专题05 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系（分层训练）-【课后优辅导】2024-2025学年高二数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题05 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 一、单选题 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系 中， 以点 为圆心且与直线 相切的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·福建福州·模拟预测）已知圆与轴相切，则（    ） A．1 B．0或 C．0或1 D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）圆和圆的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．（23-24高二下·全国·课后作业）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D．6 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 6．（24-25高二上·山东·开学考试）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知圆关于直线对称，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．4 8．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，若在直线上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（22-23高二上·广东肇庆·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．过点作圆的切线，则切线方程为 B．已知，为坐标原点，点是圆外一点，则直线与圆相交 C．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为 D．若圆：（）上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 10．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是（    ） A．圆关于直线对称 B．若圆关于反射光线对称，则入射光线所在直线的方程为 C．若反射光线与圆相切，则这条光线从点到切点所经过的路程为 D．存在两条反射光线与圆相切 11．（24-25高三上·海南·开学考试）已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（    ） A．弦的中点轨迹是圆 B．直线的交点在定圆上 C．线段的最小值为 D．的最大值为 三、填空题 12．（24-25高三上·北京·开学考试）直线被圆所截得的弦长为 . 13．（23-24高二上·江苏南京·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． 14．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于 四、解答题 15．（23-24高二上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆交于两点，且，求的值. 16．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆C：，直线l：. (1)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程； (2)若定点分弦AB为，求此时直线l的方程. 17．（23-24高二上·全国·课后作业）已知圆交于A、B两点； (1)求过A、B两点的直线方程； (2)求过A、B两点，且圆心在直线上的圆的方程． 18．（22-23高二上·广东广州·期中）圆． (1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程； (2)已知，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得．若存在，求出实数a，若不存在，请说明理由． 19．（24-25高二上·江苏宿迁·开学考试）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一上·湖南·开学考试）如图，在矩形中，，以为圆心，为半径作圆．点在对角线上，直线与圆相切于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 21．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二下·北京东城·期末）已知直线被圆截得的弦长为整数，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 23．（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）（多选题）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足．设点P的轨迹为C，则以下结论正确的是（    ） A．轨迹C的方程为 B．在直线上存在且仅存在一对点D，E，使得 C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是的角平分线 D．在C上存在点M，使得 24．（2024·江西宜春·三模）（多选题）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a（非零常数），动点M到A，B的距离之比为常数（，且），则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，点M满足，则下列说法正确的是（    ） A．