专题05 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系（十大重难点题型）-【课后优辅导】2024-2025学年高二数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题05 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 知识点一 直线与圆的位置关系 (1)三种位置关系：相交、相切、相离． (2)圆的切线方程的常用结论 ①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2； ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2； ③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 知识点二 圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0). 　方法 位置关系　　　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 【知识必备】 1．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆系方程 (1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数； (2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； (3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)。 重难点题型一：直线与圆的位置关系的判断 例1.（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）已知直线，圆，点在圆内，则（    ） A．直线l与圆C相交 B．直线l与圆C相切 C．直线l与圆C相离 D．不确定 例2.（2023·四川成都·成都七中校考一模）圆：与直线：的位置关系为（ ） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 1.（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 2.（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点题型二：弦长与面积问题 例3.（23-24高三上·广东广州·期中）如果直线被圆截得的弦长为，那么实数 . 例4.（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知圆，直线与圆C相交于M，N两点，则 ． 1.（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）直线被圆所截得的弦长为，则（    ） A． B． C． D．2 2.（23-24高二上·江苏南京·开学考试）当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ） A． B． C． D．1 【解题方法总结】 弦长问题 ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 重难点题型三：切线问题、切线长问题 例5．（22-23高三下·北京·开学考试）圆心为，且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 例6．（24-25高二·上海·课堂例题）若从点引圆的切线，则切线长是 ． 1.（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知圆C：，直线l的横纵截距相等且与圆C相切﹐则直线l的方程为 ． 2.（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 重难点题型四：切点弦问题 例7．（2024·全国·模拟预测）是直线上的一个动点，是圆上的两点，若均与圆相切，则弦长的最小值为 ． 例8.（2023·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）已知圆，过直线上任意一点，作圆的两条切线，切点分别为两点，则的最小值为 . 1.（2023·北京·高三强基计划）如图，过椭圆上一点M作圆的两条切线，过切点的直线与坐标轴于P，Q两点，O为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 2.（21-22高二上·山东菏泽·期末）（多选题）已知圆，直线.则（    ） A．直线与圆可能相切 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 重难点题型五：圆上的点到直线距离个数问题 例9.（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1.（1991·全国·高考真题）圆上到直线的距离为的点共有 A．个 B．个 C．个 D．个 重难点题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题 例10.（2023·上海徐汇·高三上海民办南模中学校考阶段练习）若，则的最小值为 . 例11．（22-23高二上·福建莆田·阶段练习）过直线上一动点，向圆引两条切线，为切点，线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 1.（2024·河南周口·模拟预测）已知点，为圆上一动点，为直线上一点，则的最小值为 . 2.（23-24高二上·安徽六安·期中）已知为圆上一动点，过点作圆的切线，交圆于点A、B，则的最大值是 . 重难点题型七：圆与圆的位置关系 例12.（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线与圆相切，则满足条件的直线l的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例13．（23-24高二上·广西玉林·期中）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆公共弦所在直线的方程为 B．圆与圆有两条公切线 C．是圆与圆的一条公切线 D．圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2 1.（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）（多选题）有关圆与圆的下列哪些结论是正确的（     ） A．圆 的圆心坐标为，半径为5 B．若分别为两圆上两个点，则的最大距离为 C．两圆外切 D．