重庆市江津区2021-2022学年八年级下学期期末考试数学（A卷）试题

2021-2022学年重庆市江津区八年级（下）期末数学试卷（A卷） 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑。 1．（4分）下列各数是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）已知函数x+k﹣2是正比例函数，则常数k的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．±2 3．（4分）下列运算，结果正确的是（　　） A．﹣＝ B．3+＝3 C．÷＝3 D．×＝2 4．（4分）已知△ABC的三边分别是a、b、c，下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A＝∠B+∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝（b+c）（b﹣c） D．a2＝3，b2＝4，c2＝5 5．（4分）在今年的中招体育考试中，我校甲、乙、丙、丁四个班级的平均分相同，方差如表，则四个班体考成绩最稳定的是（　　） 甲 乙 丙 丁 方差 3.4 3.1 4 4.3 A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 6．（4分）下列命题，其中是真命题的为（　　） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的菱形是正方形 7．（4分）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为-2和8时，输出的y的值相等，则b等于（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 8．（4分）小江要去参观聂荣臻纪念馆，他骑车从家出发，途中因故耽误了一会儿后他又继续骑行，3小时后到达聂荣臻纪念馆．小江离家的距离y（单位：km）与出发的时间t（单位：h）之间的关系如图所示．下列说法错误的是（　　） A．小江两次骑行的速度没有发生变化 B．小江骑行途中因故耽误的时间为1h C．小江家距聂荣臻纪念馆15km D．小江从家到聂荣臻纪念馆共用时3h 9．（4分）如图，在矩形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交BC于点E，若△ABE的周长为12，AB=4，则AE的长为（　　） A． B．5 C．6 D． 10．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E为AB的中点，连接OE，点F为线段OE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB=90°，且AB=4，BC=6，则OF的长为（　　） A． B．1 C． D．2 11．（4分）若关于x的一次函数y＝（2﹣k）x+3的图象不经过第三象限，且关于x的不等式组，则符合条件的所有整数k的值之和是（　　） A．5 B．7 C．12 D．14 12．（4分）二次根式除法可以这样解：．像这样通过把分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．则下列说法中正确的个数是（　　） ①；②若x是的小数部分，则的值为；③比较两个二次根式的大小：；④若，则x2+y2＝98． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上. 13．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　． 14．（4分）某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为90分、80分、90分，综合成绩中笔试占40%，试讲占40%，面试占20%，则该名教师的综合成绩为  　 　分． 15．（4分）如图，直线l：y=kx+4分别与x轴、y轴相交于点B和点A，以线段AB为边在第一象限内作正方形ABCD，连接BD，若BD＝5，则点D的坐标为 　 　． 16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AC=10，AD=8，点E为直线BC上任意一点，连接AE，然后以AE为直角边向AE的右侧构造等腰直角三角形AEF，连接BF，则△ABF周长的最小值为 　 　． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 17．（8分）计算：（1）； （2）． 18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC，在AD取一点E，使得AE=AB，连接BE． （1）用尺规完成以下基本作图：作∠BAD的角平分线交BC于点F，交BE于点O；（保留作图痕迹，不写作法和结论） （2）根据（1）中作图，经过学习小组讨论发现∠A0B=90°，并给出以下证明，请将证明过程补充完整． 证明：∵AE＝AB， ∴　 　． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴　 　． ∴∠AEB＝∠EBC． ∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC． ∵AF平分∠BAD， ∴　 　． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴　 　． ∴∠ABC+﹣∠BAD＝90°， 即∠ABE+∠BAO＝90°． ∵在△ABO中，∠BA0+∠ABE+∠AOB＝180°， ∴∠AOB＝90°． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19．（10分）为了增强学生的疫情防控意识，江津区某学校进行了疫情防控知识竞赛，现从八、九年级各随机抽取了20名学生的知识竞赛成绩（满分为100分，分数用x表示，共分为四组：A组：x＜85；B组：85≤x＜90；C组：90≤x＜95；D组：95≤x≤100），将数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 八年级在D组的数据如下：98，99，100，100，100，100，100，100，100，100． 抽取的九年级20名学生的竞赛成绩是：100，100，94，84，92，100，91，94，100，93，89，100，100，100，95，96，100，92，100，100． 抽取的八、九年级竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 96 96 b 九年级 96 a 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　； （2）根据以上数据，判断八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？并说明理由（一条理由即可）； （3）若该校八年级有900名学生，九年级有1000名学生，请估计这两个年级学生的竞赛成绩为满分的一共有多少人？ 20．（10分）在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米． （1）求这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端下降4米（云梯长度不变），那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米？ 21．（10分）在平面直角坐标系中，直线l1：y=mx+n与y轴交于点A，点B（-4，5）在直线l1上，将点B先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点C，点C恰好也在直线l1上．直线l2：y=x+b经过点C，与y轴交于点D． （1）分别求出直线l1与直线l2的解析式，并在下方网格中画出直线l1与直线l2的图象； （2）连接BD，求△BCD的面积； （3）根据图象，直接写出mx+n≥x+b时，自变量x的取值范围． 22．（10分）中考临近，某商家抓住商机，采购了一批考试用笔套装（记为A套装，包括有黑色签字笔和涂卡铅笔）和作图工具套装（记为B套装，包括有圆规和直尺）进行售卖，出售时两种套装都是整套出售，且全部售出．已知购进的两种套装A、B共500套，A、B两种套装进价与售价如表所示．设采购A种套装x套，获得的总利润为y元． 套装 购进价格（元/套） 售出价格（元/套） A 12 15 B 16 20 （1）求y关于x的函数关系式； （2）如果该商家采购的A套装的套数不少于100套，且不超过B套装的套数，那么该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 23．（10分）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若其千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，都等于6，则称这个四位正整数为“求知数”．例如：1353，∵1+5=3+3=6，∴1353是“求知数”：又如1253，∵1+5=6≠2+3，∴1253不是“求知数”． （1）判断1453和2541是否为“求知数”，并说明理由； （2）若一个四位正整数M为“求知数”，且能被13整除，请求出满足条件的所有M． 24．（10分）如图1，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BAD=120°． （1）若BD＝4，求AB的长； （2）如图2，点E为BC上一点，连接AE，以AE为边向AE的左侧构造等边△AEF，连接BF、DF，DF交AC于点G，求证：CE=2OG． 25．（10分）如图1，将矩形OABC摆放在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点C在x轴上，OA=3，OC=2，点D在BC上，BD=1，E为OC的中点，连接DA、DE、AE． （1）求出直线AD的解析式； （2）判断△ADE的形状，并说明理由； （3）如图2，将直线AD沿y轴的负方向平移，使其平移后的直线l′恰好经过点E，平移后点A的对应点为A′，点Q为y轴上一动点，点P为直线l′上一动点，请直接写出所有使得以点P、Q、A′、D为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标． 