第05讲 等边三角形（3个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（人教版）

第05讲 等边三角形 课程标准 学习目标 ①等边三角形的概念与性质 ②等边三角形的判定 ③含30°角的直角三角形 1. 掌握等边三角形的性质并能够对其熟练应用。 2. 掌握等边三角形的判定方法，能够运用已知条件熟练判定等边三角形。 3. 掌握含30°角的直角三角形的性质并对其熟练应用。 知识点01 等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形的概念： 三条边都 的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的 。 2. 等边三角形的性质：如图 ①等边三角形的三条边都 ，三个角也 ，且三个角都等于 °。 ②等边三角形三条边都存在 。 ③等边三角形是一个 图形，它有 条对称轴，对称轴的交点叫做中心。 【即学即练1】 1．如图，在等边△ABC中，AB＝4，BD是AC边上的高，点E在BC的延长线上，∠ACB＝2∠E，则BE的长为（　　） A．4.5 B．5 C．6 D．9 【即学即练2】 2．如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（　　） A．110° B．105° C．100° D．95° 【即学即练3】 3．如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（　　） A．45° B．55° C．60° D．75° 知识点02 等边三角形的判定 1. 等边三角形的判定： ①定义判定：三条边都 的三角形是等边三角形。 ②判定定理1：三个角 的三角形是等边三角形。或有两个角是 的三角形是等边三角形。 ③判定定理2：有一个角是 的等腰三角形是等边三角形。 【即学即练1】 4．下列三角形： ①有两个角等于60°； ②有一个角等于60°的等腰三角形； ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形； ④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形． 其中是等边三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 【即学即练2】 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，CD平分∠ACB，AE∥DC，交BC的延长线于点E，试说明△ACE是等边三角形． 【即学即练3】 6．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，BE⊥AC于点D，且DE＝DB，试判断△CEB的形状，并说明理由． 知识点02 含30°角的直角三角形的性质 1. 含30°角的直角三角形的性质： 30°角所对的直角边等于斜边的 。 证明如下： 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC。证明BD＝ ∵△ABC是等边三角形 ∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝ 。 ∵AD⊥BC ∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝ BD＝CD＝ BC ∴BD＝ AB。 【即学即练1】 7．如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板的直角边的长为（　　） A．3cm B．6cm C．8cm D．9cm 题型01 利用等边三角形的性质求线段 【典例1】如图所示，将边长为3个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式1】已知等边三角形ABC的周长为12，D是AB的中点，过点D作BC边的平行线交AC于E点，则DE的长是（　　） A． B．1 C．2 D．4 【变式2】如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为　 　． 【变式4】如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，以DE为边作等边△DEF，连接CF．若BD＝1，AE＝3．则CF的长是 　 　． 题型02 利用等边三角形的性质求角 【典例1】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（　　） A．18° B．20° C．30° D．15° 【变式1】如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC的度数为（　　） A．105° B．95° C．85° D．75° 【变式2】如图，△ABC为等边三角形，△ACD为等腰直角三角形，AC＝CD，则直线BC与直线AD的夹角为（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 【变式3】如图，将一个等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2等于（　　） A．120° B．135° C．240° D．270° 【变式4】一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3＝80°，则∠1+∠2＝　 　． 题型03 等边三角形与平行线 【典例1】如图，△ABC是等边三角形，AD∥CE，∠BAD＝10°，则∠BCE的度数为（　　） A．50° B．45° C．40° D．35° 【变式1】如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝38°，则∠2的度数为（　　） A．142° B．128° C．98° D．92° 【变式2】如图，直线l∥m，等边△ABC的两个顶点A，B分别在直线l和m上，若∠CAD＝27°，则∠CBE的度数是（　　） A．27° B．33° C．63° D．73° 【变式3】如图，a∥b，等边△ABC的顶点B在直线b上，∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．60° B．45° C．40° D．30° 题型04 等边三角形的判定与性质 【典例1】下列说法中，正确的个数是（　　） ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角为60°的三角形是等边三角形； ④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】证明题：如图：△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在BC、AB、CA的延长线上，且BE＝AF＝CD．求证：△DEF是等边三角形． 【变式2】如图，在△ADB中，∠ADB＝60°，DC平分∠ADB，交AB于点C，且DC⊥AB，过C作CE∥DA交DB于点E，连接AE． （1）求证：△ADB是等边三角形． （2）求证：AE⊥DB． 【变式3】已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F． （1）求证：AN＝BM； （2）求证：△CEF为等边三角形． 【变式4】如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 题型04 含30°角的直角三角形的计算 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E，DE＝2，则CE的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1】在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝1，则AB的长度是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　） A．3m B．4m C．4.5m D．5m 【变式3】已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角为（　　） A．75°或15° B．30°或60° C．75° D．