2024—2025学年浙教版数学八年级上册专题培优讲义《专题3　等腰三角形》

浙教版数学八年级上册专题培优讲义 专题3　等腰三角形 【知识梳理】 1．轴对称图形 (1)概念：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能_________，那么这个图形叫做_________，这条直线叫做_________． (2)性质： ①对称轴_________连结两个对称点的线段； ②成轴对称的两个图形是_________． 2．等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的_________相等． (2)等腰三角形的_________相等(在一个三角形中，等边_________等角)． (3)等腰三角形的_________、_________和_________互相重合(简称等腰三角形“_________”)． 3．等腰三角形的判定 (1)如果一个三角形的_________相等，那么这个三角形是等腰三角形． (2)如果一个三角形_________相等，那么这个三角形是等腰三角形(在同一个三角形中，等角_________等边)． 4．等边三角形的性质 (1)等边三角形的三条边_________，三个角相等且等于_________. (2)等边三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相_________． (3)等边三角形是轴对称图形，有_________条对称轴． 5．等边三角形的判定 (1)__________________的三角形是等边三角形． (2)__________________的三角形是等边三角形． (3)__________________的等腰三角形是等边三角形． 解决与等腰三角形相关的问题时，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质．这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据． 寻找发现等腰三角形是解一些几何问题的关键．判定一个三角形为等腰三角形的基本方法：从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等．实际解题中的一个常用技巧是构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务．常用的构造方法有角平分线＋平行线；角平分线＋垂线；垂直平分线；三角形中角的两倍关系． 【例题探究】 【例1】　在等腰三角形中，有一个角是40°，它的一条腰上的高与底边的夹角是(　　) A．20° B．50° C．25°或40° D．20°或50° 【思路点拨】　根据题意先画出图形，分40°为顶角和底角两种情况讨论求解即可得出答案． 【例2】　如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于点E，交BC于点G，且AE∥BC. (1)求证：△ABC是等腰三角形． (2)若AE＝10，GC＝2BG，求BG的长． 【思路点拨】　(1)由AE∥BC，得出∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE，再由AE平分∠DAC，得出∠DAE＝∠CAE，从而推出∠B＝∠C，即可证明△ABC为等腰三角形；(2)证明△AFE≌△CFG，可求得CG的长，即可得出BG的长． 【例3】　如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC. (1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有成立的情形)? (2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程． 【思路点拨】　判定一个三角形是等腰三角形的方法有①直接证明三角形的两条边相等；②证明三角形的两个角相等． 【例4】　如图，在△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【思路点拨】　分两种情形进行讨论：①三角形的边做腰；②三角形的边做底边． 【例5】　如图，C为线段AE上一动点(不与A，E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．有以下5个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．其中恒成立的有________(把你认为正确结论的序号都填上)． 【思路点拨】　利用等边三角形的性质易发现多对全等三角形，进而得到相关线段、角之间的关系． 【例6】　如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC至点D，延长BA至点E，使AE＝BD，连结CE，DE．若CE＝DE，求证：△ABC是等边三角形． 【思路点拨】　只需证明AB＝BC.由条件AE＝BD，CE＝DE，只需延长BD至点F，使DF＝BC.构造全等三角形，从而发现等边三角形的判定条件． 【例7】　如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形． (1)如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条特异线． 图1 (2)如图2，若△ABC是特异三角形，∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数． 图2 【思路点拨】　(1)只要证明△ABE，△AEC是等腰三角形即可；(2)如图2中，当BD是特异线时，分三种情形讨论，，当AD是特异线时，其中AB＝BD，AD＝DC，根据等腰三角形的性质即可解决问题，当CD为特异线时，不合题意舍去． 【答案解析】 【知识梳理】 1．轴对称图形 (1)概念：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． (2)性质： ①对称轴垂直平分连结两个对称点的线段； ②成轴对称的两个图形是全等图形． 2．