专题06 椭圆及其方程（分层训练）-【课后优辅导】2024年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题06 椭圆及其方程 一、单选题 1．（23-24高二上·北京西城·期中）一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）椭圆的焦距是2，则m的值是（   ） A．3 B．5 C．3或5 D．不存在 3．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）过点且与有相同焦点的椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·海南海口·期末）已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·重庆·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，为过点的弦，为的中点，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·天津河西·三模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 8．（2024·江西九江·三模）已知椭圆的左右焦点分别为,过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若线段的中点在轴上,的面积为,则的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）已知椭圆的长轴长为4，离心率为分别为椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆相交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的标准方程为 B．椭圆上存在点，使得 C．是椭圆上一点，若，则 D．若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率 10．（22-23高二下·四川成都·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，则（    ） A． B．的面积为2 C．椭圆的离心率为 D．的内切圆半径为 11．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点为，，过的直线与交于，两点.若，.则（    ） A．的周长为 B． C．的斜率为 D．椭圆的离心率为 三、填空题 12．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为，则 ． 13．（24-25高二上·上海·课后作业）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 . 14．（23-24高二下·广东揭阳·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为为上且不与顶点重合的任意一点，为的内心，为坐标原点，记直线的斜率分别为，，若，则的离心率为 . 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课前预习）求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在轴上，且经过两个点和； (2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点． 16．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知椭圆Γ 经过点A(1,)，右焦点为 F(1,0) (1)求椭圆Γ的方程； (2)若直线l与Γ 交于两点，且直线与的斜率互为相反数，求 的中点 与 的最小距离． 17．（24-25高三上·河北·开学考试）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 18．（23-24高二下·河北·期末）已知点和点在椭圆上. (1)求椭圆C的方程； (2)若过点P的直线l交椭圆C于一点B，且的面积为，求直线l的方程. 19．（24-25高三下·江西·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，过且斜率为1的直线与交于两点，若线段的中点在直线上，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点，使得过点能作椭圆的两条相互垂直的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（2024·辽宁·一模）已知平面直角坐标系中，椭圆：（）的左顶点和上顶点分别为，过椭圆左焦点且平行于直线的直线交轴于点.若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 22．（2024·辽宁·三模）设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好有4个，则实数的值可以是（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 23．（23-24高二上·河南开封·期中）（多选题）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，记与的离心率分别为，，在第一象限的交点为P，下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 24．