第四单元运算律（讲义）-2024-2025学年四年级上册数学北师大版

运算律 板块一：考点精讲 1．带括号的表内乘加、乘减 【知识点归纳】 一、加减乘除混合运算规则： 1、同级运算时，从左到右依次计算。 2、两级运算时，先乘除后加减。 3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。 【方法总结】 1、含有小括号的两步混合运算的运算顺序： 算式里有小括号的，要先算小括号里面的，再算小括号外面的。 2．带括号的表内除加、除减 【知识点归纳】 加减乘除混合运算规则： 1、同级运算时，从左到右依次计算。 2、两级运算时，先乘除后加减。 3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。 【方法总结】 1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。 2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。 3、在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法、要先算乘除法，再算加减法。 4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；括号里面的算式计算顺序遵循以上的计算顺序。 3．乘法分配律 【知识点归纳】 1、乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以把两个加数（或被减数、减数）分别与这个数相乘，在把两个积相加（或相减），结果不变。用字母表示数：（a+b）×c＝a×c+b×c或（a﹣b）×c＝a×c﹣b×c 2、式子的特点：在两个乘法式子中，有一个相同的因数；另为两个不同的因数之和（或之差）基本上是能凑成整十、整百、整千的数。 3、102×88、99×15这类题的特点：两个数相乘，把其中一个比较接近整十、整百、整千的数改写成整十、整百、整千与一个数的和（或差），再应用乘法分配律可以使运算简便。 【方法总结】 乘法分配律简算例子： （一）分解式 25×（40+4） ＝25×40+25×4 ＝1000+100 ＝1100 （二）合并式 135×12—135×2 ＝135×（12—2） ＝135×10 ＝1350 （三）特殊1 99×256+256 ＝99×256+256×1 ＝256×（99+1） ＝256×100 ＝25600 （四）特殊2 45×102 ＝45×（100+2） ＝45×100+45×2 ＝4500+90 ＝4590 （五）特殊3 99×26 ＝（100—1）×26 ＝100×26—1×26 ＝2600—26 ＝2574 （六）特殊4 35×8+35×6—4×35 ＝35×（8+6—4） ＝35×10 ＝350 4．运算定律与简便运算 【知识点归纳】 1、加法运算： ①加法交换律：两个加数交换位置，和不变．如a+b＝b+a ②加法结合律：先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．如：a+b+c＝a+（b+c） 2、乘法运算： ①乘法交换律：两个因数交换位置，积不变．如a×b＝b×a． ②乘法结合律：先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变．如a×b×c＝a×（b×c） ③乘法分配律：两个数的和，乘以一个数，可以拆开来算，积不变．如a×（b+c）＝ab+ac ④乘法分配律的逆运算：一个数乘另一个数的积加它本身乘另一个数的积，可以把另外两个数加起来再乘这个数．如ac+bc ＝（a+b）×c 3、除法运算： ①除法性质：一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，再相除．如a÷b÷c＝a÷（b×c） ②商不变规律：被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外）它们的商不变．如a÷b＝（an）÷（bn）＝（a÷n）÷（b÷n） （n≠0 b≠0） 4、减法运算： 减法性质：一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个数的和．如a﹣b﹣c＝a﹣（b+c） 板块二：高频考点 一、选择题 1．计算36×25的最简便的计算方法是（    ）。 A．6×（6×25） B．12×（3×25） C．9×（4×25） 2．下列选项中，（    ）应用了乘法结合律。 A．（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） B．