30° 【变式4】如图，点P是∠AOB平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，若∠AOB＝30°，OC＝4，求点P到OA的距离PD． 1．在△ABC中，AB＝AC，添加下列一个条件后不能判断△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝60° B．AC＝BC C．∠B的补角等于∠C的补角 D．AB边上的高也是AB边上的中线 2．如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是（　　） A．45° B．39° C．29° D．21° 3．若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是（　　） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．上述三种情形都有可能 4．如图所示，△ABC是等边三角形，AD为角平分线，E为AB上一点，且AD＝AE，则∠EDB等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 5．如图，AB∥CD，点M，N分别在直线AB，EF上，连接MN，若△EMN为等边三角形，则∠CFE的度数为（　　） A．120° B．110° C．108° D．106° 6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC．则下列等式成立的是（　　） A．BD＝3DC B．AD＝2DC C．AB＝4DC D．BD＝2AC 7．如图，直线l1∥l2，等腰直角三角形ABC和等边△DEF在l1，l2之间，点A，D分别在l1，l2上，点B，C，E，F在同一直线上．若∠α＝53°，则∠β的度数为（　　） A．50° B．52° C．54° D．56° 8．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝24，点D在BA的延长线上，CA＝CD，BD＝15，则AD的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 9．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达A点时，M、N同时停止运动．点M、N运动（　　）s后，可得到等边△AMN． A．1 B．0.5 C．4 D．2 10．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 11．如图，△ABC是正三角形，若l1∥l2，则∠2﹣∠1＝　 　． 12．如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F．过点F作FE⊥BC于点E，则EC的长为 　 　． 13．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，过点D作DE⊥BC．若AB＝5.4，CE＝3，则BE＝　 　． 14．如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上的一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝　 　s时，△POQ是等边三角形． 15．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论： ①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有 　 　．（注：把你认为正确的答案序号都写上） 16．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°． （1）求∠C的度数； （2）若DE＝2，求BC的长． 17．如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交边AC于点D． （1）求证：D为PQ中点； （2）DE的长为 　 　？ 18．阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：AB•r1+AC•r2＝AB•h，∴r1+r2＝h（定值），即PE+PF为定值． （1）深入探究 将“在△ABC中，AB＝AC，P为BC上一点”改成“P为等边三角形ABC内一点”，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM﹣⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为E、F、M、G，有类似结论吗？请写出结论并证明； （2）理解与应用 当点P在△ABC外，（1）结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，PE、PF、PM和BG之间又有怎样的关系，并说明理由． 19．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 20．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点． （1）求证：AD＝BE； （2）求∠DOE的度数； （3）求证：△MNC是等边三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 等边三角形 课程标准 学习目标 ①等边三角形的概念与性质 ②等边三角形的判定 ③含30°角的直角三角形 1. 掌握等边三角形的性质并能够对其熟练应用。 2. 掌握等边三角形的判定方法，能够运用已知条件熟练判定等边三角形。 3. 掌握含30°角的直角三角形的性质并对其熟练应用。 知识点01 等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形的概念： 三条边都 相等 的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的 等腰三角形 。 2. 等边三角形的性质：如图 ①等边三角形的三条边都 相等 ，三个角也 相等 ，且三个角都等于 60 °。 ②等边三角形三条边都存在 三线合一 。 ③等边三角形是一个 轴对称 图形，它有 3 条对称轴，对称轴的交点叫做中心。 【即学即练1】 1．如图，在等边△ABC中，AB＝4，BD是AC边上的高，点E在BC的延长线上，∠ACB＝2∠E，则BE的长为（　　） A．4.5 B．5 C．6 D．9 【分析】由等边三角形的性质得到CD＝AC＝2，由三角形外角的性质得到∠CDE＝∠E，因此CE＝CD＝2，即可求出BE＝BC+CE＝6． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高， ∴CD＝AC， ∵AC＝AB＝4， ∴CD＝2， ∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E， ∴∠CDE＝∠E， ∴CE＝CD＝2， ∵BC＝AB＝4， ∴BE＝BC+CE＝4+2＝6． 故选：C． 【即学即练2】 2．如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（　　） A．110° B．105° C．100° D．95° 【分析】根据等边三角形性质得∠A＝60°，再根据三角形外角定理得∠AEF＝∠1﹣∠A＝80°，则∠DEB＝∠AEF＝80°，然后根据平行线的性质得∠DEB+∠2＝180°，据此可得∠2的度数． 【解答】解：如图所示： ∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵∠1是△AEF的一个外角，∠1＝140°， ∴∠1＝∠A+∠AEF， ∴∠AEF＝∠1﹣∠A＝140°﹣∠A＝140°﹣60°＝80°， ∴∠DEB＝∠AEF＝80°， ∵直线m∥n， ∴∠DEB+∠2＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠DEB＝180°﹣80°＝100°． 故选：C． 【即学即练3】 3．如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（　　） A．45° B．55° C．60° D．75° 【分析】根据题目已知条件可证△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性质及三角形外角和定理求解． 