第三章 问题解决策略：归纳&真题检测训练-【勤径学升】2024-2025学年新教材七年级上册数学同步练测（北师大版2024）

同步练测·七年级数学·上册·北师版 ☆问题解决策略：归纳 [答案22] 归纳法在“数”方面的应用 探究二：以三角形ABC的三个顶点和它内部的2 ①（江苏镇江期末）在数学的学习过程中，通过对简 个点P,Q,共5个点为顶点，可把三角形ABC分 单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现 割成多少个互不重叠的小三角形？ 象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳 【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个 点A,B之间的距离该如何表示？ 【问题探究】 (1)观察分析（特殊）： 2题图① 2题图② 2题图8③ ①当a=2,b=5时，A,B之间的距离AB=3: 在探究一的基础上，我们可看作在图①三角形 ②当a=-2,b=5时，A,B之间的距离AB= ABC的内部，再添加1个点Q,那么点Q的位置会 有两种情况：一种情况，点Q在图①分割成的某 ③当a=-2.b=-5时.A.B之间的距离AB 个小三角形内部，不妨假设点Q在三角形PAC内 部，如图②：另一种情况，点Q在图①分割成的 (2)一般结论：数轴上分别表示有理数4，b的两 小三角形的某条公共边上，不妨假设点Q在AP 点A,B之间的距离表示为AB= 上，如图③：显然，不管哪种情况，都可把三角形 【问题解决】 ABC分割成5个互不重叠的小三角形. (3)应用：数轴上，表示x和3的两点A和B之 探究三：以三角形ABC的三个顶点和它内部的 间的距离是5，试求x的值： m个点，共(m+3)个点为顶点，可把三角形ABC 【问题拓展】 分割成 个互不重叠的小三角形 (4)拓展： 【探究拓展】以四边形的4个顶点和它内部的m ①若1x-21=1x-61,则x= 个点，共(m+4)个点为顶点，可把四边形分割成 ②若1x-11+1x-71=8,则x= 个互不重叠的小三角形. 【问题解决】以n边形的n个顶点和它内部的m 个点，共(m+n)个点为顶点，可把三角形ABC 分割成 个互不重叠的小三角形. 【实际应用】以八边形的8个顶点和它内部的 2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成 多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算） 归纳法在“形”方面的应用 2【问题提出】以n边形的n个顶点和它内部的m 个点，共(m+n)个点为顶点，可把原n边形分割 成多少个互不重叠的小三角形？ 【问题探究】为了解决上面的问题，我们将采取 一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情 形入手，通过观察、分析，最后归纳出结论 探究一：以三角形ABC的三个顶点和它内部的 一个点P,共4个点为顶点，可把三角形ABC分 割成多少个互不重叠的小三角形？如图①，显 然，此时可把三角形ABC分割成3个互不重叠 的小三角形 586 见此图标园抖音/縱信扫码领取配套资源稳步是升成绩 第三章整式及其加减 真题检测训练 [答案22] 者点①代数式 6(黔南州中考）若单项式a"26+?与单项式 ①（本海中考）一个两位数，它的十位数字是x,个 -3ab的和仍是一个单项式，那么m-n= 位数字是y,那么这个两位数是 A.x+y B.10xy 专点③整式的有关概念 C.10(x+y) D.10x+y (婴枝花中考)下列各式不是单项式的为( 2(温州中考)某地居民生活用水收费标准：每月 A.3 B.a C.& 用水量不超过17立方米，每立方米a元：超过部 分每立方米(a+1.2)元.该地区某用户上月用 8(海南中考)下列整式中，是二次单项式的是 水量为20立方米，则应缴水费为 ( A.20a元 B.