（2024·广东·三模）（多选题）已知椭圆的长轴端点分别为､两个焦点分别为是上任意一点，则（    ） A．的离心率为 B．的周长为 C．面积的最大值为 D． 25．（2023·浙江绍兴·模拟预测）（多选题）已知椭圆的左顶点为，上、下顶点分别为，动点在椭圆上（点在第一象限，点在第四象限），是坐标原点，若的面积为1，则（    ） A．为定值 B． C．与的面积相等 D．与的面积和为定值 26．（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，点为椭圆上异于的两点，记直线的斜率分别为，且． ①求证：直线经过定点； ②设和的面积分别为，求的最大值． 27．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆C上．且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线和直线关于PF对称． （i）证明：直线l过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 28．（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）已知椭圆：的离心率为，是上一点. (1)求的方程. (2)设，分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线，与交于，两点，直线与直线交于点，记的斜率为，的斜率为.证明：①为定值；②点在定直线上. 29．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆E：，直线与E交于，两点，点P在线段MN上（不含端点），过点P的另一条直线与E交于A，B两点. (1)求椭圆E的标准方程； (2)若，，点A在第二象限，求直线的斜率； (3)若直线MA，MB的斜率之和为2，求直线的斜率的取值范围. 30．（23-24高三下·江苏·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且经过点，直线与轴交于点，与椭圆交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)若点坐标为，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的斜率； (3)若点坐标为，求的最小值. 31．（2023·河北·模拟预测）已知椭圆的两焦点为，，x轴上方两点A，B在椭圆上，与平行，交于P.过P且倾斜角为的直线从上到下依次交椭圆于S，T.若，则“为定值”是“为定值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不必要也不充分条件 32．（2022·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）（多选题）已知直线过定点，直线与圆相交于两点，动点满足，则下列结论正确的是（    ） A．弦长度的最小值为4 B．若为定值，，则动点的轨迹为直线 C．若为定值，且，则动点的轨迹为椭圆 D．若为定值，记的最大值为，则当取不同的值时的最小值是2 34．（23-24高二上·山东潍坊·期末）（多选题）已知椭圆：的左右焦点分别为，，且点是直线上任意一点，过点作的两条切线，，切点分别为，则（    ） A．的周长为6 B．A，，三点共线 C．A，两点间的最短距离为2 D． 35．（2024·贵州遵义·二模）如图，棱长为4的正方体中，点为中点，点在正方体内（含表面）运动，且满足，则点在正方体内运动所形成的图形的面积为 ；若在正方体内有一圆锥，圆锥底面圆内切于正方形，圆锥顶点与正方体上底面中心重合，则点运动所形成的图形截圆锥表面得到的椭圆的离心率为 . 36．（23-24高二下·广东揭阳·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为为上且不与顶点重合的任意一点，为的内心，为坐标原点，记直线的斜率分别为，，若，则的离心率为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 椭圆及其方程 一、单选题 1．（23-24高二上·北京西城·期中）一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，故， 且，故， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B 2．（24-25高二上·全国·课后作业）椭圆的焦距是2，则m的值是（   ） A．3 B．5 C．3或5 D．不存在 【答案】C 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距 【分析】分焦点在轴和轴上两种情况求解即可. 【详解】∵，∴． 当椭圆的焦点在x轴上时，，，． ∴，． 当圆的焦点在y轴上时，，， ∴，∴． 综上，m的值是3或5． 故选：C 3．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）过点且与有相同焦点的椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆的焦点、焦距 【分析】运用焦点相同这个条件得到相同，结合椭圆经过定点条件，构造方程组求解即可. 【详解】由题意得椭圆的焦点坐标为，， 设所求椭圆的标准方程为， 由于椭圆经过过点，则可将点代入方程得到，． 所求椭圆与椭圆有相同的焦点，所求椭圆的半焦距，， 联立解得，，所求椭圆的标准方程为. 故选：B. 4．