【解答】解：∵等边△ABC， ∴∠ABD＝∠C，AB＝BC， 在△ABD与△BCE中，， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD＝∠CBE， ∵∠ABE+∠EBC＝60°， ∴∠ABE+∠BAD＝60°， ∴∠APE＝∠ABE+∠BAD＝60°， ∴∠APE＝60°． 故选：C． 知识点02 等边三角形的判定 1. 等边三角形的判定： ①定义判定：三条边都 相等 的三角形是等边三角形。 ②判定定理1：三个角 相等 的三角形是等边三角形。或有两个角是 60° 的三角形是等边三角形。 ③判定定理2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。 【即学即练1】 4．下列三角形： ①有两个角等于60°； ②有一个角等于60°的等腰三角形； ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形； ④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形． 其中是等边三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 【分析】根据等边三角形的判定判断． 【解答】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确； ②这是等边三角形的判定2，故正确； ③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确； ④根据线段的垂直平分线的性质．可以证明三边相等，故正确． 所以都正确． 故选：D． 【即学即练2】 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，CD平分∠ACB，AE∥DC，交BC的延长线于点E，试说明△ACE是等边三角形． 【分析】根据角平分线的性质及平行的性质求得△ACE的各个角均为60度，从而得出△ACE是等边三角形． 【解答】证明：∵CD平分∠ACB，∠ACB＝120° ∴∠1＝∠2＝＝60° ∵AE∥DC ∴∠3＝∠2＝60°，∠E＝∠1＝60° ∴∠3＝∠4＝∠E＝60° ∴△ACE是等边三角形． 【即学即练3】 6．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，BE⊥AC于点D，且DE＝DB，试判断△CEB的形状，并说明理由． 【分析】因为AB＝BC，∠ABC＝120°，可求得∠A＝∠BCA＝30°，由BE⊥AC，可得∠CBE＝60°，再由BC＝CE可证明其为等边三角形． 【解答】解：△CEB是等边三角形． 证明：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，BE⊥AC， ∴∠CBE＝∠ABE＝60°． 又∵DE＝DB，BE⊥AC， ∴CB＝CE． ∴△CEB是等边三角形． 知识点02 含30°角的直角三角形的性质 1. 含30°角的直角三角形的性质： 30°角所对的直角边等于斜边的 一半 。 证明如下： 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC。证明BD＝ ∵△ABC是等边三角形 ∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝ 60° 。 ∵AD⊥BC ∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝ 30° BD＝CD＝ BC ∴BD＝ AB。 【即学即练1】 7．如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板的直角边的长为（　　） A．3cm B．6cm C．8cm D．9cm 【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半即可得出结论． 【解答】解：过点C作CD⊥AD，CD＝3cm， 在直角三角形ADC中， ∵∠CAD＝30°， ∴AC＝2CD＝2×3＝6cm． 故选：B． 题型01 利用等边三角形的性质求线段 【典例1】如图所示，将边长为3个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【分析】根据平移的性质易得AD＝BE＝2，那么四边形ABFD的周长即可求得． 【解答】解：∵将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF， ∴AD＝BE＝2，各等边三角形的边长均为3． ∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BE+FE+DF＝13． 故选：A． 【变式1】已知等边三角形ABC的周长为12，D是AB的中点，过点D作BC边的平行线交AC于E点，则DE的长是（　　） A． B．1 C．2 D．4 【分析】证明出△ADE是等边三角形，并求出AD的长即可解决问题． 【解答】解：如图， ∵△ABC是等边三角形，△ABC的周长为12， ∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝CA＝4， ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ACB＝60°，∠ADE＝∠B＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD＝DE， ∵D是AB的中点， ∴AD＝BD＝AB＝2， ∴DE＝2， 故选：C． 【变式2】如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据等边三角形的性质得到AD＝4，AC＝8，∠A＝∠C＝60°，根据直角三角形的性质得到AE＝AD＝2，于是得到结论． 【解答】解：∵在等边△ABC中，D是AB的中点，AB＝8， ∴AD＝4，AC＝8，∠A＝∠C＝60°， ∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F， ∴∠AED＝∠CFE＝90°， ∴AE＝AD＝2， ∴CE＝8﹣2＝6， ∴CF＝CE＝3， ∴BF＝5， 故选：C． 【变式3】如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为　2　． 【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP＝PF＝QC，根据等腰三角形性质求出EF＝AE，证△PFD≌△QCD，推出FD＝CD，推出DE＝AC即可． 【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP＝PF＝AF， ∵PE⊥AC， ∴AE＝EF， ∵AP＝PF，AP＝CQ， ∴PF＝CQ． ∵在△PFD和△QCD中， ， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD＝CD， ∵AE＝EF， ∴EF+FD＝AE+CD， ∴AE+CD＝DE＝AC， ∵AC＝4， ∴DE＝． 故答案为：2． 【变式4】如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，以DE为边作等边△DEF，连接CF．若BD＝1，AE＝3．则CF的长是 　2　． 【分析】过D点作DM∥AB于M，如图，利用∠C＝60°，证明△MDE≌△CDF，ME＝CF，再根据ME＝AE﹣AM解答即可． 【解答】解：过D点作DM∥AB于M， ∴∠A＝DME＝60°，∠MDC＝∠B＝60°，∠C＝60°， ∴△DMC是等边三角形， ∴DM＝DC， ∵△DEF为等边三角形， ∴∠MDE+∠EDC＝60°，∠FDC+EDC＝60°， ∴∠MDE＝∠FDC， ∵DE＝DF，DM＝DC， ∴△MDE≌△CDF（SAS）， ∴ME＝CF， ∵BD＝1，AE＝3． ∴MA＝BD＝1， ME＝AE﹣AM＝3﹣1＝2． ∴CF＝2． 故答案为：2． 题型02 利用等边三角形的性质求角 【典例1】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（　　） A．18° B．20° C．30° D．15° 【分析】根据等边三角形的性质可得AD垂直平分线段BC，根据线段垂直平分线的性质可得∠ECB＝∠EBC，进一步即可求出∠ACE的度数． 