面积的最大值为12 B．的最大值为72 C．若，则的最小值为10 D．当点M不在x轴上时，MO始终平分 25．（2024高三·全国·专题练习）已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，的中点为Q，若点T的坐标为，则的最小值为 . 26．（2024高三·全国·专题练习）已知点，点，点满足，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的最小值是 ． 27．（23-24高二上·全国·课后作业）已知圆交于A、B两点； (1)求过A、B两点的直线方程； (2)求过A、B两点，且圆心在直线上的圆的方程． 28．（23-24高二下·贵州黔西·开学考试）已知实数满足 (1)求最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值. 29．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）过点作斜率为的直线交圆于A，两点，动点满足，若对每一个确定的实数，记的最大值为，则当变化时，的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 30．（22-23高二上·浙江杭州·期中）在正中，M为BC中点，P为平面内一动点，且满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 31．（22-23高三·云南·阶段练习）已知，为圆上的两个动点，，是的中点，则点的轨迹方程是 ；若点为直线上一动点，则的最小值为 . 32．（2022·四川成都·三模）如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆相交于A，C，B，D四点，M为弦AB的中点，有下列结论： ①弦AC长度的最小值为； ②线段BO长度的最大值为； ③点M的轨迹是一个圆； ④四边形ABCD面积的取值范围为． 其中所有正确结论的序号为 ． 33．（21-22高三上·北京海淀·期末）已知圆，直线，点，点.给出下列4个结论： ①当时，直线与圆相离； ②若直线是圆的一条对称轴，则； ③若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为； ④为圆上的一动点，若，则的最大值为. 其中所有正确结论的序号是 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 一、单选题 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系 中， 以点 为圆心且与直线 相切的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式求得圆的半径，结合圆的标准方程，即可求解. 【详解】由圆心到直线 的距离， 即所求圆的半径为，所以所求圆的标准方程为. 故选：B. 2．（2024·福建福州·模拟预测）已知圆与轴相切，则（    ） A．1 B．0或 C．0或1 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由直线与圆的位置关系求参数、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据一般式得圆的标准式方程，即可根据相切得求解. 【详解】将化为标准式为：， 故圆心为半径为，且或， 由于与轴相切，故， 解得，或（舍去）， 故选：D 3．（24-25高二上·全国·课后作业）圆和圆的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数 【分析】先判断两个圆的位置关系，再求解公切线条数即可. 【详解】圆的圆心为，半径为3， 圆的圆心为，半径为2． 两圆的圆心距为，所以两圆外切， 故两圆的公切线的条数为3，故C正确. 故选：C 4．（23-24高二下·全国·课后作业）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D．6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、过圆外一点的圆的切线方程、二倍角的余弦公式 【分析】根据锐角三角函数，结合二倍角公式即可求解. 【详解】由得， 所以圆心为，半径为， 设切点分别为，连接，则为两切线的夹角， 由于， 所以， 由二倍角公式可得， 故选：B. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】将两个圆化为圆的一般方程，得其圆心与半径，再根据圆心距与半径和差的关系判断两圆的位置关系即可. 【详解】圆，化为，圆心为，半径为； 圆，化为，圆心为，半径为． 则两圆心距离为， 因为，所以圆与圆相交． 故选：C． 6．（24-25高二上·山东·开学考试）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、由直线与圆的位置关系求参数、已知两点求斜率、直线过定点问题 【分析】先得到曲线轨迹为以为圆心，2为半径的上半圆，求出恒过定点，把半圆和直线画出，数形结合得到有两个相异的交点时实数k的取值范围. 【详解】，变形得到， 故曲线轨迹为以为圆心，2为半径的上半圆， 恒过定点，把半圆和直线画出，如下： 当过点时，满足两个相异的交点， 且此时取得最小值，最小值为， 当与相切时，由到直线距离等于半径可得 ，解得， 故要想曲线与直线有两个相异的交点， 则. 故选：B 7．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知圆关于直线对称，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】转化为直线过圆心即，再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为圆关于直线对称， 所以直线过圆心，即， 则 因为，且，所以， 所以， 当且仅当即等号成立， 则的最小值是4. 