若为圆 上的两个动点，且，则的中点的轨迹方程为 2.（23-24高二上·安徽淮北·期末）（多选题）已知圆与圆，则（    ） A．两圆的圆心距为 B．两圆的公切线有3条 C．两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 D．两圆相交，且公共弦的长度为 【解题方法总结】 已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则： （1）两圆外离； （2）两圆外切； （3）两圆相交； （4）两圆内切； （5）两圆内含； 重难点题型八：两圆的公共弦问题 例14.（2023·天津和平·耀华中学校考二模）圆与圆的公共弦所在的直线方程为 ． 例15．（24-25高二·上海·课堂例题）圆与圆相交所得公共弦长为 ． 1.（2024·四川·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 . 2.（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）设，已知圆，圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，，切点分别为，，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 重难点题型九：两圆的公切线问题 例16．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例17.（2023·湖南岳阳·统考三模）写出与圆和都相切的一条直线方程 ． 例18.（2019高二上·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 1.（2023高二·江苏·专题练习）已知点是圆上的动点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 2.已知圆均过点，且其半径之积．若x轴是的公切线，且的另一条公切线l通过原点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（   ） A． B． C． D． 重难点题型十：综合问题 例19.（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）已知圆过点，且与圆关于直线对称． (1)判断圆与圆的位置关系，并说明理由； (2)过点作两条相异直线分别与相交于，． ①若直线和直线互相垂直，求的最大值； ②若直线和直线与轴分别交于点、，且，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由． 例20.（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆C：，直线l：. (1)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程； (2)若定点分弦AB为，求此时直线l的方程. 例21.（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 1．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知圆C：和直线l：相切． (1)求圆C半径； (2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②证明直线AB恒过定点． 2．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知中，点，边上中线所在直线的方程为，边上的高线所在直线的方程为． (1)求边所在直线方程； (2)以为圆心作一个圆，使得三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，并记该圆为圆，过直线上一点作圆的切线，切点为，当四边形面积最小时，求直线的方程. 3．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴的非负半轴上. (1)求圆的方程； (2)设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程. 1．（2024·贵州黔东南·二模）直线与圆交于，两点，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（23-24高二上·安徽淮北·期末）从原点向圆引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·湖南永州·一模）在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 5．（2024·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 6．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）两圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D．1 7．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）（多选题）已知圆，直线与，下列结论正确的是（    ） A．直线，不可能平行 B．直线与圆相切 C．直线与圆截得弦长为 D． 8．（2024·吉林延边·一模）（多选题）已知是圆上的两点，则下列结论中正确的是（    ） A．若点到直线的距离为，则 B．若，则 C．若，则的最大值为6 D．的最小值为 9．（2007高二·全国·竞赛）直线被圆截得弦长为，则 ． 10．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知圆C与两坐标轴及直线都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为 ． 11．（23-24高二上·天津宁河·期末）若直线与圆相切，则实数的值为 . 12．（23-24高三上·河北邢台·期末）已知圆，过作圆的切线，则直线的倾斜角为 ． 13．（23-24高二上·江苏南京·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． 14．（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 知识点一 直线与圆的位置关系 (1)三种位置关系：相交、相切、相离． (2)圆的切线方程的常用结论 ①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2； ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2； ③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 知识点二 圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0). 　