【解答】解：在等边三角形ABC中，∠ACB＝60°，AB＝AC， ∵AD⊥BC， ∴点D是BC的中点， ∴AD垂直平分线段BC， ∴EB＝EC， ∴∠ECB＝∠EBC＝45°， ∴∠ACE＝15°， 故选：D． 【变式1】如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC的度数为（　　） A．105° B．95° C．85° D．75° 【分析】先根据△ABC是等边三角形，AD⊥BC可得∠CAD＝30°，再由AD＝AE可知∠ADE＝∠AED，根据三角形内角和定理即可求出∠AED的度数，故可得出∠DEC的度数． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°． ∵AD⊥BC， ∴AD平分∠BAC， ∴∠DAC＝30°． ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝＝75°， ∴∠DEC＝105°． 故选：A． 【变式2】如图，△ABC为等边三角形，△ACD为等腰直角三角形，AC＝CD，则直线BC与直线AD的夹角为（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 【分析】延长AD与BC交于点E，根据等边三角形和等腰直角三角形性质得∠ABC＝∠BAC＝60°，∠CAD＝45°，进而得∠BAD＝105°，然后根据三角形内角和定理求出∠E即可． 【解答】解：延长AD与BC交于点E，如图所示： ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°， 又∵△ACD为等腰直角三角形，AC＝CD， ∴∠CAD＝45°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝60°+45°＝105°， ∴∠E＝180°﹣（∠ABC+∠BAD）＝180°﹣（60°+105°）＝15°． 即直线BC与直线AD的夹角为15°． 故选：B． 【变式3】如图，将一个等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2等于（　　） A．120° B．135° C．240° D．270° 【分析】根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质求解即可． 【解答】解：∵等边三角形的各个内角都是60°， 根据三角形的外角的性质，得∠1＝60°+180°﹣∠2， ∴∠1+∠2＝240°， 故选：C． 【变式4】一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3＝80°，则∠1+∠2＝　130°　． 【分析】由等边三角形和直角三角形可得∠1+α＝120°，∠2+β＝90°，且∠3＝α+β＝80°，可求得∠1+∠2． 【解答】解：如图，由等边三角形和直角三角形可得∠1+α＝120°，∠2+β＝90°， ∴∠1+∠2+α+β＝90°+120°＝210°， 且∠3＝α+β， ∴α+β＝80°， ∴∠1+∠2＝210°﹣80°＝130°， 故答案为：130°． 题型03 等边三角形与平行线 【典例1】如图，△ABC是等边三角形，AD∥CE，∠BAD＝10°，则∠BCE的度数为（　　） A．50° B．45° C．40° D．35° 【分析】根据等边三角形的性质可得∠BAC＝∠ACB＝60°，即∠DAC＝70°，再根据平行线的性质可得∠ECA＝110°，最后根据角的和差即可解得． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°， ∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝70°， ∵AD∥CE， ∴∠ECA＝180°﹣∠DAC＝110°， ∴∠BCE＝∠ECA﹣∠BCA＝50°． 故选：A． 【变式1】如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝38°，则∠2的度数为（　　） A．142° B．128° C．98° D．92° 【分析】设直线a与AB交于点D，与AC交于点E，先由对顶角的性质得∠ADE＝∠1＝38°，再由等边三角形的性质得∠A＝60°，然后由三角形的外角定理可求出∠AEF＝98°，最后再根据直线a∥b可得∠2的度数． 【解答】解：设直线a与AB交于点D，与AC交于点E，如图所示： ∵∠1＝38°， ∴∠ADE＝∠1＝38°， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵∠AEF为△ADE的一个外角， ∴∠AEF＝∠ADE+∠A＝38°+60°＝98°， ∵直线a∥b， ∴∠2＝∠AEF＝98°． 故选：C． 【变式2】如图，直线l∥m，等边△ABC的两个顶点A，B分别在直线l和m上，若∠CAD＝27°，则∠CBE的度数是（　　） A．27° B．33° C．63° D．73° 【分析】根据平行线的性质及等边三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵l∥m， ∴∠DAB+∠ABE＝180°， 即∠CAD+∠CAB+∠ABC+∠CBE＝180°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠CAB＝∠ABC＝60°， 又∵∠CAD＝27°， ∴∠CBE＝180°﹣27°﹣60°﹣60°＝33°， 故选：B． 【变式3】如图，a∥b，等边△ABC的顶点B在直线b上，∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．60° B．45° C．40° D．30° 【分析】过C作CM∥直线l，根据等边三角形性质求出∠ACB＝60°，根据平行线的性质求出∠1＝∠MCB，∠2＝∠ACM，即可求出答案． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， 过C作CM∥直线l， ∵直线l∥直线m， ∴直线l∥直线m∥CM， ∵∠ACB＝60°，∠1＝20°， ∴∠1＝∠MCB＝20°， ∴∠2＝∠ACM＝∠ACB﹣∠MCB＝60°﹣20°＝40°， 故选：C． 题型04 等边三角形的判定与性质 【典例1】下列说法中，正确的个数是（　　） ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角为60°的三角形是等边三角形； ④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断； 【解答】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形；正确． ②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；正确． ③有两个角为60°的三角形是等边三角形；正确． ④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形；正确． 故选：D． 【变式1】证明题：如图：△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在BC、AB、CA的延长线上，且BE＝AF＝CD．求证：△DEF是等边三角形． 【分析】证明△AEF≌△CFD≌△BDE即可． 【解答】证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC， ∴∠EAF＝∠EBD＝120°， ∵BE＝AF， ∴BE+AB＝FA+AC，即AE＝CF， 在△BDE和△AEF中， ， ∴△AEF≌△BDE（SAS）， ∴EF＝ED， 同理可得△AEF≌△CFD， ∴EF＝FD， ∴EF＝ED＝FD， ∴△DEF为等边三角形． 【变式2】如图，在△ADB中，∠ADB＝60°，DC平分∠ADB，交AB于点C，且DC⊥AB，过C作CE∥DA交DB于点E，连接AE． （1）求证：△ADB是等边三角形． （2）求证：AE⊥DB． 【分析】（1）直接根据等边三角形的判定定理可得结论； （2）由平行线的性质可得∠BEC＝∠ADB＝60，根据等边三角形的判定与性质可得CE＝BE＝CB，再由直角三角形的性质可得AE是边BD的中线，最后再由等边三角形的性质可得答案． 