第1章 专题培优讲义《专题2　全等三角形》 2024—2025学年浙教版数学八年级上册

浙教版数学八年级上册专题培优讲义 专题2　全等三角形 【知识梳理】 1．全等三角形的定义：能够_________的两个三角形叫做全等三角形． 2．全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应角_________，对应边_________． (2)全等三角形的对应角的_________相等，对应边上的_________、_________分别相等． 3．全等三角形的判定方法 (1)边边边(SSS)：__________________的两个三角形全等． (2)边角边(SAS)：__________________的两个三角形全等． (3)角边角(ASA)：___________________________的两个三角形全等． (4)角角边(AAS)：___________________________的两个三角形全等． 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点，运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题．但证明三角形全等时要注意：①三个角对应相等的两个三角形不能判定全等；②有两条边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等． 4．三角形的稳定性：当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全确定，这个性质叫做三角形的稳定性． 5．线段垂直平分线的性质、角平分线的性质 (1)____________________________________． (2)角平分线上的点__________________距离相等． 6．尺规作图 在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图．会用尺规作一些基本图形，如角、线段垂直平分线、角平分线、三角形等． 【例题探究】 【例1】　如图，AE∥DF，AE＝DF，添加下列的一个选项后，仍然不能证明△ACE≌△DBF的是(　　) A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠E＝∠F D．EC∥BF 【思路点拨】　由AE∥DF得到∠A＝∠D，而AE＝DF已知，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断即可得出答案． 【例2】　已知△ABC的三个内角、三条边长如图，则甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是(　　) A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【思路点拨】　根据三角形全等的判定定理进行判断即可． 【例3】　已知：如图，点E，D，B，F在同一条直线上，AD∥CB，∠BAD＝∠BCD，DE＝BF. 求证：(1) DA＝BC. (2) AE∥CF. 【思路点拨】　(1)由条件证明△ADB≌△CBD，根据全等三角形的性质即可得出AD＝BC；(2)只要证明△EDA≌△FBC，可得出∠E＝∠F，再由平行线的判定得出AE∥CF. 【例4】　如图，有两条国道相交于点O，在∠AOB的内部有两村庄C，D.现要修建一加油站P，使点P到OA，OB的距离相等，且使PC＝PD.用尺规作图，作出加油站P的位置(不写作法，保留作图痕迹)． 【思路点拨】　所求的点P要满足两个条件：①点P到OA，OB的距离相等；②PC＝PD.满足条件①的点P在∠AOB的平分线上，满足条件②的点P在线段CD的垂直平分线上．两条直线的交点即为所求的点P. 【例5】　在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形(其中B，F，C，E在同一直线上)，并写出四个条件：①AB＝DE；②BF＝EC；③∠B＝∠E；④∠1＝∠2. 请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明． 题设：____________________；结论____________________(均填写序号)． 证明： 【思路点拨】　题设可以选①AB＝DE；②BF＝EC；③∠B＝∠E，用边角边全等来证明；可以选择②BF＝EC；③∠B＝∠E；④∠1＝∠2，由角边角全等来证明；可以选择①AB＝DE；③∠B＝∠E；④∠1＝∠2，由角角边来证明． 【例6】　如图1，已知AC∥BD，EA，EB分别平分∠CAB和∠DBA，点E在CD上，求证：AB＝AC＋BD. 图1 【思路点拨】　对这种结论的证明方法，通常采用适当的途径将其转化为证明两线段相等．一种是在“和线段”AB上截取AF＝AC，再证BF＝BD，这种方法叫“截长法”；另一种是延长“加数线段”AC至点F，使AF＝ AB，再证CF＝BD，这种方法叫“补短法”． 