方法 位置关系　　　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 【知识必备】 1．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆系方程 (1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数； (2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； (3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)。 重难点题型一：直线与圆的位置关系的判断 例1.（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）已知直线，圆，点在圆内，则（    ） A．直线l与圆C相交 B．直线l与圆C相切 C．直线l与圆C相离 D．不确定 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系 【分析】由题意结合点到直线的距离公式，判断圆心到直线的距离与半径的大小关系，即得答案. 【详解】由题意知点在圆内，故， 故圆心到直线的距离， 故直线l与圆C相离， 故选：C 例2.（2023·四川成都·成都七中校考一模）圆：与直线：的位置关系为（ ） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【解析】圆：的圆心为，半径， 直线：即，则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：A 1.（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题、由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系 【分析】求出圆的圆心和半径，直线所过的定点，再由该定点与圆的位置关系判断直线与圆的位置即可. 【详解】圆的圆心，半径， 直线恒过定点， 显然， 因此点在圆内，直线与圆相交，ABD错误，C正确. 故选：C 2.（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据题意，得到直线过定点，以及曲线，画出直线与曲线的图象，结合直线与圆相切和图象，即可求解. 【详解】由直线过定点， 又由曲线，可得， 作出曲线与直线的图象，如图所示， 因为直线，可得， 又由，解得， 若直线与曲线有公共点，则， 即实数的取值范围为. 故选：B. 重难点题型二：弦长与面积问题 例3.（23-24高三上·广东广州·期中）如果直线被圆截得的弦长为，那么实数 . 【答案】5或 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、圆的一般方程与标准方程之间的互化、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】先将圆的一般方程化成圆的标准方程，根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，根据弦长关系即可求出. 【详解】由题意知可化为， 可知圆心坐标为，半径， 根据点到直线的距离公式和弦长关系可得 解之可得或. 故答案为：5或 例4.（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知圆，直线与圆C相交于M，N两点，则 ． 【答案】/ 【解析】由，得，则圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离为 所以，解得． 故答案为： 1.（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）直线被圆所截得的弦长为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】已知点到直线距离求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】先求出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，即可得出的值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 由垂径定理，得点到直线距离为， 根据点到直线距离公式，知圆心到直线的距离， 化简可得，解得. 故选：A. 2.（23-24高二上·江苏南京·开学考试）当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】先求出直线必过的定点，分析该定点在圆内，结合弦长最短建立方程求解即可. 【详解】将直线的方程变形为，由，可得， 所以，直线经过定点， 圆的标准方程为，圆心为， 因为，即点在圆内， 故当时，圆心到直线的距离取最大值，此时，直线截圆所得弦长最短， ，直线的斜率为，所以，，解得． 故选：B． 【解题方法总结】 弦长问题 ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 重难点题型三：切线问题、切线长问题 例5．（22-23高三下·北京·开学考试）圆心为，且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数 【分析】由圆心坐标排除AB，再由相切性质得半径可得选项. 【详解】由题意，圆心坐标为，可知AB错误； 设圆心半径为，且圆心到轴的距离为， 则由圆与轴相切可得， 故圆的方程为：. 故选：C. 例6．（24-25高二·上海·课堂例题）若从点引圆的切线，则切线长是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离、切线长 【分析】由两点之间的距离公式可得，再根据勾股定理即可得解. 【详解】记圆，圆心为，半径， 则， 所以切线长为. 故答案为：3. 1.（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知圆C：，直线l的横纵截距相等且与圆C相切﹐则直线l的方程为 ． 【答案】，或，或 【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为直线l的横纵截距相等，所以直线的斜率存在， 当直线过原点时，设直线的方程为，因为直线l与圆C相切， 此时圆心到直线的距离等于半径，可得，解得，所以切线方程为； 当直线不过原点时，设直线的方程为，因为直线l与圆C相切， 此时圆心到直线的距离等于半径，可得，解得，所以切线方程为或， 综上所述，直线l的方程为，或，或. 