13.3.2　等边三角形 课时作业 　2024-—2025学年人教版数学八年级上册

　等边三角形 【A层 基础夯实】 知识点1　等边三角形的性质和判定 1.如图,在等边△ABC中,∠1=( ) A.60° B.90° C.120° D.150° 2.如图,AB∥CD,△ACE为等边三角形,∠DCE=40°,则∠EAB等于( ) A.40° B.30° C.20° D.15° 3.如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,若AB=5,BD=3,则四边形BDEC的周长为( ) A.8 B.9 C.13 D.15 4.(2024·北京期中)如图,AB=AC=6 cm,DB=DC,若∠ABC=60°,则BE= cm.  5.(易错警示题·概念不清)如图,以AB为边,在AB的同侧分别作正五边形和等边三角形,连接DC,则∠ACD的度数是 .  6.如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q,PQ=3, PE=1. (1)求证:AD=BE; (2)求AD的长. 知识点2　含30°角的直角三角形的性质 7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=4,则AB的长是( ) A.8 B.1 C.2 D.4 8.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的垂直平分线,BE=6,则AC= .  9.如图,已知∠AOB=30°,P是∠AOB的平分线OC上的任意一点,PD∥OA交OB于点D,PE⊥OA于点E,如果OD=10 cm,求PE的长. 【B层 能力进阶】 10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,CD是△ABC的高,且BD=1,则AD的长为( ) A.2.5 B.3 C.3.5 D.4 11.如图,直线m∥n,△ABC是等边三角形,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F,若∠1=140°,则∠2的度数是( ) A.80° B.100° C.120° D.140° 12.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放,若∠1=60°,则△ABC是( ) A.不等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 13.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=30°,且△ABC的面积是4,则AB的长为 .  14.(2024·常州期中)如图,△ABC与△BDE均为等边三角形,点D在AC边上,若 ∠CDE = 32°,则∠CBD的度数为 .  15.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,∠BAD=60°,点E为AD上一点,连接BD,CE相交于点F,CE∥AB. (1)判断△DEF的形状,并说明理由. (2)若AD=10,CE=8,求CF的长. 【C层 创新挑战(选做)】 16.(几何直观、推理能力、应用意识)如图,在△ABC中,AC=10. (1)如图①,分别以AB,BC为边,向外作等边△ABD和等边△BCE,连接AE,CD,则AE CD.(填“>”“<”或“=”)  (2)如图②,分别以AB,BC为腰,向内作等腰△ABD和等腰△BCE,∠ABD=∠CBE<∠ABC,连接AE,CD.猜想AE与CD的数量关系,并说明理由. (3)如图③,以AB为腰向内作等腰△ABD,以BC为腰向外作等腰△BCE,且∠ABD=∠CBE,连接AE,DE,已知点A到直线DE的距离为4,AE=12,求DE的长及点D到直线AE的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　等边三角形 【A层 基础夯实】 知识点1　等边三角形的性质和判定 1.如图,在等边△ABC中,∠1=(C) A.60° B.90° C.120° D.150° 2.如图,AB∥CD,△ACE为等边三角形,∠DCE=40°,则∠EAB等于(C) A.40° B.30° C.20° D.15° 3.如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,若AB=5,BD=3,则四边形BDEC的周长为(C) A.8 B.9 C.13 D.15 4.(2024·北京期中)如图,AB=AC=6 cm,DB=DC,若∠ABC=60°,则BE=　3　cm.  5.(易错警示题·概念不清)如图,以AB为边,在AB的同侧分别作正五边形和等边三角形,连接DC,则∠ACD的度数是　66°　.  6.如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q,PQ=3, PE=1. (1)求证:AD=BE; 【解析】(1)∵△ABC为等边三角形, ∴∠BAC=∠C=60°,AB=AC, 又∵AE=CD,∴△ABE≌△CAD(SAS), ∴AD=BE; (2)求AD的长. 