等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两腰相等． (2)等腰三角形的两个底角相等(在一个三角形中，等边对等角)． (3)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合(简称等腰三角形“三线合一”)． 3．等腰三角形的判定 (1)如果一个三角形的两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形． (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形(在同一个三角形中，等角对等边)． 4．等边三角形的性质 (1)等边三角形的三条边相等，三个角相等且等于60°. (2)等边三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合． (3)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴． 5．等边三角形的判定 (1)有三条边相等的三角形是等边三角形． (2)三个角都相等的三角形是等边三角形． (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 解决与等腰三角形相关的问题时，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质．这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据． 寻找发现等腰三角形是解一些几何问题的关键．判定一个三角形为等腰三角形的基本方法：从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等．实际解题中的一个常用技巧是构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务．常用的构造方法有角平分线＋平行线；角平分线＋垂线；垂直平分线；三角形中角的两倍关系． 【例题探究】 【例1】　在等腰三角形中，有一个角是40°，它的一条腰上的高与底边的夹角是(　　) A．20° B．50° C．25°或40° D．20°或50° 【思路点拨】　根据题意先画出图形，分40°为顶角和底角两种情况讨论求解即可得出答案． F22F【解题过程】　①当40°为顶角时，如图1. ∵∠A＝40°，∴∠B＝∠ACB＝70°. ∵CD⊥AB，∴∠BCD＝20°. ②当40°为底角，即∠B＝40°时，如图2. ∵CD⊥AB，∴∠BCD＝50°. 故选D. 图1 图2 【方法归纳】　本题考查等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．解题时要注意分类讨论． 【例2】　如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于点E，交BC于点G，且AE∥BC. (1)求证：△ABC是等腰三角形． (2)若AE＝10，GC＝2BG，求BG的长． 【思路点拨】　(1)由AE∥BC，得出∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE，再由AE平分∠DAC，得出∠DAE＝∠CAE，从而推出∠B＝∠C，即可证明△ABC为等腰三角形；(2)证明△AFE≌△CFG，可求得CG的长，即可得出BG的长． 【解题过程】　(1)证明：∵AE∥BC， ∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE. ∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠CAE， ∴∠B＝∠C，∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． (2)解：∵F是AC的中点，∴AF＝CF. ∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE. 在△AFE和△CFG中， ∴△AFE≌△CFG(ASA)，∴AE＝GC＝10. ∵GC＝2BG， ∴BG＝5. 【方法归纳】　判定一个三角形是等腰三角形的方法：①证明两条边相等；②证明两个角相等． 【例3】　如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC. (1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有成立的情形)? (2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程． 【思路点拨】　判定一个三角形是等腰三角形的方法有①直接证明三角形的两条边相等；②证明三角形的两个角相等． 如图1，由条件①②，加上对顶角相等，可证△BOE≌△COD，得OB＝OC，进而可得∠OBC＝∠OCB，所以∠ABC＝∠ACB，所以△ABC是等腰三角形． 图1 如图2，由条件③，得∠1＝∠2，由条件①∠EBO＝∠DCO，可得∠ABC＝∠ACB，所以△ABC是等腰三角形． 图2 【解题过程】　解：(1)①②；①③. (2)选①②证明如下： 在△BOE和△COD中， ∴△BOE≌△COD(AAS)， ∴BO＝CO，∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB， 即∠ABC＝∠ACB，∴ AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． 选①③证明如下： 在△BOC中， ∵OB＝OC，∴∠1＝∠2. ∵∠EBO＝∠DCO， ∴∠EBO＋∠1＝∠DCO＋∠2， 即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． 【方法归纳】　本题属于条件开放问题，按照题目要求，选择两个条件，使结论成立，这种问题一般应将所给条件进行组合，看有几种不同的组合，再看看哪些组合可以满足要求，最后将符合要求的组合挑出来作为答案． 【例4】　如图，在△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【思路点拨】　分两种情形进行讨论：①三角形的边做腰；②三角形的边做底边． 