【解答】证明：（1）∵DC平分∠ADB， ∴∠ADC＝∠BDC， ∵∠ADB＝60°， ∴∠ADC＝∠BCD＝30°， ∵DC⊥AB， ∴∠DCB＝∠DCA＝90°， ∴∠B＝∠A＝90°﹣30°＝60°， ∴∠ADB＝∠B＝∠DAB＝60°， ∴△ADB是等边三角形； （2）∵CE∥DA， ∴∠BEC＝∠ADB＝60， ∴∠CEB＝∠CBE＝∠ECB＝60°， ∴△CEB是等边三角形， ∴CE＝BE＝CB， ∵∠BDC＝30°，∠DCB＝90°， ∴BC＝BD， ∴CE＝BD， ∴E是BD的中点， ∴AE是边BD的中线， ∵△ADB是等边三角形， ∴AE⊥BD． 【变式3】已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F． （1）求证：AN＝BM； （2）求证：△CEF为等边三角形． 【分析】（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△ACN≌△MCB，结论得证； （2）由（1）中的全等可得∠CAN＝∠CMB，进而得出∠MCF＝∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE＝CF，又ECF＝60°，所以△CEF为等边三角形． 【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形， ∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°， ∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB， 在△ACN和△MCB中， ∵， ∴△ACN≌△MCB（SAS）， ∴AN＝BM． （2）∵△CAN≌△CMB， ∴∠CAN＝∠CMB， 又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠MCF＝∠ACE， 在△CAE和△CMF中， ∵， ∴△CAE≌△CMF（ASA）， ∴CE＝CF， ∴△CEF为等腰三角形， 又∵∠ECF＝60°， ∴△CEF为等边三角形． 【变式4】如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证； （2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状； （3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可． 【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC， ∴OC＝DC， ∵∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形． 解： （2）△AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△OCD是等边三角形， ∴∠ODC＝60°， ∵△BOC≌△ADC，α＝150°， ∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°， ∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°， ∴△AOD是直角三角形． （3）∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠ODC＝60°． ∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α， ∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α， ∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°． ①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°， ∴α＝125°． ②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°， ∴α＝140°． ③当∠ADO＝∠OAD时， α﹣60°＝50°， ∴α＝110°． 综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 题型04 含30°角的直角三角形的计算 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E，DE＝2，则CE的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】连接AE，先求出∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝120°，再根据线段垂直平分线的性质得，BE＝AE，由此得∠B＝∠DAE＝30°，进而利用直角三角形的性质得AE＝2DE＝4，然后求出∠CAE＝90°，再利用直角三角形的性质即可求出CE的长． 【解答】解：连接AE，如图： 在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝120°， ∵点D是AB的中点，DE⊥AB， ∴DE是线段AB的垂直平分线， ∴BE＝AE， ∴∠B＝∠DAE＝30°， 在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，DE＝2， ∴AE＝2DE＝4， ∵∠BAC＝120°，∠DAE＝30°， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣30°＝90°， 在Rt△CAE中，∠C＝30°，AE＝4， ∴CE＝2AE＝8． 故选：B． 【变式1】在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝1，则AB的长度是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】先根据∠ACB为直角，∠A＝30°，求出∠B的度数，再根据CD⊥AB于D，求出∠DCB＝30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可直接求出答案． 【解答】解：∵∠ACB为直角，∠A＝30°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝60°， ∵CD⊥AB于D， ∴∠DCB＝90°﹣∠B＝30° ∴AB＝2BC，BC＝2BD， ∴AB＝4BD＝4． 故选：A． 【变式2】如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　） A．3m B．4m C．4.5m D．5m 【分析】过C作CM⊥AB于M，求出∠CBM＝30°，根据含30度的直角三角形性质求出CM即可． 【解答】解：过C作CM⊥AB于M， 则CM＝h，∠CMB＝90°， ∵∠ABC＝150°， ∴∠CBM＝30°， ∴， 故选：B． 【变式3】已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角为（　　） A．75°或15° B．30°或60° C．75° D．30° 【分析】根据题意作图，然后分别从等腰三角形一腰上的高在内部与在外部去分析，根据直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，则此直角边所对的角是30°角，再由等边对等角的知识，即可求得这个三角形的底角． 【解答】解：如图①：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∵CD＝AC ∴∠A＝30°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝＝75°； 如图②：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∵CD＝AC， ∴∠CAD＝30°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB ∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝2∠B＝30°， ∴∠B＝∠ACB＝15°． 这个三角形的底角为：75°或15°． 故选：A． 【变式4】如图，点P是∠AOB平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，若∠AOB＝30°，OC＝4，求点P到OA的距离PD． 