故答案为：，或，或. 2.（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】切点弦及其方程 【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为（圆的方程为），代入即可的直线的方程. 【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为: ， 化简得：. 故答案为：. 重难点题型四：切点弦问题 例7．（2024·全国·模拟预测）是直线上的一个动点，是圆上的两点，若均与圆相切，则弦长的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】切点弦及其方程 【分析】由题意结合等面积法可知，由此可知只需求的最小值即可，结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】因为，所以， 当的长最小时，弦长最小， 而的最小值为圆心（即原点）到直线的距离， 所以，所以． 故答案为：. 例8.（2023·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）已知圆，过直线上任意一点，作圆的两条切线，切点分别为两点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由题意得，圆的圆心为，半径为， 如图所示， 根据圆的切线长公式，可得， 则， 当取最小值时，取最小值，此时，则， 则. 故答案为：. 1.（2023·北京·高三强基计划）如图，过椭圆上一点M作圆的两条切线，过切点的直线与坐标轴于P，Q两点，O为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】B 【解析】设点，由于点M在椭圆上，所以， 由切点弦方程， 所以， 由于， 当时，上述不等式取等号，取得最大值3，此时面积取得最小值． 故选：B. 2.（21-22高二上·山东菏泽·期末）（多选题）已知圆，直线.则（    ） A．直线与圆可能相切 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、圆的弦长与中点弦、判断直线与圆的位置关系、直线过定点问题 【分析】直线l：，由求出定点，由点与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系，即可判断A选项；令，求出圆与y轴交点纵坐标可得弦长，即可判断B选项；根据直线l被圆C截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线l，由弦长公式即可判断C选项，求出直线l的方程即可判断D选项. 【详解】，则恒成立， 故，则直线恒过， 因为，所以点在圆内部， 因为直线恒过定点，所以直线与圆恒相交，所以A错； 对于圆，令，得，解得，所以圆被轴截得的弦长为，所以B选项正确； 对于选项：由于点在圆的内部，故直线被圆截得的弦长最短时，垂直于直线，最短弦长为，故C错； 因为圆心，直线恒过定点，直线被圆截得的弦长最短时，可知直线的斜率为，所以直线的方程为，即，所以D正确； 故选：BD. 重难点题型五：圆上的点到直线距离个数问题 例9.（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将圆的方程化为标准方程为，圆心为，半径为， 设与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为， 则，解得或， 所以，直线、均与圆相交， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 1.（1991·全国·高考真题）圆上到直线的距离为的点共有 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.圆可变为， 圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 圆上到直线的距离为的点共有个. 故选：C. 重难点题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题 例10.（2023·上海徐汇·高三上海民办南模中学校考阶段练习）若，则的最小值为 . 【答案】 【解析】曲线表示的是以点为圆心，以为半径的圆， 表示点到点的距离， 表示点到直线的距离，设点在直线上的射影点为， 则， 当且仅当、、三点共线且点为线段与圆的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 例11．（22-23高二上·福建莆田·阶段练习）过直线上一动点，向圆引两条切线，为切点，线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、圆的弦长与中点弦、切点弦及其方程、直线过定点问题 【分析】得到四点共圆，且为直径，求出以为直径的圆的方程，与联立求出相交弦所在直线的方程，得到其过的定点，再数形结合求出 要想线段取得最小值，只需，即为的中点时，利用勾股定理求出答案. 【详解】圆的圆心为原点，半径为， 因为，故四点共圆，且为直径， 设，则， 线段的中点坐标为， 故以为直径的圆的方程为， 整理得：， 与相减得： 直线的方程为， 整理为， 令，解得：， 即直线恒过点， 要想线段取得最小值，只需，即为的中点， 其中， 则， 故选：B 1.（2024·河南周口·模拟预测）已知点，为圆上一动点，为直线上一点，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】设，，且，列式化简求得定点，然后把距离问题转化为最小，数形结合，利用点到直线距离公式三点共线时最短，即可得解. 【详解】不妨设x轴上定点使得满足，， 则，整理得，， 又，所以，则， 解得，所以，使得， 要使最小，则最小， 所以B，M，N三点共线，且MN垂直于直线时取得最小值，如图所示.    故的最小值为点B到直线的距离. 故答案为： 【点睛】方法点睛：借助阿氏圆探究最值问题：若为两定点，动点满足，则时，动点的轨迹为直线；当且时，动点P的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆，也称阿氏圆.借助阿波罗尼斯圆，转化为到另一定点的距离进而由几何性质等求解最值. 2.（23-24高二上·安徽六安·期中）已知为圆上一动点，过点作圆的切线，交圆于点A、B，则的最大值是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】首先确定在处的切线l：，进而把题转化为求A，B两点横坐标的绝对值的比的取值范围.再联立切线与圆的参数方程和根与系数的关系求出关于的方程，根据基本不等式求出的取值范围，解不等式组即得. 