（23-24高二下·海南海口·期末）已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据已知向量关系得出直角，再根据定义得出长轴长及焦距关系计算出离心率即可. 【详解】 因为所以, 在中, 所以, 所以, 所以. 故选：A. 5．（23-24高一下·重庆·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据点位于短轴端点时取得最大值，将问题转化为，记，利用二倍角公式求得，根据构造齐次式即可求解. 【详解】由椭圆性质可知，当点位于短轴端点时取得最大值， 要使椭圆上总存在点，使得，    只需满足，且， 记，则有，且， 所以，解得（舍去）或， 所以，即， 整理得，所以，所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于根据椭圆上的动点位于短轴端点时取得最大值，将问题转化为，从而得解. 6．（2024·江苏·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，为过点的弦，为的中点，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，然后根据勾股定理以及椭圆的定义求解出的关系，化简可得的关系，最后根据离心率的定义求出结果. 【详解】设，因为，为的中点， 所以，， 由椭圆定义可得， 所以， 又因为，为的中点， 所以，， 设椭圆的半焦距为， 所以，， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以椭圆C的离心率， 故选：A. 7．（2024·天津河西·三模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值、椭圆定义及辨析、双曲线定义的理解 【分析】设椭圆和双曲线的方程分别为：，，易得，设，利用椭圆和双曲线的定义得到，然后在中，利用余弦定理得到，然后利用基本不等式求解. 【详解】解：如图所示： 设椭圆和双曲线的方程分别为：，， 由题意得， 设，则， 解得， 在中，由余弦定理得：， 即，化简得， 则， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立； 故选：C 8．（2024·江西九江·三模）已知椭圆的左右焦点分别为,过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若线段的中点在轴上,的面积为,则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】椭圆定义及辨析、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】根据题意得到，,    ,设，其它边全部用t表示,运用面积为构造方程求出t.再用椭圆定义求出a,进而求出c,b即可. 【详解】如图,为线段的中点,为线段的中点,,又轴, 轴. 在中, ,设,则的面积为, , ,则C的方程为. 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）已知椭圆的长轴长为4，离心率为分别为椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆相交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的标准方程为 B．椭圆上存在点，使得 C．是椭圆上一点，若，则 D．若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率 【答案】AC 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】对于A，根据题意直接得到和，进而得到，即可得到椭圆方程；对于B，判断与椭圆是否有公共点，即可判断是否存在满足题意的点；对于C，设，根据余弦定理得到，进而得到，结合三角形面积公式即可求解面积；对于D，设直线，将直线与椭圆方程联立，由韦达定理结合条件求解直线的斜率即可. 【详解】对于A，因为椭圆的长轴长为，所以，又因为椭圆的离心率， 所以，所以，所以椭圆，故A正确； 对于B，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上， 又因为方程组无解，故B错误； 对于C，设，则，    在中，由余弦定理可得 ，因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，显然直线斜率不为0，设直线，    由，整理得：恒成立， 所以，依题意有， 得，所以，即， 同理可得，因为，所以，又因为，所以， 因为，所以，解得， 代入到，得，解得：， 所以直线的斜率为：，故D错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查几何与代数，涉及椭圆的标准方程､定义､性质､焦点三角形等，在处理焦点三角形问题时，往往结合椭圆的定义以及余弦定理来进行解决. 10．（22-23高二下·四川成都·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，则（    ） A． B．的面积为2 C．椭圆的离心率为 D．的内切圆半径为 【答案】ABD 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的面积问题、根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】代入点的坐标求出，即可得到椭圆方程，从而求出，即可求出离心率，从而判断A、C，由面积公式判断B，由椭圆的定义及等面积法求出内切圆的半径，即可判断D. 