 当时，，，不符合集合元素的互异性； 当时，，，不符合集合元素的互异性； 若，解得或， 当时，，，不符合集合元素的互异性； 当时，，，符合题意； 若，解得或， 当时，，，不符合集合元素的互异性； 当时，，，符合题意； 综上所述：或. 故选：CD. 4．ABC 【分析】根据集合的基本关系分类讨论即可. 【详解】易知， ∵， ∴. 若，则； 若，则，即； 若，则，即. 故选：ABC. 5． 【分析】求出集合，根据集合，即可求出. 【详解】由题意知，又且，故，即的取值范围为. 故答案为：. 6． 【分析】按并集定义计算即可得解. 【详解】，又 所以 故答案为： 解题策略： 利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点 (1)依据：A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. (2)关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝的情况，否则易漏解. 当堂温习 一、单选题 1．（23-24高一下·云南保山·期中）已知集合，，那么集合等于（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东泰安·模拟预测）设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·江苏徐州·期中）以下四个关系式表达正确的有（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏连云港·期中）设，若，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 三、填空题 5．（2024·上海普陀·二模）已知，设集合，集合，若，则 . 6．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合，且，则的值为 . 参考答案： 1．D 【分析】根据交集运算的定义求解即可. 【详解】因为集合A和集合B没有公共元素，故. 故选：D 2．B 【分析】先由得出，将代入求得的值，进而解出集合即可. 【详解】因为，所以，即，， 所以，解得或， 即. 故选：B. 3．BD 【分析】根据常见集合的表示，以及集合与元素之间的关系注意判断即可. 【详解】对于A，因为没有元素，所以，A错误； 对于B，因为空集是任何集合的子集，所以，B正确； 对于C，因为表示所有的正整数集合，所以，C错误； 对于D，由子集关系结合并集的概念知，D正确. 故选：BD. 4．ABD 【分析】计算出，根据并集结果得到，分，和，求出实数的值. 【详解】， 因为，所以， 若，则， 若，则，解得， 若，则，解得， 故或或0 故选：ABD 5．2 【分析】根据已知条件，结合交集的定义，讨论或4即可求解． 【详解】集合，集合，，则是的子集， 当时，等式不成立，舍去， 当时，解得，此时，，满足题意， 故． 故答案为：2． 6． 【分析】根据一元二次方程以及韦达定理分析求解. 【详解】由题意可知：方程均有根， 设方程的根为，方程的根为， 可知，且且， 分析可知：方程的根为，方程的根为， 即，满足，符合题意， 可得，解得，所以. 故答案为：. 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（2024·河南·三模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北保定·二模）已知集合，，若中有2个元素，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川南充·三模）已知集合，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·河南商丘·期中）设，若，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C． D． 6．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·安徽·阶段练习）设集合，，集合中所有元素之和为7，则实数a的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 三、填空题 8．（2024·辽宁·二模）已知集合，，若．则m的取值范围是 ． 9．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知集合或，，其中. （ⅰ）当时， ； （ⅱ）若，则实数的取值范围为 . 10．（23-24高一上·河南·期中）已知集合，，则 ． 四、解答题 11．（21-22高一上·湖南株洲·期中）已知集合，集合. (1)当时，求 (2)若，求的取值范围. 12．（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 参考答案： 1．B 【分析】由集合中含有元素可以排除AD两个选项，由中含无理数元素排除C选项，由时，得，判断出选项B正确. 【详解】依题意可得，所以A、D均错误； 因为，所以中含无理数元素，故C错误； 集合中，当时，，所以,所以，所以B正确； 故选：B. 2．B 【分析】根据即可求解. 【详解】， 因为中只有2个元素，则，所以. 故选：B 3．C 【分析】根据集合的交集、并集运算即可得解. 【详解】由，，， 可得，，，， 故选：C 4．C 【分析】先求出集合，再由并集列出不等式即可解. 【详解】由已知，， 因为， 所以，即. 故选：C 5．ABD 【分析】先求集合A，然后根据集合间的关系分类讨论计算即可. 【详解】由题，得，因为，所以， 当时，无解，此时，满足题意； 当时，得，所以或，解得或， 综上，实数的值可以为. 故选：ABD 6．BD 【分析】根据题意，由条件可得集合为所有偶数的集合，B为所有奇数的集合，再由集合的关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由题意可得集合为所有偶数的集合，B为所有奇数的集合， 故，，故C错误，D正确； 由，可得，故A错误，B正确； 故选：BD 7．ABC 【分析】根据一元二次方程的解法，结合集合并集的定义进行求解即可. 【详解】. ，或， 当时，，，因为，所以符合题意； 当时，，显然中必含有， 因为，所以， 综上所述：实数a的值为， 故选：ABC 8． 【分析】由题意可得，再列出不等式组，解之即可得解. 