1.1第2课时　集合的表示方法-2024-2025学年高一上学期必修第一册数学同步学案（自主预习+题型研析+当堂温习+分层练习）（人教2019A版专用）

1.1第2课时　集合的表示方法（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】列举法表示集合 2 【题型二】描述法表示集合 3 【题型三】集合表示方法的综合应用 4 【当堂温习】 5 【分层练习】 6 考试要求： 1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法). 2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合. 素养要求： 在学习过程中提升数学抽象和数学运算素养，常在集合的表示方法中用到等价转化思想和分类讨论的思想. 自主预习 一、列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 二、描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法. 题型研析 【题型一】列举法表示集合 一、单选题 1．（2024·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 2．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）方程组的解构成的集合是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）给出下列说法，其中不正确的是（ ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为为所有实数}或 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 4．（23-24高一上·陕西汉中·期中）下列说法中不正确的是（ ） A．0与表示同一个集合； B．集合与是两个相同的集合； C．方程的所有解组成的集合可表示为； D．集合可以用列举法表示． 三、填空题 5．（23-24高二下·浙江宁波·期中）用列举法表示集合的结果为 . 6．（23-24高一上·全国·期末）定义运算，若集合，则 . 解题策略： 用列举法表示集合应注意的两点 (1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素. (2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素. 【题型二】描述法表示集合 一、单选题 1．（2024·河南新乡·三模）下列集合中有无数个元素的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合，，则中元素的最大值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．10 二、多选题 3．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，则满足中有8个元素的的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（23-24高一上·江西·阶段练习）已知集合，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高一上·天津·阶段练习）若，用列举法表示集合 . 6．（23-24高一上·河南商丘·期中）集合中的元素个数为 ． 解题策略： 利用描述法表示集合应注意三点 (1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x|x<1}不能写成{x<1}. (2)所有描述的内容都要写在大括号内.例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表示方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号，即{x|x＝2k，k∈Z}. (3)不能出现未被说明的字母. 【题型三】集合表示方法的综合应用 一、单选题 1．（2023·江西·模拟预测）已知实数集合，若， 则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 2．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）方程和方程的所有实数解组成的集合为，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 3．（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）对于集合.给出如下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果.那么 D．若.对于，则有 4．（22-23高一·全国·课堂例题）在整数集中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4．则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．若整数a，b属于同一“类”，则，反之也成立 三、填空题 5．（21-22高三上·山西忻州·期末）设集合，则集合M中所有元素的和为 ． 6．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，方程的解集是 ． 解题策略： 若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键. 当堂温习 一、单选题 1．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 2．（2023高一·全国·竞赛）已知集合、，，若满足，则称集合为正序集合，，若满足且，称集合为波浪集合，若，则称集合为正序集合的波浪集合．如正序集合的波浪集合为．已知正序集合，则集合的波浪集合的个数为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 二、多选题 3．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）一次函数与图象的交点组成的集合可以表示为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·江西·阶段练习）以下命题中正确的是（    ） A．所有正数组成的集合可表示为 B．大于2020小于2023的整数组成的集合为 C．全部三角形组成的集合可以写成{全部三角形} D．中的元素比中的元素只多一个元素0，它们都是无限集 三、填空题 5．