参考答案 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑。 1．（4分）下列各数是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：＝，为最简二次根式； ＝，不为最简二次根式； ＝2，不为最简二次根式； ＝2，不为最简二次根式； 故选：A． 2．（4分）已知函数x+k﹣2是正比例函数，则常数k的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．±2 【解答】解：根据题意得：k﹣2＝0， ∴k＝2． 故选：C． 3．（4分）下列运算，结果正确的是（　　） A．﹣＝ B．3+＝3 C．÷＝3 D．×＝2 【解答】解：A．与不是同类二次根式，此选项错误； B．3与，不能合并； C．÷＝＝，此选项错误； D．×＝××＝2； 故选：D． 4．（4分）已知△ABC的三边分别是a、b、c，下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A＝∠B+∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝（b+c）（b﹣c） D．a2＝3，b2＝4，c2＝5 【解答】解：A、∵∠A＝∠B+∠C， ∴∠A+∠A＝180°， ∴∠A＝90°， ∴△ABC为直角三角形， 故A不符合题意； B、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：7， ∴∠C＝180°×＝90°， ∴△ABC为直角三角形， 故B不符合题意； C、∵a2＝（b+c）（b﹣c）， ∴a4＝b2﹣c2， ∴a8+c2＝b2， ∴△ABC为直角三角形， 故C不符合题意； D、∵a4＝3，b2＝5，c2＝5， ∴a6+b2≠c2， ∴△ABC不是直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 5．（4分）在今年的中招体育考试中，我校甲、乙、丙、丁四个班级的平均分相同，方差如表（　　） 甲 乙 丙 丁 方差 3.4 3.1 4 4.3 A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 【解答】解：∵甲、乙、丙、丁四个班级的平均分完全一样甲2＝3.7、S乙2＝3.3、S丙2＝4、S丁6＝4.3，且4.1＜3.5＜4＜4.7， ∴乙班体考成绩最稳定． 故选：B． 6．（4分）下列命题，其中是真命题的为（　　） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的菱形是正方形 【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是假命题； C、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题； D、对角线互相垂直的矩形是正方形，是假命题． 故选：A． 7．（4分）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为﹣2和8时，输出的y的值相等（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 【解答】解：当x＝﹣2时，y＝3×（﹣8）+b＝b﹣6， 当x＝8时，y＝7﹣8＝﹣2， 根据题意得：b﹣2＝﹣2， ∴b＝4． 故选：D． 8．（4分）小江要去参观聂荣臻纪念馆，他骑车从家出发，途中因故耽误了一会儿后他又继续骑行（单位：km）与出发的时间t（单位：h）之间的关系如图所示．下列说法错误的是（　　） A．小江两次骑行的速度没有发生变化 B．小江骑行途中因故耽误的时间为1h C．小江家距聂荣臻纪念馆15km D．小江从家到聂荣臻纪念馆共用时3h 【解答】解：原计划的速度为：15÷2＝15（km/h ）， 耽误了一会儿后他又继续骑行的速度：（30﹣15）÷（3﹣3）＝15（km/h ）， ①正确； 观察图象得，小江骑行途中因故耽误的时间为：2﹣1＝7（h）， ②正确； 观察图象得，小江家距聂荣臻纪念馆30km， ③错误； 观察图象得，小江从家到聂荣臻纪念馆共用时3h， ④正确， 故选：C． 9．（4分）如图，在矩形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，若△ABE的周长为12，AB＝4（　　） A． B．5 C．6 D． 【解答】解：在矩形ABCD中，OA＝OC， ∴OE垂直平分AC， ∴AE＝CE， ∵△ABE的周长为12，AB＝4， ∴AE+BE＝8， ∵AE8＝BE2+AB2， ∴AE6＝（8﹣AE）2+72， ∴AE＝5， 故选：B． 10．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，连接OE，点F为线段OE上的一点，若∠AFB＝90°，且AB＝4，则OF的长为（　　） A． B．1 C． D．2 【解答】解：∵∠AFB＝90°，点E是AB的中点， ∴EF＝AB＝5， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO， ∴EO是△ABC的中位线， ∴EO＝BC＝5， ∴OF＝OE﹣EF＝1， 故选：B． 