19.1　 函数　讲义　　2023—2024学年人教版数学八年级下册

第6讲 函数 知识点一：变量与常量 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终保持不变的量称为常量. 例1．在行进路程、速度和时间的相关计算中，若保持行驶的路程不变，则下列说法正确的是　　 A．速度是变量 B．时间是变量 C．速度和时间都是变量 D．速度、时间、路程都是常量 【解答】解：在行进路程、速度和时间的相关计算中，若保持行驶的路程不变，则速度和时间是变量，行进路程是常量，故选：． 【变式1】小丽的微信红包原有100元钱，她在新年一周里抢红包，红包里的钱随着时间的变化而变化，在上述过程中，自变量是　　 A．时间 B．小丽 C．80元 D．红包里的钱 【解答】解：小丽的微信红包原有100元钱，她在新年一周里抢红包，红包里的钱随着时间的变化而变化，在上述过程中，自变量是时间，故选：． 【变式2】在圆周长的计算公式中，变量有　　 A．， B．， C．， D．， 【解答】解：在圆周长的计算公式中，变量有和，故选：． 【变式3】骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，在这一变量关系中，因变量是体温　． 【解答】解：骆驼的体温随时间的变化而变化，自变量是时间，因变量是体温，故答案为：体温 【变式4】如图是一位病人的体温记录图，看图回答下列问题： （1）自变量是　时间　，因变量是　　； （2）护士每隔　　小时给病人量一次体温； （3）这位病人的最高体温是　　摄氏度，最低体温是　　摄氏度； （4）他在4月8日12时的体温是　　摄氏度； （5）图中的横虚线表示　　； 【解答】解：（1）自变量是时间，因变量是体温； （2）护士每隔6小时给病人量一次体温； （3）这位病人的最高体温是39.5摄氏度，最低体温是36.8摄氏度； （4）他在4月8日12时的体温是37.5摄氏度； （5）图中的横虚线表示人的正常体温； 故答案为：时间；体温；6；39.5；36.8；37.5；人的正常体温． 知识点二：函数的概念 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说其中是自变量，是因变量，是的函数．如果当时，那么叫做当自变量的值为时的函数值. 例2．下列说法中，哪些是正确的？ （1）在匀速运动公式中，是的函数，是常量． （2）在球的体积公式中，是常量，，，均为变量． （3）入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为，反射角的角度为，那么是的函数． （4）同一种物质，其质量是体积的函数． 【解答】解：（1）在匀速运动公式中，是的函数，是常量．该说法正确； （2）在球的体积公式中，是常量，，均为变量．该说法错误； （3）入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为，反射角的角度为，那么是的函数．该说法正确； （4）同一种物质，其质量是体积的函数．该说法正确． 【变式5】下列给出的关系式中，不是的函数的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、中，对于的每一个取值，都有唯一确定的值，符合函数的定义； 、中，对于的每一个取值，都有唯一确定的值，符合函数的定义； 、中，对于的每一个取值，可能有两个值，不符合函数的定义； 、中，对于的每一个取值，都有唯一确定的值，符合函数的定义； 故选：． 【变式6】下列函数中不是的函数的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、中，是的函数，故此选项不合题意； 、中，是的函数，故此选项不合题意； 、中，是的函数，故此选项不合题意； 、中，不是的函数，故此选项符合题意； 故选：． 例3．下列各曲线表示的与之间的关系中，不是的函数　　 A． B． C． D． 【解答】解：、对于的每一个取值，都有唯一确定的值，是的函数，故不符合题意； 、对于的每一个取值，都有唯一确定的值，是的函数，故不符合题意； 、对于的每一个取值，有不唯一的值，不是的函数，故符合题意； 、对于的每一个取值，都有唯一确定的值，是的函数，故不符合题意； 故选：． 【变式7】下列图形中，不能代表是函数的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，故不符合题意； 、满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，故不符合题意； 、满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，故不符合题意； 、不满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，故符合题意； 故选：． 