1.2 集合间的基本关系-2024-2025学年高一上学期必修第一册数学同步学案（自主预习+题型研析+当堂温习+分层练习）（人教2019A版专用）

1.2　集合间的基本关系（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 3 【题型一】集合关系的判断 3 【题型二】子集、真子集个数问题 4 【题型三】由集合间的包含关系求参数 5 【当堂温习】 6 【分层练习】 6 考试要求： 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 素养要求： 会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表示集合间的基本关系，并能进行转换，提升数学抽象素养和直观想象素养. 自主预习 一、子集的含义 (1)在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. (2)子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A⊆B(或B⊇A) 二、真子集与集合相等 (1)集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). 三、空集 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.规定：空集是任何集合的子集. 题型研析 【题型一】集合关系的判断 1．（2024·江苏南通·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 3．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知集合恰有3个非空子集，则a的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 4．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（22-23高一上·湖南长沙·期中）设，则与的关系是 ． 6．（23-24高一上·山西运城·阶段练习）下面关于集合的表示正确的序号是 . ①； ②； ③； ④. 解题策略： 判断集合关系的三种方法 【题型二】子集、真子集个数问题 1．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合满足，这样的集合有（    ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 二、多选题 3．（2024·湖北·模拟预测）已知集合，，集合满足，则（    ） A．， B．集合可以为 C．集合的个数为7 D．集合的个数为8 4．（23-24高一上·四川成都·期中）下列说法正确的是（    ） A．任何集合都是它自身的真子集 B．集合共有16个子集 C．集合 D．集合 三、填空题 5．（23-24高二下·上海·期中）已知集合，那么的真子集有 个． 6．（2024高三下·全国·专题练习）集合的真子集的个数是 . 解题策略： 1.假设集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集有2n个；(2)A的非空子集有(2n－1)个；(3)A的真子集有(2n－1)个. 2.求给定集合的子集的两个注意点： (1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身. 【题型三】由集合间的包含关系求参数 1．（2024·北京海淀·二模）已知集合.若，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C． D．-2 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 4．（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或或 三、填空题 5．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则 . 6．（23-24高一下·上海·期中）已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 解题策略： 由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 (1)注意点：①不能忽视集合为的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论. (2)常用方法：对于用不等式给出的集合，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误. 当堂温习 1．（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南贵州·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·福建三明·期中）设，若，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．0 4．（23-24高一上·山东·期中）已知，，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高一上·山东临沂·期末）集合，，且，则实数 ． 6．（2021高一·上海·专题练习）给出下列选项，其中正确的有 （1）∈{{ }} （2）⊆{{ }} （3）∈{ } （4）{ } 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 2．（21-22高三上·江西赣州·期中）已知、，若，则的值为（    ） A． B．0 C． D．或 3．（2024·全国·模拟预测）已知，则（     ） A．0 B．2 C． D．0或2 4．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知集合，，，则实数的值为（    ） A．2 B．或2 C．1或2 D．0或2 二、多选题 5．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）若，则称集合为幸福集合.对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．