11．（4分）若关于x的一次函数y＝（2﹣k）x+3的图象不经过第三象限，且关于x的不等式组，则符合条件的所有整数k的值之和是（　　） A．5 B．7 C．12 D．14 【解答】解：∵关于x的一次函数y＝（2﹣k）x+3的图象不经过第三象限， ∴6﹣k＜0， 解得：k＞2． ∵关于x的不等式组的解集为x≥3， ∴＜3， 解得：k＜7， ∴2＜k＜5且k为整数， ∴整数k的值为：3，4， 故符合条件的所有整数k的和为：3+4＝7． 故选：B． 12．（4分）二次根式除法可以这样解：．像这样通过把分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．则下列说法中正确的个数是（　　） ①；②若x是的小数部分，则；③比较两个二次根式的大小：；④若，则x2+y2＝98． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①，故①符合题意； ②∵1＜＜6， ∴x＝﹣1， ∴＝＝＝，故②符合题意； ③＝＝， ＝＝， ∵＞，3＞， ∴+7＞+， ∴＞，故③不符合题意； ④∵，xy＝1， ∴y＝， ∴x+y＝ ＝ ＝10， ∴x2+y6＝（x+y）2﹣2xy ＝105﹣2×1 ＝100﹣5 ＝98，故④符合题意； 符合题意的有3个， 故选：C． 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上. 13．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　x≤2　． 【解答】解：由题意得，2﹣x≥0， 解得x≤4． 故答案为：x≤2． 14．（4分）某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为90分、80分、90分，综合成绩中笔试占40%，面试占20%，则该名教师的综合成绩为 　86　分． 【解答】解：该名教师的综合成绩为90×40%+80×40%+90×20%＝86（分）， 故答案为：86． 15．（4分）如图，直线l：y＝kx+4分别与x轴、y轴相交于点B和点A，以线段AB为边在第一象限内作正方形ABCD，若BD＝5，则点D的坐标为 　（4，7）　． 【解答】解：作AE∥x轴，作DE⊥AE于点E， ∵直线l：y＝kx+4， ∴当x＝0时，y＝8， ∴点A的坐标为（0，4）， ∴OA＝3， ∵四边形ABCD是正方形，BD＝5， ∴AB＝AD＝4，∠DAB＝90°， ∵∠AOB＝90°， ∴OB＝＝＝3， ∵AE∥x轴，DE⊥AE， ∴∠AOB+∠OAE＝180°，∠AOB＝∠AED＝90°， ∴∠OAE＝90°， ∴∠OAB+∠BAE＝90°， ∵∠DAB＝90°， ∴∠DAE+∠BAE＝90°， ∴∠OAB＝∠DAE， 在△OAB和△EAD中， ， ∴△OAB≌△EAD（AAS）， ∴AO＝AE，OB＝DE， ∴AE＝4，DE＝6， ∴点D的横坐标为4，纵坐标为4+8＝7， 即点D的坐标为（4，5）， 故答案为：（4，7）． 16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AC＝10，点E为直线BC上任意一点，连接AE，连接BF，则△ABF周长的最小值为 　6+6　． 【解答】解：如图，过点F作FG⊥BA，交BA的延长线于点G， ∵△AEF为等腰直角三角形， ∴△AGF≌△EBA（AAS）， ∴BE＝AG，GF＝AB， 设BE＝AG＝x， ∵AC＝10，AD＝8， ∴CD＝6，AB＝4 ∴BG＝AB+AG＝6+x， ∴BF＝，AF＝， ∴AF+BF＝+， 设P（x，0），﹣6），﹣8）， 则MP+PN＝+， 作点N关于x轴上对称点N'（0，7）， 则MP+PN＝MP+PN'， 连接MN'，当M、P， MP+PN＝MP+PN'最小值为MN'， ∵MN＝6，NN'＝6+5＝12， ∴MN'＝＝4， 即AF+BF＝MP+PN的最小值为6， ∴△ABF周长的最小值为6+5． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 17．（8分）计算：（1）； （2）． 【解答】解：（1） ＝5﹣7﹣3 ＝0； （2） ＝3+4+4﹣（5﹣4） ＝3+4+4﹣1 ＝3+4． 18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC，使得AE＝AB，连接BE． （1）用尺规完成以下基本作图：作∠BAD的角平分线交BC于点F，交BE于点O；（保留作图痕迹，不写作法和结论） （2）根据（1）中作图，经过学习小组讨论发现∠A0B＝90°，请将证明过程补充完整． 证明：∵AE＝AB， ∴　∠ABE＝∠AEB　． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴　AD∥BC　． ∴∠AEB＝∠EBC． ∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC． ∵AF平分∠BAD， ∴　∠BAF＝∠BAD　． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴　∠ABC+∠BAD＝180°　． ∴∠ABC+﹣∠BAD＝90°， 即∠ABE+∠BAO＝90°． ∵在△ABO中，∠BA0+∠ABE+∠AOB＝180°， ∴∠AOB＝90°． 【解答】（1）解：如图，AF为所作； （2）证明：∵AE＝AB， ∴∠ABE＝∠AEB， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC． ∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC． ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠BAD， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∴∠ABC+﹣， 即∠ABE+∠BAO＝90°． ∵在△ABO中，∠BAO+∠ABE+∠AOB＝180°， ∴∠AOB＝90°． 故答案为：∠ABE＝∠AEB，AD∥BC∠BAD． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19．（10分）为了增强学生的疫情防控意识，江津区某学校进行了疫情防控知识竞赛，现从八、九年级各随机抽取了20名学生的知识竞赛成绩（满分为100分，分数用x表示，共分为四组：A组：x＜85；B组：85≤x＜90；C组：90≤x＜95；D组：95≤x≤100），下面给出了部分信息： 八年级在D组的数据如下：98，99，100，100，100，100，100 抽取的九年级20名学生的竞赛成绩是：100，100，94，92，100，94，100，89，100，100，95，100，92，100． 抽取的八、九年级竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 96 96 b 九年级 96 a 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　98　，b＝　100　，m＝　15　； （2）根据以上数据，判断八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？并说明理由（一条理由即可）； （3）若该校八年级有900名学生，九年级有1000名学生，请估计这两个年级学生的竞赛成绩为满分的一共有多少人？ 【解答】解：（1）八年级成绩在“D组”的有10人，占10÷20＝50%， 所以“B组”所占的百分比为1﹣10%﹣25%﹣50%＝15%， 因此m＝15， 八年级成绩在“D组”的有10人，成绩在“A组”的有20×10%＝2（人），成绩在“AV组”的有20×25%＝8（人）， ∴八年级20名学生成绩出现次数最多的是100，因此众数是100， 九年级120名同学成绩从小到大排列为： 84，89，92，93，94，96，100，100，100，100，100， 处在中间位置的两个数分别是96、100＝98； 故答案为：98，100； （2）九年级学生的竞赛成绩更好，理由如下： 九年级成绩的平均分、众数都和八年级的相同，故九年级的成绩更好； （3）900×+1000×， 答：估计这两个年级学生的竞赛成绩为满分的一共有860人． 20．（10分）在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，如图斜靠在一面墙上 （1）求这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端下降4米（云梯长度不变），那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米？ 【解答】解：（1）由图可以看出梯子墙地可围成一个直角三角形， 即梯子为斜边，梯子底部到墙的距离线段为一个直角边， 所以梯子顶端到地的距离为252﹣74＝242，所以梯子顶端到地为24米． （2）当梯子顶端下降4米后，梯子底部到墙的距离变为253﹣（24﹣4）2＝158， 15﹣7＝8所以，梯子底部水平滑动2米即可． 21．（10分）在平面直角坐标系中，直线l1：y＝mx+n与y轴交于点A，点B（﹣4，5）在直线l1上，将点B先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点C1上．直线l2：y＝x+b经过点C，与y轴交于点D． （1）分别求出直线l1与直线l2的解析式，并在下方网格中画出直线l1与直线l2的图象； （2）连接BD，求△BCD的面积； （3）根据图象，直接写出mx+n≥x+b时，自变量x的取值范围． 【解答】解：（1）∵点B（﹣4，5），再向下平移6个单位得到点C， ∴﹣4+2＝﹣4，5﹣4＝3， ∴C的坐标为（﹣2，1）， ∵点B、C在直线l5：y＝mx+n上， ∴， 解得：， ∴直线l1的解析式为y＝﹣2x﹣4． ∵直线l2：y＝x+b经过点C， ∴﹣2+b＝2， ∴b＝3， ∴直线l2的解析式为y＝x+2． 图象如下： （2）如图，连接BD． △BCD的面积＝4×4﹣×4×5﹣×4×5 ＝16﹣4﹣2﹣4 ＝6； （3）根据图象可知：当mx+n≥x+b时，自变量x的取值范围是x≤﹣2． 22．