24.4 弧长和扇形面积 讲义 2024-2025学年人教版数学九年级上册

第5讲 弧长和扇形面积 知识点一：弧长公式 　　半径为R的圆中，n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 例1．如图，、是的切线，切点分别为、，若，，则的长为　　 A． B． C． D． 【解答】解：、是的切线，， 在四边形中，，，，的长，故选：． 【变式1】如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的：先画正三角形，然后分别以点，，为圆心，长为半径画弧．若正三角形的边长为，则弧三角形的周长为　　． 【解答】解：是正三角形，，的长， 则弧三角形的周长，故答案为：． 【变式2】如图，，是的半径，弦于点，，若，则劣弧的长为　　． 【解答】解：连接． 弦，，，． ，． 在与中，，，， ，，是等边三角形， ，，劣弧的长为：．故答案为：． 【变式3】如图，正六边形内接于圆，半径为4，则这个正六边形的边心距和弧的长分别为　　 A．、 B．、 C．、 D．2、 【解答】解：如图所示，连接、；多边形是正六边形，， ，是等边三角形，，， 的长度，故选：． 例2．的圆心角对的弧长是，则此弧所在圆的半径是　　 A．3 B．4 C．9 D．18 【解答】解：根据弧长的公式，得到：，解得．故选：． 【变式4】半径为的圆上有一段长度为的弧，则此弧所对的圆心角为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意得，，解得：．故选：． 【变式5】在半径为的圆上有一段为的弧，该弧所对的圆周角的度数为　　． 【解答】解：设的弧所对的圆心角为，则，解得， 即的弧所对的圆心角为，所以该弧所对的圆周角的度数为．故答案为． 【变式6】如果弧长为的弧所对的圆心角为，那么这条弧所在的圆的半径是　　 A．18 B．12 C．36 D．6 【解答】解：，，故选：． 例3．三翼式旋转门在圆柱形的空间内旋转，旋转内的三片旋转翼把空间等分成三个部分，如图1，旋转门的俯视图是直径的2米的圆，图2显示了某一时刻旋转翼的位置，则弧的长是　　米．（结果保留 【解答】解：根据题意，可得，的长，故答案为：． 【变式7】一个钢管放在形架内，如图是其截面图，测得点与钢管的最短距离，最长距离．若钢管的厚度忽略不计，则劣弧的长为　　 A． B． C． D． 【解答】解：最短距离，最长距离， 圆的半径为，则，， ，，， 同理可得，，，劣弧．故选：． 知识点二：扇形的面积公式 1.扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 例4．已知扇形的半径为，扇形的弧长为，则该扇形的面积是　 　，扇形的圆心角为　 　度． 【解答】解：， 扇形的圆心角为． 【变式8】半径为6，圆心角为的扇形的面积是　　 A． B． C． D． 【解答】解：，故选：． 【变式9】一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的半径是　　 A． B． C． D． 【解答】解：设扇形的半径为，由题意：，解得， ，，这个扇形的半径为．故选：． 【变式10】已知的圆心角所对应的扇形面积为，则这条弧所在圆的直径为　　 A． B． C． D． 【解答】解：扇形的面积的公式，，扇形面积为， ，解得；（负数舍去）， 这条弧所在圆的直径为．故选：． 例5．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：，，， ，故选：． 【变式11】如图所示，扇形纸扇完全打开后，，．外侧两竹条，都等于，贴纸的宽度，都等于，则贴纸的面积是　　 A． B． C． D． 【解答】解：． 扇形的面积是：．扇形的面积是：． 贴纸的面积是：扇形的面积扇形的面积．故选：． 【变式12】如图所示，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点，，均为格点，则扇形的面积大小是　　． 【解答】解：每个小方格都是边长为1的正方形，， ．故答案为：． 知识点三：圆锥的概念及圆锥的侧面积和全面积 1.圆锥的概念（下左图）： 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体；母线是连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段；高是链接圆锥顶点和底面圆心的线段。 侧面展开图（上右图）：沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，半径等于圆锥的母线长 2.圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面积：， 圆锥的全面积：. 例6．圆锥的底面半径为，高为，则它的表面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：底面半径为，则底面周长，底面面积；由勾股定理得，母线长， 圆锥的侧面面积，它的表面积，故选． 【变式13】已知扇形的圆心角为，面积为． （1）求扇形的弧长； （2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？ 【解答】解：（1）设扇形的半径为，则，解得，，扇形的弧长； （2）设圆锥的底面半径为，则，解得，，又， 圆锥的高为：，， 因此，扇形的弧长是，卷成圆锥的轴截面是． 【变式14】如图，圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：，，可设圆锥母线长为，由勾股定理，， 圆锥侧面展开图的面积为：，所以圆锥的侧面积为．故选：． 【变式15】如图，是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果，，当绕点顺时针旋转时，则雨刷器扫过的面积为　　（结果保留． 【解答】解：，，；△ 刮雨刷扫过的面积扇形的面积扇形的面积， 故答案为：． 【变式16】如图，纸片是一个菱形，其边长为2，．以点为圆心的扇形与边相切于点，与、分别相交于点、； （1）请你判断所作的扇形与边的位置关系，并说明理由； （2）若以所作出的扇形为侧面围成一个圆锥，求该圆锥的全面积． 【解答】解：（1）相切；证明：连接、，过点作，垂足为， 与相切，， 四边形为菱形，平分，，扇形与边相切； （2）四边形为菱形，，是等边三角形，又其边长为2，， 的长为，则圆锥的侧面积为：，设圆锥的底半径为， ，解得，，则圆锥的底面积为：，该圆锥的全面积． 知识点四：与扇形有关的动态问题 例7．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将绕点顺时针旋转得到△，则点运动的路径的长为　　 A． B． C． D． 【解答】解：每个小正方形的边长都为1，， 将绕点顺时针旋转得到△，， 点运动的路径的长为：．故选：． 【变式17】如图，中，，，．将沿直线向右作无滑动滚动一次，则点经过的路径长是　　． 【解答】解：由锐角三角函数，得， 由旋转的性质，得是以为圆心，长为半径，旋转了， 由弧长公式，得，故答案为：． 【变式18】一个长为，宽为的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板点位置的变化为，其中第二次翻滚被面上一小木块挡住，使木板与桌面成的角，则点滚到位置时共走过的路径长为　　 A． B． C． D． 【解答】解：长方形长为，宽为，， 第一次是以为旋转中心，长为半径旋转，此次点走过的路径是， 第二次是以为旋转中心，为半径旋转，此次走过的路径是， 点两次共走过的路径是．故选：． 知识点五：圆锥的侧面展开图与扇形的对应关系的运用 例8．已知一个圆锥的高是，底面半径为10，则这个圆锥的侧面积展开图的圆心角等于　　 A． B． C． D． 【解答】解：圆锥的高是，底面半径为10， 圆锥的母线长为30． 圆锥的弧长底面周长， ，解得：，故选． 【变式19】已知一块圆心角为的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥的底面圆的直径是，则这块扇形铁皮的半径是　　 A． B． C． D． 【解答】解：设这个扇形铁皮的半径为，由题意得，解得． 故这个扇形铁皮的半径为，故选：． 例9．如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大扇形，用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为　　 A．10 B．15 C． D． 【解答】解：过作于， ，，，， 弧的长，设圆锥的底面圆的半径为，则，解得， 圆锥的高．故选：． 【变式20】若一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的母线长是　9　． 【解答】解：设母线长为，则；解得：．故答案为：9． 【变式21】如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径为　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意得，解得．故选：． 【变式22】现有一张圆心角为，半径为的扇形纸片，小红剪去圆心角为的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），则剪去的扇形纸片的圆心角的大小是　　 A． B． C． D． 【解答】解：圆锥的底面半径为，圆锥的底面周长为，，解得：， 扇形彩纸片的圆心角是剪去的扇形纸片的圆心角为． 剪去的扇形纸片的圆心角为．故选：． 知识点六：圆锥中“最短路径”问题 例10．如图，圆锥底面半径为，母线长为．底面圆周上有一蚂蚁位于点，它从点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径． 【解答】解：把圆锥沿过点的母线展成如图所示扇形，连接，过点作，交于点， 则蚂蚁运动的最短路程为（线段）． 圆锥底面半径为，母线长为， ，的长为． ，解得，即， ，，，，， ， ， ，即蚂蚁运动的最短路程是． 【变式23】如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为的等边三角形，点是母线的中点，一只蚂蚁从点出发沿圆锥的表面爬行到点处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是　　． 【解答】解：圆锥的底面周长是，则，即圆锥侧面展开图的圆心角是， 在圆锥侧面展开图中，，，在圆锥侧面展开图中， 这只蚂蚁爬行的最短距离是． 【基础巩固】 1．如图，在的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，、、分别是小正方形的顶点，则的长度为　　 A． B． C． D． 【解答】解： ，，，， 由勾股定理得：，的长度为，故选：． 2．如图，的半径为5，为弦，若，则的长为　　 A．5 B． C． D． 【解答】解：连接、，，，的长，故选：． 3．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，如某一问题：有一扇形田地，下周长（弧长）为30米，径长（两段半径的和）为16米，则该扇形田地的面积为　　 A．120平方米 B．240平方米 C．360 平方米 D．480平方米 【解答】解：下周长（弧长）为30米，径长（两段半径的和）为16米， 平方米，故选：． 4．如图所示，左边的正方形与右边的扇形面积相等，扇形的半径和正方形的边长都是，则此扇形的弧长为　　． A．4 B． C．8 D． 【解答】解：设扇形的圆心角为．由题意，， 扇形的弧长为，故选：． 5．若一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径长是　　 A． B． C． D． 【解答】解：设这个圆锥的底面半径为，根据题意得，解得， 所以这个圆锥的底面半径长为．故选：． 6．如图，圆锥的底面半径为6，母线长为10，则圆锥的侧面积是　　 A． B． C． D． 【解答】解：底面周长是：，则圆锥的侧面积是：．故选：． 7．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则母线与高的夹角是　　 A． B． C． D． 【解答】解：设圆锥的母线长为，底面半径为，则：，， 母线与高的夹角的正弦值，母线与高的夹角是．故选：． 8．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为6，则阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意知：弧长圆锥底面周长， 扇形的圆心角弧长母线长． 作于点，，， ，故选：． 【能力提升】 9．将边长为的正方形的四边沿直线向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时，正方形的顶点所经过的路线的长是　　． 【解答】解：第一次旋转是以点为圆心，为半径，旋转角度是90度，所以弧长； 第二次旋转是以点为圆心，为半径，角度是90度，所以弧长； 第三次旋转是以点为圆心，所以没有路程；第四次是以点为圆心，为半径，角度是90度， 所以弧长；所以旋转一周的弧长共． 所以正方形滚动两周正方形的顶点所经过的路线的长是． 故答案为：． 10．如图，在扇形中，，正方形的顶点是弧的中点，点在上，点在的延长线上，当正方形的边长为时，阴影部分的面积为　　． 【解答】解：连接，在扇形中，正方形的顶点是弧的中点， ，， 阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积． 故答案为． 11．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角，则此圆锥高的长度是　　． 【解答】解：设圆锥底面圆的半径为， ，，，，即：， 在中，，，根据勾股定理得，， 故答案为：． 【拓展探究】 12．如图，在菱形中，对角线，交于点，，．过点作于点，以点为圆心，为半径的半圆交于点． （1）求图中阴影部分的面积； （2）点是上的一个动点（点不与点，重合），当的值最小时，求的长度． 【解答】解：（1）四边形是菱形，，， ，， ，，，， ． （2）作点关于的对称点，连接交于，连接，连接，此时的值最小． ，， ，， ，． 学科网（北京）股份有限公司 $$