【例7】　如图1，从等腰直角三角形ABC的直角顶点C向中线BD作垂线，交BD于点F，交AB于点E，连结DE．求证：∠CDF＝∠ADE． 图1 【思路点拨】　作∠BCA的平分线交BD于点G，证明△CDG≌△ADE或过点A作AN⊥AC，交CE的延长线于点N，证明△ADE≌△ANE． 【答案解析】 【知识梳理】 1．全等三角形的定义：能够重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应角相等，对应边相等． (2)全等三角形的对应角的平分线相等，对应边上的中线、高线分别相等． 3．全等三角形的判定方法 (1)边边边(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． (2)边角边(SAS)：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等． (3)角边角(ASA)：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等． (4)角角边(AAS)：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点，运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题．但证明三角形全等时要注意：①三个角对应相等的两个三角形不能判定全等；②有两条边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等． 4．三角形的稳定性：当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全确定，这个性质叫做三角形的稳定性． 5．线段垂直平分线的性质、角平分线的性质 (1)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． (2)角平分线上的点到角两边的距离相等． 6．尺规作图 在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图．会用尺规作一些基本图形，如角、线段垂直平分线、角平分线、三角形等． 【例题探究】 【例1】　如图，AE∥DF，AE＝DF，添加下列的一个选项后，仍然不能证明△ACE≌△DBF的是(　　) A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠E＝∠F D．EC∥BF 【思路点拨】　由AE∥DF得到∠A＝∠D，而AE＝DF已知，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断即可得出答案． 【解题过程】　∵AE∥DF, ∴∠A＝∠D. 若添加条件AB＝CD，根据“SAS”可判定△ACE≌△DBF； 若添加条件EC＝BF，满足“SSA”，不能判定△ACE≌△DBF； 若添加条件∠E＝∠F，根据“ASA”可判定△ACE≌△DBF； 若添加条件EC∥BF，根据“AAS”可判定△ACE≌△DBF. 故选B. 【方法归纳】　本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的四种判定方法．注意SSA和AAA不能判定两个三角形全等． 【例2】　已知△ABC的三个内角、三条边长如图，则甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是(　　) A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【思路点拨】　根据三角形全等的判定定理进行判断即可． 【解题过程】　甲：符合两边对应相等但夹角不一定相等，故甲和△ABC不全等； 乙：符合两边对应相等且夹角相等，故乙和△ABC全等； 丙：符合两角及其中一个角的对边对应相等，故丙和△ABC全等． 故选B. 【方法归纳】　本题把判定三角形全等的条件放在图形中，比较新颖，但考查的内容还是三角形全等的判定，解题时要注意各种判定方法的区别，并能够灵活运用．一般三角形全等的判定方法有：①边角边(SAS)；②角边角(ASA)；③角角边(AAS)；④边边边(SSS)． 【例3】　已知：如图，点E，D，B，F在同一条直线上，AD∥CB，∠BAD＝∠BCD，DE＝BF. 求证：(1) DA＝BC. (2) AE∥CF. 【思路点拨】　(1)由条件证明△ADB≌△CBD，根据全等三角形的性质即可得出AD＝BC；(2)只要证明△EDA≌△FBC，可得出∠E＝∠F，再由平行线的判定得出AE∥CF. 【解题过程】　证明：(1)∵AD∥CB，∴∠ADB＝∠CBD. 在△ADB和△CBD中， ∴△ADB≌△CBD(AAS)， ∴DA＝BC. (2)∵∠ADB＝∠CBD，∠ADB＋∠EDA＝180°，∠CBD＋∠FBC＝180°， ∴∠EDA＝∠FBC. 在△EDA和△FBC中， ∴△EDA≌△FBC(SAS)， ∴∠E＝∠F， ∴AE∥CF. 【方法归纳】　几何图形中证明两条线段相等或两直线平行，常常转化为证明两个三角形全等． 