故选：D. 8．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，若在直线上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由题先构造以为底的等腰直角三角形，并以点为圆心，的长为半径作，当直线与相切时的值为最大或最小，进而可得的取值范围. 【详解】因为点，，所以，， 作以为底的等腰直角三角形，则在轴上， 当点在上方时，以点为圆心，的长为半径作，如图， 此时上存在点满足. 设直线与相切，切点为，易知此时的值最大， 设直线与轴、轴分别交于、两点，连接，则. 可得，所以， 因为，所以，所以， 所以， 当点在下方时，同理得的最小值为， 综上所述，的取值范围是. 故选：A 二、多选题 9．（22-23高二上·广东肇庆·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．过点作圆的切线，则切线方程为 B．已知，为坐标原点，点是圆外一点，则直线与圆相交 C．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为 D．若圆：（）上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】对于A，分过点的直线斜率不存在与存在两种情况求解即可判断；对于B，根据点在圆外得到不等关系，利于圆心到直线的距离与半径的关系进行判断即可；对于C，根据条件建立不等式，解出即可；对于D，问题转化为两个圆相交，列出不等式组，解出即可. 【详解】对于A，当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切， 当过点的直线斜率不存在时，设切线方程为，即， 所以，解得，即切线方程为， 综上所述：则切线方程为或，故A错误； 对于B，因为点是圆外一点， 所以，又直线的方程是， 所以圆心到直线的距离，故与圆相交，则B正确； 对于C，即，则其过定点， 由点和，，可得， 直线和以，为端点的线段相交， 则满足或，即或，所以C错误； 对于D，依题可知以为圆心，1为半径的圆与圆相交， 因为圆的圆心为，半径为， 所以，又， 所以，解得，故D正确. 故选：BD. 10．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是（    ） A．圆关于直线对称 B．若圆关于反射光线对称，则入射光线所在直线的方程为 C．若反射光线与圆相切，则这条光线从点到切点所经过的路程为 D．存在两条反射光线与圆相切 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、圆的对称性的应用、过圆外一点的圆的切线方程、切线长 【分析】对A：判断该直线是否过圆心即可得；对B：判断该直线是否过点及圆心关于轴对称的点即可得；对C：借助切线的性质及两点间距离公式计算即可得；对D：借助切线的性质计算即可得. 【详解】对A：由可知圆心为， 直线过点，故圆关于直线对称，故A正确； 对B：若圆关于反射光线对称，则反射光线过圆心， 即入射光线过点及圆心关于轴对称的点， 当时，，故点不在上， 即入射光线所在直线的方程不为，故B错误； 对C：反射光线必过点关于轴对称的点， 且从点到切点所经过的路程与到切点所经过的路程相等， 由切线性质可得该路程为，故C正确； 对D：设反射光线的方程为，即， 则有，即， ，故该方程有两个不同解， 即存在两条反射光线与圆相切，故D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高三上·海南·开学考试）已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（    ） A．弦的中点轨迹是圆 B．直线的交点在定圆上 C．线段的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、数量积的运算律、直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】设，由已知结合垂径定理求得的轨迹判断A；联立两直线方程消去判断B；由选项A、B及两圆的位置关系判断C；由数量积运算结合选项C求得数量积的最小值判断C． 【详解】对于选项A：设，因为，为弦的中点， 所以.而，半径为2， 则圆心到弦的距离为. 又圆心，所以， 即弦中点的轨迹是圆，故选项A正确； 对于选项B：由，消去可得， 得，即，故选项B正确； 对于选项C：由选项A知，点的轨迹方程为：， 又由选项B知，点的轨迹方程为：， 所以，，， 线段，故选项C不正确； 对于选项D：， 故，故， 由选项C知，， 所以，故选项D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．（24-25高三上·北京·开学考试）直线被圆所截得的弦长为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】圆的弦长与中点弦、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】利用圆的一般方程与标准方程的转化先化简方程，再圆心在直线上求解即可. 【详解】化为标准方程得， 则圆心为，半径， 显然直线过圆心，则所截得弦为直径，其长为. 故答案为： 13．（23-24高二上·江苏南京·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、切线长 【分析】由题意得当最小时，连线与直线垂直，由点到直线的距离公式和勾股定理可求得答案． 【详解】， 圆心，半径． 设切点为， 由题意可知，点到圆的切线长最小时，， 圆心到直线的距离， 切线长的最小值为：． 故答案为：． 14．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】由两圆的方程得到圆心和半径，再由“有且仅有一个公共点”得到“两圆相切”，进而得到圆心之间的距离与半径的关系，解得的值. 