（23-24高一上·江苏淮安·开学考试）若，，用列举法表示 ． 6．（23-24高一上·上海静安·期中）方程的解集为 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（2022高一上·全国·专题练习）下列命题中正确的（    ） ①与表示同一个集合； ②由组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上语句都不对 2．（2024高一上·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 3．（2022高一上·全国·专题练习）设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24高一上·河北·阶段练习）用性质描述法表示平面内第二象限的点构成的集合，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 二、多选题 5．（22-23高一上·湖北十堰·阶段练习）给出下列说法，其中正确的是（    ） A．集合用列举法表示为{0，1} B．实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R} C．方程组的解组成的集合为 D．方程的所有解组成的集合为 6．（22-23高一上·陕西商洛·期中）集合，集合A还可以表示为（    ） A． B． C． D． 7．（21-22高一上·广东广州·阶段练习）下列四个命题：其中不正确的命题为（    ） A．{0}是空集 B．若，则 C．集合有两个元素 D．集合是有限集 三、填空题 8．（23-24高一上·全国·课后作业）方程与方程所有解组成的集合中共有 个元素． 9．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 . 10．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，，则 ． 四、解答题 11．（22-23高一·全国·课堂例题）指出下列集合的含义： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 12．（2024高一上·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． (5)由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合. 【能力篇】 一、单选题 1．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（21-22高一上·湖南邵阳·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．在直角坐标平面内，第一､三象限的点的集合为 B．方程的解集为 C．集合与是相等的 D．若，则 三、填空题 3．（23-24高一上·上海徐汇·期中）集合可用列举法表示为 ． 四、解答题 4．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）用适当的方法表示下列集合： (1)大于1且不大于17的质数组成的集合； (2)所有奇数组成的集合； (3)平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合； (4)； 【培优篇】 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，定义集合，则中元素的个数为（    ） A．77 B．49 C．45 D．30 二、多选题 2．（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 三、填空题 3．（22-23高一上·上海杨浦·期中）已知集合，若且，则满足条件的正整数的个数为 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1第2课时　集合的表示方法（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】列举法表示集合 2 【题型二】描述法表示集合 5 【题型三】集合表示方法的综合应用 7 【当堂温习】 11 【分层练习】 14 考试要求： 1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法). 2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合. 素养要求： 在学习过程中提升数学抽象和数学运算素养，常在集合的表示方法中用到等价转化思想和分类讨论的思想. 自主预习 一、列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 二、描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法. 题型研析 【题型一】列举法表示集合 一、单选题 1．（2024·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 2．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）方程组的解构成的集合是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）给出下列说法，其中不正确的是（ ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为为所有实数}或 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 4．（23-24高一上·陕西汉中·期中）下列说法中不正确的是（ ） A．0与表示同一个集合； B．集合与是两个相同的集合； C．方程的所有解组成的集合可表示为； D．集合可以用列举法表示． 三、填空题 5．（23-24高二下·浙江宁波·期中）用列举法表示集合的结果为 . 6．（23-24高一上·全国·期末）定义运算，若集合，则 . 参考答案： 1．D 【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出的取值集合. 【详解】因为集合的元素之和为1， 所以一元二次方程有等根时，可得，即， 当方程有两不相等实根时，，即， 综上，实数a 所有取值的集合为. 故选：D 2．D 【分析】首先解出方程组，再由列举法表示出解集. 【详解】由，解得， 所以方程组的解构成的集合是. 故选：D 3．BCD 【分析】根据集合的表示法可以依次判断. 