【详解】依题意，解得，则，所以椭圆方程为， 所以，，即，，所以离心率，故A正确，C错误； 所以，故B正确； 又，设的内切圆半径为， 则，即，解得，故D正确. 故选：ABD 11．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点为，，过的直线与交于，两点.若，.则（    ） A．的周长为 B． C．的斜率为 D．椭圆的离心率为 【答案】ABD 【知识点】余弦定理及辨析、椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用椭圆的定义可得的周长，可判断A选项；设，由得，而可得，设，得，进而由椭圆的定义可得, ，从而可判断B选项；在中用正弦定理可得，进而求可得直线的斜率，可判断C选项；计算离心率可判断D选项. 【详解】对于A：过的直线与交于，两点且，， 连接，的平分线交于点，如图所示： 则的周长等于 故A正确； 对于B：设，， 则， 而. 设，则， 于是，即. 由，得, 又，得， 所以，故B正确； 对于C：在，由余弦定理可得：， 则，即. 在中，，又是中点， 所以，则， 于是， 所以的斜率为点在轴上方时，在轴下方时，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为，则 ． 【答案】 【知识点】求椭圆的顶点坐标 【分析】由椭圆的性质，结合两点的距离公式求解． 【详解】已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为， 则， 不妨设，， 则. 故答案为：． 13．（24-25高二上·上海·课后作业）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 【分析】根据椭圆的标准方程列不等式求解范围. 【详解】因为椭圆的焦点在x轴上可得 , 所以. 故答案为：. 14．（23-24高二下·广东揭阳·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为为上且不与顶点重合的任意一点，为的内心，为坐标原点，记直线的斜率分别为，，若，则的离心率为 . 【答案】/ 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析 【分析】设，设圆与轴相切于点，结合圆的切线长的性质证明，结合椭圆性质可得，由内切圆性质可得，由条件确定关系，由此可求离心率. 【详解】设，设圆与轴相切于点， 则， 又，， 所以， 所以， 即， 过点作直线的垂线，垂足为， 则， 所以， 所以，所以， ∴， ∴， 由三角形面积相等，得， ， ， ， 所以， ，即得. 故答案为：. . 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)． 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课前预习）求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在轴上，且经过两个点和； (2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）由条件可设椭圆方程为，再由条件列方程求，即可得椭圆方程； （2）结合焦点坐标知可设椭圆方程为，且，结合椭圆定义可求，由此可求及椭圆方程. 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为． 又椭圆经过点和， 所以解得 所以所求椭圆的标准方程为． （2）由于椭圆的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 设椭圆的半焦距为，则， 又， 所以， 所以， 所以所求椭圆的标准方程为． 16．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知椭圆Γ 经过点A(1,)，右焦点为 F(1,0) (1)求椭圆Γ的方程； (2)若直线l与Γ 交于两点，且直线与的斜率互为相反数，求 的中点 与 的最小距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆中的最值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、求直线与椭圆的交点坐标 【分析】（1）根据点在椭圆上以及焦点即可联立方程求解， （2）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理可得坐标，进而根据中点坐标公式可得，从而判断在直线上，即可由点到直线距离公式求解. 【详解】（1）由已知 解得 所以椭圆方程为 （2）由于的斜率互化相反数，不妨设的斜率为，的斜率为. 则的方程为， 联立， 故，又，所以， 进而, 用代入可得, 所以中点的坐标为 由于, 所以在直线上， 所以点与的最小距离即是点到直线的距离 ， 当且当且仅当时取得最小值， 17．（24-25高三上·河北·开学考试）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的直线过定点问题、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）根据题意列出的方程组，结合求解出的值，则椭圆方程可知； （2）设，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，结合条件可知，通过化简可求得、的关系，从而求出定点坐标. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设，， 联立可得， 且，即， 所以，， 因为以为直径的圆经过点，所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 化简可得，解得或， 当时，，过定点，符合题意； 当时，，过点，不满足题意， 综上所述，直线过定点. 