【详解】圆：圆心为，半径为1， 圆：，圆心为，半径为； 又因为圆与圆有且仅有一个公共点，所以两圆相切， 又由两圆的圆心距，则有或， 解得或． 故答案为：或. 四、解答题 15．（23-24高二上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆交于两点，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）由直线与圆相切的性质结合点到直线的距离可得半径，即可得解； （2）由题意联立方程组，结合韦达定理、平面向量垂直的性质联立方程组即可求得m，即可得解. 【详解】（1）∵直线与圆C相切，且圆心C的坐标为， ∴圆C的半径， 则圆C的方程为； （2）联立，得， 由，解得， 设， 则， ∵，∴， 即， ∴，解得，符合题意， ∴． 16．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆C：，直线l：. (1)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程； (2)若定点分弦AB为，求此时直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、求平面轨迹方程、轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）设，根据已知列式化简，再考虑特殊情况即可得解； （2）联立方程组应用韦达定理结合向量关系求出直线方程. 【详解】（1）∵直线l：过定点， 而在圆C：内， ∴直线l与圆C总有两个不同的交点； 圆C：的圆心为， 如图，当M与P不重合时，连接CM，CP，则， ∴. 设，则， 化简得：； 当M与P重合时，，也满足上式， 故弦的中点的轨迹为；    （2）设，， 由，得， ∴，化简得，① 又由，消去y得. ∴，② 由①②解得，代入（*）解得. ∴直线l的方程为或. 17．（23-24高二上·全国·课后作业）已知圆交于A、B两点； (1)求过A、B两点的直线方程； (2)求过A、B两点，且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、相交圆的公共弦方程 【分析】（1）将两圆的方程作差即可求出两圆的公共弦所在的直线方程； （2）先求出A、B两点坐标，再利用待定系数法求出圆的方程. 【详解】（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程， ，即. （2）由（1）得知：，代入圆， 化简可得，. 当时，；当时，. 设所求圆的圆心坐标为，半径为r， 则， 解得：，. 过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为. 18．（22-23高二上·广东广州·期中）圆． (1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程； (2)已知，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得．若存在，求出实数a，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在； 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【分析】（1）从直线与圆相切时仅有一个公共点的特点，利用求得参数，即得圆的方程； （2）先求出点，，设出直线方程，与圆O方程联立，得到韦达定理，再将等价转化成、的斜率互为相反数，代入韦达定理计算即得值. 【详解】（1）由得， 因为圆与y轴相切，所以，解得或4， 故所求圆C的方程为或． （2）令得， 解得或，而，即，． 假设存在实数a，设，， 当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为， 由得， 根据韦达定理有（*）， 又，则、的斜率互为相反数， 即，得：， 于是，即， 将（*）代入可得：，化简得：，解得． 当直线与x轴垂直时，,显然满足，即、的斜率互为相反数． 综上所述，存在，使得． 19．（24-25高二上·江苏宿迁·开学考试）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据直线与半圆的位置关系可求的取值范围. 【详解】曲线即为半圆：，其图象如图所示， 曲线与轴的交点为， 而直线为过的动直线， 当直线与半圆相切时，有，解得， 当直线过时，有， 因为直线与半圆有两个不同的交点，故， 故选：D. 20．（24-25高一上·湖南·开学考试）如图，在矩形中，，以为圆心，为半径作圆．点在对角线上，直线与圆相切于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】建立平面直角坐标系，设，计算，并将表示为关于的函数，然后转化为动点到两定点的距离即可. 【详解】如图①所示，分别以为轴建立平面直角坐标系，连接, 则,，直线 所以， ， 即 故上式相当于点到点的距离之和，且， 即, 如图②所示，作关于轴的对称点， 则, 所以. 所以的最小值为. 故选：B. 21．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】设点，由，得P的轨迹方程为，再由两圆相交求解． 【详解】设点，则，， 所以， 所以P的轨迹方程为，圆心为，半径为3． 由此可知圆与有公共点， 又圆的圆心为，半径为2， 所以，解得， 即的取值范围是． 故选：A． 22．（23-24高二下·北京东城·期末）已知直线被圆截得的弦长为整数，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】首先求得，又，而直径是4，所以分进行讨论即可求解. 【详解】圆的圆心、半径分别为， 圆心到直线的距离为， 设直线被圆截得的弦长为， 由于直线被圆所截得的弦长不超过直径长度，故分以下情形讨论： 当时，，解得， 当时，，化简得，解得， 当时，，化简得，该方程无解， 当时，，化简得，该方程无解， 而直线是斜率为且过定点的直线，直线由唯一决定， 综上所述，满足条件的直线共有3条. 