1.1 第1课时 集合的含义-2024-2025学年高一上学期必修第一册数学同步学案（自主预习+题型研析+当堂温习+分层练习）（人教2019A版专用）

1.1第1课时　集合的含义（新高考专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】对集合概念的理解 2 【题型二】元素与集合的关系 4 【题型三】元素特性的应用 4 【当堂温习】 5 【分层练习】 6 考试要求： 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. 素养要求： 在集合概念的形成中，经历由具体到抽象、由自然语言和图形语言到符号语言的表达过程，发展学生的数学抽象素养和数学运算素养. 自主预习 一、元素与集合的相关概念 (1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示； (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示. 二、集合中元素的特征 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 三、元素与集合的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 四、常用的数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 题型研析 【题型一】对集合概念的理解 一、单选题 1．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）下列说法中，能构成集合的是（    ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 二、多选题 3．（23-24高一上·江西景德镇·期中）下列几组对象可以组成集合的有（    ） A．高中数学必修第一册课本中所有的难题 B．2023年参加杭州亚运会的全体运动员 C．小于9的所有素数 D．高一年级视力比较好的同学 4．（23-24高一上·全国·课后作业）考察下列每组对象，能构成集合的是（    ） A．中国各地的美丽的乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于的自然数 D．我省参加高考的学生 三、填空题 5．（22-23高一上·上海浦东新·期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 . ①上海市2022年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 6．（22-23高一·全国·课后作业）下列各种对象的全体可以构成集合的是 ．（填写序号） ①高一（1）班优秀的学生；             ②高一年级身高超过1.60m的男生； ③高一（2）班个子较高的女生；         ④数学课本中的难题． 解题策略： 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合. 【题型二】元素与集合的关系 一、单选题 1．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 二、多选题 3．（23-24高一上·福建南平·阶段练习）集合有且只有2个元素构成，且满足“且，且”，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知为非零实数，代数式的值组成的集合A，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高一上·山西运城·阶段练习）有下列各组关系或说法：①；②；③；④；⑤集合是由所有平行四边形构成的集合，则某个正方形是集合的元素.其中正确的个数是 . 6．（23-24高一上·北京·期中）不等式的解集为A，若，则实数的取值范围是 . 解题策略： 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现. (2)推理法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征. 【题型三】元素特性的应用 一、单选题 1．（21-22高一·全国·课后作业）由，4组成一个集合A，且A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．1 B． C． D．2 2．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合组成，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 二、多选题 3．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）由组成一个集合，中含有3个元素，则实数的取值可以是（    ） A． B．2 C．3 D．6 4．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合组成，若，则的取值为（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 三、填空题 5．（2024高一上·全国·专题练习）若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ． 6．（23-24高一上·全国·课后作业）若，，1组成的集合与组成的集合为同一个含3个元素的集合，则的值为 ． 解题策略： 利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点 (1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对求得的参数值进行检验. (2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用. 当堂温习 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆·期中）下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 2．