幸福集合个数为7 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 6．（22-23高一上·四川眉山·阶段练习）若集合 ， 则的值可能为（    ） A． B． C．0 D． 7．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）下列关系正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知集合，则集合的子集有 . 9．（2024高一上·全国·专题练习）若集合，则能使成立的a的取值集合为 ． 10．（2023高一上·全国·专题练习）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 四、解答题 11．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 12．（23-24高一上·广东佛山·期末）设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 【能力篇】 一、单选题 1．（23-24高三上·安徽·期中）若集合有7个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高一上·山东·期中）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 三、填空题 3．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）若集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{b}，则b的值为 ． 四、解答题 4．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【培优篇】 一、单选题 1．（22-23高一下·湖南岳阳·期中）已知集合.对于，，定义A与B之间的距离为 .若集合M满足：，且任意两元素间的距离均为2，则集合M中元素个数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 二、多选题 2．（22-23高一上·重庆渝中·阶段练习）对于一个非空集合，如果满足以下四个条件： ① ② ③，若且，则 ④，若且，则 就称集合B为集合A的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（    ） A．设，则满足是集合A的一个“偏序关系”的集合共有4个 B．设，则集合是集合A的一个“偏序关系” C．设，则含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个 D．是实数集的一个“偏序关系 三、填空题 3．（22-23高二下·北京·期中）已知全集，非空集合. 若在平面直角坐标系中，对中的任意点，与关于轴、轴以及直线对称的点也均在中，则以下命题： ①若，则； ②若，则S中至少有8个元素； ③若，则S中元素的个数可以为奇数； ④若，则. 其中正确命题的序号为 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2　集合间的基本关系（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 3 【题型一】集合关系的判断 3 【题型二】子集、真子集个数问题 5 【题型三】由集合间的包含关系求参数 8 【当堂温习】 10 【分层练习】 13 考试要求： 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 素养要求： 会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表示集合间的基本关系，并能进行转换，提升数学抽象素养和直观想象素养. 自主预习 一、子集的含义 (1)在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. (2)子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A⊆B(或B⊇A) 二、真子集与集合相等 (1)集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). 三、空集 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.规定：空集是任何集合的子集. 题型研析 【题型一】集合关系的判断 1．（2024·江苏南通·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 3．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知集合恰有3个非空子集，则a的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 4．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（22-23高一上·湖南长沙·期中）设，则与的关系是 ． 6．（23-24高一上·山西运城·阶段练习）下面关于集合的表示正确的序号是 . ①； ②； ③； ④. 参考答案： 1．A 【分析】通分，根据数字特征即可判断两集合之间关系. 【详解】， ， 因为表示所有的奇数，而表示所有的整数，则， 故选：A. 2．A 【分析】根据同一集合的概念可知，两个集合中的元素应一样. 【详解】A：根据集合元素具有无序性，则，故A正确； B：和是不同元素，故B错误； C：图为中的元素是有序实数对，而中的元素是实数，所以C错误； D：因为中有两个元素，即4，3，而中有一个元素，即，所以D错误. 故选：A 3．ABC 【分析】根据题意可知集合A有2个元素，结合一元二次方程的判别式即可求得答案. 【详解】因为集合A恰有3个非空子集，所以集合A有2个元素， 则有两个不相等的实数解， 则，解得，结合选项可知a的值可能为， 故选：ABC． 4．ACD 【分析】根据条件得到，从而得到选项A正确，再由元素与集合，集合与集合间的关系，对B，C和D逐一分析判断，即可得出结果. 【详解】易知方程无解，所以，所以选项A正确， 因为，所以选项B错误， 因为集合是以为元素的集合，由元素与集合间的关系，知选项C正确， 又空集是任何集合的子集，所以选项D正确， 故选：ACD. 5． 【分析】根据表示元素的范围确定出，然后再判断的关系. 