【详解】原题等价于已知及其处的切线l：， 圆C的圆心到圆O的距离为，半径为且与直线l交于A，B两点， 求A，B两点横坐标的绝对值的比的取值范围. 如图，设， 则圆C的方程为， 与直线l的方程联立可得， 设两点横坐标之比为， 则，， 得， 整理得， 当且仅当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以，得，得， 故的最大值为. 故答案为： 重难点题型七：圆与圆的位置关系 例12.（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线与圆相切，则满足条件的直线l的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由已知直线， 则原点到直线l的距离为， 由直线l与圆相切， 则满足条件的直线l即为圆和圆的公切线， 因为圆和圆外切， 所以这两个圆有两条外公切线和一条内公切线， 所以满足条件的直线l有3条． 故选: B． 例13．（23-24高二上·广西玉林·期中）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆公共弦所在直线的方程为 B．圆与圆有两条公切线 C．是圆与圆的一条公切线 D．圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程、圆的公切线条数、圆的公切线方程 【分析】根据两圆圆心距离等于半径和即可得两圆外切判断AB，根据直线与两圆都相切判断C，根据圆心到直线距离等于半径判断D. 【详解】由条件可得：圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径. 因为，所以圆与圆外切，选项A，B错误； 对于选项C，圆心到直线的距离； 圆心为到直线的距离， 所以是圆与圆的一条公切线，选项C正确； 对于选项D，圆心到直线的距离， 所以圆：上有且仅有一点到直线的距离为2，选项D错误.    故选：C 1.（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）（多选题）有关圆与圆的下列哪些结论是正确的（     ） A．圆 的圆心坐标为，半径为5 B．若分别为两圆上两个点，则的最大距离为 C．两圆外切 D．若为圆 上的两个动点，且，则的中点的轨迹方程为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦、由标准方程确定圆心和半径、轨迹问题——圆 【分析】对于A，将圆的方程化为标准方程即可判断；对于B，画出图形结合三角不等式即可求解；对于C，由的关系即可判断；对于D，画出图形，结合垂径分线定理分析即可. 【详解】对于A，将圆的方程化为标准方程得， 由此可知圆 的圆心坐标为，半径为5，故A选项正确； 对于B，将圆的方程化为，如图所示：    不妨设分别为两圆上两个点，四个点共线， 则由三角不等式可知， 而分别为两圆的半径，即， 是指两圆圆心之间的距离，即， 所以， 由等号成立的条件可知，当且仅当点与点重合，点与点重合时，，故B选项正确； 对于C，由B选项分析可知， 故两圆相交，而不是外切，故C选项错误； 对于D，如图所示：    由题意不妨设，中点为，则， 又由于的半径为， 所以由垂径分线定理可知，即， 所以点的坐标为，又点的坐标为， 所以，故D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于B、D两选项的判断，因而是否能够准确作出图形、利用数学结合的思想来判断B、D两选项是解题的关键. 2.（23-24高二上·安徽淮北·期末）（多选题）已知圆与圆，则（    ） A．两圆的圆心距为 B．两圆的公切线有3条 C．两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 D．两圆相交，且公共弦的长度为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线条数、两圆的公共弦长、相交圆的公共弦方程、判断圆与圆的位置关系 【分析】根据圆的方程确定圆心坐标，求出两圆圆心距，判断A；判断两圆的位置关系，即可判断B；将两圆方程相减，即可得两圆公共弦所在的直线方程，判断C；利用几何法求得公共弦长，判断D. 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为 与圆的圆心为，半径为， 故两圆的圆心距为，A正确； 对于B，由于， 即圆与圆相交，两圆的公切线有2条，B错误； 对于C，由B可知两圆相交， 将圆与圆的方程相减， 得，即公共弦所在的直线方程为，C正确； 对于D，由B可知两圆相交，而， 到直线的距离为， 故两圆公共弦的长度为，D错误， 故选：AC 【解题方法总结】 已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则： （1）两圆外离； （2）两圆外切； （3）两圆相交； （4）两圆内切； （5）两圆内含； 重难点题型八：两圆的公共弦问题 例14.（2023·天津和平·耀华中学校考二模）圆与圆的公共弦所在的直线方程为 ． 【答案】 【解析】联立，两式相减得. 故答案为： 例15．（24-25高二·上海·课堂例题）圆与圆相交所得公共弦长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】两圆方程作差得公共弦所在直线方程，利用点到直线的距离公式可得到直线的距离，最后由即可得解. 【详解】记圆，圆， 两个方程作差可得，， 所以两圆公共弦所在直线方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为：. 1.（2024·四川·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、两圆的公共弦长 【分析】将两个圆的方程作差可得公共弦所在的直线，再求出到直线的的距离，则公共弦长为，即可得出答案. 【详解】将两个圆的方程作差得：，即公共弦所在的直线为， 又知，，则到直线的的距离为： ，所以公共弦长为， 故答案为：. 2.（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）设，已知圆，圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，，切点分别为，，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示、向量与几何最值、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】设，可得出，利用三角函数的定义以及平面向量数量积的定义可得出，利用圆的几何性质求得的取值范围，结合双勾函数的单调性可求得的最小值. 【详解】设，则， 由切线长定理可得，，，    ， 圆心的坐标为，则， 由图可得，即，则， 由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增， 所以，当时，取得最小值. 