【例4】　如图，有两条国道相交于点O，在∠AOB的内部有两村庄C，D.现要修建一加油站P，使点P到OA，OB的距离相等，且使PC＝PD.用尺规作图，作出加油站P的位置(不写作法，保留作图痕迹)． 【思路点拨】　所求的点P要满足两个条件：①点P到OA，OB的距离相等；②PC＝PD.满足条件①的点P在∠AOB的平分线上，满足条件②的点P在线段CD的垂直平分线上．两条直线的交点即为所求的点P. 【解题过程】　解：如图，连结CD，作∠AOB的平分线和CD的垂直平分线，两条直线的交点记为点P，点P即为加油站的位置． 【方法归纳】　本题主要考查角平分线、线段垂直平分线的性质以及角平分线、线段垂直平分线的尺规作图．熟练掌握角平分线、线段垂直平分线的性质和基本作图是解题的关键． 【例5】　在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形(其中B，F，C，E在同一直线上)，并写出四个条件：①AB＝DE；②BF＝EC；③∠B＝∠E；④∠1＝∠2. 请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明． 题设：____________________；结论____________________(均填写序号)． 证明： 【思路点拨】　题设可以选①AB＝DE；②BF＝EC；③∠B＝∠E，用边角边全等来证明；可以选择②BF＝EC；③∠B＝∠E；④∠1＝∠2，由角边角全等来证明；可以选择①AB＝DE；③∠B＝∠E；④∠1＝∠2，由角角边来证明． 【解题过程】　答案不唯一，如①③④；②. 证明：在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(AAS)，∴BC＝EF. ∵BC＝BF＋CF，EF＝CE＋CF，∴BF＝EC. 【方法归纳】　判定三角形全等时，要注意两边和一边所对的角对应相等的两个三角形不一定全等，如题设选①②④，不能推出③成立． 【例6】　如图1，已知AC∥BD，EA，EB分别平分∠CAB和∠DBA，点E在CD上，求证：AB＝AC＋BD. 图1 【思路点拨】　对这种结论的证明方法，通常采用适当的途径将其转化为证明两线段相等．一种是在“和线段”AB上截取AF＝AC，再证BF＝BD，这种方法叫“截长法”；另一种是延长“加数线段”AC至点F，使AF＝ AB，再证CF＝BD，这种方法叫“补短法”． 【解题过程】　证法1：(截长法)如图2，在AB上截取AF＝AC，连结EF. 在△ACE和△AFE中， ∴△ACE≌△AFE(SAS)，∴∠C＝∠5(全等三角形的对应角相等)． ∵AC∥BD，∴∠C＋∠D＝180°．∵∠5＋∠6＝180°，∴∠D＝∠6． 在△BEF和△BED中， ∴△BEF≌△BED(AAS)，∴BF＝BD，∴AF＋BF＝AC＋BD，即AB＝AC＋BD. 图2 证法2：(补短法)如图3，延长AC至点F，使AF＝AB，连结EF． 在△AEF和△AEB中，∴△AEF≌△AEB(SAS)， ∴EB＝EF(全等三角形的对应边相等)，∠AEB＝∠AEF＝90°，∴F，E，B三点共线． ∵AC∥BD，∴∠5＝∠D，∠F＝∠4． 在△CEF和△DEB中，∴△CEF≌△DEB(AAS)，∴CF＝DB(全等三角形的对应边相等)． ∵AB＝AF＝AC＋CF，∴AB＝AC＋BD. 图3 【方法归纳】　证明两条线段的和等于第三条线段时，通常有两种方法：一是“截长法”，即在较长的线段上截取一段，使截取的部分与较短线段中的一条相等，再说明余下的部分与另一条线段也相等；二是“补短法”，就是延长较短线段，使其长度与“和线段”长度相等，再证延长部分等于另一较短线段，或使延长部分与另一条线段相等，再证这两条线段的和等于较长线段． 【例7】　如图1，从等腰直角三角形ABC的直角顶点C向中线BD作垂线，交BD于点F，交AB于点E，连结DE．求证：∠CDF＝∠ADE． 图1 【思路点拨】　作∠BCA的平分线交BD于点G，证明△CDG≌△ADE或过点A作AN⊥AC，交CE的延长线于点N，证明△ADE≌△ANE． 【解题过程】　证法1：如图1，作∠BCA的平分线交BD于点G. ∵BC＝AC，∠BCG＝∠A＝45°，∠CBG＝90°－∠CDF＝∠ACE， ∴△BCG≌△CAE(ASA)， ∴CG＝AE． 在△CDG和△ADE中， ∴△CDG≌△ADE(SAS)． ∴∠CDF＝∠ADE． 证法2：如图2，过点A作AN⊥AC，交CE的延长线于点N. ∵∠ACN＝∠CBD，AC＝BC，∠BCD＝∠CAN＝90°， ∴△CAN≌△BCD(ASA)， ∴∠CDF＝∠ANE，AN＝CD＝AD． 又∵∠CAE＝∠EAN＝45°，AE＝AE， ∴△ADE≌△ANE(SAS)， ∴∠ADE＝∠ANE，∴∠CDF＝∠ADE． 图2 【方法归纳】　如何作辅助线是影响解题思路的一个重要因素，要善于联想已知条件，找到突破口．如证法2，注意到∠CDF在△BCD中，且BC＝AC，可设法构造出一个与Rt△BCD全等的三角形，并使其中某个锐角等于∠ADE，这样，就想出了证法2. 学科网（北京）股份有限公司 $$