专题1.14 全等三角形几何模型分类专题（全章专项练习）-2024-2025学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.14 全等三角形几何模型分类专题（全章专项练习） 【模型目录】 【模型1】“共顶点等角”模型； 【模型2】“8字”模型； 【模型3】“一线三直角”模型； 【模型4】“一线三等角”模型； 【模型5】“手拉手”模型； 【模型6】“倍长中线”模型； 【模型7】“截长补短”模型； 【模型8】“半角”模型. 【模型1】“共顶点等角”模型； 1．（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，． 求证：． 2．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）已知：如图，．求证：． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，和中，，，边与边交于点不与点，重合，点，在异侧． (1)若，，求的度数； (2)当，，，时，设，请用含的式子表示，并写出的最大值． 【模型2】“8字”模型； 4．（2024·甘肃武威·三模）已知：如图，与相交于点，，，求证：．    5．（2024·山东淄博·二模）如图， 点在的外部，点在上，交于点， ，．求证： ． 6．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在和中，，，，分别交，于点F，G． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【模型3】“一线三直角”模型； 7．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知，于点D，于点E，，求证：． 8．（22-23八年级上·广东潮州·阶段练习）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，，，求线段的长． 9． （23-24七年级下·山东东营·期末）如图1，在中，，，是过的一条直线，且，在的异侧，于点，于点． (1)求证：； (2)若直线绕点A旋转到图2位置时，其余条件不变，问与，的关系如何，请证明； (3)若直线绕点A旋转到图3时，其余条件不变，与，的关系怎样？请直接写出结果，不须证明． (4)归纳（1），（2），（3），请用简捷的语言表述与，的关系． 【模型4】“一线三等角”模型； 10．（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图， 已知在中，， 射线交于点O，， 点E、F在射线上， 且．试判断与的数量关系，并说明理由．    10． （2024八年级上·全国·专题练习）如图1，，，，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点． (1)若为的中点，点与点重合，试说明与全等； (2)如图2，若，，求，，之间的数量关系； (3)如图3，将“，”改为“（为锐角）”，其他条件不变．若，，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由． 12．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图： (1)如图，，射线在这个角的内部，点、分别在的边、上，且，于点，于点．求证：； (2)如图，点、分别在的边、上，点、都在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，且．求证：； (3)如图3，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为，求与的面积之和． 【模型5】“手拉手”模型； 13．（22-23八年级上·浙江金华·开学考试）已知：如图，在中，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)试猜想有何特殊位置关系，并证明． 14．（22-23七年级下·四川雅安·期末）如图，在和中，．连接交于点O． (1)求证：； (2)求的度数； (3)小明同学对该题进行了进一步研究，他连接了，并提出了下面两个结论： ①平分； ②平分．请你选一个正确的结论，并给予证明． 15．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如图，与中，，，，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，求证：． 【模型6】“倍长中线”模型； 16．（22-23八年级上·山东滨州·期末）如图，是的中线，，，求中线的取值范围． 17．（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，在中，， (1)求边的长的取值范围？ (2)若是的中线，求取值范围？ 18．（2024八年级上·江苏·专题练习）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． (1)求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） 请补齐空白处 (2)由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【模型7】“截长补短”模型； 19．（22-23八年级上·江苏·课后作业）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P． (1)求∠APC的度数； (2)若AE＝4，CD＝4，求线段AC的长． 20．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在中，为上任意一点．请分别用截长法和补短法说明：． 21．（19-20八年级上·山东济宁·期中）现阅读下面的材料，然后解答问题： 截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段． 请用截长法解决问题（1） （1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：． 请用补短法解决问题（2） （2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：． 【模型8】“半角”模型； 22．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，在四边形中，E为上一点，F为上一点，，． (1)求证：； (2)求证：平分，平分． 23．（23-24七年级下·山东济南·期末）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明) 24．（2024七年级下·上海·专题练习）在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，在探究图1中线段，，之间的数量关系过程中． (1)你尝试添加了怎样的辅助线？成功了吗？（真实大胆作答即可得分） (2)小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系是 ． (3)如图3，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？