专题1.25 全等三角形几何模型分类专题（全章专项练习）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.25 全等三角形几何模型分类专题（全章专项练习） 【模型目录】 【模型1】“共顶点等角”模型； 【模型2】“8字”模型； 【模型3】“一线三直角”模型； 【模型4】“一线三等角”模型； 【模型5】“手拉手”模型； 【模型6】“倍长中线”模型； 【模型7】“截长补短”模型； 【模型8】“半角”模型. 【模型1】“共顶点等角”模型； 1．（2023·云南红河·一模）已知：如图，，，．求证：． 2．（23-24九年级下·吉林·开学考试）如图，在中，，，，、交于点．求证：． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，，求证：． 【模型2】“8字”模型； 4． （23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）已知：如图，是的高，是上一点．，， 求证：  (1) (2) 5．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，，，点D在边上，，和相交于点O．   (1)试说明：． (2)若，求的度数． 6．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图所示，已知中，D为上一点，E为外部一点，交于一点O，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 模型3】“一线三直角”模型； 7．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，点是外部一点，连结，作，，垂足分别为点， (1)求证：； (2)已知，，求的长． 8．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：，，的关系； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由． 9． （22-23八年级上·湖南娄底·期中）在中，，直线经过点C，且于D， 于E， (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，试问具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系． 【模型4】“一线三等角”模型； 10．（23-24八年级上·广东惠州·期末）（1）教材呈现：人教版数学教材八年级上册第56页有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为D，E，，，求的长．”请直接写出此题的答案：的长为________； （2）类比探究：如图2，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是、的外角，已知：，．求证：； （3）拓展应用：如图3，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为27，则与的面积之和为？ 11．（22-23八年级上·山东日照·阶段练习）如图1，，，，，垂足分别为D，E，，， (1)求的长； (2)其它条件不变的前提下，将所在直线旋转到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明． (3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 12．（23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践 问题情境： 数学课上，同学们以等腰三角形为背景展开探究．在中，，直线过点，点是直线上两点． 独立思考： （1）如图1，当直线在的外部，满足时，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 拓展探究： （2）如图2，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请写出线段，与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出线段与之间的数量关系． 【模型5】“手拉手”模型； 13．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，，，，，与交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 14．（2024八年级上·江苏·专题练习）综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，，连接，延长交于点D．则与的数量关系： ， ； (2)类比探究：如图2，在和中，，连接，延长交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 15．（2024九年级下·黑龙江齐齐哈尔·学业考试）数学活动课上，老师出示两个大小不一样的等腰直角和摆在一起，其中直角顶点重合，，，． (1)用数学的眼光观察． 如图，连接，，判断与的数量关系为 ______． (2)用数学的思维思考． 求证：． 【模型6】“倍长中线”模型； 16．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）如图所示，是的边的中线．   (1)画出以点为对称中心且与成中心对称的三角形； (2)若，，求的长的取值范围． 17．（21-22七年级下·广东深圳·期末）（1）如图，在中，，，点G是的中点，求中线的取值范围； （2）如图，在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 18．（2023八年级上·全国·专题练习）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，求边上的中线的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长到Q使得； ②再连接，把、、集中在中；③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是___________． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)请写出图1中与的位置关系并证明； (3)思考：已知，如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 【模型7】“截长补短”模型； 19．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，，，分别平分和，经过点．求证：． 20．（18-19八年级上·全国·单元测试）已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 21．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图，在五边形中，，平分，．   (1)求证：； (2)若，求的度数． 【模型8】“半角”模型. 22．（22-23八年级上·贵州毕节·期末）如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．   (1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________； (2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由． (3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 23．（23-24七年级下·四川达州·期末）在数学活动课上，李老师给出以下题目条件：在四边形中，，点E、F分别是直线上的一点，并且．请同学们在原条件不变的情况下添加条件，开展探究活动． 【初步探索】 （1）“兴趣”小组做了如下探究：如图1，若，延长到点G，使．