【详解】因为，所以，故， 所以且， 所以，解得. 故答案为：. 9． 或 【分析】根据并集的定义，结合交集的运算性质进行求解即可. 【详解】（ⅰ）当时，集合或，， 所以或； （ⅱ）因为，所以， 于是有或，即或， 因此实数的取值范围为， 故答案为：或； 10． 【分析】根据并集的运算求解即可. 【详解】集合，， 所以. 故答案为： 11．(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的并运算即可求解， （2）根据集合间的关系，分类讨论为空集和非空集两种情况即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）当时，，解得. 当时，或 解得， 综上，或. 所以的取值范围是或. 12．(1) (2) 【分析】（1）由条件得，利用集合的包含关系即可得解； （2）由条件得，分类讨论是否为空集，从而得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 因为，， 所以，解得， 所以. （2）因为，所以， 当为空集时，，，满足条件； 当不是空集时，，解得； 综上：. 【能力篇】 一、单选题 1．（2024·贵州·模拟预测）已知集合，，，若，则的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．7 D．8 二、多选题 2．（23-24高一上·重庆南岸·阶段练习），或，若，则的可能取值为（    ） A．3 B．2 C． D．1 三、填空题 3．（22-23高一上·北京·期中）设是非空数集，若对任意，都有、，则称具有性质，给出以下命题： ①若具有性质，则可以是有限集； ②若具有性质，且，则具有性质； ③若、具有性质，且，则具有性质； ④若、具有性质，则具有性质. 其中所有真命题的序号是 . 四、解答题 4．（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由. 参考答案： 1．B 【分析】本题根据B、C两集合相等，则元素相同，然后分类讨论求出参数m，进而求出两个集合，再求集合A、B的交集，然后可求子集的个数. 【详解】由题意得，，又集合， 若，则，此时， 则，故子集个数为； 若，则，此时显然集合不成立，舍去； 若，，同理舍去. 综上得：时，子集个数为4个； 故选：B. 2．BD 【分析】根据题意，可分和两种情况，结合集合交集的概念及运算，列出不等式（组），即可求解. 【详解】由题意，集合，或，且， 当时，可得，解得，此时满足； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 则BD符合题意，AC错误； 故选：BD. 3．①③ 【分析】举特例判断①；利用反证法判断②，元素0是关键；利用性质P的定义证明③即可；举反例说明④错误； 【详解】对于①，取集合具有性质P，故A可以是有限集，故①正确； 对于②，若A具有性质P，且，假设也具有性质P， 设，在中任取一个，此时可证得，否则若， 由于也具有性质P，则，与矛盾，故， 由于A具有性质P，也具有性质P， 所以， 而，这与矛盾， 故当且A具有性质P时，则不具有性质P， 同理当时，也可以类似推出矛盾，故②错误. 对于③，取，则，，，， 又具有性质P，，， ， 所以具有性质P，故③正确； 对于④，取，，，， 但，故④错误； 故答案为：①③ 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 4．(1) (2) (3)不可能，理由见解析 【分析】（1）先得到，再根据包含关系列不等式求解； （2）直接根据列不等式求解； （3）先得到，再根据包含关系列不等式求解. 【详解】（1）若，则， 又， 所以， 解得； （2）因为， 所以或或， 解得或或， 所以； （3）若，， 对，都有，则， 所以，该不等式无解， 故命题：“，都有”为真命题不可能. 【培优篇】 一、单选题 1．（2020高二·浙江·专题练习）已知集合，，若，且中恰好有两个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（22-23高一上·浙江杭州·期中）19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：，则称为的二划分，例如，，则就是的一个二划分，则下列说法正确的是（    ） A．设，则为的二划分 B．设，则为的二划分 C．存在一个的二划分，使得对于；对于 D．存在一个的二划分，使得对于，则；，则 三、填空题 3．（21-22高一上·云南玉溪·阶段练习）设集合，其中为实数，令，，若中的所有元素之和为6，中的所有元素之积为 ． 参考答案： 1．A 【分析】求出中不等式的解集确定出,求出集合对应的一元二次方程的根,表示出B集合,由的范围判断出两整数解为和,从而得到关于的不等式. 【详解】， 令， 由题意， ， 又，所以， 设， 又. 所以要使中恰好有两个整数解， 则只能是和， 所以应满足, 解得. 故选A 【点睛】本题考查利用集合间的交运算求参数的范围;判断出中的两个整数解为4和5和结合一元二次函数图象得出关于a的不等式是求解本题的关键;属于难度大型试题. 2．BCD 【分析】举反例结合“二划分”的定义判断A；利用“二划分”的定义判断B；找出两集合符合二划分定义判断C，D. 【详解】对于A，由于，故，不是的二划分，A错误； 对于B，， ， 显然，由于任意一个正整数M，都可写成形式， 其中为素数，，则M必为形式，其中k为正奇数，， 故可得，故B正确； 对于C，存在满足， 对于；对于，C正确； 对于D，选项B中集合， 使得对于，则； ，比如取3，5，则，D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解二划分的含义，并按照其定义去判断每个选项. 3． 【分析】根据中的元素的和为6可得的元素，从而可求中的元素，从而可得各元素的积，注意分类讨论. 【详解】因为，而，故， 所以， 若，则或（舍），此时， 故中的所有元素之积为. 若，则，这与或， 这与中的所有元素之和为6矛盾. 若，则或（舍），此时， 这与中的所有元素之和为6矛盾. 若，则，则， 即，无解. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：对于集合中元素的确定问题，注意利用元素的互异性、确定性和无序性来分类讨论. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$