并证明； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ． 2．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由可得，再根据条件，可利用证明，再根据全等三角形对应边相等即可得出结论． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． 3．(1) (2)，1.6 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． （1）根据证明与全等，进而解答即可； （2）根据当时，最小，最大，进而利用三角形面积公式解答即可． 【详解】（1）在与中， ， ， ， ， ， ，， ； （2）， ， ，，， 当时，最小，最大，， ， 可得：， 当最小时， 4．见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．证明，即可得到结论． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ． 5．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形内角和，熟知判定方法是解题的关键．通过，，可得，即可通过证明． 【详解】证明：， ，即， ， ， 即， 在与中， ． 6．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，得到即，接着证明即可． （2）根据，得到，利用三角形内角和定理计算即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，对顶角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴． （2）∵ ， ∴， ∵， ∵ ， ∴． 7．证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由垂直的定义得到，再由三角形内角和定理证明，进而证明，则． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 8．(1)①见解析，②见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键． （1）①由已知推出，因为，，推出，根据“”即可得到答案； ②由①得到，，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案． 【详解】（1）证明：①，， ， ， ，， ， 在和中， ， （）； ②由（1）知：， ，， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）；， ，， ． 9．(1)见详解 (2)，见详解 (3)，详解 (4)当、在异侧时，；当、在同侧时，． 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据证明，得；．根据代换即可； （2）显然关系不成立．同理证明，得；．此时； （3）同（2）, 显然关系不成立．同理证明，得；．此时； （4）根据前面证明的结论分类归纳． 【详解】（1）证明： ，， ． 又，， ． ，． 又， ， 即． （2）证明：．证明如下： ， ． 又， ， ． 又，， ． ，． ， ， 即． （3）解：：证明：．证明如下： ， ． 又， ， ． 又，， ． ，． ， ， 即． （4）解：由（1）（2）（3）得出： 当、在异侧时，； 当、在同侧时，． 10．，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判断和性质、等腰三角形的性质，解题的关键是添加正确的辅助线，在射线作点M， ，先根据等腰三角形的性质和已知条件证明和，从而证明，即可得到． 【详解】解：，理由如下， 如下图所示，在射线作点M， ，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．(1)证明见解析 (2) (3)不会改变，理由见解析； 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题过程中，运用分类讨论思想和类比思想是解题关键． （1）根据题意应用证明即可； （2）根据题意证明，得到，，则问题可证； （3）根据题意证明，得到，，则问题可证． 【详解】（1）解：由题意可知． ∵，， ∴，， ∴． 又∵为的中点， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知． ∵， ， ∴． 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即，，之间的数量关系为； （3）解：不会改变；   理由：∵， ， ∴． 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 即（2）中的数量关系不会改变； 12．(1)见解析 (2)见解析 (3)与的面积之和等于 【分析】（1）由同角的余角相等证，进而即可证明（）； （2）根据三角形的外角性质证，，进而即可证明（）； （3）过点作于，由，得，进而得，由（）知，，则，从而即可得解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）； （2）证明：∵，， ∴， 同理：， 在和中， ， ∴（）； （3）解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵，， ∴ 由（）知，， ∴， ∴， 即：与的面积之和等于． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质，同角的余角相等，垂直定义，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 13．(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，推出，即可； 【详解】（1）证明：∵ ∴ 即， 又∵， ∴． （2）． 证明如下：由（1）知， ∴． ∵， ∴． ∴． 即． ∴． 14．(1)见解析 (2) (3)②平分正确．见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、角平分线的性质定理等知识点，证明是解本题的关键． （1）由“”可证，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形内角和定理即可解答； （3）过点A作于点H，于点F，由全等三角形的性质可得，由三角形面积公式可得，由角平分线的性质可得平分． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：②平分正确． 证明：如图，过点A作于点H， 于点F， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴平分． 15．