（2022高一上·全国·专题练习）下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 二、多选题 3．（21-22高一上·全国·课后作业）已知集合A中有个元素，，，且当时，，则可能为（　　） A． B． C． D．或或 4．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）由a2，a-1，1组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．2 B．1 C．-2 D．0 三、填空题 5．（23-24高一上·广东深圳·期中）用符号“”或“”填空：0 ； ；2.4 ； ；4 ． 6．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知关于x的不等式的解集为M，且，则实数a的取值范围是 . 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·甘肃武威·阶段练习）已知是由三个元素组成的集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0，2，3均可 4．（21-22高一上·全国·课后作业）若集合，则下列说法中正确的是（   ） A．a可取全体实数 B．a可取除去0以外的所有实数 C．a可取除去3以外的所有实数 D．a可取除去0和3以外的所有实数 二、多选题 5．（23-24高一上·浙江台州·期中）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·全国·课后作业）集合中的元素满足，且，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．小于等于1 7．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）下列对象不能构成集合的是（    ） A．我国近代著名的数学家 B．所有的欧盟成员国 C．空气中密度大的气体 D．我国的小河流 三、填空题 8．（22-23高一下·新疆喀什·阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥0，其中正确的是 .（填序号） 9．（2023高一·全国·课后作业）已知集合A的所有元素为2，4，6，若，且有，则a的值是 . 10．（23-24高一·全国·课后作业）若，则构成集合中的的取值范围是 . 四、解答题 11．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）已知集合A中含有三个元素1，0，x，若，求实数x的值． 12．（22-23高一·全国·课后作业）设，集合中含有三个元素3，，． (1)求实数应满足的条件； (2)若，求实数的值． 【能力篇】 一、单选题 1．（22-23高一上·安徽合肥·期中）下列语言叙述中，能表示集合的是（    ） A．数轴上离原点距离很近的所有点 B．德育中学的全体高一学生 C．某高一年级全体视力差的学生 D．与大小相仿的所有三角形 二、多选题 2．（23-24高一上·新疆伊犁·阶段练习）若集合具有以下三个条件，则称集合为一个“封闭集合”， ①若，则；②若，则；③若，则；据此判断下列集合是封闭集合的有（    ） A．R B． C． D．Q 三、填空题 3．（23-24高一上·四川达州·期中）设关于的不等式的解集为，若且，则的取值范围是 . 四、解答题 4．（22-23高一上·湖南株洲·阶段练习）已知集合A有三个元素，且.求实数. 【培优篇】 一、单选题 1．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 二、填空题 2．（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）设为实数，关于的不等式组的解集为A，若，则的取值范围是 三、解答题 3．（23-24高一上·新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1第1课时　集合的含义（新高考专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】对集合概念的理解 2 【题型二】元素与集合的关系 5 【题型三】元素特性的应用 7 【当堂温习】 10 【分层练习】 12 考试要求： 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. 素养要求： 在集合概念的形成中，经历由具体到抽象、由自然语言和图形语言到符号语言的表达过程，发展学生的数学抽象素养和数学运算素养. 自主预习 一、元素与集合的相关概念 (1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示； (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示. 二、集合中元素的特征 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 三、元素与集合的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 四、常用的数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 题型研析 【题型一】对集合概念的理解 一、单选题 1．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）下列说法中，能构成集合的是（    ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 二、多选题 3．（23-24高一上·江西景德镇·期中）下列几组对象可以组成集合的有（    ） A．高中数学必修第一册课本中所有的难题 B．2023年参加杭州亚运会的全体运动员 C．小于9的所有素数 D．高一年级视力比较好的同学 4．（23-24高一上·全国·课后作业）考察下列每组对象，能构成集合的是（    ） A．中国各地的美丽的乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于的自然数 D．我省参加高考的学生 三、填空题 5．