18．（23-24高二下·河北·期末）已知点和点在椭圆上. (1)求椭圆C的方程； (2)若过点P的直线l交椭圆C于一点B，且的面积为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程； 【详解】（1）由题意可知，解得， 椭圆的方程为. （2），则直线的方程为，即， ， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为，则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立，得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或    19．（24-25高三下·江西·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，过且斜率为1的直线与交于两点，若线段的中点在直线上，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】分别联立直线和椭圆，利用的坐标相等建立齐次方程，求解离心率即可. 【详解】 设，由题意可知直线的方程为， 线段的中点是直线与直线的交点， 联立，解得，所以， 另一方面，联立，得. 易知，由韦达定理得，解得， 所以，故离心率，故D正确. 故选：D. 20．（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点，使得过点能作椭圆的两条相互垂直的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轨迹问题——圆、由圆的位置关系确定参数或范围、平面解析综合 【分析】根据蒙日圆的定义结合两圆的位置关系计算即可. 【详解】根据题意可知椭圆的蒙日圆方程为，圆心为原点，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则圆与必有交点才符合题意， 即两圆圆心距， 则. 故选：C 21．（2024·辽宁·一模）已知平面直角坐标系中，椭圆：（）的左顶点和上顶点分别为，过椭圆左焦点且平行于直线的直线交轴于点.若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】先求直线的斜率，再求过左焦点且平行于直线的直线方程，求出点的坐标后，由关系式得出关于的方程，化简即可. 【详解】由椭圆：的方程可得： ，其中， 则， 过椭圆左焦点且平行于直线的直线方程为：， 将代入该直线方程，可得点的坐标为， 若，则，得. 故选：D. 22．（2024·辽宁·三模）设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好有4个，则实数的值可以是（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示、椭圆的对称性、求椭圆的焦点、焦距 【分析】设 ，表示向量 ，由条件可得，，结合对称性列不等式，求的范围，由此可得结论.. 【详解】因为点分别为椭圆的左、右焦点； 所以 ， 设 则， 由可得， 又因为在椭圆上，即， 所以， 由对称性可得，要使得成立的点恰好是个，则 解得， 所以的值可以是. 故选：B. 23．（23-24高二上·河南开封·期中）（多选题）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，记与的离心率分别为，，在第一象限的交点为P，下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】由离心率公式判断AB，利用椭圆与双曲线的定义及余弦定理得出的关系，从而得出关系判断CD． 【详解】由题意，，，所以，A正确，不能得出，B错误； 设，，则，解得， 若，则，即， 所以， ，，即，所以，C错，D正确． 故选：AD．    24．（2024·广东·三模）（多选题）已知椭圆的长轴端点分别为､两个焦点分别为是上任意一点，则（    ） A．的离心率为 B．的周长为 C．面积的最大值为 D． 【答案】ABD 【知识点】求椭圆中的最值问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的周长问题、数量积的坐标表示 【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的离心率为，A正确； 对于B，的周长为，B正确； 对于C，，设，， 则面积的最大值为，C错误； 对于D，，，， 因此，D正确. 故选：ABD    25．（2023·浙江绍兴·模拟预测）（多选题）已知椭圆的左顶点为，上、下顶点分别为，动点在椭圆上（点在第一象限，点在第四象限），是坐标原点，若的面积为1，则（    ） A．为定值 B． C．与的面积相等 D．与的面积和为定值 【答案】ABC 【知识点】椭圆中的定值问题、三角形面积公式及其应用 【分析】根据面积公式结合椭圆标准方程联立等式，化简求出，为定值，可判断A，根据直线斜率之间关系得到直线之间的关系可判断，根据三角形面积公式即可判断C,D. 【详解】由题意可得，直线 所在直线方程为：， 设到直线的距离为， 则， 因为,在椭圆上， 所以，. 因为点在第一象限，点在第四象限， 所以， 有， 所以，，即，，故A正确， ，， 因为 因为，，所以，， 代入得，， 因为在椭圆上，有，即， 所以，，即，故B正确， ，， 因为，所以， 代入得,故C正确， ，， 因为不是定值,故D错误. 故选：ABC. 【点睛】 26．