（4×3）×3＝4×（3×3） C．a×b＝b×a 3．一个计算器的数字“4”键坏了，要计算248×56，可以用下面（    ）计算出正确的得数。 A．28×96 B．258×56－10 C．238×56＋560 4．计算下面各题时，不能用到乘法分配律的是（    ）。 A．437×101 B．45×（200＋5） C．25×（7×4） 5．与451－51－49相等的算式是（    ）。 A．451－（51＋49） B．（451＋49）－51 C．451－49＋51 6．9乘27减去14的差所得的积去除234，商是多少？列出综合算式解答是（    ）。 A． B． C． 7．小马虎把28×（□＋2）错算成28×□＋2，这样得到的结果与正确答案相差（    ）。 A．28 B．54 C．56 二、填空题 8．算式168÷19－15×2，要想先算减法，再算乘法，最后算除法，应将算式改为：( )。 9．下面是乐乐计算一道乘法算式的过程，他计算的乘法算式是( )×( )，他运用了乘法( )律。 10．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 （1）34×102( )34×100＋2    （2）478－（209＋178）( )478－209＋178 （3）25×32( )25×30×2      （4）5×10－5×3( )5×（10－3） 11．如果用a、b、c表示三个加数，那么加法结合律可以表示( )。 12．4×6×25＝6×（4×25），运用了乘法的结合律和( )律。 13．奇思在计算65×（□＋10）时，算成了65×□＋10，他的计算结果比正确结果小( )。 14．小马虎把（75＋□）÷3算错成75＋□÷3，结果是80。这道题的正确答案是( )。 三、判断题 15．（19×125）×8＝19×（125×8）运用了乘法交换律和乘法结合律。( ) 16．一本书，小军坚持每天阅读12页，他用竖式计算出34天一共读的页数。这个乘法竖式中运用了乘法分配律。( ) 17．两个因数的积是7200，其中一个因数除以2，另一个因数不变，积就变成3600。( ) 18．某商场促销一天卖出衣服279元，裤子138元和鞋子201元，加起来一共卖了608元．   ( ) 19．25×13×4＝13×（25×4）运用了乘法交换律和结合律。( ) 20．交换律只适用于加法和乘法，不适用于减法和除法。( ) 21．234×2×3与234×6的积是相等。　 ( ) 22．a×（b＋c）＝a×b＋a×c是运用了乘法的分配律。( ) 四、计算题 23．口算。 40×60＝      18×4＝      16×50＝      300×8＝         16×25＝ 0÷32＝       400÷50＝    720÷80＝     200－100÷2＝   150÷50×3＝ 24．计算下列各题，并运用加法交换律或乘法交换律进行验算。 819＋593＝                     1389＋7821＝ 358＋276＝                       5×107＝ 35×27＝                       218×34＝ 25．脱式计算。（需写出计算过程） 22×3＋24÷4                  125×19×8 200÷[（172－72）÷25]        206×97－6×97 五、解答题 26．买运动服． (1)王老师为田径队的同学选购25套运动服，最多要用多少钱？ (2)如果王老师只带了2500元钱，那么选购哪套运动服合适？ 27．图书角有《科普知识》和《寓言故事》各50套，《科普知识》每套18本，《寓吉故事》每套12本。这两种书一共有多少本？ 28．瓜架上还剩下几个丝瓜？ 29．两个工程队共同修一条公路，甲队每月修325米，乙队每月修274米，6个月完成修路任务，这条路长多少米？ 30．甲乙两队合挖一条水渠，甲队从东往西挖，每天挖65米，乙队从西往东挖，每天比甲队少挖5米，两队合作8天完成，这条水渠一共长多少米？ 31．两个工程队共同修一条公路，甲队每月修325米，乙队每月修274米，6个月完成修路任务，这条路长多少米？ 32．某粮店有大米40袋，每袋25千克，每千克大米卖3元，一共可以卖多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B C C A A B 1．C 【分析】把36变成9×4，再利用乘法的结合律简便计算。 【详解】36×25 ＝9×4×25 ＝9×（4×25） =9×100 ＝900 故答案为：C 【点睛】完成本题要注意分析算式中的数据，运用合适的简便方法计算。 2．B 【点睛】三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，它们的积不变．