第2章 一元二次方程（2.1-2.2）周测2024-2025学年湘教版数学九年级上册

周周清2.1——2.2（时间：60分钟 总分：90） 学校： 姓名： 班级： 一、单选题（每题3分，共24分） 1．下列关于的方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．是方程的根，则式子的值为的值为（   ） A．2023 B．2025 C．2026 D．2027 3．用配方法解一元二次方程时，将它化为形式，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 4．根据下表的对应值，估算一元二次方程（b，c为常数）的其中一个解的取值范围是（     ） x 1 1.1 1.2 1.3 x²+bx+c -2 -0.59 0.84 2.29 A． B． C． D． 5．等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 6．若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．若，则的值为（    ） A．2或 B．或6 C．6 D．2 8．如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、两点．已知点的坐标为，点为轴上任意一点．如果，那么点的坐标为（    ）    A． B． C．或 D．或 二、填空题（每题3分，共18分） 9．若关于的方程是一元二次方程，则 ． 10．若，则式子的值为 ． 11．若，则 ． 12．代数式的最小值为 ． 13．已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长 ． 14．对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为 ． 三、解答题（第15题6分，第16题6分，第17题16分，第18题10分，第19题10分，合计48分） 15．（16分）用指定的方法解方程： (1)（用配方法） (2)（用公式法） (3)（用因式分解法） (4)（用适当的方法） 16．（6分）已知关于x的方程． (1)m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)m为何值时，此方程是一元二次方程？ 17．（6分）已知a是方程的一个根，求代数式的值． 18．（10分）阅读材料:若，求m、n的值. 解:， ， ， . 根据你的观察，探究下面的问题: （1）已知，求的值. （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值. （3）若已知，求的值. 19（10分）．（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①坚分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B B C B D D 1．B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且．本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．据此解答即可． 【详解】解：A、该方程的未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项错误； B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确； C、该方程中未知数的个数是2，不是一元二次方程，故本选项错误； D、当时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误； 故选：B． 2．D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的解 【分析】把代入，得出，再将代入，即可解答．本题考查了一元二次方程的解，关键是理解“使一元二次方程两边相等的未知数的值，是一元二次方程的解”． 【详解】解：把代入得：， ， ， 故选：D． 3．B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， 则，即， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 4．B 【知识点】一元二次方程的解 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用时，，而时，可判断当时，其中有一个x的值满足，即可得答案． 【详解】解：∵时， ， 时，， ∴当时，其中有一个x的值满足， 即一元二次方程其中一个解的取值范围是． 故选：B． 5．C 【知识点】因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 6．B 【知识点】因式分解法解一元二次方程、判断点所在的象限 【分析】根据一元二次方程的解法求出，的值，根据各象限点的特征即可求得． 【详解】∵实数，是一元二次方程的两个根，且， ∴, ∴为， ∴在第二象限， 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法以及各象限点的特征，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法． 7．D 【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】设，则有，再用因式分解法求解得，，再根据，即可求解． 【详解】解：设，则有， ∴， ， 或， ∴，， ∵， ∴，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用用因式分解法解一元二次方程是解题的关键，注意整体思想的运用． 8．D 【知识点】因式分解法解一元二次方程、求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】反比例函数的图象过点，可得，进而求得直线的解析式为，得出点的坐标，设，根据，解方程即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点 ∴ ∴ 设直线的解析式为， ∴， 解得：, ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 设， ∵， 解得：或， ∴的坐标为或， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例数交点问题，待定系数法求解析式，求得点的坐标是解题的关键． 9．-1 【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式 【分析】根据一元二次方程的定义得出k−1≠0且|k|＋1＝2，再求出k即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴k−1≠0且|k|＋1＝2， 解得：k＝−1， 故答案为：−1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 10．2024 【知识点】已知条件式，化简求值、配方法的应用 【分析】先将配方，然后将代入即可． 【详解】解：∵，， ∴原式， 故答案为：2024． 【点睛】本题考查了代数式求值，配方法的应用，将原式变形为是解题关键． 11．4 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】直接开平方求出的值，即可得到的值，舍去负数解即可． 【详解】解：， ∴或者， ∴，或者， ∵， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查开平方的运算，一个正数的有两个平方根，互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，解题的关键是注意，舍去负数解． 12． 【知识点】配方法的应用 【分析】利用配方法将代数式变形，再利用非负数的性质求出最小值即可． 【详解】解： ， 当，即时，代数式取得最小值，最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 13．20 【知识点】因式分解法解一元二次方程、利用菱形的性质求线段长 【分析】求出一元二次方程的两个根，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理可得答案． 【详解】解：， 则x1=6，x2=8，即菱形的两条对角线长分别为6和8， 则菱形的边长为， 故菱形的周长为5×4=20， 故答案为20 【点睛】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，周长的求法，正确掌握一元二次方程的解法、菱形的性质，是解题的关键． 14．或2 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】根据新定义的运算得到，整理并求解一元二次方程即可． 【详解】解：根据新定义内容可得：， 整理可得， 解得，， 故答案为：或2． 【点睛】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键． 15. (1)， (2) (3) (4) 【知识点】解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答． （2）先化为一般式，再根据算出，以及代入进行化简，即可作答． （3）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出的值，即可作答． （4）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出的值，即可作答． 【详解】（1）解： 移项，得 配方，得，即 ∴ 解得，； （2）解： ∴ 解得； （3）解： 则 解得； （4）解： ∴ 解得． 16．，3 【知识点】一元二次方程的解 【分析】根据方程根的定义，化简代入计算即可． 【详解】解： ， ∵a是方程的一个根， ∴， 即．     ∴原式． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键． 17．(1) (2) 【知识点】一元一次方程的定义、一元二次方程的定义 【分析】（1）根据方程是一元一次方程二次项系数为0列式求解即可得到答案； （2）根据方程为一元二次方程保证二次项系数不为0列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得； 【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握定义列等式或不等式． 18．（1）2（2）6（3）7 【知识点】因式分解的应用、配方法的应用 【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值； （2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长； （3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值． 【详解】（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0 ∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0 ∴（x+y）2+（y+1）2=0 ∴x+y=0y+1=0 解得：x=1，y=﹣1 ∴x﹣y=2； （2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0 ∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0 ∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0 ∴a﹣3=0，b﹣4=0 解得：a=3，b=4 ∵三角形两边之和＞第三边 ∴c＜a+b，c＜3+4，∴c＜7．又∵c是正整数，∴△ABC的最大边c的值为4，5，6，∴c的最大值为6； （3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7． 故答案为7． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 19．①，  ②，  ③，  ④， 【知识点】十字相乘法、因式分解法解一元二次方程 【分析】根据题中十字相乘法的解法步骤求解即可． 【详解】解：①由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ②由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ③由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ④由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查十字相乘法解一元二次方程，理解题干中的十字相乘法的解法是解答的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$