【详解】对于：因为，所以，所以； 对于：因为，所以， 所以， 故答案为：. 6．③④ 【分析】根据集合的表示方法与集合的性质，判断正确的序号. 【详解】∵集合中的元素具有无序性，∴，∴①不成立； ∵是点集，而不是点集，∴②不成立； ∵与都表示大于1的实数组成的集合，∴③成立； ∵与都表示奇数组成的集合，∴④成立. 故答案为：③④. 解题策略： 判断集合关系的三种方法 【题型二】子集、真子集个数问题 1．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合满足，这样的集合有（    ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 二、多选题 3．（2024·湖北·模拟预测）已知集合，，集合满足，则（    ） A．， B．集合可以为 C．集合的个数为7 D．集合的个数为8 4．（23-24高一上·四川成都·期中）下列说法正确的是（    ） A．任何集合都是它自身的真子集 B．集合共有16个子集 C．集合 D．集合 三、填空题 5．（23-24高二下·上海·期中）已知集合，那么的真子集有 个． 6．（2024高三下·全国·专题练习）集合的真子集的个数是 . 参考答案： 1．D 【分析】计算出集合的元素后可得其子集的个数. 【详解】，故其子集的个数为8， 故选：D. 2．B 【分析】根据子集概念得，根据真子集概念得不全部是的元素，所以集合个数等于集合的真子集个数. 【详解】由得且不全部是的元素， 令，则，所以集合个数等于集合的个数， 即的真子集个数，为个， 故选：B. 3．AC 【分析】根据题意可确定C的元素情况，由此一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由题意得，，又. 所以，，故A正确； 当时，不满足，B错误， 集合的个数等价于集合的非空子集的个数， 所以集合的个数为，故C正确，D错误， 故选：AC. 4．BC 【分析】根据真子集的性质、子集个数公式，结合集合的描述法逐一判断即可. 【详解】A：根据真子集的定义可知：任何集合都不是它自身的真子集，所以本选项说法不正确； B：集合中有四个元素，所以它的子集个数为，所以本选项说法正确； C：因为， 所以与均表示4的倍数与2的和所组成的集合， 所以，因此本选项说法正确； D：对于，当时，， 即，但， 所以两个集合不相等，因此本选项说法不正确. 故选：BC. 5．3 【分析】先求解集合，然后可得答案. 【详解】，所以的真子集有个. 故答案为：3 6．31 【分析】利用列举法解出该集合，结合真子集的定义即可求解. 【详解】共5个元素， 则真子集的个数是. 故答案为：31 解题策略： 1.假设集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集有2n个；(2)A的非空子集有(2n－1)个；(3)A的真子集有(2n－1)个. 2.求给定集合的子集的两个注意点： (1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身. 【题型三】由集合间的包含关系求参数 1．（2024·北京海淀·二模）已知集合.若，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C． D．-2 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 4．（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或或 三、填空题 5．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则 . 6．（23-24高一下·上海·期中）已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 参考答案： 1．C 【分析】根据集合的包含关系可得求解. 【详解】由于，所以， 故的最大值为， 故选：C 2．C 【分析】本题根据子集的含义可得集合A为空集或为非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解. 【详解】，, 故当时，易求； 当时，由得，或2. 综上得： 故选:C． 3．ABC 【分析】空集是任何一个集合的子集，由，分别对和进行分类讨论求实数的值. 【详解】解得，则. 当时，方程无解，则； 当时，方程有解，则且， 因为，所以，因此，即或，即. 综上所述，时,的值为. 故选：ABC. 4．ABC 【分析】解一元二次方程求得集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念即可逐一判断． 【详解】依题意可得， 对于A，若，则，解得，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，当时，则，解得或，故C正确； 对于D，当时，，故D错误． 故选：ABC． 5． 【分析】根据集合相等求得，从而求得正确答案. 【详解】依题意可知，由于， 所以，此时， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 6． 【分析】利用建立不等关系，求解即可. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 解题策略： 由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 (1)注意点：①不能忽视集合为的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论. (2)常用方法：对于用不等式给出的集合，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误. 当堂温习 1．（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南贵州·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·福建三明·期中）设，若，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．0 4．（23-24高一上·山东·期中）已知，，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高一上·山东临沂·期末）集合，，且，则实数 ． 6．