【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1，所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，R就表示实数集，实数集用为错误表示，另外花括号具有所有的意义，描述内容中不能再出现所有字眼，故B错误； 对于C，解集应为，原表示错误，故C错误； 对于D，集合为y的取值集合，集合表示上点的集合，所以两个集合不是同一个集合，故D错误； 故选：BCD. 4．ACD 【分析】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论. 【详解】0是元素不是集合，表示以0为元素的一个集合，故A错误； 集合与的构成元素完全相同，所以是两个相同的集合，故B正确； 方程的所有解组成的集合可表示为，集合中的元素是不同的，故C错误； 集合表示大于小于的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，故不可以用列举法表示，故D错误． 故选：ACD. 5． 【分析】根据题意可知为的约数，求得的取值，用列举法表示集合即可. 【详解】由可知为的约数，所以， 因为，所以，此时， 集合为. 故答案为：. 6． 【分析】根据给定运算，利用列举法计算即得. 【详解】依题意，由，当时，，则， 当时，，则，当时，，则， 所以. 故答案为： 解题策略： 用列举法表示集合应注意的两点 (1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素. (2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素. 【题型二】描述法表示集合 一、单选题 1．（2024·河南新乡·三模）下列集合中有无数个元素的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合，，则中元素的最大值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．10 二、多选题 3．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，则满足中有8个元素的的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（23-24高一上·江西·阶段练习）已知集合，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高一上·天津·阶段练习）若，用列举法表示集合 . 6．（23-24高一上·河南商丘·期中）集合中的元素个数为 ． 参考答案： 1．D 【分析】求出各个选项的元素个数即可得出答案. 【详解】对于A，因为，，则，，故A 错误； 对于B，因为，，则， 所以，故B错误； 对于C，，，所以，故C错误； 对于D，有无数个元素.故D正确. 故选：D. 2．C 【分析】根据B中元素的特征，只需满足即可得解. 【详解】由题意， . 故选：C 3．AC 【分析】根据题意依次讨论当为时，集合中的元素个数. 【详解】当时，满足的有，即集合中有8个元素，符合题意，故A正确； 当时，满足的有，即集合中有4个元素，不符合题意，故B错误； 当时，满足的有，即集合中有8个元素，符合题意，故C正确； 当时，满足的有，即集合中有6个元素，不符合题意，故D错误. 故选：AC. 4．ABD 【分析】由描述法得各集合中元素的共同特征，由，，，分别设出的特征表达式，通过运算及变形整理找到新元素的特征归属即可. 【详解】因为，可设，，， 选项A，， 则，故A正确； 所以， 则，故B正确； 所以，其中， 则，故C错误； 所以，其中， 则，故D正确. 故选：ABD. 5． 【分析】由集合的含义解方程可得结果. 【详解】由题意可知，是方程的一个根，则， 代入方程，即，解得或， 所以， 故答案为： 6．6 【分析】利用4的因数结合集合的描述法一一计算即可. 【详解】因为，即， 所以的可能取值为，分别代入可得， 所以集合中共有6个元素. 故答案为：6 解题策略： 利用描述法表示集合应注意三点 (1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x|x<1}不能写成{x<1}. (2)所有描述的内容都要写在大括号内.例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表示方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号，即{x|x＝2k，k∈Z}. (3)不能出现未被说明的字母. 【题型三】集合表示方法的综合应用 一、单选题 1．（2023·江西·模拟预测）已知实数集合，若， 则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 2．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）方程和方程的所有实数解组成的集合为，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 3．（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）对于集合.给出如下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果.那么 D．若.对于，则有 4．（22-23高一·全国·课堂例题）在整数集中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4．则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．若整数a，b属于同一“类”，则，反之也成立 三、填空题 5．（21-22高三上·山西忻州·期末）设集合，则集合M中所有元素的和为 ． 6．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，方程的解集是 ． 参考答案： 1．A 【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可. 【详解】当，时，，或任意，（舍去）； 当，时，，，不成立， 所以，，. 故选：A. 2．C 【分析】根据题意解方程求集合，即可结果. 【详解】对于方程，解得或； 对于方程，解得或； 所以集合，有3个元素. 故选：C. 3．AC 【分析】对于A：设，则，进而分析判断；对于B：先说明，再取特值，分析判断；对于C：令，，可知对任意，均有，所以，故C正确；对于D：取特值，分析判断. 【详解】对于选项A：因为，，设， 则， 因为，则， 所以，故A正确； 对于选项B：因为，不妨设， 若，则； 若，则为奇数； 若，则； 综上可知：. 显然，令，则，故B错误； 对于选项C：令，，则， 即对任意，均有，所以，故C正确； 对于选项D：由选项B可知：，故D错误. 故选：AC. 4．