（22-23高一上·上海浦东新·期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 . ①上海市2022年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 6．（22-23高一·全国·课后作业）下列各种对象的全体可以构成集合的是 ．（填写序号） ①高一（1）班优秀的学生；             ②高一年级身高超过1.60m的男生； ③高一（2）班个子较高的女生；         ④数学课本中的难题． 参考答案： 1．A 【分析】根据集合的性质判断各项描述是否能构成集合即可. 【详解】A：比较出名的标准不清，故不能构成集合； B：，方程根确定，可构成集合； C：不小于3的自然数可表示为，可构成集合； D：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合. 故选：A 2．D 【分析】根据集合元素的确定性逐项判断. 【详解】对于选项A：“无限接近”没有判定标准，不满足确定性，故A错误； 对于选项B：“最美乡村”没有判定标准，不满足确定性，故B错误； 对于选项C：“优秀的学生”没有判定标准，不满足确定性，故C错误； 对于选项D：“2022年度国内GDP超过1万亿的地级市”有统一的判定标准，满足确定性，故D正确； 故选：D. 3．BC 【详解】根据集合的知识确定正确答案. 【分析】A选项，“难题”无法确定，所以不能组成集合. B选项，“2023年参加杭州亚运会的全体运动员”可以组成集合. C选项，“小于9的所有素数” 是“”，可以组成集合. D选项，“视力比较好”无法确定，所以不能组成集合. 故选：BC 4．BCD 【分析】根据各选项中的对象是否具有确定性可确定能否构成集合. 【详解】对于A，“美丽的”标准不明确，不符合确定性，无法构成集合，A错误； 对于B，直角坐标系中横、纵坐标相等的点具有确定性，可以构成集合，B正确； 对于C，不小于的自然数具有确定性，可以构成集合，C正确； 对于D，我省参加高考的学生具有确定性，可以构成集合，D正确. 故选：BCD. 5．①②④ 【分析】根据集合的概念即可判断. 【详解】解：对于①，“上海市2022年入学的全体高一年级新生”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于②，“在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于③，“影响力比较大的中国数学家”，其中影响力比较大的没有明确的定义，故不能构成集合； 对于④，“不等式的所有正整数解”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合. 故答案为：①②④. 6．② 【分析】根据集合元素的确定性即可得到答案. 【详解】①中“优秀”，③中“个子较高”，④中“难题”不满足构成集合元素的确定性，而②满足集合元素的性质，故②正确， 故答案为：②. 解题策略： 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合. 【题型二】元素与集合的关系 一、单选题 1．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 二、多选题 3．（23-24高一上·福建南平·阶段练习）集合有且只有2个元素构成，且满足“且，且”，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知为非零实数，代数式的值组成的集合A，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高一上·山西运城·阶段练习）有下列各组关系或说法：①；②；③；④；⑤集合是由所有平行四边形构成的集合，则某个正方形是集合的元素.其中正确的个数是 . 6．（23-24高一上·北京·期中）不等式的解集为A，若，则实数的取值范围是 . 参考答案： 1．B 【分析】根据元素与集合的关系依次判断选项即得. 【详解】对于选项A，因不是正整数，故A项错误； 对于选项B，是无理数，故必是实数，故B项正确； 对于选项C，是分数，故不是整数，故C项错误； 对于选项D，是自然数，故D项错误. 故选：B. 2．C 【分析】根据，分类讨论结合元素的互异性求解即可. 【详解】因为，所以或. 当即时，，满足题意； 当即时， 若，则，满足题意；若，则，不满足题意； 综上，实数的值为或1. 故选：C 3．AC 【分析】根据给定条件，结合集合元素的互异性求出a值即可. 【详解】由，且，得， 由集合有且只有2个元素构成，且满足“且，得，即， 当时，，符合题意；当时，，符合题意， 所以或. 故选：AC 4．CD 【分析】对非零实数的符号分情况进行讨论即可求得所有可能的取值为，即可得出结论. 【详解】依题意，当都为正数，代数值等于4； 当中只有一个负数两个正数，代数值为0； 当中只有一个正数两个负数，代数值为0； 当都为负数，代数值为. 故选：CD 5．2 【分析】借助集合的概念及数集的特点进行判断. 【详解】表示正整数集，故①错误； 表示有理数集，故②正确，③错误； 表示实数集，为实数，故④错误； 所有正方形都是平行四边形，因此某一个特殊的正方形可以作为集合E的元素，故⑤正确. 故答案为：2 6． 【分析】根据，得到，求出答案. 【详解】由题意得，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 解题策略： 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现. (2)推理法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征. 【题型三】元素特性的应用 一、单选题 1．（21-22高一·全国·课后作业）由，4组成一个集合A，且A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．1 B． C． D．2 2．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合组成，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 二、多选题 3．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）由组成一个集合，中含有3个元素，则实数的取值可以是（    ） A． B．