（2021高一·上海·专题练习）给出下列选项，其中正确的有 （1）∈{{ }} （2）⊆{{ }} （3）∈{ } （4）{ } 参考答案： 1．C 【分析】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】，故A错误； ，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确. 故选：C. 2．A 【分析】先确定集合A中的元素，再确定两个集合的关系. 【详解】由题意可得，所以. 故选：A 3．ABD 【分析】分、两种情况讨论，分别确定集合，即可求出参数的值. 【详解】因为，且， 当时，，符合题意； 当时，，又，所以或，解得或， 综上，或或. 故选：ABD 4．BCD 【分析】明确集合A，B分别是数集和点集，根据集合的相等的概念以及元素和集合的关系，一一判断各选项，即得答案. 【详解】由题意知，A表示的为数集， 表示的是点集， 则，A错误； ，故，B正确； 1是一个数，B代表点集，故，C正确； 由于，故，D正确， 故选：BCD 5． 【分析】根据集合关系，可得，从而可求解. 【详解】由题意得， 则，解得. 故答案为：. 6．（2）（3）（4） 【分析】结合空集、元素与集合、集合与集合的关系确定正确结论. 【详解】对于（1），不是{{}}的元素，故不正确；对于（2），是任何集合的子集，所以是{{}}的子集，故正确；对于（3），是{}的元素，故正确；对于（4），是任何非空集合的真子集，{}有一个元素，是非空集合，故正确. 故答案为：（2）（3）（4）. 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 2．（21-22高三上·江西赣州·期中）已知、，若，则的值为（    ） A． B．0 C． D．或 3．（2024·全国·模拟预测）已知，则（     ） A．0 B．2 C． D．0或2 4．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知集合，，，则实数的值为（    ） A．2 B．或2 C．1或2 D．0或2 二、多选题 5．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）若，则称集合为幸福集合.对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．幸福集合个数为7 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 6．（22-23高一上·四川眉山·阶段练习）若集合 ， 则的值可能为（    ） A． B． C．0 D． 7．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）下列关系正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知集合，则集合的子集有 . 9．（2024高一上·全国·专题练习）若集合，则能使成立的a的取值集合为 ． 10．（2023高一上·全国·专题练习）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 四、解答题 11．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 12．（23-24高一上·广东佛山·期末）设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 参考答案： 1．C 【分析】分和两种情况由可求出的值，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数. 【详解】当时，，满足， 当时，，因为，所以或，得或， 综上，实数取值的集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为， 故选：C 2．C 【分析】根据集合相等则元素相同，再结合互异性，计算即可得解. 【详解】由 且，则， ∴，于是，解得或, 根据集合中元素的互异性可知应舍去， 因此，, 故． 故选：C. 3．B 【分析】 根据集合关系及元素与集合的关系列方程求解计算即可. 【详解】当时，由知，，又，所以，不满足集合元素的互异性； 当时，由知，，又，无解； 当时，由知，，又，无解； 当时，由知，，又，所以，所以； 综上，则2. 故选：B 4．A 【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得. 【详解】由，得，即，此时， 由，得，而，所以. 故选：A 5．BD 【分析】根据题意写出所有的幸福集合，逐项分析即可得解. 【详解】具有“幸福关系”的元素组有：三组， 含一组的有，，共3个， 含二组的有，，共3个， 含三组的有共1个. 所以M的非空子集中幸福集合的个数为7个，故A错B对； 其中不含1的幸福集合个数为3个，故C错误； 其中元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确. 故选：BD 6．AB 【分析】本题应用集合之间的关系,分二次项系数是否为0两种情况,分别根据判别式和一次方程的根,解出. 【详解】根据题意， 只有一个实数根， 当 时，化为， 所以； 当 时，， 则， 又是方程的解， 所以， 得． 故答案为: 7．BCD 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】因为是整数，所以，故A错误； 因为为无理数，所以，故B正确； 因为，所以，故C正确； 由于为正整数集，为自然数集，为整数集，所以，故D正确. 故选：BCD. 8．，，， 【分析】先求出集合，再列出它的子集即可. 【详解】∵， 所以集合的子集有：，，，. 故答案为：，，， 9．或 【分析】根据，进行讨论和，求解参数范围. 【详解】当，则时，； 当，则时，， 要使，须有，解得， 综上可知，能使成立的a的取值集合为或． 故答案为：或 10． 【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解. 【详解】解：由题意，若，则或， 检验可知不满足集合中元素的互异性， 所以，则， 所以，则， 故. 故答案为：. 11．(1) (2) 【分析】（1）先根据得到，结合方程的两根得到方程，求出； （2），故，结合方程的两根得到不等式，求出. 【详解】（1）因为，故， 又的两根分别为， 故， 故； （2）因为，故， 又的两根分别为， 故，解得， 故实数的取值范围是. 