（10分）中考临近，某商家抓住商机，采购了一批考试用笔套装（记为A套装，包括有黑色签字笔和涂卡铅笔）（记为B套装，包括有圆规和直尺）进行售卖，出售时两种套装都是整套出售，A、B两种套装进价与售价如表所示．设采购A种套装x套，获得的总利润为y元． 套装 购进价格（元/套） 售出价格（元/套） A 12 15 B 16 20 （1）求y关于x的函数关系式； （2）如果该商家采购的A套装的套数不少于100套，且不超过B套装的套数，那么该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 【解答】解：（1）由题意可得， y＝（15﹣12）x+（20﹣16）（500﹣x）＝﹣x+2000， 即y＝﹣x+2000； （2）设该商家购进A套装m套，则购进B套装（500﹣m）套， 依题意得：， 解得：100≤m≤250， 设套装全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（15﹣12）m+（20﹣16）（500﹣m）＝﹣m+2000． ∵﹣1＜0， ∴w随m的增大而减小， 又∵100≤m≤250， ∴当m＝100时，w取得最大值，此时500﹣m＝500﹣100＝400， 答：当商家购进A套装100套，B套装400套时，最大利润为1900元． 23．（10分）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若其千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，都等于6，∵1+5＝3+3＝6，∴1353是“求知数”：又如1253，∴1253不是“求知数”． （1）判断1453和2541是否为“求知数”，并说明理由； （2）若一个四位正整数M为“求知数”，且能被13整除，请求出满足条件的所有M． 【解答】解：（1）1453不是“求知数”，2541是“求知数”； ∵1+5＝5≠4+3， ∴1453不是“求知数”， ∵3+4＝5+4＝6， ∴2541是“求知数”； （2）设M的千位数字为a百位数字为b，则十位数字为（6﹣a）， 则1000a+100b+10（2﹣a）+6﹣b＝13n（n为正整数）， ∴33（30a+3b+5）＝13n， ∴M＝2145或M＝3432． 24．（10分）如图1，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O （1）若BD＝4，求AB的长； （2）如图2，点E为BC上一点，连接AE，连接BF、DF，DF交AC于点G 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°， ∴BO＝DO＝2，AC⊥BD， ∴∠ABO＝30°， ∴AB＝4AO， ∵AB2﹣AO2＝BD6＝12， ∴AO＝2， ∴AB＝4； （2）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC， ∵△AEF是等边三角形， ∴AF＝AE，∠EAF＝∠BAC＝60°， ∴∠BAF＝∠EAC， 在△ACE和△ABF中， ， ∴△ACE≌△ABF（SAS）， ∴BF＝CE，∠ACB＝∠ABF＝60°＝∠BAC， ∴BF∥AC， ∵BO＝DO， ∴OG是△DBF的中位线， ∴BF＝3GO， ∴EC＝GO． 25．（10分）如图1，将矩形OABC摆放在平面直角坐标系中，点A在y轴上，OA＝3，OC＝2，BD＝1，E为OC的中点 （1）求出直线AD的解析式； （2）判断△ADE的形状，并说明理由； （3）如图2，将直线AD沿y轴的负方向平移，使其平移后的直线l′恰好经过点E，点Q为y轴上一动点，点P为直线l′上一动点 【解答】解：（1）由题意得：A（0，3），8）， 设直线AD的解析式为y＝kx+b，将点A（0，D（2， ， 解得， ∴直线AD的解析式为y＝﹣x+3； （2）△ADE是等腰直角三角形，理由如下： 由题意得：A（3，3），0），2）， ∵E为OC的中点， ∴E（1，0）， ∴AD3＝22+（6﹣2）2＝5，AE2＝14+32＝10，DE2＝22+（5﹣1）2＝5， ∴AD2+DE2＝AE3，AD＝DE， ∴△ADE是等腰直角三角形． （3）∵将直线AD：y＝﹣x+5沿y轴的负方向平移，0）， ∴设直线l′的解析式为y＝﹣x+c， ∴﹣+c＝2， ∴c＝， ∴直线l′的解析式为y＝﹣x+， ∵平移后点A的对应点为A′，A（0， ∴A′（0，）， ①当A′D为平行四边形的边时， ∵以点P、Q、A′，点Q为y轴上一动点x+， ∴PQ∥A′D，PQ＝A′D，﹣x+）， ∴x+2＝0+6或0+x＝0+8， ∴x＝﹣2或2， ∴P（﹣7，）或（8，﹣）； ②当A′D平行四边形的对角线时， ∵以点P、Q、A′，点Q为y轴上一动点x+， ∴A′P∥QD，A′Q∥PD，设P（x，﹣）， ∵将直线AD沿y轴的负方向平移得到直线l′， ∴A′P∥AD， ∴Q与A重合， ∴x+0＝8+2， ∴x＝2， ∴P（6，﹣）； 综上所述，点P的坐标为（﹣7，，﹣）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/1 11:38:09；用户：19944531502；邮箱：19944531502；学号：54883509 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$