可用字母a，b，c来表示这三个数：（a×b）×c＝a×（b×c）；根据加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加。和不变，这叫做加法结合律。用字母表示为（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）；乘法交换律就是把两个数交换位置，据此判断。 【详解】A．运用了加法结合律，不符合题意； B．运用了乘法结合律，符合题意； C．运用了乘法交换律，不符合题意。 故答案为：B 3．C 【分析】计算器上的数字键“4”坏了，把248分解成用不到数字4的两个数字的和或差，用这两个数字分别与56相乘，再将积相加或相减。 【详解】A．248＝220＋28，248×56＝220×56＋28×56，28×96不能计算出正确的得数。 B．248＝258－10 248×56 ＝258×56－10×56 ＝258×56－560 258×56－10不能计算出正确的得数。 C．248＝238＋10 248×56 ＝238×56＋10×56 ＝238×56＋560 238×56＋560能计算出正确的得数。 一个计算器的数字“4”键坏了，要计算248×56，可以238×56＋560计算出正确的得数。 故答案为：C 4．C 【分析】算式同时满足以下2个条件才能利用乘法分配律简算：（1）有一个因数是相同的；（2）另外两个因数凑成整十、整百、整千等。或者两个因数相乘，其中一个因数可拆成一位数与整十、整百、整千等。据此解答。 【详解】A．437×101 ＝437×（100＋1） ＝437×100＋437×1 ＝43700＋437 ＝44137 B．45×（200＋5） ＝45×200＋45×5 ＝9000＋225 ＝9225 C．25×（7×4） ＝25×4×7 ＝100×7 ＝700 故答案为：C 【点睛】本题考查学生对乘法分配律的认识和掌握。 5．A 【分析】减法的性质是指从一个数里连续减去两个数，可以减去这两个数的和，也可以先减去第二个数，再减去第一个数。据此解答即可。 【详解】451－51－49＝451－（51＋49） 故答案为：A 【点睛】本题考查减法的性质，需熟练掌握。 6．A 【分析】先求出27减去14的差，再用9乘求出的差得出积，然后用234除以得出的积，即可解答。 【详解】列出综合算式如下： 234÷［9×（27－14）］ ＝234÷［9×13］ ＝234÷117 ＝2 故答案为：A 【点睛】本题解答的关键是明确先算什么，再算什么，列出算式解答即可。 7．B 【分析】乘法分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c，据此即可解答。 【详解】28×（□＋2）－（28×□＋2） ＝28×□＋28×2－28×□－2 ＝56－2 ＝54 故答案为：B。 【点睛】本题主要考查学生对乘法分配律的掌握和灵活运用。 8．168÷［（19－15）×2］ 【分析】168÷19－15×2，先算除法和乘法，再算减法。要想先算减法，应给19－15添上小括号。要想再算乘法，最后算除法，应给（19－15）×2添上中括号。算式就变为168÷［（19－15）×2］。 【详解】168÷［（19－15）×2］ ＝168÷[4×2] ＝168÷8 ＝21 要想先算减法，再算乘法，最后算除法，应将算式改为：168÷［（19－15）×2］。 【点睛】本题考查整数四则混合运算，有多层括号时，先算小括号里的，再算中括号里面的。 9． 128 24 分配 【分析】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，据此解答。 【详解】由乘法分配律的概念可得： 他计算的乘法算式是128×24，运用了乘法分配律。 【点睛】本题主要考查乘法分配律的运用。 10． ＞ ＜ ＜ ＝ 【分析】（1）计算34×102时，运用乘法分配律，34×102＝34×（100＋2）＝34×100＋34×2；计算34×100＋2时，先算乘法再算加法，最后比较两个算式的结果； （2）计算478－（209＋178）时，根据减法的性质，478－（209＋178）＝478－209－178计算出结果；计算478－209＋178时，先算减法再算加法；最后比较两个算式的结果； （3）计算25×32时，运用乘法的分配律，25×32＝25×（30＋2）＝25×30＋25×2；计算25×30×2时，根据乘法交换律，25×30×2＝25×2×30，先算25×2＝50，再算50×30；最后比较两个算式的结果； （4）计算5×10－5×3时，根据乘法分配律，5×10－5×3＝5×（10－3）；与另一个算式5×（10－3）相等，据此解答。 