【分析】过P作PE⊥OB，根据角平分线的性质可得∠AOP＝∠POB，PD＝PE，再根据平行线证出PC＝CO＝4，再根据直角三角形的性质可得PE＝PC＝2，进而得到PD＝2． 【解答】解：过P作PE⊥OB， ∵PC∥OA， ∴∠PCB＝∠AOB＝30°，∠AOP＝∠OPC， ∵点P是∠AOB平分线上的一点， ∴∠AOP＝∠POB，PD＝PE， ∴∠POB＝∠OPC， ∴CO＝PC， ∵OC＝4， ∴PC＝4， ∵∠PCB＝30°， ∴PE＝PC＝2， ∴PD＝2． 1．在△ABC中，AB＝AC，添加下列一个条件后不能判断△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝60° B．AC＝BC C．∠B的补角等于∠C的补角 D．AB边上的高也是AB边上的中线 【分析】根据选项结合已知逐个判断即可得到答案； 【解答】解：∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形， 当∠A＝60°时，△ABC是等边三角形，故A不符合题意， 当AC＝BC时，△ABC是等边三角形，故B不符合题意， 当∠B的补角等于∠C的补角时，即∠B＝∠C，△ABC不一定是等边三角形，故C符合题意， 当AB边上的高也是AB边上的中线时，得到CA＝CB，△ABC是等边三角形，故D不符合题意． 故选：C． 2．如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是（　　） A．45° B．39° C．29° D．21° 【分析】过点A作AF∥l，由平行公理的推论得出AF∥m，根据平行线的性质得出∠BAF＝∠ABE，∠ACD＝∠CAF，根据等边三角形的性质得出∠BAC＝60°，即可求出∠ACD的度数． 【解答】解：如图，过点A作AF∥l， ∵直线l∥m， ∴AF∥m， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵AF∥l， ∴∠BAF＝∠ABE， ∵∠ABE＝21°， ∴∠BAF＝21°， ∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝60°﹣21°＝39°， ∵AF∥m， ∴∠ACD＝∠CAF＝39°， 故选：B． 3．若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是（　　） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．上述三种情形都有可能 【分析】三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可作出判断． 【解答】解：因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形， 根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形． 故选：C． 4．如图所示，△ABC是等边三角形，AD为角平分线，E为AB上一点，且AD＝AE，则∠EDB等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【分析】由等边三角形的性质可求解∠BAD＝30°，AD⊥BC，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ADE的度数，进而可求解． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵AD是等边三角形ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠BAC＝30°，AD⊥BC， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED， ∵∠AED+∠ADE+∠BAD＝180°， ∴∠ADE＝75°， ∴∠EDB＝90°﹣75°＝15°， 故选：A． 5．如图，AB∥CD，点M，N分别在直线AB，EF上，连接MN，若△EMN为等边三角形，则∠CFE的度数为（　　） A．120° B．110° C．108° D．106° 【分析】根据等边三角形性质及AB∥CD得∠EFD＝∠NEM＝60°，由此可得∠CFE的度数． 【解答】解：∵△EMN为等边三角形， ∴∠NEM＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠EFD＝∠NEM＝60°， ∴∠CFE＝180°﹣∠EFD＝120°． 故选：A． 6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC．则下列等式成立的是（　　） A．BD＝3DC B．AD＝2DC C．AB＝4DC D．BD＝2AC 【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出BD＝3DC，BD＝AC，BC＝4DC，AC＝2DC． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝30°， ∴BC＝2AC，∠C＝60°， ∵AD⊥BC， ∴∠DAC＝30°， ∴AC＝2DC， ∴B不符合要求； ∴BC＝4DC， ∴C不符合要求； ∴BD＝3DC， ∴A符合要求； ∵AC＝2DC，BC＝4DC ∴BD＝AC， ∴D不符合要求； 故选：A． 7．如图，直线l1∥l2，等腰直角三角形ABC和等边△DEF在l1，l2之间，点A，D分别在l1，l2上，点B，C，E，F在同一直线上．若∠α＝53°，则∠β的度数为（　　） A．50° B．52° C．54° D．56° 【分析】延长AC交l2于H，由平行线性质得∠CHD＝180°﹣∠α＝127°，由等腰直角三角形性质得∠ACB＝∠ECH＝45°，再由等边三角形性质得∠DEF＝∠EDF＝60°，则∠CED＝180°﹣∠DEF＝120°，再由四边形内角和等于360°得∠EDH＝68°，由此可得∠β的度数． 【解答】解：延长AC交l2于H，如图所示： ∵l1∥l2，∠α＝53°， ∴∠CHD+∠α＝180°， ∠CHD＝180°﹣∠α＝180°﹣53°＝127°， ∵△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°， ∴∠ACB＝∠ECH＝45°， ∵△DEF是等边三角形， ∴∠DEF＝∠EDF＝60°， ∴∠CED＝180°﹣∠DEF＝120°， 在四边形CEDH中，∠ECH+∠CHD+∠CED+∠EDH＝360°， 即45°+127°+120°+∠EDH＝360°， ∴∠EDH＝68°， ∴∠β＝180°﹣∠EDF﹣∠EDH＝180°﹣60°﹣68°＝52°． 故选：B． 8．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝24，点D在BA的延长线上，CA＝CD，BD＝15，则AD的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】过点C作CE⊥AD，垂足为E，根据垂直定义可得∠BEC＝90°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BCE＝30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得BE＝12，从而可得DE＝3，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答． 【解答】解：过点C作CE⊥AD，垂足为E， ∴∠BEC＝90°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BCE＝90°﹣∠ABC＝30°， ∵BC＝24， ∴， ∵BD＝15， ∴DE＝BD﹣BE＝15﹣12＝3， ∵CA＝CD， ∴AD＝2DE＝6， 故选：A． 9．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达A点时，M、N同时停止运动．点M、N运动（　　）s后，可得到等边△AMN． A．1 B．0.5 C．4 D．2 【分析】设点M、N运动x s后，可得到等边△AMN，求出AM＝x cm，AN＝（12﹣2x）cm，由等边三角形的性质得到∠A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形，得到x＝12﹣2x，求出x＝4，即可得到答案． 