（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，点为椭圆上异于的两点，记直线的斜率分别为，且． ①求证：直线经过定点； ②设和的面积分别为，求的最大值． 【答案】(1) (2)① 证明见解析；②2 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）①分析可知直线不与轴垂直，设直线的方程为，可知，设点.将直线的方程的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用求出的值，即可得出直线所过定点的坐标； ②写出关于的函数关系式，可求得的最大值. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以，椭圆的标准方程为． （2） ①设点． 若直线的斜率为零，则点关于轴对称，则，不合乎题意． 设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点，则， 联立可得， ，可得， 由韦达定理可得，则， 所以， ，解得， 即直线的方程为，故直线过定点． ②由①得 所以 ， （当且仅当即时等号成立），所以的最小值为2． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 27．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆C上．且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线和直线关于PF对称． （i）证明：直线l过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的最值问题、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，求椭圆的方程； （2）设直线方程，与椭圆方程联立，由，结合韦达定理得系数间的关系，可得直线所过定点，利用面积公式表示出的面积，由基本不等式求最大值. 【详解】（1）因为椭圆离心率为，则， 点在椭圆上，点代入椭圆方程，有，则， 所以椭圆的方程为. （2）（ⅰ）设直线l的方程为，由， 消去y，整理得， 因为l交椭圆C于两点，所以， 设，所以，    因为直线和直线关于对称，轴， 所以， 所以， 所以， 解得. 所以直线l的方程为， 所以直线l过定点. （ⅱ）由题意知l斜率不可能为0,设直线l的方程为，由， 消去，整理得， 因为l交椭圆C于两点，所以， 解得， 则， 由题意可知同号，不妨设， 所以， 所以 令 则，当且仅当即时取等号， 所以面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合建立有关参变量的等量关系应用基本不等式求三角形的面积最值即可． 28．（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）已知椭圆：的离心率为，是上一点. (1)求的方程. (2)设，分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线，与交于，两点，直线与直线交于点，记的斜率为，的斜率为.证明：①为定值；②点在定直线上. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②证明见解析. 【知识点】椭圆中的定值问题、椭圆中的定直线、根据离心率求椭圆的标准方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】(1)由条件列出关于的方程，解方程可得，由此可得椭圆的方程； (2)①联立方程组，利用设而不求法结合两点斜率公式求即可证明； ②求出直线与直线方程，联立求点的坐标，由此证明点在定直线上. 【详解】（1）由题意，椭圆的离心率为，是椭圆上一点， 所以，解得， 所以椭圆的方程为； （2）①因为过点且斜率不为0，所以可设的方程为，代入椭圆方程得，方程的判别式，设，，则 ，. 两式相除得 ，． 因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为，所以，． 从而； ②由①知，设，则，所以直线的方程为：，直线的方程为，联立可得，所以直线与直线的交点的坐标为，所以点在定直线上. 【点睛】过x轴上定点斜率不为0的动直线方程可设为；过y轴上定点(0，y0)斜率存在的动直线方程可设为. 29．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆E：，直线与E交于，两点，点P在线段MN上（不含端点），过点P的另一条直线与E交于A，B两点. (1)求椭圆E的标准方程； (2)若，，点A在第二象限，求直线的斜率； (3)若直线MA，MB的斜率之和为2，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【知识点】根据韦达定理求参数、求椭圆中的参数及范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）把点代入方程列方程组求解即可； （2）①设直线方程为，代入椭圆E的方程可得，结合判别式与韦达定理，由，求出直线斜率即可； ②由,可知，代入，， 可得或，利用判别式求解的取值范围. 【详解】（1）因为，两点在椭圆上， 所以 解得，. 故椭圆的标准方程为. （2）设，，设， 联立，得， 即， ，，.     由得，则，则. 由得：， 即，     代入得，，， 解得：，，. 故直线的斜率为. （3）由,可知， 即， 即， 即，     代入，， 得， 即，故， 故或.     当时，直线过，此时点重合，与条件矛盾，舍去. 