【详解】（1）34×102 ＝34×（100＋2） ＝34×100＋34×2 ＝3400＋68 ＝3468 34×100＋2   ＝3400＋2 ＝3402 所以：34×102＞34×100＋2 （2） 478－（209＋178） ＝478－209－178 ＝478－178－209 ＝300－209 ＝91 478－209＋178 ＝269＋178 ＝447 所以： 478－（209＋178）＜478－209＋178 （3）25×32 ＝25×（30＋2） ＝25×30＋25×2 ＝750＋50 ＝800 25×30×2 ＝25×2×30 ＝50×30 ＝1500 所以：25×32＜25×30×2 （4）   5×10－5×3 ＝5×（10－3） 所以：   5×10－5×3＝5×（10－3） 【点睛】熟练掌握运算定律与简便运算的方法是本题解答的关键，注意计算要正确。 11．a＋b＋c＝a＋（b＋c） 【详解】三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示为：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 12．交换 【分析】根据题意，a×b＝b×a，乘法交换律，4×6×25＝6×（4×25），4和6的位置交换了，由此解答。 【详解】4×6×25＝6×（4×25），运用了乘法的结合律和（交换）律。 【点睛】本题考查乘法的结合律和交换律，掌握其含义是解题的关键。 13．640 【分析】根据乘法分配律可知，65×（□＋10）＝65×□＋65×10，则他的计算结果比正确结果小65×10－10。据此解答即可。 【详解】65×（□＋10）－（65×□＋10） ＝65×□＋65×10－65×□－10 ＝65×10－10 ＝650－10 ＝640 则他的计算结果比正确结果小640。 【点睛】解决本题的关键是灵活运用乘法分配律变换算式，再进行解答。 14．30 【分析】一个加数＝和－另一个加数，被除数＝除数×商，根据错误的结果倒推出□的值，再代入正确算式中计算即可解答。 【详解】75＋□÷3＝80 □÷3＝80－75 □÷3＝5 □＝5×3 □＝15 （75＋□）÷3 ＝（75＋15）÷3 ＝90÷3 ＝30 这道题的正确答案是30。 【点睛】熟练掌握加法和除法各部分间关系是解答本题的关键。 15．× 【分析】根据乘法结合律特征：先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变；如a×b×c＝a×（b×c）；据此解答。 【详解】（19×125）×8＝19×（125×8）运用了乘法结合律；题干说法错误。 故答案为：×。 【点睛】此题考查对乘法结合律的认识和运用运算定律进行简便计算。 16．√ 【分析】根据上图竖式可知，12×34可以看作是12分别与4和30相乘，再把积相加，计算过程运用了整数乘法分配律。 【详解】根据分析可知：上图的竖式运用了乘法分配律，原题说法正确。 故答案为：√ 17．√ 【分析】积的变化规律：两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以相同的数。 【详解】7200÷2＝3600 两个因数的积是7200，其中一个因数除以2，另一个因数不变，积就变成3600，原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题主要考查在乘法算式中，因数与积的变化规律的应用。 18．错误   【分析】考察加法结合律，先依题意列出式子279＋138＋01，再运用加法结合律将式子转化为138＋（279＋201），进行计算后得出答案618，所以题目错误 【详解】根据题意，列出式子279＋138＋201，再运用加法结合律，即 279＋138＋201 ＝138＋（279＋201） ＝138＋480 ＝618 所以题目所说的608元错误 19．√ 【分析】计算25×13×4时，交换因数25和13的位置，运用了乘法交换律，此时算式为13×25×4，应先计算13×25，而算式13×（25×4）先计算25×4，运用了乘法结合律。 【详解】根据分析可知，25×13×4＝13×（25×4）运用了乘法交换律和结合律。 故答案为：√。 【点睛】本题考查乘法交换律和乘法结合律，需熟练掌握并能灵活运用。 20．√ 【分析】加法有加法交换律，用字母表示为a＋b＝b＋a。乘法有乘法交换律，用字母表示为a×b＝b×a。减法没有交换律，有减法的性质，用字母表示为a－b－c＝a－（b＋c）。除法也没有交换律，有除法的性质，用字母表示为a÷b÷c＝a÷（b×c）。据此判断。 【详解】交换律只适用于加法和乘法，不适用于减法和除法。减法有减法的性质，除法有除法的性质。