故选：. 【点睛】方法点睛：应用角的三角函数转化数量积，再双勾函数单调性得出平面向量数量积的最值. 重难点题型九：两圆的公切线问题 例16．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】圆的对称性的应用、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据圆与圆相外切，可得，再根据圆的对称性不妨令，再分，和三种情况讨论即可. 【详解】圆D：的圆心，半径为， 圆C：的圆心，半径为， 因为圆与圆相外切，所以，所以， 且圆与轴交于，不妨记， 因为圆关于轴对称，点与点关于轴对称，点在轴上， 由对称性不妨令， 当时，则，解得， 故 ， 当时，则，解得， 此时， 故， 当时，则，解得， 故 ， 综上所述，的最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：将表示的坐标重新表示为线段长度从而方便正切公式的计算，是解决本题的关键. 例17.（2023·湖南岳阳·统考三模）写出与圆和都相切的一条直线方程 ． 【答案】或中任何一个答案均可 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则， 所以两圆外离， 由两圆的圆心都在轴上，则公切线的斜率一定存在， 设公切线方程为，即， 则有， 解得或或或 所以公切线方程为或. 故答案为：.（答案不唯一，写其它三条均可） 例18.（2019高二上·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线长 【分析】设直线交轴于点，推导出为的中点，为的中点，利用勾股定理可求得. 【详解】如下图所示，设直线交轴于点， 由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、， 则，，， ，为的中点，为的中点，， 由勾股定理可得. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于推导出为的中点，并利用勾股定理进行计算，此外，在直线与圆相切的问题时，要注意利用圆心与切点的连线与切线垂直这一几何性质. 1.（2023高二·江苏·专题练习）已知点是圆上的动点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】向量与几何最值、轨迹问题——圆、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】作出图象，过点作，垂足为，连接，则有，从而得点D的轨迹方程为²，由向量的加法法则可得，根据圆与圆的位置关系求出即可得答案. 【详解】解：圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为2， 如图，过点作，垂足为，连接，    为中点，即，又，， 点D的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，点D的轨迹方程为²， 是AB中点，，， 所以的最大值为故选： 2.已知圆均过点，且其半径之积．若x轴是的公切线，且的另一条公切线l通过原点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】圆的公切线条数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】设圆心连线所在直线的倾斜角为，则两圆的半径满足方程，根据条件可求角的正切值，进而利用二倍角公式求得直线的斜率. 【详解】  设圆心连线所在直线的倾斜角为，则为锐角， 且圆的方程为， 其中r分别取，于是 整理可得， 因此，是， 进而直线l的斜率. 故选:B 3．（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知点到直线距离求参数、求点关于直线的对称点、圆的公切线方程 【分析】易知，设上一点，利用点关于直线对称的问题求出方程，结合圆与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】， 所以曲线是圆心为原点，半径为1的圆在x轴上方的部分， 又与的图形关于直线对称， 设上一点，该点关于直线对称的对称点为， 则的中点在直线上，且直线的斜率与直线的斜率之积为， 所以，解得，即， 代入方程，得，即（只是该圆的一部分），如图， 易知与的公切线，所以，结合图，设， 所以点到直线的距离为，解得， 所以与的公切线为. 故选：B 重难点题型十：综合问题 例19.（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）已知圆过点，且与圆关于直线对称． (1)判断圆与圆的位置关系，并说明理由； (2)过点作两条相异直线分别与相交于，． ①若直线和直线互相垂直，求的最大值； ②若直线和直线与轴分别交于点、，且，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由． 【答案】(1)圆与圆外切，理由见解析 (2)①最大值为；②平行，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】由斜率判断两条直线平行、圆的弦长与中点弦、判断圆与圆的位置关系 【分析】（1）根据对称关系求出圆方程，从而求出圆心距，即可判断两圆的位置关系； （2）①方法一：令、即，为过点的两条弦，设、被圆所截得弦的中点分别为、，弦长分别为，，由垂直关系可得四边形是矩形，即，进而根据半弦长，弦心距，圆半径构造直角三角形，满足勾股定理，得到，进而由基本不等式，得到的最值，从而求得结果； 方法二：分类讨论直线与中有一条直线的斜率不存在和直线与斜率都存在，且互为倒数，两种情况下的值，最后综合讨论结果得到答案. ②由已知直线和直线与轴分别交于点、，且，可得直线与斜率都存在，且互为相反数，可设，，求出，坐标后，代入斜率公式，判断直线和的斜率是否相等，即可得到答案. 【详解】（1）由题可得圆圆心为，设圆心，则，解得 则圆的方程为，将点的坐标代入得，故圆的方程为 ，又两半径之和为，圆与圆外切． （2）方法一：令、即，为过点的两条弦， 设、被圆所截得弦的中点分别为、，弦长分别为，，因为四边形是矩形，    所以，即，化简得 从而，时取等号，此时直线，必有一条斜率不存在 综上：、被圆所截得弦长之和的最大值为 方法二：若直线与中有一条直线的斜率不存在， 则，此时 若直线与斜率都存在，且互为负倒数，故可设，即，， 点到的距离为，同理可得点到的距离为， ， ， 综上：、被圆所截得弦长之和的最大值为 ②直线和平行，理由如下： 由题意知，直线和直线的斜率存在，且互为相反数，故可设， ，    由，得， 因为的横坐标一定是该方程的解，故可得 ， 同理，所以， ， 所以，直线和一定平行． 例20.