当时，直线过定点，点在线段上运动， 当时，由，所以，即 从而直线的斜率的取值范围为. 【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，转化等价条件，利用判别式和韦达定理，向量的共线问题求解，求解参数的范围. 30．（23-24高三下·江苏·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且经过点，直线与轴交于点，与椭圆交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)若点坐标为，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的斜率； (3)若点坐标为，求的最小值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】根据弦长求参数、根据韦达定理求参数、求椭圆中的最值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）由已知列出关于的不等式组，解出即可得解； （2）分的斜率是否存在进行讨论，显然的斜率不为0，当的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，，，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理表示出点的坐标，结合弦长公式表示出，从而即可列方程求解； （3）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可以得出，再结合基本不等式乘“1”法即可得解. 【详解】（1）由题意知，椭圆的方程为：． （2）为椭圆的焦点，当的斜率不存在时，显然，，显然， 斜率存在且不为0，设直线的方程为，，，， ，， 所以， ， 此时，， ，， ， ，解得或， 直线的斜率为或. （3）设直线的方程为，，， ， 此时，， ， ， 时取“”． 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是发现恒等式，从而结合基本不等式即可顺利得解. 31．（2023·河北·模拟预测）已知椭圆的两焦点为，，x轴上方两点A，B在椭圆上，与平行，交于P.过P且倾斜角为的直线从上到下依次交椭圆于S，T.若，则“为定值”是“为定值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不必要也不充分条件 【答案】D 【知识点】利用椭圆定义求方程、椭圆中的定值问题、直线的参数方程、既不充分也不必要条件 【分析】先求出的轨迹，其轨迹方程为，取，结合特殊情形可得“当取定值， 是定值”是错误的；再由 是定值可得，从而可判断当取定值， 是定值”是错误的，从而可得正确的选项. 【详解】设为椭圆上的动点，为椭圆的半焦距， 故，故 ， 设直线，则到该直线的距离为，故， 如图，设直线的倾斜角为，过作的垂线，垂足为， 则，故，设， 故，同理. 设的倾斜角为，则，， 因为，故， 所以， 所以，同理， 故， 故的轨迹为以为焦点的椭圆，其长半轴长为， 短半轴长为， 故的轨迹方程为：，其中. 取，, 而，故不是定值即不是定值. 故“当取定值， 是定值”是错误的. 又直线的参数方程为：， 设， 由整理得到： ， 故， 而，故， 所以， 若为定值，则为定值， 而， 故当变化时，始终为定值， 又 故且， 但，故， 所以 ， 但此时随的变化而变化，不是定值， 故“当取定值，是定值”是错误的. 故选：D. 【点睛】思路点睛：对于圆锥曲线中的动态问题，注意利用圆锥曲线的几何性质去研究动点的轨迹，对于是否为定值的问题，注意构建不同变量之间的关系，结合特例来处理是否为定值的问题. 32．（2022·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、线段的定比分点、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】对变形得到，进而得到以，结合椭圆定义可求出，，，由余弦定理求解关系式，求出离心率. 【详解】因为，所以， 如图，在上取一点M，使得，连接，则， 则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以， 所以， 设，则， 由椭圆定义可知：，即，所以， 所以，， 故点A与上顶点重合， 在中，由余弦定理得： ， 在中，， 解得：， 所以椭圆离心率为.    故选：A 【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形三边关系，求出离心率. 33．（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）（多选题）已知直线过定点，直线与圆相交于两点，动点满足，则下列结论正确的是（    ） A．弦长度的最小值为4 B．若为定值，，则动点的轨迹为直线 C．若为定值，且，则动点的轨迹为椭圆 D．若为定值，记的最大值为，则当取不同的值时的最小值是2 【答案】ABD 【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、圆的弦长与中点弦、轨迹问题——椭圆 【分析】A选项，变形得到直线经过，点在圆内，故当⊥时，弦长度最小，求出最小值为4；B选项，，故动点的轨迹为线段的垂直平分线，为直线，B正确；C选项，证明出动点的轨迹为圆，并画出对应的图形；D选项，在C基础上，得到时，动点的轨迹为线段的垂直平分线，此时无最大值，与由对称性考虑基本情况一样，考虑，当为直径时，求出答案为2，当不为直径时，设，则，由比例关系求出，求出，最终判断D正确. 