CD 【分析】根据“类”的定义对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】表示被5除所得余数为k的所有整数． ∵，∴，故A不正确． ∵，∴，故B不正确． ∵任一整数被5除所得余数可能为0，1，2，3，4，∴，故C正确． ∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除所得余数相同， ∴被5除所得余数为0，∴；反之也成立．故D正确． 故选：CD. 5． 【分析】用列举法列举出集合中的所有元素，计算即可求解. 【详解】因为且， 所以时，，符合题意； 时，，符合题意； 时，，符合题意； 时，，符合题意； 时，，符合题意； 时，，符合题意； 时，，则时不符合题意； 所以集合共有个元素，元素之和为. 故答案为：. 6． 【分析】根据给定的方程，分段去绝对值符号求解即得. 【详解】当时，，， 则方程恒成立，因此； 当时，，， 原方程为，解得，显然无解； 当时，，， 原方程为，解得，显然无解； 当时，，， 则方程恒成立，因此， 所以方程的解集是. 故答案为： 解题策略： 若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键. 当堂温习 一、单选题 1．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 2．（2023高一·全国·竞赛）已知集合、，，若满足，则称集合为正序集合，，若满足且，称集合为波浪集合，若，则称集合为正序集合的波浪集合．如正序集合的波浪集合为．已知正序集合，则集合的波浪集合的个数为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 二、多选题 3．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）一次函数与图象的交点组成的集合可以表示为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·江西·阶段练习）以下命题中正确的是（    ） A．所有正数组成的集合可表示为 B．大于2020小于2023的整数组成的集合为 C．全部三角形组成的集合可以写成{全部三角形} D．中的元素比中的元素只多一个元素0，它们都是无限集 三、填空题 5．（23-24高一上·江苏淮安·开学考试）若，，用列举法表示 ． 6．（23-24高一上·上海静安·期中）方程的解集为 参考答案： 1．B 【分析】变量分别从集合中取值即可，要做到不重不漏. 【详解】当时，； 当时，； 当或时，； 所以. 故选：B. 2．D 【分析】根据给定的定义，按第2、第4位置的数分别为3、5，5、3，4、5，5、4写出波浪集合即可. 【详解】集合的波浪集合为，， ，共16个． 故选：D 3．BD 【分析】联立求出交点坐标，得到集合. 【详解】联立与，解得， 故一次函数与图象的交点组成的集合为或. 故选：BD 4．AD 【分析】由集合的概念和集合的表示方法，即可得到答案. 【详解】正数均大于0，故所有正数的集合应表示为，故A正确； 大于2020小于2023的整数组成的集合应表示为或，故B不正确； 全部三角形组成的集合应表示为{三角形}或{是三角形}，故C不正确； 为自然数集，为正整数集，故中的元素比中的元素只多一个元素0，它们都是无限集，故D正确. 故选：AD. 5． 【分析】由集合的性质求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 6． 【分析】整理得到，解得答案. 【详解】，即， 即，解得，或. 故答案为： 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（2022高一上·全国·专题练习）下列命题中正确的（    ） ①与表示同一个集合； ②由组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上语句都不对 2．（2024高一上·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 3．（2022高一上·全国·专题练习）设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24高一上·河北·阶段练习）用性质描述法表示平面内第二象限的点构成的集合，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 二、多选题 5．（22-23高一上·湖北十堰·阶段练习）给出下列说法，其中正确的是（    ） A．集合用列举法表示为{0，1} B．实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R} C．方程组的解组成的集合为 D．方程的所有解组成的集合为 6．（22-23高一上·陕西商洛·期中）集合，集合A还可以表示为（    ） A． B． C． D． 7．（21-22高一上·广东广州·阶段练习）下列四个命题：其中不正确的命题为（    ） A．{0}是空集 B．若，则 C．集合有两个元素 D．集合是有限集 三、填空题 8．（23-24高一上·全国·课后作业）方程与方程所有解组成的集合中共有 个元素． 9．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 . 10．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，，则 ． 四、解答题 11．（22-23高一·全国·课堂例题）指出下列集合的含义： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 12．（2024高一上·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． (5)由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合. 参考答案： 1．C 【分析】根据集合的定义和表示方法分别进行判断． 【详解】 ①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误； ②符合集合中元素的无序性，正确； ③不符合集合中元素的互异性，错误； ④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示，错． 故选：C 2．B 【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】对于A，1不能表示一个集合，故错误； 对于B，因为集合中的元素具有无序性，故正确； 对于C，因为集合的元素具有互异性，而中有相同的元素，故错误； 对于D，因为集合中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误. 故选：B. 3．