2 C．3 D．6 4．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合组成，若，则的取值为（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 三、填空题 5．（2024高一上·全国·专题练习）若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ． 6．（23-24高一上·全国·课后作业）若，，1组成的集合与组成的集合为同一个含3个元素的集合，则的值为 ． 参考答案： 1．C 【分析】逐个选项代入判断是否满足集合的互异性即可. 【详解】对A，当时，，，不满足题意； 对B，当时，，不满足题意； 对C，当时，，，满足题意； 对D，当时，，不满足题意； 故选：C 2．D 【分析】根据元素与集合的关系求出值，然后代入检验即得. 【详解】集合组成，，故有：或， 由解得：或，由解得：， 又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时 ，符合题意. 故选：D. 3．ACD 【分析】根据集合元素互异性求解即可. 【详解】由题意知，，解得且. 所以实数的取值可以是，3,6 故选：ACD 4．CD 【分析】根据题意由或，解得，然后检验元素的互异性即可. 【详解】由于，则或，解得或或， 当时，，满足条件; 当时，，满足条件; 当时，，不满足互异性，舍去. 所以的取值为1或3. 故选：CD. 5．且且 【分析】根据元素的互异性，列出不等式组，求解即可. 【详解】解：由元素的互异性，可知， 解得:且且. 故答案为：且且 6．1 【分析】根据两集合是同一个集合可得，再结合集合中的元素具有互异性可求出，从而可求出的值 【详解】因为，，1组成的集合与组成的集合为同一个集合， 所以，解得，或， 当时，三个元素组成的集合为，符合题意， 当时，集合中有相同的元素，所以不合题意， 综上，， 所以， 故答案为：1 解题策略： 利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点 (1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对求得的参数值进行检验. (2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用. 当堂温习 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆·期中）下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 2．（2022高一上·全国·专题练习）下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 二、多选题 3．（21-22高一上·全国·课后作业）已知集合A中有个元素，，，且当时，，则可能为（　　） A． B． C． D．或或 4．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）由a2，a-1，1组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．2 B．1 C．-2 D．0 三、填空题 5．（23-24高一上·广东深圳·期中）用符号“”或“”填空：0 ； ；2.4 ； ；4 ． 6．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知关于x的不等式的解集为M，且，则实数a的取值范围是 . 参考答案： 1．C 【分析】根据集合的确定性逐项分析判断. 【详解】对于选项ABD：缺乏统一的判断标准，均不满足确定性，故ABD错误； 对于选项C：中国古代四大发明是确定的，符合确定性，所以能构成集合，故C正确. 故选：C. 2．D 【分析】 根据元素与集合的关系逐个判断即可. 【详解】 由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确； 在②中，，故②正确；在③中，不正确，故③错误；在④中，，故④错误； 在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确.所以正确的个数为3. 故选：D. 3．AB 【分析】根据元素与集合的关系分类讨论即可. 【详解】对于A，当时，，满足题意，A正确； 对于B，当时，，满足题意，B正确； 对于C，当时，，不合题意，C错误； 对于D，由ABC知：或，D错误. 故选：AB. 4．CD 【分析】利用集合的互异性即可判断实数a的范围条件，根据选项筛选即可. 【详解】由题意得,解得a≠2且a≠±1，则符合要求的只有CD. 故选：CD. 5． 【分析】根据，和代表的数集，得到答案. 【详解】因为是自然数集，是有理数集，是整数集， 所以. 故答案为：. 6． 【分析】根据元素与集合的关系即可求解. 【详解】由且，得所以. 故答案为： 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·甘肃武威·阶段练习）已知是由三个元素组成的集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0，2，3均可 4．（21-22高一上·全国·课后作业）若集合，则下列说法中正确的是（   ） A．a可取全体实数 B．a可取除去0以外的所有实数 C．a可取除去3以外的所有实数 D．a可取除去0和3以外的所有实数 二、多选题 5．（23-24高一上·浙江台州·期中）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·全国·课后作业）集合中的元素满足，且，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．小于等于1 7．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）下列对象不能构成集合的是（    ） A．我国近代著名的数学家 B．所有的欧盟成员国 C．空气中密度大的气体 D．我国的小河流 三、填空题 8．（22-23高一下·新疆喀什·阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥0，其中正确的是 .