第1章 专题培优讲义《专题1　认识三角形》 2024—2025学年浙教版数学八年级上册

浙教版数学八年级上册专题培优讲义 专题1　认识三角形 【知识梳理】 1．三角形的有关概念 (1)由不在同一条直线上的三条线段____________所组成的图形叫做三角形；在三角形的内部，由相邻两边组成的角，称为三角形的____________；三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做该三角形的____________． (2)三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的____________与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． (3)三角形的中线：连结三角形的一个顶点与____________的线段，叫做这个三角形的中线． (4)三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和____________之间的线段叫做三角形的高线． 特别注意：三角形的中线、高线、角平分线都是____________，它们相交于一点．三角形的中线把三角形的面积____________． 2．三角形的边角关系 边与边的关系：三角形任何两边的和____________，任何两边的差____________． 角与角的关系：三角形的内角和等于____________，外角和等于____________，三角形的外角____________与它不相邻的两个内角的和． 3．三角形的分类 按内角的大小可以分为： (1)锐角三角形：三个内角都是____________的三角形是锐角三角形． (2)直角三角形：有一个内角是____________的三角形是直角三角形． (3)钝角三角形：有一个内角是____________的三角形是钝角三角形． 4．定义与命题 (1)能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的____________． (2)____________的句子，叫做命题．命题一般由____________和____________两部分组成． (3)正确的命题称为____________，不正确的命题称为____________． (4)公认为正确的命题叫做____________． (5)用推理的方法判断为正确的命题叫做____________． 注意：要判定一个命题是真命题，常常通过____________方法；要说明一个命题是假命题，常常通过____________的方法． 5．证明 (1)从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论)，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． (2)证明一个命题，一般步骤如下： ①按照题意画出图形． ②分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论． ③在“证明”一项中，写出全部推理过程． 【例题探究】 【例1】　小明要从长度分别为5 cm，6 cm，11 cm，16 cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根小木棒摆成的三角形的周长为(　　) A．22 cm B．27 cm C．33 cm D．32 cm 【思路点拨】　四根木棒中，任意选取三根有四种情况，找出能构成三角形的情况，即可求出答案． 【例2】　判断下列命题的真假，并说明理由． (1)如果|a|＝|b|，那么a＝b. (2)绝对值等于它本身的数是正数． (3)如果a，b都是无理数，那么a＋b是无理数． 【思路点拨】　根据命题真假的概念进行判断． 【例3】　如图，已知AB∥CD，DA平分∠BDC，∠A＝∠C. (1)求证：CE∥AD. (2)若∠C＝25°，求∠B的度数． 【思路点拨】　(1)欲证明CE∥AD，只需推知∠ADC＝∠C即可；(2)可以利用(1)中平行线的性质来求∠B的度数． 【例4】　如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线． (1)若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数． (2)若∠B＝α，∠C＝β，且α＜β，试写出∠DAE与α，β有何关系． 【思路点拨】　(1)先求出∠DAC和∠EAC的度数，从而求出∠DAE的度数； (2)方法同(1)． 【例5】　周长为24，各边长互不相等且都是整数的三角形共有(　　) A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【思路点拨】　不妨设三角形的三边长分别为a，b，c，且a＜b＜c．由三角形的三边关系定理及题设条件可确定c的取值范围，以此作为解题的突破口． 【例6】　已知：线段AB，CD相交于点O，连结AD，CB. (1) 如图1，求证：∠A＋∠D＝∠B＋∠C. 图1 (2) 如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB，CD分别相交于点M，N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数． 图2 (3) 如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB，CD分别相交于点M，N，∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，试探究∠A，∠C，∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由． 图3 【思路点拨】　(1) 在△OAD和△OCB中根据三角形内角和定理，结合对顶角相等即可获证；(2) 利用(1)的结论和角平分线的定义可得出∠A＋∠C＝2∠E，由此可得出∠E的度数；(3) 用(2)问的方法可以探究出∠A，∠C，∠E三者之间的数量关系． 【例7】　如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P. (1) 如果∠A＝80°，求∠BPC的度数． 图1 (2) 如图2，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系． 图2 (3) 在(2)的条件下，如图3，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数． 