【解答】解：设点M、N运动x s后，可得到等边△AMN， ∴AM＝x cm，AN＝AB﹣BN＝（12﹣2x）cm， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴AM＝AN时，△AMN是等边三角形， ∴x＝12﹣2x， ∴x＝4， ∴点M、N运动4s后，可得到等边△AMN． 故选：C． 10．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 【分析】由等边三角形的性质得到∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，再由三角形外角的性质求出∠A1B1O＝30°，则A1B1＝A1A2＝OA1，同理得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，A3B3＝A3A4＝22•OA1，A4B4＝A4A5＝23•OA1，由此得出规律AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1•OA1＝2n，即可求解． 【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形， ∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2， ∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°， ∴∠A1B1O＝∠MON， ∴A1B1＝OA1， ∴A1B1＝A1A2＝OA1， 同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1， ∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22•OA1， A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23•OA1， … ∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1•OA1＝2n， ∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64， 故选：C． 11．如图，△ABC是正三角形，若l1∥l2，则∠2﹣∠1＝　120°　． 【分析】延长AB，l2，交于点D，根据等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，根据两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠BDE，利用三角形的外角性质求出∠2﹣∠1＝∠DBC，再即可求解． 【解答】解：如图，延长AB，l2，交于点D， ∵△ABC是正三角形， ∴∠ABC＝60°， ∴∠DBC＝120°， ∵l1∥l2， ∴∠1＝∠BDE， ∴∠2﹣∠1＝∠2﹣∠BDE＝∠DBC＝120°， 故答案为：120°． 12．如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F．过点F作FE⊥BC于点E，则EC的长为 　　． 【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求得AF，CF，CE，再由等边三角形ABC的边长为4，得出EC的长． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BC＝4， ∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝4， ∵DF⊥AC，FE⊥BC， ∴∠AFD＝∠CEF＝90°， ∴∠ADF＝∠CFE＝30°， ∴， ∵D是AB的中点， ∴AD＝2， ∴AF＝1， ∴CF＝3， ∴， 故答案为：． 13．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，过点D作DE⊥BC．若AB＝5.4，CE＝3，则BE＝　7.8．　． 【分析】过点C作CP⊥AB于P，根据∠ABC＝60°得∠BAC+∠BCA＝120°，再根据等边三角形性质得AC＝CD，∠ACD＝60°，则∠DCE+∠BCA＝120°，由此得∠BAC＝∠DCE，据此可依据“AAS”判定△APC和△CED全等，从而得AP＝CE＝3，则BP＝AB﹣AP＝2.4，进而在根据直角三角形性质得BC＝2BP＝4.8，据此可得BE的长． 【解答】解：过点C作CP⊥AB于P，如图所示： ∵∠ABC＝60°， ∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC＝120°， ∵△ACD为等边三角形， ∴AC＝CD，∠ACD＝60°， ∵∠DCE+∠BCA＝180°﹣∠ACD＝120°， ∴∠BAC＝∠DCE， ∵CP⊥AB，DE⊥BC， ∴∠APC＝∠CED＝90°， 在△APC和△CED中， ， ∴△APC≌△CED（AAS）， ∴AP＝CE＝3， ∴BP＝AB﹣AP＝5.4﹣3＝2.4， 在Rt△BCP中，∠ABC＝60°， ∴∠BCP＝30°， ∴BC＝2BP＝2×2.4＝4.8， ∴BE＝BC+CE＝4.8+3＝7.8． 14．如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上的一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝　6　s时，△POQ是等边三角形． 【分析】有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，根据等边三角形的判定方法可知，当点P运动到射线OB上且OQ＝OP时△POQ是等边三角形． 【解答】解：点P、Q运动的是t s，由题意得： t＝2t﹣6， 解得t＝6， 即当P、Q运动的是6s时，△POQ是等边三角形． 故答案为：6． 15．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论： ①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有 　①②④⑤　．（注：把你认为正确的答案序号都写上） 【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出△ACD≌△BCE，即可得出AD＝BE，①正确． ④先证明△ACP≌△BCQ，即可判断出CP＝CQ，即可得④正确； ②根据∠PCQ＝60°，可得△PCQ为等边三角形，证出∠PQC＝∠DCE＝60°，得出PQ∥AE，②正确． ③没有条件证出OP＝OQ，得出③错误； ⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，⑤正确；即可得出结论． 【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，结论①正确． ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE， 又∵∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠ACP＝∠BCQ＝60°， 在△ACP和△BCQ中， ∠ACP＝∠BCQ，∠CAP＝∠CBQ，AC＝BC， ∴△ACP≌△BCQ（AAS）， ∴AP＝BQ，CP＝CQ， 又∵∠PCQ＝60°， ∴△PCQ为等边三角形，结论④正确； ∴∠PQC＝∠DCE＝60°， ∴PQ∥AE，结论②正确． ∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC＝∠AEO， ∴∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°， ∴结论⑤正确． 没有条件证出OP＝OQ，③错误； 综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 16．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°． （1）求∠C的度数； （2）若DE＝2，求BC的长． 【分析】（1）DE是边AB上的垂直平分线推AE＝BE，利用等腰三角形的性质和角平分线的定义推角相等，最后得出角的度数； （2）利用角平分线的性质求出EC的长，再由直角三角形的性质求出BE的长，进而可得出结论． 