故选：C. 23．（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）（多选题）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足．设点P的轨迹为C，则以下结论正确的是（    ） A．轨迹C的方程为 B．在直线上存在且仅存在一对点D，E，使得 C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是的角平分线 D．在C上存在点M，使得 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、求两圆的交点坐标 【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可． 【详解】解：，设， ，化简得，故A正确； 假设直线上存在两点，使得，设，， 则，化简得， 由轨迹的方程为，可得，， 解得，.一组解．，.为同一个点.故B错误； 当，，三点不共线时，， 可得射线是的平分线，故C正确； 若在上存在点，使得，可设， 则有，整理可得，与联立， 方程组无解，故不存在点，故D错误． 故选：AC. 24．（2024·江西宜春·三模）（多选题）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a（非零常数），动点M到A，B的距离之比为常数（，且），则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，点M满足，则下列说法正确的是（    ） A．面积的最大值为12 B．的最大值为72 C．若，则的最小值为10 D．当点M不在x轴上时，MO始终平分 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】设点，由条件可得点M的轨迹方程，即可判断A，由向量数量积的运算律代入计算，即可判断B，由点与圆的位置关系，即可判断C，由角平分线定理即可判断D 【详解】对于A，设点，由，得， 化为，所以点M的轨迹是以点为圆心、4为半径的圆， 所以面积的最大值为，故A正确； 对于B，设线段AB的中点为N，， 当点M的坐标为时取等号，故的最大值为72，故B正确； 对于C，显然点在圆外，点在圆内，，当B，M，Q三点共线且点M在线段BQ之间时，，故C错误； 对于D，由，，有，当点M不在x轴上时， 由三角形内角平分线分线段成比例定理的逆定理知，MO是中的平分线，故D正确． 故选：ABD． 25．（2024高三·全国·专题练习）已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，的中点为Q，若点T的坐标为，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、定点到圆上点的最值（范围）、过圆外一点的圆的切线方程、切点弦及其方程 【分析】利用圆外一点引圆的切线对应切点弦直线方程的二级结论可确定直线过定点，结合垂径定理确定Q轨迹，数形结合计算即可. 【详解】圆心，半径， 设，则切点弦所在直线的方程为， 化简得：， 所以直线过定点， 如图，显然，所以点Q的轨迹是以为直径的圆， 其圆心为，， 因为，所以. 故答案为： 26．（2024高三·全国·专题练习）已知点，点，点满足，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的最小值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、轨迹问题——圆、已知切线求参数 【分析】首先求点的轨迹方程，再根据几何关系计算数量积，转化为关于的式子，结合对勾函数的单调性，即可求解. 【详解】，因为，所以， 化简得，所以点在以原点为圆心，为半径的圆上． 设，则 ． 因为，所以，所以． 因为在上单调递增，所以在时取最小值， 最小值为． 故答案为： 27．（23-24高二上·全国·课后作业）已知圆交于A、B两点； (1)求过A、B两点的直线方程； (2)求过A、B两点，且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、相交圆的公共弦方程 【分析】（1）将两圆的方程作差即可求出两圆的公共弦所在的直线方程； （2）先求出A、B两点坐标，再利用待定系数法求出圆的方程. 【详解】（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程， ，即. （2）由（1）得知：，代入圆， 化简可得，. 当时，；当时，. 设所求圆的圆心坐标为，半径为r， 则， 解得：，. 过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为. 28．（23-24高二下·贵州黔西·开学考试）已知实数满足 (1)求最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值. 【答案】(1)最大值为，最小值为； (2)最大值为，最小值为. 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】 （1）利用的几何意义：圆上一点与坐标原点连线的斜率，即可求出答案； （2）利用的几何意义：圆上一点到坐标原点距离的平方，即可求出答案； 【详解】（1）原方程化为：，表示以为圆心，为半径的圆， 设，即， 当直线与圆相切时，斜率取得最大值与最小值， 此时有：，解得，所以的最大值为，最小值为. （2）表示圆上一点到原点距离的平方， 易知在原点与圆心的连线与圆的两个交点出取得最大值与最小值， 又圆心到原点的距离为，半径为， 所以 29．