(20a+24)元 A.x2+1 B.xy C.xy D.-3 C.(17a+3.6)元 D.(20a+3.6)元 9(江西中考)单项式-5ab的系数为 3(湘西州中考)古希腊数学家把1,3,6,10,15， 10(锦阳中考)若多项式ym-+(n-2)x2y2+1 21,…这样的数叫作三角形数，因为它的规律可 是关于x,y的三次多项式，则mn= 以用如图所示，根据图形，若把第1个图形表示 考点④整式的化简与求值 的三角形数记为a,=1,第2个图形表示的三角， 1们（乐山中考）计算：2a-a= 形数记为42=3，…则第n个图形表示的三角 A.a B.-a C.3a D.1 形数a。= ,(用含n的代数式表示) 12(常德中考)若a2+3a-4=0,则2a2+6a-3= 。 。 A.5 B.1 C.-1 D.0 ①② ③ ④ 3题图 3(甘谢中考)对于任意的有理数a,b,如果满足 ④（重庆中考）如果一个四位自然数abcd的各数位 ?+兮-台那么我们称这一对数a,6为相 上的数字互不相等且均不为0，满足ab-bc= 随数对”，记为(a,b).若(m,n)是“相随数对”， cd,那么称这个四位数为“递减数”.例如：四位 则3m+2[3m+(2n-1)]= 数4129，因为41-12=29，所以4129是“递减 14(湖北中考)先化简，再求值：4y-2y-(-3y), 数”；又如：四位数5324，因为53-32=21≠24， 其中x=2,y=-1. 所以5324不是“递减数”.若一个“递减数”为 a312,则这个数为 :若一个“递减数”的 前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组 成的三位数bd的和能被9整除，则满足条件的 数的最大值是 考点®同类项 ⑤（镇江申考）如果A,B,C,D均为单项式，则A+ B+C+D为 ( A.单项式 B.多项式 C.单项式或多项式 D.以上都不对 见此图标眼抖音/餐信扫码额取配套资源稳步是开成绩 59同步练测·七年级数学·上册·北师版 2.解：设原来的两位数，十位数字为x,则个位数字为 (3)因为1x-31=5, (x-2),故两位数是10x+x-2=11x-2.交换十位 所以x-3=±5. 数字与个位数字，得到的十位数是10(x-2)+x= 所以x=-2或x=8. 11x-20 (4)①4②8或0 故11x-2-(11x-20)=18, [解析]①lx-21=1x-61,即x-2=±(x-6),所 即较大的两位数减去较小的两位数的差为18. 以x=4.故答案为4. 3.解：(1)他说得对 ②若1x-11+1x-71=8, 若想的数是2，则有[(2+5)×4-20]×2÷8=2： 当x≥7时，(x-1)+(x-7)=8,所以x=8; 若想的数是3，则有[(3+5)×4-20]×2÷8=3. 当1<x<7时，(x-1)+(7-x)=8,方程无解： (2)[(a+5)×4-20]×2÷8 当x≤1时，(1-x)+(7-x)=8,所以x=0. =4a×2÷8 故答案为8或0 =8a÷8 2.解：探究三：(2m+1) =0, [解析]三角形内部1个点时，共分割成3部分，3= 可以发现这个运算规则最终得到的值就是原来想 3+2(1-1):三角形内部2个点时，共分割成5部 的数， 分，5=3+2(2-1)：三角形内部3个点时，共分割 (3)数学游戏：一个数减去1的4倍，再加上4，再除 成7部分，7=3+2(3-1)；…所以，三角形内部有 以2，即可得到这个数的2倍 m个，点时，3+2(m-1)=2m+1. 根据题意，得4(n-)+4=2m.(答案不唯一) 【探究拓展】(2m+2) 2 [解析]四边形的4个顶点和它内部的m个点，则分 4.D[解析]设中间数字为x,则另外四个数字分别 割成的不重叠的三角形的个数为4+2(m-1)= 为x-8,x-6,x+6,x+8,所以五个数字之和为x- 2m+2. 8+x-6+x+x+6+x+8=5x.