(1) (2)见解析 【分析】（1）证明，利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题． （2）如图2中，延长交于F，在上取，连接，根据角平分线定义、平行线的性质推出，利用证明，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得解； 本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】（1）解：，即， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ； （2）证明：延长交于F，在上取，连接， ，， ， 则， ， 平分， ， ，， ， ，则， ， ，即， ， 则． 即：． 16． 【分析】延长到，使,证明两边之和大于，两边之差小于，证明三角形全等，得到线段相等，等量代换得． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵为中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据三角形三边的关系求解即可； （2）延长至E，使，连接，证明，得到，由三角形三边关系得到，则． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知：， ∵， ∴； （2）解：延长至E，使，连接， 在中，∵， ∴， ∴， 由三角形的三边关系：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 18．(1)已作；对顶角相等；； (2) (3)6 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）延长到点，使，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3））延长交的延长线于F，由“”可证，则，，证明，得，根据，即可得的长． 【详解】（1）证明：延长到点，使， 在和中， ， ； （2）由（1）得：，且，， ， 在中，， ； （3）延长交的延长线于F， ∵是的中线 ∴ ，， ， 在和中， ， ，， 又且 ， ， ， ． 即：的长是6． 19．(1)120° (2)8 【分析】（1）利用∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，即可得出答案； （2）由题中条件可得△APE≌△APF，进而得出∠APE＝∠APF，通过角之间的转化可得出△CPF≌△CPD，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵∠ABC＝60°， ∴∠BAC＋∠BCA＝120°， ∵AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB， ∴∠PAC＋∠PCA（∠BAC＋∠BCA）＝60°， ∴∠APC＝120°； （2）解：在AC上截取AF＝AE，连接PF，如图所示： ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△APE和△APF中， ， ∴△APE≌△APF（SAS）， ∴∠APE＝∠APF，AF=AE， ∵∠APC＝120°， ∴∠APE＝60°， ∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF， 在△CPF和△CPD中， ， ∴△CPF≌△CPD（ASA） ∴CF＝CD， ∴AC＝AF＋CF＝AE＋CD＝4＋4＝8． 【点睛】本题主要考查了利用角平分线求角度和全等三角形的判定及性质，根据在AC上截取AF＝AE得出△APE≌△APF是解题关键． 20．见解析 【详解】解：截长法： 如图①，在上截取，连接． 在和中，所以（SAS），所以． 在中，，所以，所以． 补短法：如图②，延长至点，使，连接． 在和中， 所以（SAS），所以． 在中，， 所以，所以． 21．（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据截长法，在上截取，连接，通过题目条件可证，进而证得是等腰直角三角形，等量代换即可得； （2）根据补短法，延长到，使，连接，根据已知条件可证，进而可证，等量代换即可得证． 【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接， ∵是角平分线， ∴ 在和中 ∴ ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴，∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． （2）如图2，延长到，使，连接， ∵是的角平分线， ∴ 在和中 ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了截长法和补短法两种方法证明线段和的问题，三角形全等的判定和性质的应用，角平分线的性质应用，等量代换的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 22．(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）延长至点，使，连接，证，得到，再证明，得到，即可证明结论； （2）由得，得到平分，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接． ∵， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （2）证明：由得， ∴平分； ∵，， ∴， 平分． 23．(1)；证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法． （1）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （2）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （3）在上截取，连接，证，推出，，证，推出即可； 【详解】（1）解：， 证明：延长到，使， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：， 证明：延长到，使，连接， ， ， ，， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：， 证明：在上截取，连接， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 24．(1)见解析 (2) (3)成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）在上方作，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系； （3）延长到，使，连接，证明和，得到答案； 【详解】（1）在上方作，使，连接， 在和中， ， ， ， ∵ ∴ ∴共线 ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，即， 添加辅助线：在上方作，使，连接，成功了； （2）延长到点，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，即， 故答案为：； （3）结论仍然成立， 证明：延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$