精品解析：海南省农垦实验中学2024-2025学年高三上学期8月摸底考试数学试题

海南省农垦实验中学2025届高三8月摸底考试数学试卷 满分：150 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再求出子集个数即可. 【详解】由题意，得,故集合A子集个数为个. 故选：D. 2. 不等式“”成立，是不等式“”成立的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义判断. 【详解】由，但，所以由“”不能推出“”； 又，但，所以由“”不能推出“”， 即不等式“”成立，是不等式“”成立的既不充分也不必要条件. 故选：D 3. 设函数，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中分段函数解析式运算求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】结合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可. 【详解】解:选项A.，，等号成立的条件是，等号取不到，所以，故A错误； 选项B.当时，，，当且仅当时等号成立，故B正确； 选项C.，，等号成立的条件是，等号取不到，即，故C错误； 选项D.当时，，等号成立的条件是，即时，但条件，所以等号取不到，故，故D错误. 故选：B 5. 已知定义在上的奇函数满足，则的值为（ ） A. －l B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据为奇函数，得到，根据，得到的周期为4，进而运用周期求解. 【详解】由为定义在上的奇函数，得，得， 由得，所以的周期为4， 所以 故选：B. 6. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性列式求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 7. 若命题“”为假命题，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得命题“”是真命题，则在上恒成立，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意知命题“”是真命题． 因为，所以． 当时，函数的最大值为6， 则的最小值为，所以，即的最大值为． 故选：A. 8. 已知奇函数在上为增函数，且，则关于的不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数的单调性及奇偶性，解不等式和，由，分和进行讨论，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果． 【详解】奇函数在上为增函数，且， 则在上为增函数，且， ，解得或；，解得或. 不等式，等价于或， 解得或. 故选：A 二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 不等式的解集为 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的定义可判断A；根据抽象函数的定义域求法判断B；解一元二次不等式判断C；根据不等式恒成立，讨论k的取值，结合一元二次不等式恒成立，判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为R，的定义域为， 故函数与不是同一个函数，A不正确； 对于B，函数的定义域为，即， 则对于函数有，故其定义域为，B正确； 对于C，不等式即，则或， 其解集为，C不正确； 对于D，当时，不等式恒成立，当时，恒成立， 当时，则需满足， 综合可得的取值范围是，D不正确， 故选：ACD 10. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在定义域上为增函数. C. 当时， D. 不等式的解集为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，利用的奇偶性直接求得；对于BC，利用的奇偶性求得的解析式，结合二次函数的性质即可判断；对于D，利用的单调性与奇偶性解不等式即可得解. 【详解】对于A：因为是定义域为上的偶函数，所以， 又当时，，所以，故A错误； 对于B：由二次函数可知，在上单调递增， 又因为函数是定义在上的偶函数，即的图象关于轴对称， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C：当时，，则，故C正确； 对于D：由的奇偶性与单调性可知，可化为， 所以，解得，故D正确. 故选：CD. 11. 已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在R上单调递减 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确. 【详解】A选项，中， 令中，令得， 令得，即，A正确； B选项，中，令得，解得， 中，令得， 故为奇函数，B正确； C选项，中，令，且， 故，即， 当时，，故， 即，故在R上单调递增，C错误； D选项， 由A知，， 又，故，又在R上单调递增，所以，D正确. 故选：ABD 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 已知是等比数列，且公比为，为其前项和，若是、的等差中项，，则___________，___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用已知条件可得出，化简可得的值，再利用等比数列的求和公式可求得的值. 【详解】由题意可得，，则， ，解得. 故答案为：；. 13. 函数的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】运用函数单调性求最值即可. 【详解】的定义域满足，即.则函数定义域为. 在内单调递减，在也是单调递减， 则在定义域内单调递减，则. 故答案为：． 14. 已知函数，若，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据对数函数和一次函数的单调性判断分段函数的单调性，然后根据函数单调性解不等式即可求解. 【详解】因为当时，是单调递增函数，此时， 当时，是单调递增函数，此时， 所以是定义在上的单调递增函数， 所以若即， 则，解得. 故答案为： 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知内角的对边分别为，设. （1）求； （2）若的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合余弦定理即可得到结果；（2）根据题意，由三角形的面积公式可得，结合余弦定理即可得到结果. 