【变式8】下列曲线中，表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、不能表示是的函数，故此选项不合题意； 、不能表示是的函数，故此选项不合题意； 、不能表示是的函数，故此选项不合题意； 、能表示是的函数，故此选项符合题意； 故选：． 知识点三：函数关系式 表示函数关系的式子叫做函数解析式. 函数自变量的取值范围，初中阶段主要包括： ⑴ 整式：一般为全体实数 ⑵ 根式：根指数为偶数时被开方数为非负数 ⑶ 分式: 分母不为零 ⑷ 实际问题：符合实际意义 例4．一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上的物体后，弹簧伸长．则弹簧总长（单位：关于所挂物体质量（单位：的函数解析式为　　 A． B． C． D． 【解答】解：挂上的物体后，弹簧伸长， 挂上的物体后，弹簧伸长， 弹簧总长．故选：． 【变式9】已知，，则和的关系是　　 A． B． C． D． 【解答】解：，， 和的关系是：．故选：． 【变式10】将长为、宽为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，设张白纸粘合后的总长度为，与的函数关系式为　　． 【解答】解：每张长方形白纸的长度是，张应是， 由图中可以看出4张白纸之间有3个粘合部分，那么张白纸之间有个粘合，应从总长度中减去． 与的函数关系式为：．故答案为：． 例5．一辆摩托车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题： （1）这辆摩托车行驶后油箱里还有油　37.5　，行驶后油箱里还有油　　． （2）设这辆摩托车行驶时间为，油箱里剩下的油为，请用含的式子表示； （3）在（2）的式子中，　　是变量，　　是常量； （4）在不加油的情况下，这辆摩托车最多能行驶多长时间？ 【解答】解：（1）依题意得：，，故答案是：37.5；25． （2）依题意知，． （3）在（2）中，中40是常量，、是变量．故答案是：、；40． （4）令，则，解得． 答：在不加油的情况下，这辆摩托车最多能行驶． 【变式11】某校长暑假带领该校“三好学生”去旅游，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则学生可享受半价优惠．“乙旅行社说：“包括校长在内都6折优惠．”若全票价是1200元，则： （1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式． （2）就学生人数讨论那家旅行社更优惠． 【解答】解：（2）设学生人数为人，由题意，得 ， ； （2）时，，解得：，故当时，乙旅行社优惠． 当时，，解得：，故当时，甲旅行社优惠． 【变式12】某商店出售一种瓜子，其售价（元与瓜子质量（千克）之间的关系如下表： 质量（千克） 1 2 3 4 售价（元 其中售价栏中的0.2是塑料袋的价钱． （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ （2）写出售价与质量之间的关系式． （3）当质量由5千克变化到10千克时，售价的变化范围是多少？ 【解答】解：（1）售价（元与瓜子质量（千克）之间的关系属于函数关系，自变量是瓜子质量，因变量是售价； （2）售价与质量之间的关系式为； （3）把代入；把代入， 所以当质量由5千克变化到10千克时，售价的变化范围是． 例6．求下列函数的定义域： （1）； （2） （3）； （4）． 【解答】解：（1）根据题意得：，解得：．故的定义域是； （2）根据题意得：，解得：．故的定义域是； （3）的定义域是全体实数； （4）根据题意得：且，解得：且． 故的定义域是且． 【变式13】求函数自变量的取值范围． 【解答】解：函数有意义， ，解得：，即自变量的取值范围为：． 【变式14】求函数中未知数的取值范围． 【解答】解：若函数有意义，则，且，解得且． 【变式15】若函数的自变量的取值范围是一切实数，求的取值范围． 【解答】解：由的自变量的取值范围是一切实数，得 方程无解，△，解得． 故函数的自变量的取值范围是一切实数，的取值范围是． 知识点四：函数的图像 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象. 画函数图象的步骤：列表—描点—连线（平滑的曲线） 函数解析式与其图象的关系： ⑴ 满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上； ⑵ 函数图像上点的坐标满足函数解析式． 例7．某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中的所走路程（米与时间（分之间的关系． （1）学校离他家　1000　米，从出发到学校，王老师共用了　　分钟；王老师吃早餐用了　　分钟？ （2）观察图形直接回答王老师吃早餐以前的速度快还是吃完早餐以后的速度快？ 