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）过点作斜率为的直线交圆于A，两点，动点满足，若对每一个确定的实数，记的最大值为，则当变化时，的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.15 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆中的定点定值问题 【分析】首先确定P与圆的位置关系，令且P是内分比点，若为外分比点，由阿氏圆易知P、Q在以的中点C为圆心的圆上，且最大值为圆的直径，讨论及数形结合判断的最大情况的最小值. 【详解】由题设，即在圆内， 令且，显然P是内分比点，若为外分比点, 则，此时的中点C为P、Q所在阿氏圆的圆心， 对于每一个确定的实数k，的最大值为，即重合时为对应圆直径， 根据圆的对称性，如上图，讨论的情况，而, 当为直径时，， 此时，可得， 故的最大值为， 当不是为直径时，，，且增减趋势相同， 由，得，显然接近于1时趋向无穷大， 此时的最大值为趋向无穷大. 综上，的最小值是1. 故选：A 30．（22-23高二上·浙江杭州·期中）在正中，M为BC中点，P为平面内一动点，且满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.15 【知识点】轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数、斜率公式的应用 【分析】建立直角坐标系，由求得点轨迹，再将转化为关于的函数，利用直线斜率的几何意义求得的范围，进而求得的最大值，从而的最大值可求. 【详解】依题意，以为坐标原点，以为轴，以为轴建立直角坐标系如图1， 不妨设正三角形的边长为 2，则, 设 , 则， ， ，即，即， 点轨迹为：，则， 所以， 当时, ，即； 当时, 令, 则表示与连线的斜率，如图2， 且， 设直线与圆 相切，直线化为， 则圆心到直线距离, 解得或， ，故， 则当时，取得最大值为， 的最大值为； 综上：的最大值为. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题的关键有两个，一个是建立直角坐标系，求得点轨迹方程，且将转化为关于的函数，另一个是利用直线斜率的几何意义求得的范围. 31．（22-23高三·云南·阶段练习）已知，为圆上的两个动点，，是的中点，则点的轨迹方程是 ；若点为直线上一动点，则的最小值为 . 【答案】 6 【难度】0.15 【知识点】数量积的运算律、轨迹问题——圆 【分析】利用相关点代入法解得点的轨迹方程；利用极化恒等式求出的最小值为6. 【详解】圆圆心为，半径2，是的中点，，所以，， 点的轨迹方程是，， 点为直线上一动点，点是上一点，圆心到的距离是4， 所以的最小值是3，的最小值为6. 故答案为：； 6 32．（2022·四川成都·三模）如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆相交于A，C，B，D四点，M为弦AB的中点，有下列结论： ①弦AC长度的最小值为； ②线段BO长度的最大值为； ③点M的轨迹是一个圆； ④四边形ABCD面积的取值范围为． 其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①③④ 【难度】0.15 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、轨迹问题——圆、圆的弦长与中点弦、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据方程写出已知圆的圆心和半径，由圆的性质判断①；由BO长度表示圆上点到原点的距离，即可判断②；若分别是的中点，圆心到直线的距离且，易证为矩形且其中心、对角线长度恒定，即可确定M的轨迹判断③；根据得到四边形ABCD面积关于的表达式，结合二次函数性质求范围，判断④. 【详解】由题设，则圆心，半径， 由圆的性质知：当圆心与直线距离最大为时AC长度的最小， 此时，①正确； BO长度最大，则圆心与共线且在它们中间，此时，②错误； 若分别是的中点，则且，且， 又，易知：为矩形，而， 若圆心到直线的距离且， 所以，则，故， 所以在以为直径，交点为圆心的圆上，③正确； 由上分析：，，而， 所以， 令，则， 当，即时，； 当或5，即或时，； 所以，④正确； 故答案为：①③④ 【点睛】关键点点睛：③证明分别是的中点所成四边形为矩形且对角线长度及中心恒定，判断轨迹形状；④利用得到关于的表达式，结合函数思想求范围. 33．（21-22高三上·北京海淀·期末）已知圆，直线，点，点.给出下列4个结论： ①当时，直线与圆相离； ②若直线是圆的一条对称轴，则； ③若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为； ④为圆上的一动点，若，则的最大值为. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【难度】0.15 【知识点】判断直线与圆的位置关系、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】对于①：，，圆心，半径，直线与圆相离；对于②：若直线圆的一条对称轴，则直线过圆的圆心，即可得到；对于③：由垂径定理，，设.得到，但两处等号无法同时取到，矛盾；对于④：为圆上的一个动点.若，设，利用参数方程解决即可. 【详解】对于①：当时，直线，圆心，半径，直线与圆相离，故表述①正确； 对于②：若直线圆的一条对称轴，则直线过圆的圆心，故，故表述②正确； 本题的难点主要聚焦于③、④，如图所示：    设的中点为，以为直径作圆，连接．则 对于③：由垂径定理，，设. 一方面，若，则. 当且仅当，且三点共线时，等号成立，此时直线的斜率为. 另一方面，当时，直线. 故点到直线的距离.此时. 当且仅当为点在直线上的射影时等号成立，此时直线的斜率为. 对比发现，，但两处等号无法同时取到，矛盾.故表述③错误. 对于④：为圆上的一个动点.若，设， 则. 注意到， 故 当且仅当且点在点正上方时，等号成立.故表述④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系变形，以及圆更深层次的定义，难度较大，能够正确画出示意图是解决问题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$