原说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查学生对运算定律的理解和掌握。 21．√ 【分析】应用乘法结合律，可得：234×2×3与234×6的积是相等. 【详解】234×2×3 ＝234×（2×3） ＝234×6 所以234×2×3与234×6的积是相等， 所以题中说法正确. 故答案为：√. 【点睛】此题主要考查了运算定律与简便运算，要熟练掌握，注意乘法运算定律的应用. 22．√ 【详解】两个数的和与一个数相乘，可以用这两个数分别和这个数相乘，再把它们的积相加，这叫乘法分配律。例如：（40＋4）×25＝40×25＋4×25，（100＋6）×38＝100×38＋6×38。用字母表示为：a×（b＋c）＝a×b＋a×c。 故答案为：√ 23．2400；72；800；2400；400 0；8；9；150；9 【解析】略 24．1412；9210； 634；535； 945；7412； 【分析】（1）（2）（3）根据整数加法的计算法则可得，先将个位上的数对齐，再进行计算。 （4）先用一位数去乘三位数的个位，再乘十位和百位，最后进行计算即可。 （5）（6）先用两位数的个位乘三位数，得到的末位和两位数的个位对齐；再用两位数的十位去乘三位数，得到的末位和两位数的十位对齐；最后将两次乘得的数相加即可。 【详解】819＋593＝1412                      1389＋7821＝9210 验算          验算 358＋276＝634                      5×107＝535 验算        验算 35×27＝945                        218×34＝7412 验算              验算 25．72；19000； 50；19400 【分析】22×3＋24÷4先算乘法和除法，再算加法； 125×19×8应用乘法交换律和乘法结合律简便计算； 200÷[（172－72）÷25]  先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算括号外面的除法； 206×97－6×97应用乘法分配律简便计算。 【详解】22×3＋24÷4 ＝66＋6 ＝72 125×19×8 ＝125×8×19 ＝1000×19 ＝19000 200÷[（172－72）÷25] ＝200÷[100÷25] ＝200÷4 ＝50 206×97－6×97 ＝（206－6）×97 ＝200×97 ＝19400 26．(1)(68＋42)×25＝2750(元) 答：最多要用2750元． (2)(64＋36)×25＝2500(元) 答：选择①和④合适． 【详解】(1)要想用的钱最多，必须买贵的． 27．1500本 【分析】《科普知识》每套本数乘套数可以算出《科普知识》有（18×50）本，《寓吉故事》每套本数乘套数可以算出《寓吉故事》有（12×50）本，将《科普知识》本数和《寓吉故事》本数相加即可算出这两种书一共有（18×50＋12×50）本。 【详解】18×50＋12×50 ＝900＋600 ＝1500（本） 答：这两种书一共有1500本。 【点睛】此题考查的是整数四则混合运算解决实际问题，正确分析数量关系是解题关键。 28．5根 【详解】9-3-1=5（根） 29．3594米 【分析】根据题意，先计算出甲队和乙队每月修的米数，再乘6个月，即是这条路一共长多少米，据此解答。 【详解】（325＋274）×6 ＝599×6 ＝3594（米） 答：这条路长3594米。 【点睛】本题解答的关键是先求出甲队和乙队每月修的总米数。 30．1000米 【分析】65减5等于乙队每天挖的米数，再加65等于两队合挖一天挖的米数，再乘8即等于8天一共挖的米数，即水渠的长度。 【详解】（65－5＋65）×8 ＝125×8 ＝1000（米） 答：这条水渠一共长1000米。 【点睛】先求两队合挖一天挖的米数，再作进一步解答。 31．3594米 【分析】根据题意，先计算出甲队和乙队每月修的米数，再乘6个月，即是这条路一共长多少米，据此解答。 【详解】（325＋274）×6 ＝599×6 ＝3594（米） 答：这条路长3594米。 【点睛】本题解答的关键是先求出甲队和乙队每月修的总米数。 32．3000元；先算25×40的积比较简便。 【分析】先用每袋大米的质量乘每千克大米的单价，求出每袋大米可以卖多少钱，再乘40袋，就是一共可以卖的钱数，计算时根据乘法交换律简算即可。 【详解】25×3×40 ＝25×40×3 ＝1000×3 ＝3000（元） 答：一共可以卖3000元。先算25×40的积比较简便。 【点睛】解决本题根据乘法的意义求解，注意合理运用运算定律简算。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$