根据题意，得5x= 【问题解决】(2m+n-2) 75,5x=90,5x=110,5x=120,所以x=15,x=18, 【实际应用】把n=8,m=2012代入上述代数式，得 x=22,x=24.当x=24时，x+8=24+8=32>31, 2m+n-2=2×2012+8-2=4024+8-2=4030. 不符合题意，所以小李同学的计算结果中错误的是 真题粉测训练 120 5.解：(1)abc=100a+10b+c=10(10a+b)+c, 1.D2.D3.n(m+1） 2 因为10(10a+b)能被5整除，所以当c能被5整除 4.43128165 时，即c=0或5时，abc能被5整除 [解析]由题意可得10a+3-31=12, (2)abcd=1000a+100b+10e+d=4(250a+ 所以a=4,所以这个数为4312. 25b)+10e+d, 由题意可得10a+b-(10b+c)=10c+d. 因为4(250a+25b)能被4整除，所以当10c+d能 整理可得10a-9b-11c=d 被4整除时，abcd能被4整除。 一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与 ☆问题解决策略：归纳 后三个数字组成的三位数bd的和为 1.解：(1)②7③3 100a+10b+e+100b+10e+d [解析]②AB=1-2-51=7.故答案为7.③AB= =100a+10b+e+100b+10e+10a-9b-11c 1-2-(-5)1=3.故答案为3. =110a+101b (2)1a-bl =99(a+b)+11a+2b. ·22· 参考答案及解析 又因为一个“递减数”的前三个数字组成的三位数6.①③④ abc与后三个数字组成的三位数bcd的和能被97.D 整除， 【能力提升练】 所以1a+2业是整数，且n≠b≠c≠d, 1.D2.D3.B 9 4.45.20 1≤a≤9,1≤b≤9,1≤c≤9,0≤d≤9， a=9时，原四位数可得最大值，此时b只能取0，不 6.解：(1)~(4)如答图所示 符合题意，含去； 当a=8时，b=1,此时71-11c=d, c取9或8或7时，均不符合题意： 6题答图 当c取6时，d=5, 7.解：(1)有1条直线 所以满足条件的数的最大值是8165. (2)有8条射线，能用字母表示的射线有6条，分别 故答案为4312,8165. 5.C6.97.C8.B 是射线AB,射线BA,射线BC,射线CB,射线CD,射 9.-5 线DC 10.0或8[解析]因为多项式xym-m+(n-2)x2y (3)有6条线段，分别是线段AB,线段AC,线段AD, +1是关于x,y的三次多项式， 线段BC,线段BD,线段CD. 所以n-2=0,1+1m-nl=3, (4)一条直线上标注了n个点时，有2n条射线 所以n=2,1m-nl=2, 8.解：(1)13 所以m-n=2或m-n=-2, (2)6 所以m=4或m=0, (3)10(n-1) 所以mn=0或8. 2 故答案为0或8. 课时2比较线段的长短 11.A12.A 【基础巩置练】 13.-2[解析]国为(m,)是“相随数对”，所以受 1.B2.B3.D4.A5.A6.B7.C8.A 9.解：(1)作射线AD:用圆规在射线AD上截取AB= +兮=号所以3店2，甲9m+4=0, 6 a:在线段AB上截取BC=b.则线段AC就是所求作 所以3m+2[3m+(2n-1)]=3m+2(3m+2n- 的线段c,如答图①. 1）=3m+6m+4n-2=9m+4n-2=0-2=-2. D 14.解：4xy-2y-(-3xy) 9题答图① =4xy -2xy +3xy (2)作射线EH:用圆规在射线EH上顺次截取EF=a, =5xy. FG=b.则线段EG就是所求作的线段d,如答图②. 当x=2,y=-1时，原式=5×2×(-1)=-10. 第四章基本平面图形 1线段、射线、直线 9题答图2 课时1线段、射线、直线 10.B11.610 【基础巩固练】 【能力提升练】 1.B2.D3.D4.D5.C 1.B2.C3.B4.C5.D6.D ·23·