（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆C：，直线l：. (1)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程； (2)若定点分弦AB为，求此时直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、求平面轨迹方程 【分析】（1）设，根据已知列式化简，再考虑特殊情况即可得解； （2）联立方程组应用韦达定理结合向量关系求出直线方程. 【详解】（1）∵直线l：过定点， 而在圆C：内， ∴直线l与圆C总有两个不同的交点； 圆C：的圆心为， 如图，当M与P不重合时，连接CM，CP，则， ∴. 设，则， 化简得：； 当M与P重合时，，也满足上式， 故弦的中点的轨迹为；    （2）设，， 由，得， ∴，化简得，① 又由，消去y得. ∴，② 由①②解得，代入（*）解得. ∴直线l的方程为或. 例21.（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【难度】0.65 【知识点】判断直线与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）根据圆心在直线以及点在圆上，即可求解，，进而根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离，与半径比较即可求解， （2）利用圆的弦长公式可得，结合圆心到直线的距离即可求解斜率，进而可得直线方程. 【详解】（1）圆化为标准方程，即， 则因为圆关于直线对称，所以，所以， 因为圆C过点，所以，所以， 得，所以圆方程为， 圆心坐标为，半径为， 故点C到直线的距离为， 所以C与直线相切， （2）设直线方程为，即， 设圆心到直线l的距离为， 所以， 得，所以， 所以直线l的方程为或． 即或． 1．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知圆C：和直线l：相切． (1)求圆C半径； (2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②证明直线AB恒过定点． 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、由直线与圆的位置关系求参数、切线长、相交圆的公共弦方程 【分析】（1）求出圆的圆心到直线的距离即得. （2）①设，利用圆的切线长定理，求出四边形面积的函数关系并求出最小值；②求出M、A、C、B四点共圆的方程，再求出两个圆公共弦所在直线方程，即可推理得解. 【详解】（1）圆心到直线的距离， 所以圆C半径. （2）①由（1）知，圆C的方程为：，圆心，， 由MA、MB是的两条切线，得，，设， 则， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. ②由①知，点，，，则四点共圆且以MC为直径， 此圆的方程为，整理得， 而圆C的方程为，，两圆方程相减得， 因此直线的方程为，对任意实数，当时，， 所以直线过定点. 2．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知中，点，边上中线所在直线的方程为，边上的高线所在直线的方程为． (1)求边所在直线方程； (2)以为圆心作一个圆，使得三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，并记该圆为圆，过直线上一点作圆的切线，切点为，当四边形面积最小时，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、两圆的公共弦长 【分析】（1）借助中线的性质与高的性质计算可得、两点坐标，即可得直线方程； （2）借助切线的性质与面积公式计算可得时，四边形面积最小，结合两圆公共弦的求法可得直线的方程. 【详解】（1）因为边上的高线所在直线的方程为， 且直线的斜率为，则，故直线的方程为，即， 联立直线和直线的方程可得，解得，即点， 设点，则线段的中点为， 由题意可得，解得， 即点，则，即； （2）因为， ， ， 则， 故圆的半径为， 所以，圆的方程为， 由与圆相切，故, 又，故取最小值，四边形面积最小， 则当为点到直线的距离时， 即时，四边形面积最小， 设，有， 解得，故，由与圆相切，故、、、四点共圆， 切该圆以为直径，圆心为，即，半径为， 即该圆方程为，即， 又圆的方程为，即， 两圆方程作差得， 即直线为. 3．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴的非负半轴上. (1)求圆的方程； (2)设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、已知切线求参数、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）设圆心的坐标为，根据直线与圆相切，可得出关于的等式，解出实数的值，即可得出圆的方程； （2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数的值，综合可得出直线的方程. 【详解】（1）解：由题意，设圆心的坐标为， 因为直线，半径为的圆与相切， 则，因为，解得，因此，圆的方程为. （2）解：由勾股定理可知，圆心到直线的距离为. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为， 合乎题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 1．（2024·贵州黔东南·二模）直线与圆交于，两点，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、已知圆的弦长求方程或参数、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，由弦长可知直线过圆心，代入方程求出. 【详解】圆， 则圆的标准方程为，所以圆心，半径， ，故直线过圆心，所以，解得. 故选：C. 2．（23-24高二上·安徽淮北·期末）从原点向圆引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、已知切线求参数、过圆外一点的圆的切线方程、弧长的有关计算 【分析】根据直线与圆相切求得直线的斜率，得到切线的倾斜角，结合图形求得两条切线间圆的劣弧所对的圆心角，用弧长公式即得. 【详解】   由配方得：，即圆心为,半径为. 如图，设过原点的圆的两条切线与圆切于点,连接. 设切线的方程为：，由圆心到切线的距离为，解得：， 设其中一条切线的倾斜角为，满足，解得：，故, 则两条切线间圆的劣弧长为. 故选：B. 3．