图3 【思路点拨】　(1)在△ABC中，先求出∠ABC＋∠ACB的度数，再在△PBC中，利用角平分线定义和三角形内角和定理即可求得∠BPC的度数；(2)由题意可得∠QBC＋∠QCB＝(∠MBC＋∠NCB)，而∠MBC＝180°－∠ABC，∠NCB＝180°－∠ACB，代入可求得∠QBC＋∠QCB与∠A的关系，进而可得出∠Q，∠A之间的数量关系；(3)在△BQE中，可得∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，∠Q＝90°－∠A，然后分四种情况进行讨论求解． 【答案解析】 【知识梳理】 1．三角形的有关概念 (1)由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；在三角形的内部，由相邻两边组成的角，称为三角形的内角；三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做该三角形的外角． (2)三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． (3)三角形的中线：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． (4)三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线． 特别注意：三角形的中线、高线、角平分线都是线段，它们相交于一点．三角形的中线把三角形的面积平分． 2．三角形的边角关系 边与边的关系：三角形任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边． 角与角的关系：三角形的内角和等于180°，外角和等于360°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3．三角形的分类 按内角的大小可以分为： (1)锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形． (2)直角三角形：有一个内角是直角的三角形是直角三角形． (3)钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形． 特别注意：三角形的三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形． 4．定义与命题 (1)能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义． (2)判断某一件事情的句子，叫做命题．命题一般由条件和结论两部分组成． (3)正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题． (4)公认为正确的命题叫做基本事实． (5)用推理的方法判断为正确的命题叫做定理． 注意：要判定一个命题是真命题，常常通过推理的方法；要说明一个命题是假命题，常常通过举反例的方法． 5．证明 (1)从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论)，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． (2)证明一个命题，一般步骤如下： ①按照题意画出图形． ②分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论． ③在“证明”一项中，写出全部推理过程． 【例题探究】 【例1】　小明要从长度分别为5 cm，6 cm，11 cm，16 cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根小木棒摆成的三角形的周长为(　　) A．22 cm B．27 cm C．33 cm D．32 cm 【解题过程】　在四根小木棒中选出三根有以下四种情况： ①5 cm，6 cm，11 cm; ②5 cm，6 cm，16 cm； ③5 cm，11 cm，16 cm; ④6 cm，11 cm，16 cm. 其中能构成三角形的情况只有④， ∴他选的三根小木棒摆成的三角形的周长为6＋11＋16＝33(cm)． 故选C. 【方法归纳】　三条线段组成三角形的判定方法：把较短的两条线段长相加，若其和大于最长的那条线段长，则三条线段能组成三角形，否则就不能组成三角形． 【例2】　判断下列命题的真假，并说明理由． (1)如果|a|＝|b|，那么a＝b. (2)绝对值等于它本身的数是正数． (3)如果a，b都是无理数，那么a＋b是无理数． 【解题过程】　解：(1)假命题．理由如下：取a＝2，b＝－2，满足|a|＝|b|，但2≠－2，所以这个命题是假命题． (2)假命题．理由如下：0的绝对值等于它本身，但0不是正数，所以这个命题是假命题． (3)假命题．取a＝1＋，b＝1－，a，b均为无理数，但a＋b＝2是有理数，所以这个命题是假命题． 【方法归纳】　要说明一个命题是真命题，常用推理的方法；要说明一个命题是假命题，通常可以举反例，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例． 【例3】　如图，已知AB∥CD，DA平分∠BDC，∠A＝∠C. (1)求证：CE∥AD. (2)若∠C＝25°，求∠B的度数． 【解题过程】　(1)证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠ADC. ∵∠A＝∠C，∴∠ADC＝∠C. ∴CE∥AD. (2)解：由(1)可得∠ADC＝∠C＝25°. ∵DA平分∠BDC， ∴∠CDB＝2∠ADC＝50°. ∵AB∥DC，∴∠B＋∠CDB＝180°， ∴∠B＝180°－∠CDB＝130°. 【方法归纳】　本题考查平行线的判定与性质，以及角平分线的概念，解答此题的关键是掌握并灵活运用平行线的性质和判定． 【例4】　如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线． (1)若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数． (2)若∠B＝α，∠C＝β，且α＜β，试写出∠DAE与α，β有何关系． 【解题过程】　解：(1)∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°， 而∠B＝30°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°－30°－50°＝100°. ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠EAC＝∠BAC＝50°. 又∵AD为高，∴∠ADC＝90°. ∵∠C＝50°，∴∠DAC＝180°－90°－50°＝40°， ∴∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝50°－40°＝10°. (2)∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°， 而∠B＝α，∠C＝β， ∴∠BAC＝180°－α－β. ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠EAC＝∠BAC＝90°－α－β. 又∵AD为高，∴∠ADC＝90°. ∵∠C＝β，∴∠DAC＝180°－90°－β＝90°－β， ∴∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝90°－α－β－(90°－β)＝(β－α)． 【方法归纳】　明确三角形的角平分线和高的概念，然后利用各角之间的关系进行加减运算． 【例5】　周长为24，各边长互不相等且都是整数的三角形共有(　　) A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【解题过程】　设三角形的三边长分别为a，b，c，且a＜b＜c. ∵a＋b＋c＝24，a＋b＞c, ∴a＋b＋c＞2c，即2c＜24，∴c＜12. ∵3c＞a＋b＋c＝24，∴c＞8. ∴8＜c＜12. 又∵c为整数，∴c的值为9，10，11. ①当c的值为9时，有1个三角形，三角形的三边长分别是9，8，7； ②当c的值为10时，有2个三角形，三角形的三边长分别是10，9，5；10，8，6； ③当c的值为11时，有4个三角形，三角形的三边长分别是11，10，3；11，9，4；11，8，5；11，7，6. ∴周长为24，各边长互不相等且都是整数的三角形共有1＋2＋4＝7(个)． 故选A. 【方法归纳】　本题主要考查对三角形三边关系性质的理解及运用．注意写出具体三角形的三边长时，要结合已知条件做到不重复不遗漏． 【例6】　已知：线段AB，CD相交于点O，连结AD，CB. (1) 如图1，求证：∠A＋∠D＝∠B＋∠C. 图1 (2) 如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB，CD分别相交于点M，N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数． 图2 (3) 如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB，CD分别相交于点M，N，∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，试探究∠A，∠C，∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由． 图3 【解题过程】　(1) 证明：在△OAD中，∠A＋∠D＋∠AOD＝180°. 在△OCB中，∠C＋∠B＋∠BOC＝180°. ∵∠AOD＝∠BOC， ∴∠A＋∠D＝∠C＋∠B. (2) 解：∵∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E， ∴∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE. 由(1)可得∠A＋∠ADE＝∠E＋∠ABE①，∠C＋∠CBE＝∠E＋∠CDE②， ①＋②，得∠A＋∠ADE＋∠C＋∠CBE＝2∠E＋∠ABE＋∠CDE， ∴∠A＋∠C＝2∠E. ∵∠A＝28°，∠C＝32°， ∴∠E＝30°. (3) 解：∠A＋2∠C＝3∠E. 理由：∵∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC， ∴∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE. 由(1)可得∠A＋∠ADE＝∠E＋∠ABE③，∠C＋∠CBE＝∠E＋∠CDE④， ④×2，得2∠C＋2∠CBE＝2∠E＋2∠CDE⑤， ③＋⑤，得∠A＋2∠C＋∠ADE＋2∠CBE＝3∠E＋∠ABE＋2∠CDE， ∴∠A＋2∠C＝3∠E. 【方法归纳】　图1我们称之为“8字形”，在这个图形中有如下结论：∠A＋∠D＝∠B＋∠C. 【例7】　如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P. (1) 如果∠A＝80°，求∠BPC的度数． 图1 (2) 如图2，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系． 图2 (3) 在(2)的条件下，如图3，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数． 图3 【解题过程】　解：(1)在△ABC中，∵∠A＝80°， ∴∠ABC＋∠ACB＝100°. ∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， ∴∠P＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－×100°＝130°. (2) ∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q， ∴∠QBC＋∠QCB＝(∠MBC＋∠NCB) ＝(180°－∠ABC＋180°－∠ACB)＝(180°＋∠A)＝90°＋∠A， ∴∠Q＝180°－(90°＋∠A)＝90°－∠A. (3) 如图4，延长BC至点F. 图4 ∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线， ∴CE是△ABC的外角∠ACF的角平分线， ∴∠ACF＝2∠ECF. ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBC. ∵∠ECF＝∠EBC＋∠E， ∴2∠ECF＝2∠EBC＋2∠E，即∠ACF＝∠ABC＋2∠E. ∵∠ACF＝∠ABC＋∠A， ∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A. ∵∠EBQ＝∠EBC＋∠CBQ＝∠ABC＋∠MBC＝(∠ABC＋∠MBC)＝90°. 在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，分四种情况： ①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°； ②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°； ③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，∠A＝2∠E＝45°； ④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，∠A＝2∠E＝135°. 综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°. 【方法归纳】　本题是角平分线定义、三角形内角和外角性质的综合运用，题中的几个常用结论在解题中很有用，希望同学们熟记． 学科网（北京）股份有限公司 $$