【解析】(2)∵△ABE≌△CAD, ∴∠ABE=∠CAD, ∴∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°, 又∵BQ⊥PQ, ∴∠PBQ=30°, ∴PB=2PQ=6, ∴BE=PB+PE=7, ∴AD=BE=7. 知识点2　含30°角的直角三角形的性质 7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=4,则AB的长是(A) A.8 B.1 C.2 D.4 8.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的垂直平分线,BE=6,则AC=　3　.  9.如图,已知∠AOB=30°,P是∠AOB的平分线OC上的任意一点,PD∥OA交OB于点D,PE⊥OA于点E,如果OD=10 cm,求PE的长. 【解析】过P作PF⊥OB交OB于F, ∵∠AOB=30°,OC平分∠AOB, ∴∠AOC=∠BOC=15°, ∵PD∥OA,∴∠DPO=∠AOP=15°, ∴∠BOC=∠DPO,∴PD=OD=10 cm, ∵∠AOB=30°,PD∥OA,∴∠BDP=30°, ∴在Rt△PDF中,PF=PD=5 cm, ∵OC为角平分线,PE⊥OA,PF⊥OB, ∴PE=PF=5 cm. 【B层 能力进阶】 10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,CD是△ABC的高,且BD=1,则AD的长为(B) A.2.5 B.3 C.3.5 D.4 11.如图,直线m∥n,△ABC是等边三角形,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F,若∠1=140°,则∠2的度数是(B) A.80° B.100° C.120° D.140° 12.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放,若∠1=60°,则△ABC是(D) A.不等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 13.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=30°,且△ABC的面积是4,则AB的长为　4　.  14.(2024·常州期中)如图,△ABC与△BDE均为等边三角形,点D在AC边上,若 ∠CDE = 32°,则∠CBD的度数为　28°　.  15.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,∠BAD=60°,点E为AD上一点,连接BD,CE相交于点F,CE∥AB. (1)判断△DEF的形状,并说明理由. 【解析】(1)△DEF是等边三角形,理由如下: ∵AB=AD,∠BAD=60°,∴△ABD是等边三角形,∴∠ABD=∠ADB=60°, ∵CE∥AB,∴∠CED=∠A=60°,∠DFE=∠ABD=60°, ∴∠CED=∠ADB=∠DFE=60°,∴△DEF是等边三角形; (2)若AD=10,CE=8,求CF的长. 【解析】(2)如图,连接AC交BD于点O, ∵AB=AD,CB=CD, ∴AC是BD的垂直平分线, 即AC⊥BD. ∵AB=AD,∠BAD=60°, ∴∠BAC=∠DAC=30°. ∵CE∥AB, ∴∠BAC=∠ACE=∠CAD=30°, ∴AE=CE=8, ∴DE=AD-AE=10-8=2. ∵△DEF是等边三角形, ∴EF=DE=2, ∴CF=CE-EF=8-2=6. 【C层 创新挑战(选做)】 16.(几何直观、推理能力、应用意识)如图,在△ABC中,AC=10. (1)如图①,分别以AB,BC为边,向外作等边△ABD和等边△BCE,连接AE,CD,则AE 　　　　CD.(填“>”“<”或“=”)  【解析】(1)∵△ABD和△BCE为等边三角形, ∴BD=BA,BC=BE,∠DBA=∠CBE,∴∠DBA+∠ABC=∠CBE+∠ABC,即∠DBC=∠ABE, 在△DBC和△ABE中,, ∴△DBC≌△ABE(SAS),∴AE=CD; 答案:= (2)如图②,分别以AB,BC为腰,向内作等腰△ABD和等腰△BCE,∠ABD=∠CBE<∠ABC,连接AE,CD.猜想AE与CD的数量关系,并说明理由. 【解析】(2)AE=CD,理由如下: ∵△ABD和△BCE为等腰三角形, ∴BD=BA,BC=BE, ∵∠DBA=∠CBE, ∴∠DBA+∠DBE=∠CBE+∠DBE, 即∠ABE=∠DBC, 在△ABE和△DBC中,, ∴△ABE≌△DBC(SAS), ∴AE=CD. (3)如图③,以AB为腰向内作等腰△ABD,以BC为腰向外作等腰△BCE,且∠ABD=∠CBE,连接AE,DE,已知点A到直线DE的距离为4,AE=12,求DE的长及点D到直线AE的距离. 【解析】(3)∵△ABD和△BCE为等腰三角形,且∠ABD=∠CBE, ∴BD=BA,BC=BE, ∵∠ABD=∠CBE, ∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC, 即∠ABC=∠DBE, 在△ABC和△DBE中,, ∴△ABC≌△DBE(SAS), ∴AC=DE=10, 设D到直线AE的距离为h, ∵点A到直线DE的距离为4,AE=12, ∴S△ADE=×10×4=×12·h, ∴h=, 即点D到直线AE的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$