【详解】A选项，，故直线经过， 因为，故点在圆内， 故当⊥时，弦长度最小， 圆的半径为， 其中，故，A正确； B选项，为定值，，此时⊥， ，故， 直线，为两定点， 又，故动点的轨迹为线段的垂直平分线，为直线，B正确； C选项，下面证明，在平面内给定两点，设点在同一平面内，且满足， 当且时，点的轨迹为圆， 设，， 则， 化简得， 因为且，所以， 化为标准方程为， 所以点的轨迹为圆，圆心为，半径为， 在轴上找到点，使得，即， 当在右侧时，解得，故， 当在之间时，解得，故， 则与的中点坐标为，即， 且， 由于为定值，故为两定点， 因为，，故动点的轨迹为圆， 此圆可以这样得到，在直线上找到点，使得， 以为直径的圆即为所求，C错误 D选项，当时，动点的轨迹为线段的垂直平分线，此时无最大值， 当且时，由C选项知，的最大值即为， 由圆的对称性，只需考虑或两种情况， 不妨考虑， 当为直径时，此时，， ， 直线方程为 设，则， 由得，，解得， 此时， 当不为直径时，此时，设经过点的直径为， 由相交弦定理得， 又，故，故， ，解得， 又， 故 故， 可以看出在上单调递减， 故， 综上，为定值，记的最大值为，则当取不同的值时的最小值是2，D正确. 故选：ABD 【点睛】结论点睛：在平面内给定两点，设点在同一平面内，且满足， 当且时，点的轨迹为圆，即阿氏圆， 当时，点的轨迹为线段的垂直平分线,. 34．（23-24高二上·山东潍坊·期末）（多选题）已知椭圆：的左右焦点分别为，，且点是直线上任意一点，过点作的两条切线，，切点分别为，则（    ） A．的周长为6 B．A，，三点共线 C．A，两点间的最短距离为2 D． 【答案】ABD 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的最值问题、椭圆中的直线过定点问题 【分析】根据椭圆焦点三角形的周长的算法，可判断A的真假；求出切点弦的方程，判断是否过右焦点可判断B的真假；求过右焦点的弦长的最小值，判断C的真假；利用斜率与倾斜角的关系及正切的差角公式计算即可判定D项. 【详解】设椭圆长轴长，短轴长，焦距， 则由椭圆方程可知， 如图：    因为A在椭圆上，所以，， 所以的周长为，故A正确； 对B：设点的坐标为，，， 由图可知，过点作椭圆的切线，切线斜率必存在. 所以过A点的切线方程可设为：， 联立方程组：，消去得：， 由得：， 整理得：， 因为：，， 所以：, 即. 所以过点A的切线为：. 又切线过点，所以. 同理：. 故A，两点都在直线上，而点也在这条直线上，所以A，，三点共线，故B正确； 对C：若直线无斜率，则, 若直线有斜率，结合B项结论可设其方程为：, 联立方程组：，消去得：， 整理得：， 则，， 所以， 所以：. 综上：.故C错误； 对D：设过点的切线方程为：， 联立方程组：，消去得：， 由得：， 整理得：， 不妨设，则， 易知， 且均为锐角，故 ， 所以，故D正确. 【点睛】难点点睛：对于B项，利用同解方程求出切点弦方程即可，而积累结论：过椭圆上一点的切线方程为，过椭圆外一点的切点弦方程为，如此可直接快速判定B项；对于C项，通过分类讨论及弦长公式计算即可，而积累结论焦点弦通径最短可快速得出结论；对于D项，根据同解方程得出两切线斜率的关系式，结合到角公式计算即可. 35．（2024·贵州遵义·二模）如图，棱长为4的正方体中，点为中点，点在正方体内（含表面）运动，且满足，则点在正方体内运动所形成的图形的面积为 ；若在正方体内有一圆锥，圆锥底面圆内切于正方形，圆锥顶点与正方体上底面中心重合，则点运动所形成的图形截圆锥表面得到的椭圆的离心率为 . 【答案】 【知识点】判断正方体的截面形状、圆锥中截面的有关计算、证明线面垂直、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】取，的中点连接，证明平面，从而得出在正方体内运动所形成的图形为四边形内，得出答案；作出截面椭圆，过截面椭圆的中心作与圆锥底面平行的截面，由圆中的相交弦定理结合正弦定理可得出离心率. 【详解】取，的中点，连接，则且， 则点在正方体内运动所形成的图形为四边形， 又在正方体中平面，且平面，则， 所以四边形为矩形. 又，则 又，所以，即， 由上可知平面，且平面，则， 由，且平面，平面，所以平面. 当点在正方体内运动所形成的图形为四边形时，平面，所以满足， 此时，，面积为. 由上可知为平面与底面所成角. 则，则，故， 设截面椭圆的中心为，长轴为，短轴为， 过椭圆的短轴作与圆锥的底面平行的截面分别交母线于两点. 设该截面与圆锥的轴所成角为，则，则， 设圆锥的母线于圆锥的轴所成角为，则.， 由相交弦定理可得：， 在中，， 所以，即， 在中，， 所以，即， 设椭圆的离心率为，则 ， 所以. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是证明平面，从而得出在正方体内运动所形成的图形为四边形内；以及在圆锥的截面椭圆中过截面椭圆的中心作与圆锥底面平行的截面，从而结合圆的相交弦定理得到，由正弦定理得出，，从而得出离心率. 36．（23-24高二下·广东揭阳·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为为上且不与顶点重合的任意一点，为的内心，为坐标原点，记直线的斜率分别为，，若，则的离心率为 . 【答案】/ 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，设圆与轴相切于点，结合圆的切线长的性质证明，结合椭圆性质可得，由内切圆性质可得，由条件确定关系，由此可求离心率. 【详解】设，设圆与轴相切于点， 则， 又，， 所以， 所以， 即， 过点作直线的垂线，垂足为， 则， 所以， 所以，所以， ∴， ∴， 由三角形面积相等，得， ， ， ， 所以， ，即得. 故答案为：. . 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$