【解答】解：（1）∵DE是边AB上的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴∠B＝∠BAE＝30°． ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠EAC＝30°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝30°+30°＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°； （2）∵AE平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴EC＝ED＝2， ∵DE垂直平分AB， ∴∠BDE＝90°． 在△BDE 中， ∵∠BDE＝90°．∠B＝30°． ∴BE＝2DE＝4． ∴BC＝BE+EC＝4+2＝6 17．如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交边AC于点D． （1）求证：D为PQ中点； （2）DE的长为 　2　？ 【分析】（1）过点P作PF∥BC，交AC于F，先证明△APF为等边三角形得PA＝PF＝CQ，进而再证明△DPF和△DQC全等得PD＝QD，据此即可得出结论； （2）由（1）可知△DPF≌△DQC，△APF为等边三角形，则DF＝DC，AE＝FE，由此得DE＝CD+AE，据此可得DE的长． 【解答】（1）证明：过点P作PF∥BC，交AC于F，如图所示： ∵△ABC为等边三角形且边长且为4， ∴AC＝4，∠A＝∠B＝60°， ∵PF∥BC， ∴∠APF＝∠B＝60°，∠DPF＝∠Q， ∴△APF为等边三角形， ∴PA＝PF， ∵PA＝CQ， ∴PF＝CQ， 在△DPF和△DQC中， ， ∴△DPF≌△DQC（AAS）， ∴PD＝QD， 即点D为PQ中点； （2）解：由（1）可知：△DPF≌△DQC，△APF为等边三角形， ∴DF＝DC， ∵△APF为等边三角形，PE⊥AC， ∴AE＝FE， ∴DE＝DF+EF＝CD+AE＝AC＝2． 故答案为：2． 18．阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：AB•r1+AC•r2＝AB•h，∴r1+r2＝h（定值），即PE+PF为定值． （1）深入探究 将“在△ABC中，AB＝AC，P为BC上一点”改成“P为等边三角形ABC内一点”，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM﹣⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为E、F、M、G，有类似结论吗？请写出结论并证明； （2）理解与应用 当点P在△ABC外，（1）结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，PE、PF、PM和BG之间又有怎样的关系，并说明理由． 【分析】（1）连接PA、PB、PC，利用S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC计算即可； （2）连接PA、PB、PC，利用S△ABP+S△ACP﹣S△BCP＝S△ABC计算即可． 【解答】解：（1）PE+PF+PM＝BG，理由如下： 连接PA、PB、PC，则S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC， ∵等边三角形ABC， ∴AB＝AC＝BC， ∵PE⊥AB，PF⊥AC，PM﹣⊥BC，BG⊥AC， ∴， ∴， ∴PE+PF+PM＝BG； （2）PE+PF﹣PM＝BG，理由如下： 连接PA、PB、PC，则S△ABP+S△ACP﹣S△BCP＝S△ABC， ∵等边三角形ABC， ∴AB＝AC＝BC， ∵PE⊥AB，PF⊥AC，PM﹣⊥BC，BG⊥AC， ∴， ∴， ∴PE+PF﹣PM＝BG． 19．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多12cm，列出方程求解即可； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等边三角形； （3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值． 【解答】解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， x×1+12＝2x， 解得：x＝12； （2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形AMN，如图①， AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t， ∵三角形AMN是等边三角形， ∴t＝12﹣2t， 解得t＝4， ∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形AMN． （3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形， 由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图②，假设△AMN是等腰三角形， ∴AN＝AM， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴∠AMC＝∠ANB， ∵AB＝BC＝AC， ∴△ACB是等边三角形， ∴∠C＝∠B， 在△ACM和△ABN中， ∵， ∴△ACM≌△ABN（AAS）， ∴CM＝BN， 设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形， ∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB， y﹣12＝36﹣2y， 解得：y＝16．故假设成立． ∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒． 20．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点． （1）求证：AD＝BE； （2）求∠DOE的度数； （3）求证：△MNC是等边三角形． 【分析】（1）根据等边三角形性质得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，求出∠ACD＝∠BCE，证△ACD≌△BCE即可； （2）根据全等求出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出即可； （3）求出AM＝BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM＝CN，求出∠NCM＝60°即可． 【解答】（1）证明：∵△ABC、△CDE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中 ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE． （2）解：∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC＝∠BEC， ∵等边三角形DCE， ∴∠CED＝∠CDE＝60°， ∴∠ADE+∠BED ＝∠ADC+∠CDE+∠BED ＝∠ADC+60°+∠BED ＝∠CED+60° ＝60°+60° ＝120°， ∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°， 答：∠DOE的度数是60°． （3）证明：∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC， 又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点， ∴AM＝AD，BN＝BE， ∴AM＝BN， 在△ACM和△BCN中， ， ∴△ACM≌△BCN（SAS）， ∴CM＝CN， ∠ACM＝∠BCN， 又∠ACB＝60°， ∴∠ACM+∠MCB＝60°， ∴∠BCN+∠MCB＝60°， ∴∠MCN＝60°， ∴△MNC是等边三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$