连接，再证明，由此可得出，，之间的数量关系为________； 【灵活运用】 （2）“实践”小组提出问题：如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； 【延伸拓展】 （3）“奋进”小组在“实践”小组的基础上，提出问题：如图3，若，点E、F分别在线段的延长线上，连接，且仍然满足．请写出与的数量关系，并说明理由． 24．（22-23八年级上·河南安阳·期中）（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明，得；再由条件可得，证明，进而可得线段，，之间的数量关系是______． （2）拓展应用： 如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）学以致用： 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等式的性质等知识．由，推导出，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，于是得． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ． 2．证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定，找到条件，灵活选用判定方法是解答本题的关键． 由“”可证． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ． 3．证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定，先证明，在用证明即可，掌握判定三角形全等是解题的关键． 【详解】证明， ， 在和中， ， ． 4．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理． （1）先根据是的高，得出，再根据，得出，即可证出． （2）由（1）可知，得出，再根据，得出，从而得出，即可证出． 【详解】（1）证明：∵是的高， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，延长交上一点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．    5．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意得到，再证明，即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）证明：AE和BD相交于点O， ． 在和中， ， ． ， ，． 在和中， ； （2）解：， ，． ， 是等腰三角形， ， ． 6．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定、三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据已知条件即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，再利用等式的性质得到，最后利用三角形内角和定理得到答案． 【详解】（1）解：在C和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．(1)证明过程见详解 (2)的长为 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据垂直的关系可得，，由“角角边”即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴，， 在中，， ∵,， ∴的长为． 8．(1)，证明见解析 (2)不成立，，理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质和线段和差关系， （1）根据题意利用证明，则有，，结合即可证明结论； （2）根据题意利用证明，则有，，结合即可证明结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， 在与中， ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵于D，于E． ∴， ∴，． ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴，． ∴． 9．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）根据余角的性质可得，可证明，可得，即可求证； （2）根据余角的性质可得，可证明，可得，即可求证； （3）根据余角的性质可得，可证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：在中， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在中， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）证明：在中， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 10．（1）0.8；（2）见解析；（3）18 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问 （1）利用同角的余角相等证明，再利用证明，根据全等三角形的性质、结合图形解答； （2）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）由（2）可知，由全等三角形的性质可得出答案． 【详解】解：（1）， ， ． ， ． 在和中， ， ， ； 故答案为：0.8； （2）证明：， ， ， 在和中， ， ， ． （3）的面积为27，， 的面积是：， 由（2）中可知， 与的面积之和等于与的面积之和，即等于的面积，是18， 故答案为：18． 11．(1) (2) (3)成立，见解析 【分析】此题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）先利用同角的余角相等判断出，进而判断出，得出，，即可得出结论； （2）同（1）的方法，证明得出，，进而得出结论． （3）同（1）的方法，证明得到，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：， 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：（2）中的猜想仍然成立， 证明：∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 12．（1），见解析；（2），见解析；（3）（1）中结论不成立．线段与之间的数量关系为 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义，理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据三角形外角的性质及等量代换得出，再由全等三角形的判定和性质得出，，结合图形即可求解； （2）同（1）中方法类似，利用全等三角形判定和性质求解即可； （3）同（2）中方法类似，利用全等三角形判定和性质求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）结论不成立，，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）结论不成立，，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，，得到，继而得到，得证，证明即可得证． （2）根据得到，设与交于点G．利用对顶角相等，三角形内角和定理，邻补角的性质计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． （2）设与交于点G． ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，对顶角相等，三角形内角和定理，邻补角的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，对顶角的性质是解题的关键． 