【小问1详解】 原式化简可得：， 整理得：， 由正弦定理可得：， 因此三角形的内角； 【小问2详解】 ， ， ， . 16. （1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知，求的解析式. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法求解即可，注意定义域的变化； （2）利用待定系数法求解即可； （3）利用方程组法求解即可. 【详解】（1）设，则，，即， 所以，所以． （2）因为是二次函数，所以设.由，得． 由，得， 整理得， 所以，所以，所以． （3）用替换中的x，得， 由，解得. 17. 小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了元，然后发给朋友，如果猜中，将获得红包里的所有金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，、平分红包里的金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，、和平分红包里的金额；如果未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设、、猜中的概率分别为，，，且、、是否猜中互不影响． （1）求恰好获得元的概率； （2）设获得的金额为元，求的分布列及的数学期望． 【答案】（1） （2）分布列： 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算即可； （2）由题意，的可能取值为，，， ，计算对应的概率值，写出的分布列与数学期望值． 【小问1详解】 若恰好获得8元红包，则结果为未猜中，未猜中，猜中， 故A恰好获得元的概率为； 【小问2详解】 的可能取值为，，， ， 则，， ，， 所以的分布列为： 数学期望． 18. 如图，棱柱的所有棱长都为2，，侧棱与底面的所成角为平面为的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明平面，可得证； （2）根据题意，利用垂线法找出求二面角求解即可. 【小问1详解】 棱柱的所有棱长都为2， 所以底面为菱形，故, 平面平面， ，且，平面， 平面，且平面， . 【小问2详解】 因为平面， 所以侧棱与底面的所成角为，即， 如图，作，由（1）知，，且，平面， 平面，且平面， ， 故即二面角的平面角， 由（1）知，平面，且平面， ， ，且，， ， ， . 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点 ，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标． 【答案】（1）；（2）证明见解析，. 【解析】 【分析】（1）利用已知和的关系，列方程组可得椭圆的标准方程； （2）直线斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立， 可得，利用根与系数的关系代入化简，可得直线所过定点． 【详解】（1）由得， 所以椭圆的标准方程为. （2）当直线斜率不存在时，直线与椭圆交于不同的两点分布在轴两侧，不合题意. 所以直线斜率存在，设直线的方程为. 设、， 由得， 所以，. 因为， 所以， 即，整理得 化简得， 所以直线的方程为， 所以直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省农垦实验中学2025届高三8月摸底考试数学试卷 满分：150 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 不等式“”成立，是不等式“”成立的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设函数，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 5. 已知定义在上的奇函数满足，则的值为（ ） A. －l B. 0 C. 1 D. 2 6. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若命题“”为假命题，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知奇函数在上为增函数，且，则关于的不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 不等式的解集为 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 10. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在定义域上为增函数. C. 当时， D. 不等式的解集为 11. 已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在R上单调递减 D. 当时， 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 已知是等比数列，且公比为，为其前项和，若是、的等差中项，，则___________，___________. 13. 函数的最小值为________． 14. 已知函数，若，则实数a的取值范围是______. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知内角的对边分别为，设. （1）求； （2）若的面积为，求的值. 16. （1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知，求的解析式. 17. 小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了元，然后发给朋友，如果猜中，将获得红包里的所有金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，、平分红包里的金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，、和平分红包里的金额；如果未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设、、猜中的概率分别为，，，且、、是否猜中互不影响． （1）求恰好获得元的概率； （2）设获得的金额为元，求的分布列及的数学期望． 18. 如图，棱柱的所有棱长都为2，，侧棱与底面的所成角为平面为的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点 ，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $