24.4 弧长和扇形面积（13大题型）-【重要笔记】2022-2023学年九年级数学上册重要考点精讲精练（人教版）

24.4 弧长和扇形面积 弧长公式 　半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： 　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 题型1：运用公式计算弧长 1.已知一个扇形的圆心角是150°，半径是3，则该扇形的弧长为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用弧长公式直接计算即可． 【解答】解：这个扇形的弧长＝＝π， 故选：A． 【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l＝． 【变式1-1】如图，AB是圆O的直径，CD是弦，CD∥AB，∠BCD＝30°，AB＝6，则弧BD的长为（　　） A．π B．4π C．2π D．45π 【分析】求出圆心角∠BOD的度数，再根据弧长的计算公式进行计算即可． 【解答】解：∠BOD＝2∠BCD＝2×30°＝60°， 由弧长公式得，弧BD的长为＝π， 故选：A． 【点评】本题考查圆周角定理，弧长的计算，掌握弧长的计算公式是正确解答的前提，求出圆心角的度数是解决问题的关键． 【变式1-2】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，若∠A＝20°，AB＝6，则弧长为（　　） A． B． C． D． 【分析】连结CO，根据AO＝CO，得到∠A＝∠C＝20°，根据三角形内角和定理求出圆心角的度数，根据直径的长求出半径，根据弧长公式l＝即可得出答案． 【解答】解：如图，连结CO， ∵AO＝CO， ∴∠A＝∠C＝20°， ∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠C＝140°， ∵直径AB＝6， ∴半径r＝3， ∴长＝＝， 故选：C． 【点评】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式l＝是解题的关键． 题型2：列方程求圆心角或半径 2.已知一段弧长为9.42cm，该段弧所在的圆的半径为6cm，求这段弧所对的圆心角度数． 【分析】根据弧长公式，即可求出弧所对的圆心角的度数． 【解答】解：设圆心角的度数为n， 根据题意得，＝9.42＝3π， ∴n＝3π×180°÷6π＝90°． 故这段弧所对的圆心角度数为：90°． 【点评】本题考查了弧长的计算，牢记弧长公式是解题的关键． 【变式2-1】如图，劣弧AB的长为6π，圆心角∠AOB＝90°，求此弧所在圆的半径． 【分析】根据弧长公式l＝，代入求出r的值即可． 【解答】解：由题意得， 6π＝， ∴r＝12． 答：此弧所在圆的半径为12． 【点评】本题考查了弧长的计算，关键是掌握弧长的计算公式． 【变式2-2】已知圆上一段弧长为4πcm，它所对的圆心角为100°，求该圆的半径． 【分析】设该圆的半径为R，根据弧长公式列出方程，解方程可得． 【解答】解：设该圆的半径为Rcm， 根据题意，得：＝4π， 解得：R＝， 答：该圆的半径为cm． 【点评】本题考查了弧长公式：l＝（n为弧所对的圆心角的度数，R为弧所在圆的半径）． 题型3：弧长计算中的最值问题（提升） 3.如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，OB＝2，点D为弦AB上一动点（不与A，B两点重合），连接OD并延长交于点C，当CD为最大值时，的长为（　　） A． B． C． D．π 【分析】根据垂线段最短得出当OC⊥AB时，OD最短，此时CD最大，求出∠BOC的度数，再根据弧长公式求出即可． 【解答】解：当OC⊥AB时，OD最短（垂线段最短），此时CD最大， ∵∠AOB＝120°，OD⊥AB，OD过圆心O， ∴＝，且弧的度数是60°， ∴∠BOC＝60°， ∴的长为＝， 故选：B． 【点评】本题考查了垂径定理，垂线段最短等知识点，能求出∠BOC的度数是解此题的关键 【变式3-1】如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交BC于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可． 【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′， 此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′， 由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°， ∴∠COD′＝90°， ∴CD′＝＝＝2， 的长＝＝， ∴阴影部分周长的最小值为2+＝． 故选：C． 【点评】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键． 【变式3-2】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C在上，且∠AOC＝60°，点P是线段OB上一动点，若OA＝2，则图中阴影部分周长的最小值是 　 　． 【分析】延长AO到D，使OD＝AO，得到点A与点D关于OB对称，连接CD交OB于P′，当点P与点P′重合时，图中阴影部分周