【解答】解：（1）由图象可知，学校离他家1000米，从出发到学校，王老师共用了25分钟；王老师吃早餐用了（分钟）， 故答案为：1000，25，10； （2） 根据图象可得：王老师吃早餐以前的速度为：（米分），吃完早餐以后的速度为：（米分）， （3） ， 答：吃完早餐以后的速度快． 【变式16】如图为小强在早晨8时从城市出发到郊外所走的路程与时间的变化图．根据图回答问题： （1）图象中自变量是　时间　，因变量是　　； （2）9时，10时30分，12时小强所走的路程分别是　　千米，　　千米，　　千米； （3）小强休息了多长时间：　　小时； （4）求小强从休息后直至到达目的地这段时间的平均速度． 【解答】解：（1）时间，路程； （2）4，9，15； （3）0.5； （4）平均速度为：（千米时）， 答：小强从休息后直至到达目的地的平均速度为4千米时． 【变式17】如图是小李骑自行车离家的距离与时间之间的关系． （1）在这个变化过程中自变量　离家时间　，因变量是　　； （2）小李　　时到达离家最远的地方？此时离家　　； （3）分别写出在时和时小李骑自行车的速度为　　和　　． （4）小李　　时与家相距． 【解答】解：（1）根据图象可知，在这个变化过程中自变量是离家时间，因变量是离家距离； （2）根据图象可知小李后到达离家最远的地方，此时离家； （3）当时，小李行进的距离为，用时， 所以小李在这段时间的速度为：， 当时，小李行进的距离为，用时， 所以小李在这段时间的速度为：； （4）根据图象可知：小李或与家相距． 故答案为：（1）离家时间；离家距离；（2）2；30；（3）20；5；（4）或． 例7．如图，在四边形中，，，点是边上一动点，联结，过点作的垂线交直线于点．已知，，，设的长为，的长为． 小东根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表： 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 2.5 1.1 0 0.9 1.5 1.9 2 1.9 　1.5　 0.9 0 （说明：补全表格时相关数据保留一位小数） （2）建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （3）结合画出的函数图象，解决问题：当时，的长度约为　　． 【解答】解：（1）根据题意作图测量可得 故答案为：1.5 （2）根据题意作图得 （3）根据题意，所画图象于直线交点即为所求数值．故测量数据在之间． 故答案为： 【变式18】正方形的边长为2，点是边上一动点（不与点、重合），设． （1）设梯形的面积为，写出与的函数表达式； （2）求的取值范围； （3）画出函数的图象． 【解答】解：（1）根据题意知，，； （2）由题意知，，解得：； （3）函数图象如下： 【变式19】如图，在中，已知，，，点在射线上从出发向点方向运动（点不与点重合），且点运动的速度为，现设运动时间为秒时，对应的的面积为 （1）填写下表： 时间秒 2 4 6 面积 （2）请写出与之间满足的关系式； （3）在点的运动过程中 ①直接指出出现为等腰三角形的次数有　2　次，当第一次出现为等腰三角形时，请用所学知识描述此时点所在的位置为　　与　　的交点处 ②求当为何值时，的面积是的面积的． 【解答】解：（1）当时，，，此时． 当时，，，此时． 当时，，，此时 （2）①当在线段时，如图1， 此时，即，解得， ，，， 与之间满足的关系式为：， ②当在的延长线时，如图2， 此时，即，解得， ，，； 综合①②得：． （3）①若为等腰三角形，只需，，或者， 点从点出发，当时，、重合，不为三角形．为等腰三角形的次数有2次． 第一次为等腰三角形时，，，过点作的垂线，必平分． 故答案为：2；的垂直平分线；． ②的面积， 令时，即，或者，解得，或者． 故当或者时，的面积是的面积的． 【基础巩固】 1．在球的体积公式中，下列说法正确的是　　 A．、、是变量，为常量 B．、是变量，为常量 C．、是变量，、为常量 D．以上都不对 【解答】解：在球的体积公式中，，是变量，，是常量，故选：． 2．如图是1月15号至2月2号，全国（除湖北省）新冠肺炎新增确诊人数的变化曲线，则下列说法错误的是　　 A．1月23号，新增确诊人数约为150人 B．1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同 C．1月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势 D．自变量为时间，因变量为确诊总人数 【解答】解：月23号，新增确诊人数约为150人，故本选项正确； 月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同，故本选项正确； 月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势，故本选项正确； ．自变量为时间，因变量为新增确诊人数，故本选项错误；故选：． 