14．(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1所示，设与交于点O， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：，30； （2）， 理由如下：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，属于基础题型： （1）证明，即可得出结论； （2）直接利用证明即可． 【详解】（1）解： ． ， 即， 在和中， ， ∴． ∴ 故答案为：； （2）证明． ， 即， 在和中， ， ∴． 16．(1)作图见详解 (2)的长的取值范围 【分析】（1）中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，对称中心在旋转图形对应点连线的垂直平分线的交点处； （2）由（1）可得，可知，，在中，根据三角形三边数量关系，可求出的取值范围，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图所述，以点为对称中心旋转，得，    ∴与关于点成对称中心图形． （2）解：由（1）可知，与关于点成对称中心图形， ∴， ∴，， 在中，，即， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴的长的取值范围． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的作图及性质，三角形三边关系的运用，掌握以上知识的运用是解题的关键． 17．（1）2＜DG＜5（2）AD=CD+AB，证明见解析 【分析】（1）延长DG至M，使GM=DG，连接MF，利用SAS可证得，利用全等三角形的对应边相等可得到DE=MF，再利用三角形的三边关系定理，可求出DG的取值范围； （2）延长AE，DC相交于点F， 利用平行线的性质可知∠BAE=∠F，利用AAS可证得△ABE≌△FCE，利用全等三角形的性质可证得AB=CF，∠F=∠DAF；利用角平分线的定义去证明∠F=∠DAF，利用等角对等边可证得AD=DF，然后根据DF=DC+CF，代入可证得结论． 【详解】（1）解：延长DG至M，使GM=DG，连接MF， 在和中， ∴(SAS)， ∴DE=MF=3， ∵DF-MF＜DM＜DF+MF， ∴7-3＜DM＜7+3， 即4＜DM＜10， ∵， ∴4＜2DG＜10， ∴2＜DG＜5； （2）AD=CD+AB，理由如下： 解：延长AE，DC相交于点F， ∵， ∴∠BAE=∠F， ∵点E是BC的中点， ∴BE=CE， 在和中， ∴（AAS）， ∴AB=CF， ∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE， ∴∠F=∠DAF， ∴AD=FD， ∵FD=CD+CF，CF=AB， ∴AD=CD+AB． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点并添加辅助线． 18．(1) (2)，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形． （1）由题意可得及三角形三边关系，即可求解； （2）通过证明，得出，即可得出结论； （3）同（2）得，则，进而判断出，进而判断出，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵， ∴， 故答案为； （2），理由如下， 延长到Q使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下， 在下图中，延长到Q使得，连接， 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 综上：． 19．证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，证明和，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：如图，在上截取，连接， ，分别平分和， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 20．(1)度 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． （1）由题意，根据，即可解决问题； （2）在上截取，连接．只要证明，推出，再证明，推出，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴ ∵， ∴， ∴ （2）解：在上截取，连接． ∵为的角平分线． ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解． 【详解】（1）解：在上截取，连接．   ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴ ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 22．(1) (2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)结论不成立，应当是，理由见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． （1）如图中，延长到，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，如图中，延长至M，使，连接．只不过证明三角形和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】（1）解：如图中，延长到G，使，连接，   ，， ． ． ． ． 又， ， ， ． ． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至M，使，连接．   ，， ， 在与中， ， ． ． ， ． ，即． 在与中， ， ． ，即， ． （3）解：结论不成立，应当是． 证明：如图中，在上截取，使，连接．   ，， ． 在与中 ， ． ． ． ． ， ∴． ， ， ． 23．（1） （2）成立，理由见解析 （3），证明见解析 【分析】（1）延长到点，使，连接，则，从而得出，证明得出，证明得出，即可证明； （2）延长到点，使，连接，则，从而得到，证明得出，证明得出，即可证明； （3）延长到点，使，连接，则，证明得出，证明得出，从而得到，即可得解． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，连接，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）成立， 理由：如图，延长到点，使，连接，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）， 证明：如图，延长到点，使，连接， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线构造三角形全等是解此题的关键． 24．（1）；（2）成立，见解析；（3）10 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键． （）延长到点，使，连结，由“”可证，可得，，再由“”可证，可得，即可解题； （）延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （）延长到，使，连接，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得，即可求解． 【详解】解∶（1）延长到点，使，连结， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）结论仍然成立，理由如下：如图，延长到，使，连接，      ∵， ∴， 同（）理：， ∴，， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，延长到，使，连接，      ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$