B 【分析】 根据给定条件计算出所有的值，再借助集合中元素的性质即可作答. 【详解】 ，时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素． 故选：B． 4．D 【分析】直接利用集合的描述法得到答案. 【详解】表示平面内第二象限的点构成的集合为且. 故选：D. 5．AD 【分析】化简集合判断A；利用集合的意义及集合的表示法判断B，C，D作答. 【详解】对于A，由，得或或，而， 因此集合用列举法表示为{0，1}，A正确； 对于B，集合表示中的符号“{}”已包含“所有”、“全体”等含义，而符号“R”已表示所有的实数构成的集合， 所以实数集可以表示为{x|x为实数}或R，B不正确； 对于C，方程组的解是有序实数对，而集合表示两个等式组成的集合，C不正确； 对于D，由，得且，则所有解组成的集合为，D正确. 故选：AD 6．BCD 【分析】用列举法表示集合及各选项的集合，对比即可得出答案. 【详解】， 选项A，不符合； 选项B，，符合； 选项C，符合； 选项D，，符合， 故选：BCD. 7．ABC 【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】解：A. {0}中有元素0，不是空集，错误； B. 若，则，错误； C.，集合中只有一个元素，错误； D.集合是有限集，正确. 故选：ABC. 8．2 【分析】分别求两个方程的解，即可判断集合中元素的个数. 【详解】，得，，得， 所以两个方程的解组成的集合为，共有2个元素. 故答案为：2 9． 【分析】根据给定条件，利用二次根式有意义求解即得. 【详解】不等式中，，解得， 当时，原不等式为恒成立， 所以不等式的解集是. 故答案为： 10． 【分析】根据求出对应的值，即可得出. 【详解】∵由题意， ∴当时，；当时，；当时，， ∴. 故答案为：. 11．(1)表示函数的自变量的所有取值组成的集合． (2)表示函数的所有函数值组成的集合． (3)表示方程的解集，即． (4)表示函数图象上所有的点组成的集合． (5)表示二元一次方程组的解集，即． 【分析】（1）、（2）、（3）、（4）、（5）根据集合的研究对象求得正确答案. 【详解】（1）集合表示函数的自变量的所有取值组成的集合． （2）集合表示函数的所有函数值组成的集合． （3）集合表示方程的解集，即． （4）集合表示函数图象上所有的点组成的集合． （5）集合表示二元一次方程组的解集，即． 12．(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）写出大于1且小于6的整数即可；（2）求出方程的根即可；（3）解不等式即可求解；（4）写出符合条件的坐标即可；（5）分类讨论即可. 【详解】（1）大于1且小于6的整数组成的集合为； （2） （3） （4） （5）由题意， 当时，＋； 当时，＋； 当时，＋； 当时，＋， 故由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合为. 【能力篇】 一、单选题 1．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（21-22高一上·湖南邵阳·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．在直角坐标平面内，第一､三象限的点的集合为 B．方程的解集为 C．集合与是相等的 D．若，则 三、填空题 3．（23-24高一上·上海徐汇·期中）集合可用列举法表示为 ． 四、解答题 4．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）用适当的方法表示下列集合： (1)大于1且不大于17的质数组成的集合； (2)所有奇数组成的集合； (3)平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合； (4)； 参考答案： 1．D 【分析】根据对描述法表示的集合的理解，设出的表示形式，得到，判断其与集合的关系即可. 【详解】因为，， 则由题意可设，，其中， 则，且， 故， 故选：D． 2．BCD 【分析】根据集合的定义依次判断即可求解. 【详解】对于A，因为，所以或，所以集合为表示直角坐标平面内第一､三象限的点的集合，故A正确； 对于B，方程的解集为，故B错误； 对于C，集合表示直线上的点，集合表示函数的定义域，所以集合与不相等，故C错误； 对于D，，所以，故D错误. 故选：BCD. 3． 【分析】根据集合描述法与列举法的定义求解. 【详解】由可知， 所以只能取，又，所以， 即集合中的元素为，故列举法表示为. 故答案为： 4．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）结合质数的概念以及列举法即可求解. （2）由奇数的概念以及描述法即可求解. （3）由描述法即可求解. （4）用列举法即可求解. 【详解】（1）大于1且不大于17的质数组成的集合. （2）所有奇数组成的集合. （3）平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合. （4）. 【培优篇】 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，定义集合，则中元素的个数为（    ） A．77 B．49 C．45 D．30 二、多选题 2．（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 三、填空题 3．（22-23高一上·上海杨浦·期中）已知集合，若且，则满足条件的正整数的个数为 . 参考答案： 1．C 【分析】根据题意作出图示表示集合A、B所表示的点，由数形结合思想可得出表示的点集的横坐标和纵坐标的范围，从而可得出中元素的个数. 【详解】， 则集合中有5个元素，即5个点，如下图中黑点所示， 集合中有25个元素（即25个点）， 即下图中正方形内部及正方形边上的整点， 所以或或或或或或，共7个值； 所以或或或或或或，共7个值， 所以集合中的元素可看作下图中正方形内部及正方形边上除去四个顶点外的整点，共（个）． 故选：C. 2．AD 【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有， 故A正确. 对于B，不是空集，故B错误. 对于C，，而， 故两个集合不是同一个集合，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：AD. 3． 【分析】根据题意，进而结合若且求解即可. 【详解】解：注意到，集合表示的是4位7进制数的集合， 在4位7进制数中，最小的4位7进制数为，即， 最大的4位7进制数为，即， 所以，集合 因为且， 所以， 所以，满足条件的正整数的个数为. 故答案为： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$