【解题过程】　①如图1，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形； ②如图2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形； ③如图3，以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形； ④如图4，以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形； ⑤如图5，作AB的垂直平分线交AC于点G，则△AGB是等腰三角形； ⑥如图6，作BC的垂直平分线交AB于点I，则△BCI是等腰三角形； ⑦如图6，作AC的垂直平分线交AB于点I，则△ACI是等腰三角形． 故选D. 【方法归纳】　本题属于动手操作题，有一定难度．解题时可从等腰三角形的概念入手，运用分类讨论的思想加以解决． 【例5】　如图，C为线段AE上一动点(不与A，E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．有以下5个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．其中恒成立的有________(把你认为正确结论的序号都填上)． 【思路点拨】　利用等边三角形的性质易发现多对全等三角形，进而得到相关线段、角之间的关系． 【解题过程】　∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠BCQ＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE，故①正确．∵∠DAC＝∠EBC，AC＝BC，∠ACP＝∠BCQ，∴△APC≌△BQC(ASA)，∴AP＝BQ，故③正确．∵△APC≌△BQC，∴CP＝CQ．又∵∠PCQ＝60°，∴△PCQ为等边三角形．∴∠QPC＝60°＝∠ACB.∴PQ∥AE，故②正确．∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠AEO．∵∠DAC＋∠ADC＝∠DCE＝60°，∴∠AOB＝∠AEO＋∠OAE＝∠ADC＋∠DAC＝ 60°，故⑤正确．而对于④若成立，则DP＝DC.又∵∠PCD＝60°，∴△PDC为等边三角形．又∵△PCQ为等边三角形，∴CQ＝CD.而CQ不一定与CD相等，故④错误．综上所述，①②③⑤正确． 【方法归纳】　等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于60°的结论，所以要充分利用．同时，本题中全等三角形相对较多，但某些三角形的全等要借助另外一组全等三角形所得到的结论才可以成立． 【例6】　如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC至点D，延长BA至点E，使AE＝BD，连结CE，DE．若CE＝DE，求证：△ABC是等边三角形． 【思路点拨】　只需证明AB＝BC.由条件AE＝BD，CE＝DE，只需延长BD至点F，使DF＝BC.构造全等三角形，从而发现等边三角形的判定条件． 【解题过程】　如图，延长BD至点F，使DF＝BC，连结EF． ∵EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC，∴∠ECB＝∠EDF. 又∵BC＝DF，∴△ECB≌△EDF(SAS)，∴BE＝EF． 又∵∠B＝60°，∴△EBF为等边三角形，∴BF＝BE. 又∵BD＝AE，∴BA＝DF＝BC，∴△ABC为等边三角形． 【方法归纳】　本题考查等腰三角形及等边三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线． 【例7】　如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形． (1)如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条特异线． 图1 (2)如图2，若△ABC是特异三角形，∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数． 图2 【思路点拨】　(1)只要证明△ABE，△AEC是等腰三角形即可；(2)如图2中，当BD是特异线时，分三种情形讨论，如图3中，当AD是特异线时，其中AB＝BD，AD＝DC，根据等腰三角形的性质即可解决问题，当CD为特异线时，不合题意舍去． 【解题过程】　(1)证明：∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴EA＝EC，即△AEC是等腰三角形， ∴∠EAC＝∠C，∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2∠C. ∵∠B＝2∠C，∴∠AEB＝∠B，即△EAB是等腰三角形． ∴AE是△ABC是一条特异线． (2)解：如图，当BD是特异线时． 如图①，若AB＝BD＝DC，则∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝120°＋15°＝135°； 如图②，若AD＝AB，DB＝DC，则∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝75°＋37.5°＝112.5°； 如图③，若AD＝DB，DC＝CB，则∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝30°＋60°＝90°，不合题意，舍去； 如图④，当AD是特异线时，其中AB＝BD，AD＝DC， 则∠ABC＝180°－20°－20°＝140°. 当CD为特异线时，不合题意，舍去． 综上所述，符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°. 【方法归纳】　本题考查等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识．解题的关键是要正确理解题意，画出图形，运用分类讨论思想和方程思想． 学科网（北京）股份有限公司 $$