精品解析：上海市建平中学2023-2024学年高一下学期数学5月月考试卷（数列专题卷）

建平中学2023学年第二学期高一“数列”单元检测 （答题时间：45分钟 满分：100分） 说明： 1.答案写在答题纸上规定的区域； 2.答题时请使用黑色钢笔或黑色水笔，用规范字书写，字迹清晰，卷面整洁； 3.解答题要有必要的步骤. 一、填空题（本大题共10题，每题5分，共50分） 1. 已知等差数列满足，，则____________. 2. 若，则实数的取值范围是______. 3. 已知数列满足，若，则______. 4. 已知通项公式为的数列为严格增数列，则实数的取值范围是______. 5. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为_________. 6. 已知数列满足，且，则数列的通项公式为______. 7. 已知数列，当时，______. 8. 已知数列是等差数列，，公差，为其前n项和，满足，则当取得最大值时，______． 9. 若不等式对任意的正整数n恒成立，则实数的取值范围是____ 10. 已知数列满足：，，若前2010项中恰好含有666项为0，则的值为___________. 二、选择题（本大题共2题，每题5分，共10分） 11. 用数学归纳法证明：（为正整数）从到时，等式左边需增加的代数式是（ ） A. B. C D. 12. 对于数列，以下命题正确个数有（ ） ①若，则为等比数列；②若，则为等比数列；③若，则为等比数列. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 三、解答题（本大题共3题，共12+14+14分） 13. 等比数列{}前n 项和为，已知,,成等差数列 （1）求{}的公比q； （2）求－＝3，求 14. 流行性感冒是由流感病毒引起急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人. （1）若，求11月1日至11月10日新感染者总人数； （2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数. 15. 已知无穷实数列，，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界数列；记，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界变差数列. （1）已知无穷数列通项公式为，判断是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由； （2）已知首项为，公比为实数的等比数列为有界变差数列，求的取值范围； （3）已知两个单调递增的无穷数列和都为有界数列，记，，证明：数列为有界变差数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 建平中学2023学年第二学期高一“数列”单元检测 （答题时间：45分钟 满分：100分） 说明： 1.答案写在答题纸上规定的区域； 2.答题时请使用黑色钢笔或黑色水笔，用规范字书写，字迹清晰，卷面整洁； 3.解答题要有必要的步骤. 一、填空题（本大题共10题，每题5分，共50分） 1. 已知等差数列满足，，则____________. 【答案】5 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得. 【详解】因为是等差数列，所以， 则有，解得. 故答案为：. 2. 若，则实数的取值范围是______. 【答案】或 【解析】 【分析】列出分式不等式求解. 【详解】由题意得，所以， 所以或. 故答案为：或. 3. 已知数列满足，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】逐项求出值，然后得到数列周期，进而得出. 【详解】，，则求得，，，， 因此数列的周期为4，则. 故答案为： 4. 已知通项公式为的数列为严格增数列，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意有，解得，求出即可得k的取值范围. 【详解】，若为递增数列，则， 有，解得， 则，时，所以，则k的取值范围为. 故答案为：. 5. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用可计算数列的通项公式. 【详解】，而， 当时，， 故. 填. 【点睛】数列的通项与前项和 的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化. 6. 已知数列满足，且，则数列的通项公式为______. 【答案】 【解析】 【分析】构造等比数列，并求通项公式，再求出通项公式即可. 【详解】由于，则， 则，又， 则（常数），故是首项为1,公比为3的等比数列. 故，则. 故答案为：. 7 已知数列，当时，______. 【答案】99 【解析】 【分析】裂项相消求和，再解方程即可. 【详解】， 则. 解得. 故答案为：99. 8. 已知数列是等差数列，，公差，为其前n项和，满足，则当取得最大值时，______． 【答案】9或10 【解析】 【分析】等差数列通项公式的使用. 【详解】数列是等差数列，且，得，得，则有，又因为，公差，所以或10时，取得最大值． 故答案为：9或10 9. 若不等式对任意的正整数n恒成立，则实数的取值范围是____ 【答案】 【解析】 【详解】n为偶数时最小值，即 n为奇数时最小值，即 综上实数的取值范围是 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般利用分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. 10. 