12．(1)，是的真子集； (2)． 【分析】（1）当时求出集合A与B，再判断关系； （2）求出集合B，注意对与分类讨论，根据，列方程求解． 【详解】（1） 当时，， 所以B是A的真子集． （2）． 若，则，是真子集成立； 若，则，因为是A真子集， 或，所以或． 所以的值组成的集合． 【能力篇】 一、单选题 1．（23-24高三上·安徽·期中）若集合有7个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高一上·山东·期中）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 三、填空题 3．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）若集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{b}，则b的值为 ． 四、解答题 4．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 参考答案： 1．A 【分析】根据集合有7个真子集，由集合中包含3个元素求解. 【详解】解：因为集合有7个真子集， 所以集合中包含3个元素， 所以， 解得. 故选：A 2．ABC 【分析】首先求出集合A，然后结合的条件，对集合B中的参数a分类讨论即可得答案. 【详解】解：，且，则： ①当时，或，解得或，A适合题意； ②若，则，解得， ③若，则，此时无解， ④若，则，此时无解，不合题意； 综上：的值为0和-1. 故选：ABC. 3．或 【分析】根据题意可得集合有且只有一个元素，再分和两种情况讨论求解． 【详解】根据题意，集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{b}， 则集合中只有一个元素，即只有一个实数根， ①当时，化为，解得， 此时集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{x|x＝}，则b＝； ②当时，，则a＝1， 此时集合{x|x2+2x+1＝0}＝{x|x＝}，故b＝； 所以的值为或. 故答案为：或． 4．(1)0或 (2) (3) 【分析】（1）分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （2）分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （3）分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解. 【详解】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 【培优篇】 一、单选题 1．（22-23高一下·湖南岳阳·期中）已知集合.对于，，定义A与B之间的距离为 .若集合M满足：，且任意两元素间的距离均为2，则集合M中元素个数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 二、多选题 2．（22-23高一上·重庆渝中·阶段练习）对于一个非空集合，如果满足以下四个条件： ① ② ③，若且，则 ④，若且，则 就称集合B为集合A的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（    ） A．设，则满足是集合A的一个“偏序关系”的集合共有4个 B．设，则集合是集合A的一个“偏序关系” C．设，则含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个 D．是实数集的一个“偏序关系 三、填空题 3．（22-23高二下·北京·期中）已知全集，非空集合. 若在平面直角坐标系中，对中的任意点，与关于轴、轴以及直线对称的点也均在中，则以下命题： ①若，则； ②若，则S中至少有8个元素； ③若，则S中元素的个数可以为奇数； ④若，则. 其中正确命题的序号为 ． 参考答案： 1．A 【分析】由题中条件可得：R3中含有8个元素，先阅读然后再理解定义得：可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，即或，得解. 【详解】由题中条件可得：R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点， 已知集合M中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点， 所以 或, 故集合M中元素个数最大值为4， 故选： 2．BCD 【分析】根据“偏序关系”的定义逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为，所以由“偏序关系”可知集合，或，或，共3个，所以A错误， 对于B，因为，所以由“偏序关系”可知集合是集合A的一个“偏序关系”，所以B正确， 对于C，由②可知集合B中必须含有，由③可知与，与，与不能同时出现， 所以再从，，，，，中取一个，共6个，即含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个，所以C正确， 对于D，满足①②， 因为，所以满足③， 因为，所以，所以，满足④， 所以是实数集的一个“偏序关系，所以D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点睛：此题考查集合的新定义，解题的关键是正确理解集合B为集合A的一个“偏序关系”的定义，考查理解能力，属于较难题. 3．①④ 【分析】①根据定义和点关于坐标轴对称的性质可判断； ②若，则中至少有4个元素，故错误； ③若，则中元素的个数一定为成对出现，故为偶数； ④根据，显然图象关于轴，轴，和轴对称，判断即可． 【详解】中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称. 所以当，则有，，， 进而有：，，，， ①若，则，故①正确； ②若，则，，，能确定4个元素，故②不正确； ③根据题意可知，，若，能确定4个元素， 当，也能确定个，当，也能确定8个所以， 则中元素的个数一定为偶数，故③错误； ④若，由中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称可知， 则，，，即， 即，故④正确， 综上：①④正确. 故答案为：①④. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$