（填序号） 9．（2023高一·全国·课后作业）已知集合A的所有元素为2，4，6，若，且有，则a的值是 . 10．（23-24高一·全国·课后作业）若，则构成集合中的的取值范围是 . 四、解答题 11．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）已知集合A中含有三个元素1，0，x，若，求实数x的值． 12．（22-23高一·全国·课后作业）设，集合中含有三个元素3，，． (1)求实数应满足的条件； (2)若，求实数的值． 参考答案： 1．B 【分析】根据集合的定义判断即可. 【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B 2．D 【分析】由元素与集合的关系即可求解. 【详解】由题意. 故选：D. 3．B 【分析】由，可得或，解方程求，再去验证是否符合集合中元素性质即可． 【详解】因为集合是由，，三个元素组成的集合，所以，又，所以或，解方程可得或或，当时，，与已知矛盾，舍去；当时，，与已知矛盾，舍去；当时，，满足题意，，B正确， 故选：B. 4．D 【分析】由集合中元素的互异性可知，解之即可求出结果. 【详解】由集合中元素的互异性可知，即，故，，因此a可取除去0和3以外的所有实数， 故选：D. 5．BCD 【分析】根据常见集合的表示，以及集合与元素之间的关系注意判断即可. 【详解】对于A，因为不是自然数，所以A错误；对于B，因为0不是正整数，所以B正确； 对于C，因为不是有理数，所以C正确；对于D，因为不是有理数，所以D正确. 故选：BCD. 6．AB 【分析】由，且，可求出中的元素，再由可求得的值 【详解】因为，且， 所以的值为0，1，所以， 又，所以或. 故选：AB 7．ACD 【分析】根据集合中的元素要满足确定性即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,“著名”概念模糊，所以不能构成集合， 对于B,所有欧盟成员确定,所以可以构成一个集合, 对于C,“密度大”概念不明确,所以不能构成集合, 对于D,“小河流”概念不明确,所以不能构成集合, 故选：ACD 8．①②⑤⑥ 【分析】根据元素与集合的关系判定即可. 【详解】①是实数，故正确； ②不是有理数，故正确； ③是正整数，故错误； ④不是有理数，故错误； ⑤是整数，故正确； ⑥0是自然数，故正确. 故答案为：①②⑤⑥ 9．2或4 【分析】对，分类讨论即可. 【详解】若，则，符合题意； 若，则，符合题意； 若，则，不符合题意. 故答案为:2或4. 10． 【分析】根据集合互异性，即可得答案. 【详解】根据集合的互异性可得， 所以，即的取值范围是 故答案为： 11． 【分析】利用集合的互异性确定的范围，再由给定元素与集合A的关系列式求解即得. 【详解】依题意，且，于是，并且， 由，得，解得， 所以实数x的值为. 12．(1)且且 (2) 【分析】(1)根据集合元素的互异性列出不等式组，解不等式组即可； (2)分析的取值范围，进而可得. 【详解】（1）根据集合中元素的互异性，可知， 即且且； （2）因为，且， 所以． 【能力篇】 一、单选题 1．（22-23高一上·安徽合肥·期中）下列语言叙述中，能表示集合的是（    ） A．数轴上离原点距离很近的所有点 B．德育中学的全体高一学生 C．某高一年级全体视力差的学生 D．与大小相仿的所有三角形 二、多选题 2．（23-24高一上·新疆伊犁·阶段练习）若集合具有以下三个条件，则称集合为一个“封闭集合”， ①若，则；②若，则；③若，则；据此判断下列集合是封闭集合的有（    ） A．R B． C． D．Q 三、填空题 3．（23-24高一上·四川达州·期中）设关于的不等式的解集为，若且，则的取值范围是 . 四、解答题 4．（22-23高一上·湖南株洲·阶段练习）已知集合A有三个元素，且.求实数. 参考答案： 1．B 【分析】根据集合中元素的确定性逐个判断即可. 【详解】对A，数轴上离原点距离很近的所有点不满足集合中元素的确定性，故A错误； 对B，德育中学的全体高一学生满足集合中元素的确定性，故B正确； 对C，某高一年级全体视力差的学生不满足集合中元素的确定性，故C错误； 对D，与大小相仿的所有三角形不满足集合中元素的确定性，故D错误 故选：B 2．ABD 【分析】根据新定义逐个选项检验即可得解. 【详解】对A，任意两个实数的和、差、积仍是实数，故R是封闭集合，故A正确； 对B，任意两个整数的和、差、积仍是整数，故是封闭集合，故B正确； 对C，取，则，故不是封闭集合，故C错误； 对D，任意两个有理数的和、差、积仍是有理数，故是封闭集合，故D正确； 故选：ABD 3． 【分析】根据已知条件列不等式组，由此求得的取值范围. 【详解】依题意， 解得. 故答案为： 4．或 【分析】分或进行分类讨论并检验. 【详解】因为，所以或， 若，则，此时集合中含有三个元素,符合题意; 若，则或, 当时，集合中含有三个元素,符合题意， 当时，此时集合中含有重复元素,不符合题意，舍去， 所以实数的值是1或. 【培优篇】 一、单选题 1．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 二、填空题 2．（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）设为实数，关于的不等式组的解集为A，若，则的取值范围是 三、解答题 3．（23-24高一上·新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 参考答案： 1．A 【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案． 【详解】由题意，若，， ， ， ， 综上，集合. 所以集合A中所有元素的乘积为. 故选：A. 2． 【分析】根据，建立不等式求解即可求解. 【详解】由题意，， 则或 解得或. 故答案为： 3．(1)且且且且； (2)或或. 【分析】（1）根据集合元素的互异性列出不等式组，解不等式组即可； （2）若，则或，进而求解即可得答案. 【详解】（1）据集合中元素的互异性，可知， 即且且且且； （2）若，则或，解得：或或， 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 故或或. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$