3．函数中，自变量的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意得：，解得：．故选：． 4．根据图中的程序计算的值，若输入的值为3，则输出的值为　　 A． B．5 C． D．4 【解答】解：输入的值为3， ，代入的函数式是为：，输出的值为：，故选：． 5．某通讯公司推出三种上网月收费方式．这三种收费方式每月所收的费用（元与上网时间（小时）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是　　 A．每月上网不足25小时，选择方式最省钱 B．每月上网时间为35小时，选择方式最省钱 C．每月上网费用为60元，选择方式比方式时间长 D．每月上网时间超过70小时，选择方式最省钱 【解答】解：、每月上网不足25小时，选择方式最省钱，故本选项不合题意； 、每月上网时间为小时，选择方式最省钱，故本选项符合题意； 、每月上网费用为60元，选择方式比方式时间长，故本选项不合题意； 、每月上网时间超过70小时，选择方式最省钱，故本选项不合题意；故选：． 6．如图所示的计算程序中，与之间的函数关系式是　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据程序框图可得，故选：． 7．在下列各图象中，是的函数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：第一个、第二个、第三个图象都是的函数，第四个不是，共3个，故选：． 8．如图是甲、乙两人从同一地点出发后，路程随时间变化的图象． （1）在此变化过程中，　　是自变量； （2）甲的速度　　乙的速度；（填“大于”、“等于”、或“小于” （3）甲出发后　　与乙相遇； （4）甲比乙先走　　小时； （5）9时甲在乙的　　（填“前面”、“后面”、“相同位置” ； （6）路程为150千米，甲行驶了　　小时，乙行驶了　　小时． 【解答】解：（1）函数图象反映路程随时间变化的图象，则是自变量，为因变量； （2）甲的速度千米小时，所以甲的速度小于乙的速度； （3）6时表示他们相遇，即乙追赶上了甲； （4）甲比乙先走3小时； （5）时，乙的图象在甲的上方，即乙行驶的路程远些，所以9时甲在乙的后面； （6）路程为150千米，甲行驶了9时，乙行驶的时间为：（小时）． 故答案为：（1）；（2）小于；（3）6时；（4）3；（5）后面；（6）9；4.5． 【能力提升】 9．某种汽车的油箱最多可储20升汽油，油箱中的余油量（升与汽车行驶路程（千米）之间的关系如图所示，则20升汽油可供汽车行驶　250　千米． 【解答】解：设油箱中的余油量（升与汽车行驶路程（千米）之间的函数关系式为：， 把和代入得，，解得：， 油箱中的余油量（升与汽车行驶路程（千米）之间的函数关系式为， 当时，即，解得：， 故20升汽油可供汽车行驶250千米． 10．根据下面的运算程序，若输入时，输出的结果　2　． 【解答】解：，将其代入计算， ，故答案为：2． 11．下表为研究弹簧长度与所挂物体质量关系的实验表格． 所挂物体重量 1 2 3 4 5 弹簧长度 10 12 14 16 18 则弹簧不挂物体时的长度为　8　．当所挂物体质量为时，弹簧比原来伸长了　　． 【解答】解：设与之间的关系可能是一次函数关系，设关系式为， 把，代入得：，解得：，， 故与之间的关系式为， 经验证：，也满足上述关系， 因此与的函数关系式就是， 当时，，即不挂物体时弹簧的原长为． 当时，， ．故答案为：8，7． 【拓展探究】 12．李大爷在如图1所示扇形湖畔的栈道上散步，他从圆心出发，沿匀速运动，最后回到点，其中路径是一段长180米的圆弧．李大爷离出发点的直线距离（米与运动时间（分之间的关系如图2所示． （1）在　分钟　时间段内，李大爷离出发点的距离在增大；在分这个时间段内，李大爷在　　路段上运动（填，或；李大爷从点出发到回到点一共用了　　分钟； （2）扇形栈道的半径是　　米，李大爷的速度为　　米分； （3）在与出发点距离75米处有一个报刊亭，李大爷在该处买报纸时逗留了一会儿．已知李大爷在买报纸前后始终保持运动速度不变，则李大爷是在第　　分到达报刊亭，他在报刊亭停留了　　分钟． 【解答】解：（1）由图可知： 在分钟内，李大爷离出发点的距离在增大； 在分这个时间段内，李大爷离出发点的距离不变，即李大爷在路段上运动； 李大爷从点出发到回到点一共用了17分钟， 故答案为：分钟；；17； （2）在分钟内，李大爷在段上运动，则米分， 扇形栈道的半径是120米，李大爷的速度为30米分，故答案为：120；30； （3）由图象可知：李大爷在段买的报纸， 在与出发点距离75米处有一个报刊亭，如图，点为报刊亭，则，， 分，即李大爷从点到用时1.5分， 分，所以李大爷是在第11.5分到达报刊亭， 而，分，则李大爷买完报纸后又用时2.5分回到圆心， 分， 李大爷在报刊亭停留了3分钟， 故答案为：11.5；3． 学科网（北京）股份有限公司 $$