（2023·湖南永州·一模）在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知切线求参数、求点到直线的距离、二倍角的正弦公式 【分析】由题意圆的标准方程为，如图，又，所以，又由圆心到直线的距离可求出的最小值，进而求解. 【详解】如下图所示：    由题意圆的标准方程为，， 又因为，所以， 所以， 又圆心到直线的距离为， 所以，所以不妨设， 则， 又因为在单调递增，所以当且仅当即，即当且仅当直线垂直已知直线时， 有最大值. 故选：A. 4．（2024·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】切线长 【分析】根据已知条件，结合勾股定理以及点到直线的距离公式求解即可. 【详解】连接，则， 而的最小值为点C到直线l的距离， 所以. 故选：A. 5．（2024·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据已知条件，求得，由此可知时，取得最小值，由此即可求解. 【详解】 由已知有：圆的圆心，半径为，直线的一般方程为， 设点到圆心的距离为，则有，所以， 所以取最小值时，取得最小值， 因为直线上点到圆心的距离最小值为圆心到直线的距离， 所以，故的最小值为. 故选：B 6．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）两圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】两圆与圆的方程相减可得公共弦所在的直线方程为，再由点到直线的距离公式能求出两圆的公共弦长． 【详解】两圆的圆心分别为,半径均为1，故圆心距离为,故两圆相交， 圆与圆的公共弦所在的直线方程为： ，即， 圆的圆心到公共弦的距离： ，圆的半径， 公共弦长． 故选：B． 7．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）（多选题）已知圆，直线与，下列结论正确的是（    ） A．直线，不可能平行 B．直线与圆相切 C．直线与圆截得弦长为 D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】由一般式方程判断直线的平行、由一般式方程判断直线的垂直、判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦 【分析】根据结合，利用点到直线的距离公式求解，利用计算，利用即可判断． 【详解】A．由得直线，不可能平行，故A正确； B．圆的圆心为，半径为2，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，故B错误； C．直线到圆心的距离为， 所以直线与圆截得弦长为，故C正确； D．∵，故，故D正确． 故选：ACD． 8．（2024·吉林延边·一模）（多选题）已知是圆上的两点，则下列结论中正确的是（    ） A．若点到直线的距离为，则 B．若，则 C．若，则的最大值为6 D．的最小值为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、圆的弦长与中点弦、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】对于A选项：利用圆的弦长公式即可求解；对于B选项：运用余弦定理即可求解；对于C选项：将转化为到直线的距离之和的倍，进而求解；对于D选项：利用数量积公式即可求解； 【详解】依题意，圆的圆心，半径为 如图所示： 对于A选项：因为点到直线的距离为，所以，故选项A正确； 对于B选项：因为，且， 所以在中，由余弦定理可得：, 所以，故选项B错误； 对于C选项：由， 其几何意义为到直线的距离之和的倍 设的中点为,结合梯形的中位线可知： 则有， 因为，所以, 在直角三角形中，, 所以点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆. 因为到的距离为， 所以， 所以，故选项C正确； 对于D选项：因为， 所以当所成的角为时，. 故选项D正确; 故选：ACD. 9．（2007高二·全国·竞赛）直线被圆截得弦长为，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】根据条件，利用弦长公式，即可求出结果. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线为， 由题有，整理得到， 故答案为：. 10．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知圆C与两坐标轴及直线都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数 【分析】根据给定条件，设出圆C的圆心坐标，再利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】由圆C与两坐标轴都相切，且圆心在第二象限，设，圆C的半径为， 又圆C与直线相切，则，解得，即， 所以圆C的方程为. 故答案为： 11．（23-24高二上·天津宁河·期末）若直线与圆相切，则实数的值为 . 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】已知切线求参数、圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径、求点到直线的距离 【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，根据直线与圆相切，结合点线距离公式列方程求参数. 【详解】由可化为且， 所以圆心为，半径为， 由直线与圆相切，则，可得. 故答案为：3 12．（23-24高三上·河北邢台·期末）已知圆，过作圆的切线，则直线的倾斜角为 ． 【答案】（或写为） 【难度】0.85 【知识点】已知切线求参数、直线的倾斜角 【分析】分析可知，点在圆上，根据圆的几何性质可知，求出直线的斜率，即可得出直线的倾斜角. 【详解】因为，所以，点在圆上，直线的斜率为， 由圆的几何性质可知，，则直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，则，故. 即直线的倾斜角为（或）. 故答案为：（或写为）. 13．（23-24高二上·江苏南京·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、切线长 【分析】由题意得当最小时，连线与直线垂直，由点到直线的距离公式和勾股定理可求得答案． 【详解】， 圆心，半径． 设切点为， 由题意可知，点到圆的切线长最小时，， 圆心到直线的距离， 切线长的最小值为：． 故答案为：． 14．（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】圆的公切线长、判断圆与圆的位置关系 【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$