已知数列满足：，，若前2010项中恰好含有666项为0，则的值为___________. 【答案】8或9##9或8 【解析】 【分析】先利用x=1，2，3，4，5分析出在前2010项中含有0的项的个数的规律即可计算得解. 【详解】因数列满足：，，则： 当时，数列各项为：1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，在前2010项中恰好含有项为0， 当时，数列各项为：1，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，在前2010项中， 由知，恰好含有669项为0， 当时，数列各项为：1，3，2，1，1，0，1，1，0，1，1，…，在前2010项中， 由知，恰好含有669项为0， 当时，数列各项：1，4，3，1，2，1，1，0，1，1，0，…，在前2010项中， 由知，恰好含有668项为0， 当时，数列各项为：1，5，4，1，3，2，1，1，0，1，1，…，在前2010项中， 由知，恰好含有668项为0， 由上述可得当或时，在前2010项中恰好含有667项为0，当或时，在前2010项中恰好含有666项为0， 所以的值为8或9. 故答案为：8或9 【点睛】关键点睛：涉及给出递推公式探求数列规律的问题，按条件写出变量的前几个取值对应的数列，认真分析每个变量对应的数列，找准变化规律是解决问题的关键. 二、选择题（本大题共2题，每题5分，共10分） 11. 用数学归纳法证明：（为正整数）从到时，等式左边需增加的代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取和带入左式相减得到答案. 【详解】等式左边需增加的代数式是： . 故选：A 12. 对于数列，以下命题正确的个数有（ ） ①若，则为等比数列；②若，则为等比数列；③若，则为等比数列. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的定义和判定方法逐一判断各选项. 【详解】由若，得，，， 即后一项与前一项的比不一定为常数，故①错误. 当时，满足，但数列不是等比数列，故②错误. ，则，，所以， 则数列为2为公比的等比数列，故③正确. 故选：B. 三、解答题（本大题共3题，共12+14+14分） 13. 等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列 （1）求{}的公比q； （2）求－＝3，求 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 【详解】（Ⅰ）依题意有 由于，故 又，从而5分 （Ⅱ）由已知可得 故 从而10分 14. 流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人. （1）若，求11月1日至11月10日新感染者总人数； （2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数. 【答案】（1）人；（2）11月13日新感染者人数最多为630人. 【解析】 【分析】（1）根据题意数列是等差数列，，公差为，又，进而根据等差数列前项和公式求解即可； （2）11月日新感染者人数最多，则当时，，当时，，进而根据等差数列公式求和解方程即可得答案. 【详解】解：（1）记11月日新感染者人数为， 则数列是等差数列，，公差为， 又， 则11月1日至11月10日新感染者总人数为： 人； （2）记11月日新感染者人数为， 11月日新感染者人数最多，当时，. 当时，， 因为这30天内新感染者总人数为11940人， 所以， 得，即 解得或(舍)， 此时 所以11月13日新感染者人数最多为630人. 【点睛】本题考查等差数列的应用，考查数学运算能力，数学建模能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于建立等差数列模型，当时，，当时，，进而求和解方程. 15. 已知无穷实数列，，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界数列；记，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界变差数列. （1）已知无穷数列的通项公式为，判断是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由； （2）已知首项为，公比为实数的等比数列为有界变差数列，求的取值范围； （3）已知两个单调递增的无穷数列和都为有界数列，记，，证明：数列为有界变差数列． 【答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由于，所以可得无穷数列为有界数列，由于，再由有界变差数列定义进行判断即可； （2）由有界变差数列的定义可得，则为首相为，公比为的等比数列，从而可求得，然后分和进行讨论再结合有界变差数列的定义可得结果； （3）由题意可得则存在，使得对任意，恒成立，则存在，使得对任意，恒成立，由于和为单调递增数列的有界数列，所以可得，再求可得结论 【详解】解：（1） 则即可，则为有界数列. 由，知 则即可，则为有界变差数列. （2） 则 当时，则，显然满足题意. 当时，则，则， 若，则，舍去，矛盾. 当时，则为首相为，公比为的等比数列， 则 若时，，则符合题意. 若时，趋向于无穷大，与题意矛盾，舍去. 则取值范围为. （3）因为和为有界数列， 则存在，使得对任意，恒成立， 则存在，使得对任意，恒成立， 和为单调递增数列的有界数列， 则 则 存在即可，则数列为有界变差数列. 【点睛】关键点点睛：此题考查数列的新定义，考查推理计算能力，解题的关键是正确理解数列的新定义，充分利用新定义解题，属于中档题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$